第一章　直线

1．直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 x 轴的正方向 所成的夹角 叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角0° ，故直线倾斜角的范围是［0，π） ．

注：当α =90°时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在 ．

2．直线方程的常用形式：点斜式、截距式、斜截式、一般式．

（1）点斜式：过点（x ₀ ，y ₀ ），斜率为k 的直线可设为：y -y ₀ =k (x -x ₀ ) ．

适用范围：直线斜率存在（倾斜角不为90°） ．

（2）斜截式：斜率为k ，且在y 轴截距为b （或过点（0，b ））的直线可设为y =kx +b ．

适用范围：直线斜率存在（倾斜角不为90°） ．

（3）截距式：在x 轴上截距为a ，在y 轴截距为b （或者过（a ，0），（0，b ）两点）的直线可设为 ．

适用范围：不过原点，且直线倾斜角不等于0°和90° ．

（4）一般式：任意直线均可设为Ax +By +C =0 ．

适用范围：所有直线 ．

3．直线系：对于直线的斜截式方程y =kx +b ，当k ，b 均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k ，b 变化时，对应的直线也会变化．

（1）当b 为定值，k 变化时，它们表示过定点（0，b ） 的直线束．

（2）当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行线 ．

（3）过两直线l ₁ ：A ₁ x +B ₁ y +C ₁ =0，l ₂ ：A ₂ x +B ₂ y +C ₂ =0的交点的直线系方程为 A ₁ x +B ₁ y +C ₁ +λ (A ₂ x +B ₂ y +C ₂ )=0 （λ 为参数，l ₂ 不包括在内）．

4．当斜率一定存在时（l ₁ ：y =k ₁ x +b ₁ ，l ₂ ：y =k ₂ x +b ₂ ）．

（1）l ₁ 和l ₂ 是平行不重合的直线： k ₁ =k ₂ ，b ₁ ≠b ₂ ．

（2）l ₁ 和l ₂ 是重合直线： k ₁ =k ₂ ，b ₁ =b ₂ ．

（3）l ₁ 和l ₂ 是垂直的直线： k ₁ k ₂ =-1 ．

5．当斜率不一定存在时（l ₁ ：A ₁ x +B ₁ y +C ₁ =0，l ₂ ：A ₂ x +B ₂ y +C ₂ =0）．

（1）l ₁ 和l ₂ 是平行不重合的直线： ．

（2）l ₁ 和l ₂ 是重合直线： ．

（3）l ₁ 和l ₂ 是垂直的直线： A ₁ A ₂ +B ₁ B ₂ =0 ．

6．距离问题．

（1）点P (x ₁ ，y ₁ )，Q (x ₂ ，y ₂ )的距离为 ．

（2）设点P (x ₀ ，y ₀ )，直线l ：Ax +By +C =0，P 到l 的距离为 ．

（3）设两条平行直线l ₁ ：Ax +By +C ₁ =0，l ₂ ：Ax +By +C ₂ =0（C ₁ ≠C ₂ ），它们之间的距离为 ．

7．对称问题．

（1）点点对称型

A (x ₀ ，y ₀ )关于点P (a ，b )对称的点为（2a -x ₀ ，2b -y ₀ ） ．

（2）点线对称型点

A (x ₀ ，y ₀ )关于直线Ax +By +C =0对称的点为（a ，b ） ，其中： ， ．

（3）线点对称型

直线Ax +By +C =0关于点P (x ₀ ，y ₀ )对称的线为 Ax +By +D =0 ，其中：Ax ₀ +By ₀ +C +Ax ₀ +By ₀ +D =0 ．

（4）线线对称型

直线ax +by +c =0关于直线Ax +By +C =0对称的直线为 ．

8．线性规划问题．

（1）可行域的快速判定

二元一次不等式ax +by +c >0，当b 为正时即为线上侧，当b 为负时即为线下侧；二元一次不等式ax +by +c <0，当b 为负时即为线上侧，当b 为正时即为线下侧 ．

（2）目标函数的基本类型

①截距型： z =ax +by +c ．

②斜率型： ．

③距离型： z =ax ² +by ² +cx +dy +f ．

考点1　直线的倾斜角与斜率

例题

【例1 】（2014·武清期中）　已知直线的斜率范围是 ，求倾斜角的范围；已知直线的斜率范围是（ ，+∞），求倾斜角的范围．

条件 　斜率⇒倾斜角．

总结

熟练斜率与倾斜角对应值的相互转化，掌握k =tanθ 函数图像．此题也可利用k =tanθ 的图像来求k 与θ ．

【例2 】（2011·吉安期末）　已知直线l 的方程：y =(m ² -1)x +3(m ∈R )，则l 的倾斜角的范围是（　　）．

条件 　k =m ² -1⇒k ≥-1．

解析 　y =(m ² -1)x +3⇒k =m ² -1，由于m ² ≥0，所以m ² -1≥-1，即k ≥-1⇔tanα ≥-1．

故选：C．

总结

熟悉斜率与倾斜角．

【例3 】（2013·贵阳月考）　已知点A (3，2)，B (-4，1)，C (0，-1)，过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，l 的斜率k 的取值范围是 ．

条件 　过C 的直线l 与线段AB 相交⇒直线l 介于CA 与CB 之间．

解析 　 ， ，斜率由k_CA →直角→k_CB ．

总结

掌握斜率公式 ，并熟悉斜率在倾斜角为［0，π）间的变化过程．

练习

1．（2014·东台期中）　若 ，则直线2x cosθ +3y +1=0的倾斜角的取值范围为（　　）．

2．（2013·广州模考）　设点A (2，-3)，B (-3，-2)，直线l 过点P (1，1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围为（　　）．

考点2　直线的五种表达式及位置关系

例题

【例1 】（2015·唐山期中）　已知直线(a -2)y =(3a -1)x -1．

（1）求证：无论a 为何值，直线总经过第一象限；

（2）直线l 是否有可能不经过第二象限？若有可能，求出a 的范围；若不可能，说明理由．

（1）条件 　过第一象限⇒过第一象限的定点．

解析 　(a -2)y =(3a -1)x -1， ．

总结

直线过定点问题需将参数进行分离，再通过方程组进行求解．

（2）条件 　不经过第二象限⇒y =kx +b 中

解析 　当a ≠2时， ， ．

当a =2时， ，不经过第二象限．综上，a ≥2．

总结

直线过象限问题一般转化为斜截式考虑．

【例2 】（2016·上海文理·3）　已知平行直线l ₁ ：2x +y -1=0，l ₂ ：2x +y +1=0，则l ₁ 与l ₂ 的距离是 ．

条件 　l ₁ 与l ₂ 距离 ．

总结

平行线距离公式使用过程中切记两条直线中 的A ，B 要相同．

【例3 】（2014·四川理·9）　设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx -y -m +3=0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是 ．

解析 　A (0，0)，B (-1，3)，又因为x +my =0与mx -y -m +3=0垂直，可得 ．

总结

l ₁ 与l ₂ 垂直（一般式）⇔A ₁ A ₂ +B ₁ B ₂ =0．

【例4 】（2013·新课标2理·12）　已知A (-1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y =ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（　　）．

条件 　y =ax +b 分△ABC 为面积相等两部分⇒三角形面积公式与点到直线距离公式．

解析 　 ，直线y =ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为 ．由 ，可知点M 在射线OA 上，设直线和BC 交点为N ， ．

①点M 与A 重合，则N 为BC 中点，则 ， ． ．

②点M 在OA 间，则N 在BC 间， ，即 ．

．

③点M 在A 左侧，则 ，所以b ＞a ．设y =ax +b 与AC 交点为P ，则 ．

又因为 ，即 ，b ＞a ＞0，0＜a ＜1，所以2(1-b )² =|a ² -1|=1-a ² ，所以 ，所以 ，即 ．

综上 ， ， ．故选：B．

总结

分类讨论思想．

【例5 】（2011·安徽理·15）　平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，那么就称点（x ，y ）为整点，下列命题中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②如果k 与b 都是无理数，则直线y =kx +b 不经过任何整点；

③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；

④直线y =kx +b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数；

⑤存在恰经过一个整点的直线．

条件 　出现“存在”或“如果”⇒举反例来判断．

解析 　①若x ，y 为整数，则x +y 也为整数，故 既不平行于坐标轴，也不经过任何整点，即①正确．

② 过（1，0），故②错．

③若l 经过M (m ₁ ，n ₁ )，N (m ₂ ，n ₂ )，其中m ₁ ，m ₂ ，n ₁ ，n ₂ 均为整数．当m ₁ =m ₂ 或n ₁ =n ₂ 时，直线l 方程为x =m ₁ 或y =n ₁ ，显然过无穷多个整点．当m ₁ ≠m >₂ 且n ₁ ≠n ₂ 时，直线l 的方程为 ，则直线l 过点（(k +1)m ₁ -km ₂ ，(k +1)n ₁ -kn ₂ ），k ∈Z ．这些整数均为整点且有无穷多个，即直线l 经过无穷多整点，③正确．

④x ，y 为整数时，y -x 还是整数，故 不经过任何整点．当k ，b 为有理数，并不能保证l ：y =kx +b 过无穷多个整点，④错．

⑤ 过（1，0），⑤正确．

故选：①③⑤．

总结

对于新定义的题目，大家做题时可考虑举一些例子和数据来判断正误．

练习

1．（2010·广东模考）　已知直线l ：kx -y +1+2k =0（k ∈R ）．

（1）证明：直线l 过定点；

（2）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；

（3）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．

2．（2014·四川理·8改编）　设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx -y -m +3=0交于点P (x ，y )，则|PA |+|PB |的取值范围是（　　）．

3．（2011·北京文·8）　已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在函数y =x ² 的图像上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为（　　）．

A．4
B．3
C．2
D．1

4．（2013·辽宁文理·9）　已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a ³ )．若△ABC 为直角三角形，则必有（　　）．

5．（2011·北京理·8）　设A (0，0)，B (4，0)，C (t +4，4)，D (t ，4)（t ∈R ）．记N (t )为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N (t )的值域为（　　）．

A．{9，10，11}
B．{9，10，12}
C．{9，11，12}
D．{10，11，12}

考点3　距离和对称

例题

【例1 】（2015·枣阳月考）　已知两点A (3，-3)，B (5，1)和直线l ：y =x ，在直线l 上求一点P 使|PA |+|PB |最小．

条件 　(|PA |+|PB |)_min ≥|AB |⇒(|PA |+|PB |)_min =|AB |．

解析 　作A 关于l 对称点A′ ，A′ (-3，3)，|PA |=|PA′ |．连A′B 交l 于P ，P 即为所求，l_A′B ： ．此时|PA′ |+|PB |=|A′B |最小，联立 ．

总结

【例2 】（2011·秦兴期中）　已知光线通过点A (2，3)，经直线x +y +1=0反射，其反射光线通过点B (1，1)，求入射光线和反射光线所在的方程．

条件 　求入射光线所在直线方程⇒求入射光线上两点⇒求反射光线上点的对称点．

解析 　设B (1，1)关于l 的对称点为B′ (a ，b )， ．

，所以l_AB′ ： ．同理，反射光线为4x -5y +1=0．

总结

光线反射问题往往被转化为对称问题求解．

【例3 】（2011·丰南期中）　已知光线的入射线所在直线的方程为x -6y +13=0，入射线在定直线x +2y -3=0上反射，求反射光线所在直线方程．

条件 　反射光线所在直线方程⇔线线对称．

解析 　在x -6y +13=0上找一点C (-13，0)，求C (-13，0)关于x +2y -3=0的对称点．

根据 的交点在l 上，得l 27x +14y -1=0．

练习

1．（2010·广东模考）　已知两点A (-3，3)，B (5，1)和直线l ：y =x ，在直线l 上求一点P ，使||PA |-|PB ||最大．

2．（2015·舒城月考）　光线从A (-2，3)出发，经直线x -y +10=0反射，反射光线经过点C (1，2)，求入射光线所在直线方程．

3．（2011·深圳期中）　已知光线的入射线所在直线的方程为2x +y -3=0，入射线在定直线x +y +4=0上反射，求反射光线所在直线方程．

考点4　线性规划

例题

1．目标函数z =ax +by 型（截距型）

【例1 】（2012·广东理·5）　已知变量x ，y 满足约束条件则 z =3x +y 的最大值为（　　）．

A．12
B．11
C．3
D．-1

条件 　z =3x +y 最值⇒y =-3x +z 截距最值．

解析 　过点（-1，2），z _min =-1．过点（3，2），z _max =11．故选：B．

总结

常规z =ax +by 型最值问题转化为 的截距最值问题．

【例2 】（2012·新课标理·14）　设x ，y 满足约束条件 则z =x -2y 的取值范围为 ．

条件 　z =x -2y 最值⇒ 的截距最值．

解析 　过点（1，2），z _min =-3．过点（3，0），z _max =3．z ∈[-3，3]．

总结

常规z =ax +by 型最值问题转化为 的截距最值问题．

2．目标函数 型（斜率型）

【例3 】（2012·福建模考）　若变量x ，y 满足约束条件 则 的范围为 ．

条件 　 范围⇒（x ，y ）与（5，0）组成斜率范围．

解析 　（5，0）与（1，1）两点相连， ．（5，0）与（2，2）两点相连， ． ．

总结

与（a ，b ）组成斜率．

3．目标函数z =(x -a )² +(y -b )² 型（距离型）

【例4 】（2016·江苏理·12）　已知实数x ，y 满足 则x ² +y ² 的取值范围是 ．

条件 　z =x ² +y ² 最值⇒（x ，y ）与（0，0）距离最大值．

解析 　 ，d _min 为（0，0）到2x +y -2=0距离．

总结

z =(x -a )² +(y -b )² 求最值等价于（x ，y ）到（a ，b ）距离的平方的最值．

4．含参型

【例5 】（2013·新课标2理·9）　已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 若z =2x +y 的最小值是1，则a =（　　）．

条件 　z =2x +y 最小值为1⇒y =-2x +z ，求z 最小值，即截距最小值为1．

解析 　y =-2x +z 在过（1，-2a ）截距最小，所以 ．故选：B．

总结

，求截距最值．

【例6 】（2013·浙江理·13，文·15）　设z =kx +y ，其中实数x ，y 满足 若z 的最大值为12，则实数k = ．

条件 　z =kx +y 最大值为12⇒y =-kx +z 截距最大为12．

解析 　（1） 时，y =-kx +z 在（4，4）取最大，z _max =4k +4=12，k =2．

（2） 时，y =-kx +z 在（0，2）取最大，z _max =0×k +2=12，k ∈∅．

综上，k =2．

总结

求截距最值．但要注意k 分类讨论．

【例7 】（2014·山东文·10，理·9）　已知x ，y 满足的约束条件 当目标函数z =ax +by （a ＞0，b ＞0）在该约束条件下取得最小值 时，a ² +b ² 的最小值为（　　）．

A．5
B．4
C．
D．2

条件 　z =ax +by 取最小值 最小值 ．

解析 　 过点（2，1），则 ，所以 ，所以 ．故选：B．

总结

求截距最值．

练习

1．（2016·新课标3理·13）　若x ，y 满足约束条件 则z =x +y 的最大值为 ．

2．（2013·新课标2文·3）　设x ，y 满足约束条件 则z =2x -3y 的最小值是（　　）．

A．-7
B．-6
C．-5
D．-3

3．（2013·四川文·8）　若变量x ，y 满足约束条件 且z =5y -x 的最大值为a ，最小值为b ，则a -b 的值是（　　）．

A．48
B．30
C．24
D．16

4．（2016·新课标1理·16）　某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg、乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg、乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg、乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．

5．（2013·山东理·6，文·14）　在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组： 所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（　　）．

6．（2016·山东文理·4）　若变量x ，y 满足 则x ² +y ² 的最大值是（　　）．

A．4
B．9
C．10
D．12

7．（2013·大纲文·15）　记不等式组 所表示的平面区域为D ．若直线y =a (x +1)与D 有公共点，则a 的取值范围是 ．

8．（2014·安徽理·5）　x ，y 满足约束条件 若z =y -ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为 ．

9．（2013·大纲理·15）　设关于x ，y 的不等式组 表示的平面区域内存在点P (x ₀ ，y ₀ )满足x ₀ -2y ₀ =2，求得m 的取值范围是（　　）．

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