cmath —- 针对复数的数学函数

本模块提供了一些适用于复数的数学函数。 本模块中的函数接受整数、浮点数或复数作为参数。 它们也接受任意具有 __complex__() 或 __float__() 方法的 Python 对象：这些方法分别用于将对象转换为复数或浮点数，然后再将函数应用于转换后的结果。

备注

对于涉及分支切割的函数，我们会有确定如何在切割本身上定义这些函数的问题。 根据 Kahan 的论文 "Branch cuts for complex elementary functions"，以及 C99 的附录 G 和之后的 C 标准，我们使用零符号来区别分支切割的一侧和另一侧：对于沿实轴（一部分）的分支切割我们要看虚部的符号，而对于沿虚轴的分支切割我们则要看实部的符号。

例如，cmath.sqrt() 函数有一个沿着负实轴的分支切割。 参数 complex(-2.0, -0.0) 会被当作位于切支切割的 下方 来处理，因而将给出一个负虚轴上的结果。

  1. >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, -0.0))
  2. -1.4142135623730951j

但是参数 complex(-2.0, 0.0) 则会被当作是位于支割线的上方来处理:

  1. >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, 0.0))
  2. 1.4142135623730951j

到极坐标和从极坐标的转换

Python 复数 z 是使用 直角 或 笛卡尔 坐标在内部存储的。 这完全取决于其 实部 z.real 及其 虚部 z.imag 的值。

极坐标 提供了另一种复数的表示方法。在极坐标中，一个复数 z 由模量 r 和相位角 phi 来定义。模量 r 是从 z 到坐标原点的距离，而相位角 phi 是以弧度为单位的，逆时针的，从正X轴到连接原点和 z 的线段间夹角的角度。

下面的函数可用于原生直角坐标与极坐标的相互转换。

  • cmath.phase(x)
  • 将 x 的相位 (或称 x 的 参数) 作为一个浮点数返回。 phase(x) 等价于 math.atan2(x.imag, x.real)。 结果将位于 [-π, π] 范围内，且此操作的支割线将位于负实轴上。 结果的符号将与 x.imag 的符号相同，即使 x.imag 的值为零:
  1. >>> phase(complex(-1.0, 0.0))
  2. 3.141592653589793
  3. >>> phase(complex(-1.0, -0.0))
  4. -3.141592653589793

备注

一个复数 x 的模数（绝对值）可以通过内置函数 abs() 计算。没有单独的 cmath 模块函数用于这个操作。

  • cmath.polar(x)
  • 在极坐标中返回 x 的表达方式。返回一个数对 (r, phi)，r 是 x 的模数，phi 是 x 的相位角。 polar(x) 相当于 (abs(x), phase(x))。
  • cmath.rect(r, phi)
  • 使用极坐标形式 r 和 phi 返回复数 x 的值。 相当于 complex(r * math.cos(phi), r * math.sin(phi))。

幂函数与对数函数

  • cmath.exp(x)
  • 返回 e 的 x 次方，e 是自然对数的底数。
  • cmath.log(x[, base])
  • 返回 x 的以 base 为底的对数。 如果没有指定 base，则返回 x 的自然对数。 存在一条支割线，即沿着负实轴从 0 到 -∞。
  • cmath.log10(x)
  • 返回底数为 10 的 x 的对数。它具有与 log() 相同的支割线。
  • cmath.sqrt(x)
  • 返回 x 的平方根。 它具有与 log() 相同的支割线。

三角函数

  • cmath.acos(x)
  • 返回 x 的反余弦。 存在两条支割线：一条沿着实轴从 1 到 ∞。 另一条沿着实轴从 -1 向左延伸到 -∞。
  • cmath.asin(x)
  • 返回 x 的反正弦。它与 acos() 有相同的支割线。
  • cmath.atan(x)
  • 返回 x 的反正切。 存在两条支割线：一条沿着虚轴从 1j 延伸到 ∞j。 另一条沿着虚轴从 -1j 延伸到 -∞j。
  • cmath.cos(x)
  • 返回 x 的余弦。
  • cmath.sin(x)
  • 返回 x 的正弦。
  • cmath.tan(x)
  • 返回 x 的正切。

双曲函数

  • cmath.acosh(x)
  • 返回 x 的反双曲余弦。 存在一条支割线，沿着实轴从 1 向左延伸到 -∞。
  • cmath.asinh(x)
  • 返回 x 的反双曲正弦。 存在两条支割线：一条沿着虚轴从 1j 延伸到 ∞j。 另一条沿着虚轴从 -1j 延伸到 -∞j。
  • cmath.atanh(x)
  • 返回 x 反双曲正切。 存在两条支割线：一条沿着实轴从 1 延伸到 ∞。 另一条沿着实轴从 -1 延伸到 -∞。
  • cmath.cosh(x)
  • 返回 x 的双曲余弦值。
  • cmath.sinh(x)
  • 返回 x 的双曲正弦值。
  • cmath.tanh(x)
  • 返回 x 的双曲正切值。

分类函数

  • cmath.isfinite(x)
  • 如果 x 的实部和虚部都是有限的，则返回 True，否则返回 False。

Added in version 3.2.

  • cmath.isinf(x)
  • 如果 x 的实部或者虚部是无穷大的，则返回 True，否则返回 False。
  • cmath.isnan(x)
  • 如果 x 的实部或者虚部是 NaN，则返回 True ，否则返回 False。
  • cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)
  • 若 a 和 b 的值比较接近则返回 True，否则返回 False。

两个值是否会被视为相近是根据给定的绝对和相对容差来确定的。 如果未发生错误，结果将为: abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)。

rel_tol 是相对容差 — 它是 a 和 b 之间的最大允许差值，相对于 a 或 b 中绝对值较大的一个而言。 例如，要设置 5% 的容差，则传入 rel_tol=0.05。 默认的容差为 1e-09，这将确保两个值在大约 9 个十进制数位内是相同的。 rel_tol 必须为非负值并且小于 1.0。

abs_tol 是绝对容差；其默认值为 0.0 并且必须为非负值。 当将 x 与 0.0 比较时，isclose(x, 0) 将按 abs(x) <= rel_tol * abs(x) 来计算，对于 x 和小于 1.0 的 rel_tol 来说均为 False。 因此请为该调用添一个为适当正值的 abs_tol。

IEEE 754特殊值 NaN ， inf 和 -inf 将根据IEEE规则处理。具体来说， NaN 不被认为接近任何其他值，包括 NaN 。 inf 和 -inf 只被认为接近自己。

Added in version 3.5.

参见

PEP 485 [https://peps.python.org/pep-0485/] —— 用于测试近似相等的函数

常量

  • cmath.pi
  • 数学常数 π ，作为一个浮点数。
  • cmath.e
  • 数学常数 e ，作为一个浮点数。
  • cmath.tau
  • 数学常数 τ ，作为一个浮点数。

Added in version 3.6.

  • cmath.inf
  • 浮点正无穷大。相当于 float('inf')。

Added in version 3.6.

  • cmath.infj
  • 具有零实部和正无穷虚部的复数。相当于 complex(0.0, float('inf'))。

Added in version 3.6.

  • cmath.nan
  • 浮点“非数字”（NaN）值。相当于 float('nan')。

Added in version 3.6.

  • cmath.nanj
  • 具有零实部和 NaN 虚部的复数。相当于 complex(0.0, float('nan'))。

Added in version 3.6.

请注意，函数的选择与模块 math 中的函数选择相似，但不完全相同。 拥有两个模块的原因是因为有些用户对复数不感兴趣，甚至根本不知道它们是什么。它们宁愿 math.sqrt(-1) 引发异常，也不想返回一个复数。 另请注意，被 cmath 定义的函数始终会返回一个复数，尽管答案可以表示为一个实数（在这种情况下，复数的虚数部分为零）。

关于支割线的注释：它们是沿着给定函数无法连续的曲线。它们是许多复变函数的必要特征。 假设您需要使用复变函数进行计算，您将会了解支割线的概念。 请参阅几乎所有关于复变函数的（不太基本）的书来获得启发。 对于如何正确地基于数值目的来选择支割线的相关信息，一个良好的参考如下：

参见

Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothing's sign bit. In Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165—211.