第4章　双曲线

1．定义：动点到两定点距离之差的绝对值等于定值且小于两定点距离时的 轨迹称为双曲线．即||MF ₁ |-|MF ₂ ||=2a ，2a ＜|F ₁ F ₂ |．

这两个定点称为双曲线的焦点 ，两焦点的距离称为双曲线的焦距 ．

特别地：

①当||MF ₁ |-|MF ₂ ||=2a (2a =|F ₁ F ₂ |)时，表示点M 的轨迹为两条射线“-∞F ₁ ”，“F ₂ +∞” ；

②当||MF ₁ |-|MF ₂ ||=2a (2a ＞|F ₁ F ₂ |)时，表示点M 的轨迹不存在 ．

2．双曲线的几何性质．

考点1　双曲线的定义

例题

【例1 】（2014·江西模考）　设圆C 与两圆 中的一个内切，另一个外切．则C 的圆心轨迹L 的方程为 ．

条件 　外切⇒|O ₁ O ₂ |=r ₁ +r ₂ ，内切⇒|O ₁ O ₂ |=|r ₁ -r ₂ |．

解析 　设C 的圆心为M (x ，y )，半径为r ． 的圆心为 ，r ₁ =2； 的圆心为 ，r ₂ =2．则 所以|MB |-|MA |=4．

所以点M 的轨迹为以A ，B 为焦点的双曲线，且 ，a =2，b ² =1，故L 的方程为 ．

【例2 】（2014·成外测验）　平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线 上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为 ．

条件 　求出点M ，利用两点距离．

解析 　设M (3，y )，有 ，而右焦点为（4，0），故其 ．

【例3 】（2009·辽宁模考）　已知F 是双曲线 的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |+|PA |的最小值为 ．

条件 　利用动点P 到两焦点距离之差为2a ．三点共线时两距离之和最小．

解析 　因为|PF |-|PF ₁ |=2a ，所以|PF |=2a +|PF ₁ |=4+|PF ₁ |，所以|PF |+|PA |=|PA |+|PF ₁ |+4，则当|PF |+|PF ₁ |取最小值时，A ，P ，F ₁ 三点共线，所以（|PF |+|PA |）_min =|AF ₁ |+4=9．

【例4 】（2012·大纲文理·8）　已知F ₁ ，F ₂ 为双曲线C ：x ² -y ² =2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF ₁ |=2|PF ₂ |，则cos∠F ₁ PF ₂ =（　　）．

条件 　|PF ₁ |-|PF ₂ |=2a ，且利用余弦定理．

解析 　因为 ，所以 ， ．又|F ₁ F ₂ |=4，则 ．故选：C．

总结

（1）内切、外切为圆心距与两半径之间的关系．

（2）双曲线上一点P ，恒有||PF ₁ |-|PF ₂ ||=2a ．

（3）熟练余弦定理．

练习

1．（2014·大纲理·9）　已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F ₁ ，F ₂ ，点A 在C 上，若|F ₁ A |=2|F ₂ A |，则cos∠AF ₂ F ₁ =（　　）．

2．（2016·江西师大附中月考）　P 为双曲线 右支上一点，M ，N 分别是圆(x +4)² +y ² =4和(x -4)² +y ² =1上的点，则|PM |-|PN |的最大值为 ．

考点2　双曲线方程

例题

【例1 】（2011·安徽文理·2）　双曲线2x ² -y ² =8的实轴长是（　　）．

条件 　双曲线标准方程．

解析 　 ，则实轴长为2a =4．故选：C．

【例2 】（2013·广东理·7）　已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于 ，则双曲线C 的方程是（　　）．

条件 　双曲线标准方程；离心率为 ．

解析 　由题意知，双曲线方程可设为 （a ＞0，b ＞0），有 故选：B．

总结

双曲线的标准方程设定中a ，b ，c 的关系式为a ² +b ² =c ² ．

练习

1．（2011·上海理·3）　设m 为常数，若点F (0，5)是双曲线 的一个焦点，则m = ．

2．（2013·湖北理·5）已知 ，则双曲线C ₁ ： 与C ₂ ： 的（　　）．

A．实轴长相等
B．虚轴长相等
C．焦距相等
D．离心率相等

考点3　双曲线的一般方程

例题

【例1 】（2014·新余中宜春中学联考文）　若方程 表示双曲线，则k 的取值范围是（　　）．

A．（5，10）
B．（-∞，5）
C．（10，+∞）
D．（-∞，5）∪（10，+∞）

条件 　 ．

解析 　(10-k )(5-k )<0⇒(k -5)(k -10)<0⇒5<k <10．故选：A．

【例2 】（2016·新课标1理·5）　已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（　　）．

条件 　 ．

解析 　 ，则此双曲线的焦点在x 轴上，有a ² =m ² +n ，b ² =3m ² -n ，所以c ² =4m ² =4，即m ² =1，则-1＜n ＜3．故选：A．

总结

（1）双曲线 满足mn ＜0．

（2）c ² =a ² +b ² ．

练习

（2014·吉林模考）　在方程mx ² -my ² =n 中，若 ^mn ＜0，则方程表示的曲线是（　　）．

A．焦点在x 轴上的椭圆
B．焦点在x 轴上的双曲线
C．焦点在y 轴上的椭圆
D．焦点在y 轴上的双曲线

考点4　双曲线的渐近线

例题

【例1 】（2011·湖南文理·6）　设双曲线 （a ＞0）的渐近线方程为3x ±2y =0，则a 的值为（　　）．

A．4
B．3
C．2
D．1

条件 　 渐近线： ．

解析 　 渐近线： ，即a =2．故选：C．

【例2 】（2012·天津文·11）　已知双曲线C ₁ ： （a ＞0，b ＞0）与双曲线C ₂ ： 有相同的渐近线，且C ₁ 的右焦点为 ，则a = ，b = ．

条件 　 渐近线： ，且c ² =a ² +b ² ．

解析 　 ，又a ² +b ² =5，所以a ² =1，b ² =4，则a =1，b =2．

【例3 】（2011·山东理·8）　已知双曲线 （a ＞0，b ＞0）的两条渐近线均和圆C ：x ² +y ² -6x +5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（　　）．

条件 　直线与圆相切⇒圆心到直线的距离等于半径r ．

解析 　渐近线方程： ．

x ² +y ² -6x +5=0⇒(x -3)² +y ² =4⇒圆心为（3，0），r =2，

所以有 ， ．

【例4 】（2013·福建文·4）　双曲线x ² -y ² =1的顶点到其渐近线的距离等于（　　）．

条件 　双曲线 的顶点为（±a ，0），渐近线方程为 ．

解析 　顶点为（±1，0），渐近线为y =±x ，所以其距离为 ．故选：B．

总结

（1） 渐近线方程为 ；

渐近线方程为 ．

（2）直线与圆相切⇒圆心到直线的距离为半径．

练习

1．（2012·湖南文理·5）　已知双曲线C ： 的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（　　）．

2．（2014·新课标1理·4）　已知F 是双曲线C ：x ² -my ² =3m （m ＞0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（　　）．

3．（2013·福建理·3）　双曲线 的顶点到其渐近线的距离等于（　　）．

4．（2012·浙江理·8）　如图，F ₁ ，F ₂ 分别是双曲线C ： （a ，b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F ₁ B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若|MF ₂ |=|F ₁ F ₂ |，则C 的离心率是（　　）．

考点5　焦点三角形与弦心三角形

例题

【例1 】（2012·辽宁文·15）　已知双曲线x ² -y ² =1，点F ₁ ，F ₂ 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF ₁ ⊥PF ₂ ，则|PF ₁ |+|PF ₂ |的值为 ．

条件 　||PF ₁ |-|PF ₂ ||=2a ，|PF ₁ |² +|PF ₂ |² =|F ₁ F ₂ |² ．

解析 　设|PF ₁ |＞|PF ₂ |，则 所以 ．

【例2 】（2013·辽宁文·15）　已知F 为双曲线C ： 的左焦点，P ，Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为 ．

条件 　判断出A 为右焦点，且利用|PF |-|PA |=|QF |-|QA |=2a ．

解析 　 则A 为右焦点，所以|PQ |=4b =16，则|PF |-|PA |=6=|QF |-|QA |，故C _△PQF =|PF |+|PA |+|AQ |+|QF |=6+2|PA |+6+2|QA |=12+2|PQ |=12+32=44．

总结

（1）||PF ₁ |-|PF ₂ ||=2a ．

（2）c ² =a ² +b ² ．

练习

1．（2013·湖南理·14）　设F ₁ ，F ₂ 是双曲线C ： （a ＞0，b ＞0）的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF ₁ |+|PF ₂ |=6a ，且△PF ₁ F ₂ 的最小内角为30°，则C 的离心率为 ．

2．（2003·上海调研）　P 是双曲线 上一点，E ，F 是两焦点，若|PE |·|PF |=32，求∠EPF 的大小．

考点6　椭圆与双曲线综合

例题

【例1 】（2012·浙江文·8）　如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等份，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（　　）．

条件 　 （a ＞b ＞0），离心率为 （其中c ² +b ² =a ² ）；

（a′ ＞0，b′ ＞0），离心率为 （其中c′ ² =a′ ² +b′ ² ）．

解析 　设椭圆为 ，双曲线为 ，有 则 ．故选：B．

【例2 】（2013·浙江文理·9）　如图，F ₁ ，F ₂ 是椭圆C ₁ ： 与双曲线C ₂ 的公共焦点，A ，B 分别是C ₁ ，C ₂ 在第二、四象限的公共点，若四边形AF ₁ BF ₂ 为矩形，则C ₂ 的离心率是（　　）．

条件 　设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为a′ ，

解析 　设|AF ₁ |=x ，|AF ₂ |=y ，且 ，则有 ，所以双曲线的离心率为 ．故选：D．

总结

（1）动点P 在双曲线中到两焦点距离之差为2a ，在椭圆中其距离之和为2a ．

（2）椭圆与双曲线的离心率均为 ．

练习

1．（2014·山东理·10）　已知a ＞0，b ＞0，椭圆C ₁ 的方程为 ，双曲线C ₂ 的方程为 ，C ₁ 与C ₂ 的离心率之积为 ，则C ₂ 的渐近线方程为（　　）．

2．（2014·湖北理·9）　已知F ₁ ，F ₂ 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）．

考点7　椭圆与双曲线离心率专题

例题

【例1 】（2011·辽宁理·13）　已知点（2，3）在双曲线C ： （a ＞0，b ＞0）上，C 的焦距为4，则它的离心率为 ．

条件 　离心率 ．

解析 　（2，3）代入得 ，又a ² +b ² =4，解得a ² =1，b ² =3，所以 ．

【例2 】（2011·全国卷1理·7）　设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（　　）．

条件 　双曲线的通径长为 ，离心率 ，其中c ² =a ² +b ² ．

解析 　 ．故选：B．

【例3 】（2013·湖南文·14）　设F ₁ ，F ₂ 是双曲线C ： （a ＞0，b ＞0）的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF ₁ ⊥PF ₂ ，且∠PF ₁ F ₂ =30°，则C 的离心率为 ．

条件 　（1）||PF ₁ |-|PF ₂ ||=2a ．

（2）在直角三角形中，30°角所对的边长度是斜边的一半．

解析 　设|PF ₁ |＞|PF ₂ |，则有 ．

【例4 】（2011·南昌联考文）　已知F ₁ ，F ₂ 是椭圆的两个焦点，满足 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ．

条件 　（1） 的轨迹为是以|F ₁ F ₂ |为直径、O 为圆心的圆．

（2）M 在椭圆内部⇒M 轨迹在椭圆内．

解析 　 的轨迹为以O 为圆心、|F ₁ F ₂ |为直径的圆．

M ：x ² +y ² =c ² ，因为M 在椭圆内部⇒x ² +y ² =c ² 在 内部，所以 ．

【例5 】（2011·南昌联考理）　已知F ₁ ，F ₂ 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且∠F ₁ PF ₂ =60°，则椭圆离心率e 的取值范围为 ．

条件 　当P 位于短轴端点时，∠F ₁ PF ₂ 最大．

解析 　当P 位于短轴端点时，∠F ₁ PF ₂ 最大．所以∠F ₁ PF ₂ ≥60°，则∠F ₁ PO ≥30°，故得 ．

总结

（1）椭圆、双曲线的通径长为 ．

（2）当P 位于椭圆的短轴端点时，∠F ₁ PF ₂ 最大．

练习

1．（2012·福建文·5）　已知双曲线 的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（　　）．

2．（2012·重庆文·14）　设P 为直线 与双曲线 （a ＞0，b ＞0）左支的交点，F ₁ 是左焦点，PF ₁ 垂直于x 轴，则双曲线的离心率e = ．

3．（2012·湖北理·14）　如图，双曲线 （a ，b ＞0）的两顶点为A ₁ ，A ₂ ，虚轴两端点为B ₁ ，B ₂ ，两焦点为F ₁ ，F ₂ ．若以A ₁ A ₂ 为直径的圆内切于菱形F ₁ B ₁ F ₂ B ₂ ，切点分别为A ，B ，C ，D ，则双曲线的离心率e = ．

4．（2016·南昌二中模考）　设椭圆 （a ＞b ＞0）的两焦点为F ₁ ，F ₂ ，若椭圆上存在一点Q ，使∠F ₁ QF ₂ =120°，则椭圆离心率e 的取值范围为 ．

5．（2013·重庆文·10）　设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 所成的角为60°的直线A ₁ B ₁ 和A ₂ B ₂ ，使|A ₁ B ₁ |=|A ₂ B ₂ |，其中A ₁ ，B ₁ 和A ₂ ，B ₂ 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）．

有5个高中生，她们面对学校的新闻采访说了如下的话．爱：“我还没有谈过恋爱．”静香：“爱撒谎了．”玛丽：“我曾经去过昆明．”惠美：“玛丽在撒谎．”千叶子：“玛丽和惠美都在撒谎．”那么，这5个人之中到底有几个人在撒谎呢？

——邵爷（邵菁璟老师）

圆锥曲线是一个只要你能将已知几何条件转化成代数条件，然后算到死就会莫名其妙算出来的神奇考点．

——邵爷（邵菁璟老师）

人才和天才只差一个“二”，故，人才很精，而天才总是有点二．

——村长（付文伟老师）

傻子偷乞丐的钱包，被瞎子看到了，哑巴大吼一声，把聋子吓了一跳，驼子挺身而出，瘸子飞起一脚，通缉犯要拉他去公共安全专家局，麻子说，看我的面子算了．

——村长（付文伟老师）

理想就像贴身衣物，要有，但不能逢人就去证明你有！

——村长（付文伟老师）

我向星星许了个愿，我并不是真的相信它，但是反正也是免费的，而且也没有证据证明它不灵．

——村长（付文伟老师）

中国式父母：

5岁：孩子，我给你报了少年宫．7岁：孩子，我给你报了奥数班．15岁：孩子，我给你报了重点中学．18岁：孩子，我给你报了高考突击班．23岁：孩子，我给你报了公务员．32岁：孩子，我给你报了《非诚勿扰》．

——村长（付文伟老师）

上联：学生证准考证身份证证证没带；

下联：听力题阅读题作文题题题不做．

横批：谢谢参与．

——村长（付文伟老师）

父亲问我人生有什么追求？

我回答金钱和美女，父亲凶狠地打了我的脸；我回答事业与爱情，父亲赞赏地摸了我的头．

——村长（付文伟老师）

每天叫醒我们的不应该是闹钟，而应该是梦想．可是我的梦想就是：每天睡觉睡到自然醒！

——村长（付文伟老师）

世界上最遥远的距离，不是生与死，而是马上考试了，别人在复习，自己却在预习．更悲剧的是，人家预习的都过了，你复习了却没过．

——村长（付文伟老师）

一个人知道自己为什么而活，就可以忍受任何一种生活．

——尼采

人的一切痛苦，本质上都是对自己的愤怒．

——王小波

建高楼大厦，地基才是基础，砖头只是材料．

——娴姐（刘娴老师）

学数学两大标配：纸和笔．不管平常还是考试，请手中有笔有纸．如果是光着膀子上数学课，那就是耍流氓！

——娴姐（刘娴老师）

课堂上数学老师讲练习，他问我们：“接下来要讲哪一道题啦？”我们齐声喊：“第八题（较难的）．”他清了清嗓子，回道：“好，那么接下来我们来讲一下第十题（最简单的）．”这样的老师你们遇到了吗？

——娴姐（刘娴老师）