第2章　圆

1．圆的标准方程：以点C (a ，b )为圆心，r 为半径的圆的标准方程是(x -a )² +(y -b )² =r ² ．

2．圆的一般方程：（1） x ² +y ² +Dx +Ey +F =0 （ D ² +E ² -4F ＞0 ），其中圆心为 ，半径 ．

（2） Ax ² +By ² +Cxy +Dx +Ey +F =0 其中圆心为 ，半径 ．

3．圆的变形方程．

，表示圆的右半部分；

，表示圆的左半部分；

，表示圆的上半部分；

，表示圆的下半部分．

4．若两圆O ₁ ：x ² +y ² +D ₁ x +E ₁ y +F ₁ =0，O ₂ ：x ² +y ² +D ₂ x +E ₂ y +F ₂ =0相交，则公共弦方程为(D ₁ -D ₂ )x +(E ₁ -E ₂ )y +F ₁ -F ₂ =0 ．

5．直线Ax +By +C =0与圆(x -a )² +(y -b )² =R ² 相交的弦长公式为 ，其中d 表示圆心到直线的距离， ．

6．过圆x ² +y ² +Dx +Ey +F =0外一点P (x ₀ ，y ₀ )的切线长公式： ．

7．过圆x ² +y ² +Dx +Ey +F =0上一点P (x ₀ ，y ₀ )的切线方程： ．

8．圆系方程．

过圆O ₁ ：x ² +y ² +D ₁ x +E ₁ y +F ₁ =0，O ₂ ：x ² +y ² +D ₂ x +E ₂ y +F ₂ =0的交点的圆系方程为 x ² +y ² +D ₁ x +E ₁ y +F ₁ +λ (x ² +y ² +D ₂ x +E ₂ y +F ₂ )=0 ，其中λ ≠-1 ，但此圆系不含圆 O ₂ ．

9．位置关系（位置关系与数学方程的转换）．

（1）点P (x ₀ ，y ₀ )与圆(x -a )² +(y -b )² =R ² 的位置关系：

当(x ₀ -a )² +(y ₀ -b )² ＜R ² 时，点在圆内 ；

当(x ₀ -a )² +(y ₀ -b )² =R ² 时，点在圆上 ；

当(x ₀ -a )² +(y ₀ -b )² ＞R ² 时，点在圆外 ．

（2）直线Ax +By +C =0与圆(x -a )² +(y -b )² =R ² 的位置关系：

①相离．

d ＞R ，其中d 是圆心到直线的距离 ．

②相切．

d =R ，其中d 是圆心到直线的距离 ．

③相交．

d ＜R ，其中d 是圆心到直线的距离 ．

（3）圆与圆的位置关系（O ₁ ：x ² +y ² +D ₁ x +E ₁ y +F ₁ =0，O ₂ ：x ² +y ² +D ₂ x +E ₂ y +F ₂ =0）：

①外离：|O ₁ O ₂ |＞R ₁ +R ₂ ．

②外切：|O ₁ O ₂ |=R ₁ +R ₂ ．

③相交：|R ₁ -R ₂ |＜|O ₁ O ₂ |＜R ₁ +R ₂ ．

④内切：|O ₁ O ₂ |=|R ₁ -R ₂ | ．

⑤内含：0≤|O ₁ O ₂ |＜|R ₁ -R ₂ | ．

考点1　圆的方程

例题

【例1 】（2016·浙江文·10）　已知a ∈R ，方程a ² x ² +(a +2)y ² +4x +8y +5a =0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ．

条件 　“方程Ax ² +By ² +Cxy +Dx +Ey +F =0代表圆”

圆心点的坐标

解析 　因为该方程代表圆，所以a ² =a +2，解得a =2或a =-1．

当a =2时，方程为 ，不满足D ² +E ² -4F ＞0，舍去．

当a =-1时，方程为x ² +y ² +4x +8y -5=0，此时D ² +E ² -4F =100＞0，满足条件．

所以圆方程为x ² +y ² +4x +8y -5=0，化成标准方程知，(x +2)² +(y +4)² =25．

所以圆心为（-2，-4），R =5．

【例2 】（2015·北京文·2）　圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　）．

A．(x -1)² +(y -1)² =1
B．(x +1)² +(y +1)² =1
C．(x +1)² +(y +1)² =2
D．(x -1)² +(y -1)² =2

条件 　以（a ，b ）为圆心、半径为r 的圆⇒(x -a )² +(y -b )² =r ² ．

解析 　因为圆心为（1，1）且过原点，所以 ，因此方程为(x -1)² +(y -1)² =2．故选：D．

【例3 】（2015·新课标2文·7）　已知三点A (1，0)， ， ，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（　　）．

条件 　等边三角形的四心合一．

重心坐标公式：△ABC 的三点坐标分别是A (x_A ，y_A )，B (x_B ，y_B )，C (x_C ，y_C )，则△ABC 的重心坐标为 ．

解析 　因为A (1，0)， ， ，所以AB =2，AC =2，BC =2，因此△ABC 为等边三角形，所以△ABC 外接圆的圆心为 ，因此 ，故选：B．

总结

（1）二元二次方程代表圆，其中系数满足条件 ．

（2）圆心为（x ₀ ，y ₀ ）、半径为R 的圆方程为(x -x ₀ )² +(y -y ₀ )² =R ² ．

（3）涉及四心问题时，切记关注三角形的形状．

练习

1．（2012·辽宁文·7）　将圆x ² +y ² -2x -4y +1=0平分的直线是（　　）．

A．x +y -1=0
B．x +y +3=0
C．x -y +1=0
D．x -y +3=0

2．（2014·陕西理·11）　若圆C 的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y =x 对称，则圆C 的标准方程为 ．

3．（2016·天津文·12）　已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点 在圆C 上，且圆心到直线2x -y =0的距离为 ，则圆C 的方程为 ．

考点2　直线与圆的位置关系

例题

【例1 】（2013·陕西文·8）　已知点M (a ，b )在圆O ：x ² +y ² =1外，则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是（　　）

A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定

条件 　（1）某点（x ₀ ，y ₀ ）在圆(x -x ₁ )² +(y -y ₁ )² =R ² 外⇒(x ₀ -x ₁ )² +(y ₀ -y ₁ )² ＞R ² ．

（2）确定直线与圆的关系（找圆心到直线距离与半径）：

①d >R ⇒相离；

②d =R ⇒相切；

③d <R ⇒相交．

解析 　因为点M (a ，b )在圆O ：x ² +y ² =1外，所以a ² +b ² ＞1，又 ，R =1，同时有a ² +b ² ＞1，所以 ，因此圆O 与直线的位置关系为相交．故选：B．

【例2 】（2015·广东理·21，文·20）　已知过原点的动直线l 与圆C ₁ ：x ² +y ² -6x +5=0相交于不同的两点A ，B ．

（1）求圆C ₁ 的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

（3）是否存在实数k ，使得直线L ：y =k (x -4)与曲线c 只有一个交点．若存在k ，求出其取值范围；若不存在，说明理由．

条件 　（1）中点坐标公式：设A (x_A ，y_A )，B (x_B ，y_B )，则AB 中点为 ．

（2）直线与曲线c 只有一个交点⇒切线．

解析 　（1）将圆C ₁ 化成标准式，得(x -3)² +y ² =4，所以圆心为（3，0）．

（2）设直线l_AB ：y =kx ，设A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y ₂ )，M (x ，y )，联立 得：(1+k ² )x ² -6x +5=0．

所以 ， ，因此知 ， ．

消去k ，知x ² +y ² -3x =0，又因为是相交于两点，所以Δ ＞0，即36-4×(1+k ² )·5＞0，且讨论直线AB 与圆C ₁ 相切时，可得 ，所以曲线c ：x ² +y ² -3x =0， ．

（3）存在．联立曲线c 与直线l 的方程，知 ⇒(1+k ² )x ² -(8k ² +3)x +16k ² =0．

①当l 与c 相切时，则有Δ =[-(8k ² +3)]² -4(1+k ² )·16k ² =0，即9-16k ² =0，所以 ．代入联立后的方程，解得 ．

故 时，曲线c 与直线l 只有一个交点．

②当l 与c 相交时，如图所示，直线l 应被夹在直线PN 与直线QN 之间，则k_l ∈(k_PN ，k_QN )，且PQ 关于x 轴对称，所以只需求出k_QN ．又 ， ， ，所以 ，因此 ．综上， ．

【例3 】（2014·安徽文·6）　过点 的直线l 与圆x ² +y ² =1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（　　）．

条件 　（1）直线l 与圆有公共点⇒d ≤R ．

（2）k =tanθ 的转化．

解析 　（1）设过点 的直线为l ： ．因为 ，所以 ．

（2）当k 不存在时， 与x ² +y ² =1无交点，因此不符合．

设直线l 的倾斜角为θ ，则 ，因此 ．故选：D．

【例4 】（2013·重庆文·4）　设P 是圆(x -3)² +(y +1)² =4上的动点，Q 是直线x =-3上的动点，则|PQ |的最小值为（　　）．

A．6
B．4
C．3
D．2

条件 　

解析 　因为圆心到直线的距离d =6，R =2，所以|PQ |_min =6-2=4．故选：B．

【例5 】（2015·吉安期中）　若圆(x -1)² +(y +1)² =R ² 上有且仅有两个点到直线4x +3y -11=0的距离等于1，则半径R 的取值范围是（　　）．

A．R ＞1
B．R ＜3
C．1＜R ＜3
D．R ≠2

条件 　等距点个数为2个⇒分界点法．

解析 　因为圆心到直线的距离 ，有且仅有两个点到直线4x +3y -11=0的距离等于1，所以|R -d |＜1，即1＜R ＜3．故选：C．

总结

（1）直线与圆的位置关系判断的方法：①代数法；②几何法．

（2）

练习

1．（2012·安徽文·9）　若直线x -y +1=0与圆(x -a )² +y ² =2有公共点，则实数a 取值范围是（　　）．

A．[-3，-1]
B．[-1，3]
C．[-3，1]
D．(-∞，-3]∪[1，+∞)

2．（2015·新课标1文·20）　已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C (x -2)² +(y -3)² =1交于M ，N 两点．

（1）求k 的取值范围；

（2）若 ，其中O 为坐标原点，求|MN |．

3．（2014·华中师大附中月考）　求圆x ² +y ² -2x -2y +1=0上的动点Q 到直线3x +4y +8=0距离的最小值．

4．（2013·吉安一中月考）　若圆x ² +y ² -6x -2y +6=0上有且仅有三个点到直线ax -y +1=0（a 是实数）的距离为1，则a 等于（　　）．

考点3　弦长问题

例题

【例1 】（2012·北京文·9）　直线y =x 被圆x ² +(y -2)² =4截得弦长为 ．

条件 　弦心三角形． ．

解析 　因为圆心到直线的距离 ，R =2，所以 ，所以(AB )² =8，即 ．

【例2 】（2014·重庆文理·14）　已知直线x -y +a =0与圆心为C 的圆x ² +y ² +2x -4y -4=0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为 ．

条件 　（1）BC ² +AC ² =AB ² ．

（2）利用等腰三角形⇒圆心到直线AB 的距离．

解析 　易知圆心C (-1，2)，R =3，所以知圆心C 到直线AB 的距离 ，即 ，即|a -3|=3．所以a =0或a =6．

【例3 】（2015·定州期末）　过点M (1，2)的直线l 将圆(x -2)² +y ² =9分成两段弧，其中的劣弧最短时直线l 的方程为 ．

条件 　（1）劣弧最短⇒所对应的弦最短．

（2）过圆内一点的最长弦为直径，最短弦为过该点与直径垂直的弦．

解析 　如图所示，易知k_OM =-2，所以 ，所以直线l 的方程为 ．

【例4 】（2014·福建理·6）　直线l ：y =kx +1与圆O ：x ² +y ² =1相交于A ，B 两点，则“k =1”是“△AOB 的面积为 ”的（　　）．

A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

条件 　（1）直线与圆相交，则d ＜R （d 是圆心到直线的距离）．

（2） ．

解析 　圆心到直线的距离 ， ．

当k =1时，则 ， ，所以 ，则充分性成立．若 ，则

解得k =±1，则k =1不成立，即必要性不成立．

故k =1是△AOB 的面积为 的充分不必要条件．故选：A．

总结

（1）弦心三角形： ．

（2）过圆内一点所作的弦最长是直径，最短弦是垂直于直径的弦．

练习

1．（2013·安徽文·6）　直线 被圆x ² +y ² -2x -4y =0截得的弦长为（　　）．

A．1
B．2
C．4
D．

2．（2015·湖南文·13）　若直线3x -4y +5=0与圆x ² +y ² =r ² （r ＞0）相交于两点A ，B ，且∠AOB =120°（O 为坐标原点），则r = ．

3．（2015·南通三模）　P (2，-1)为圆(x -1)² +y ² =25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（　　）．

A．x -y -3=0
B．2x +y -3=0
C．x +y -1=0
D．2x -y -5=0

4．（2016·新课标1文·15）　设直线y =x +2a 与圆C ：x ² +y ² -2ay -2=0相交于A ，B 两点，若 ，则圆C 的面积为 ．

考点4　切线问题

例题

【例1 】（2015·广东理·5）　平行于直线2x +y +1=0且与圆x ² +y ² =5相切的直线的方程是（　　）．

条件 　（1）与直线ax +by +c =0平行的直线可设为ax +by +m =0．

（2）相切：圆心到直线距离等于半径．

解析 　因为平行于直线2x +y +1=0，所以可设直线为2x +y +m =0．

又由与圆x ² +y ² =5相切可知， ，则m =±5，即直线为2x +y +5=0或2x +y -5=0．故选：D．

【例2 】（2013·天津文·5）　已知过点P (2，2)的直线与圆(x -1)² +y ² =5相切，且与直线ax -y +1=0垂直，则a =（　　）．

条件 　（1）两直线垂直⇒k ₁ k ₂ =-1．

（2）点P 在圆上，且直线与圆相切．

解析 　如图所示，易知 ．

因为OP ⊥l ，所以 ．又l 与直线ax -y +1=0垂直，因此，直线ax -y +1=0的斜率为2，所以a =2，故选：C．

【例3 】（2015·重庆理·8）　已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆O ：x ² +y ² -4x -2y +1=0的对称轴，过点A (-4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |=（　　）．

条件 　（1）圆的对称轴为直径．

（2）切点三角形．

解析 　因为直线x +ay -1=0是圆x ² +y ² -4x -2y +1=0的对称轴，所以直线x +ay -1=0经过圆心（2，1）．则2+a -1=0，即a =-1．

所以A (-4，-1)．如图所示， ，R =2，所以AB =6．故选：C．

总结

（1）平行线的设法；若l ：ax +by +c =0，当l ₁ //l 时，可设l ₁ 的方程为ax +by +m =0．

（2）两直线垂直，则k ₁ k ₂ =-1．

（3）圆的对称轴为直径．

（4）掌握弦切三角形的关系．

练习

1．（2015·安徽文·8）　直线3x +4y =b 与圆x ² +y ² -2x -2y +1=0相切，则b =（　　）．

A．-2或12
B．2或-12
C．-2或-12
D．2或12

2．（2015·山东理·9）　一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射与圆(x +3)² +(y -2)² =1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（　　）．

3．（2015·山东文·13）　过点P 作x ² +y ² =1的切线，切点分别为A ，B ，则 = ．

考点5　圆与圆的位置关系

例题

（2014·湖北文·6）　若圆C ₁ ：x ² +y ² =1与圆C ₂ ：x ² +y ² -6x -8y +m =0外切，则m =（　　）．

A．21
B．19
C．9
D．-11

条件 　两圆外切⇒d =R ₁ +R ₂ ．

解析 　因为C ₁ 的圆心为（0，0），R ₁ =1，C ₂ 的圆心为（3，4）， ，且有 ，则由 知， ．故25-m =16，即m =9．故选：C．

总结

两圆的位置关系可全部转化成点与点的距离问题．

练习

（2016·山东文·7）　已知圆M ：x ² +y ² -2ay =0（a ＞0）截直线x +y =0所得线段的长度是 ，则圆M 与圆N ：(x -1)² +(y -1)² =1的位置关系是（　　）．

A．内切
B．相交
C．外切
D．相离

优秀是一种习惯，不优秀也是一种习惯，那为什么不一直优秀下去！

——萌萌（王勇老师）

创新的源泉在于你相信：但凡有生命的事情，一定有比当下更有效的办法．

——萌萌（王勇老师）

停下来想想你是不是正在努力把你的青春献给了money而不是dream．

——萌萌（王勇老师）

想学好数学，你最好拿出你八卦时的那份激情！

——萌萌（王勇老师）

我希望我的学生不要被我深深的内涵所吸引，而要被我帅气的外表所折服！毕竟学好数学的第一步就是喜欢上你的数学老师．

——萌萌（王勇老师）

寻求题目的解法道路是寂寞的，但是每一个分叉路口都有惊喜，请举起手机拍一下沿途的风景．

——萌萌（王勇老师）

很多时候，乐观的态度和好听的话帮不了你．

——冷冷的隆兄（袁龙老师）

又一天过去了，今天过得怎么样，梦想是不是更远了？

——冷冷的隆兄（袁龙老师）

回首青春，我发现自己失去了很多宝贵的东西．但我并不难过，因为我知道，以后会失去的更多．

——冷冷的隆兄（袁龙老师）

秋天是收获的季节．别人的收获是成功与快乐，你的收获是认识到并不是每个人都会成功与快乐．

——冷冷的隆兄（袁龙老师）

你只需看着别人退步，因为你在进步；还是你看着别人进步，因为你在退步！

——冷冷的隆兄（袁龙老师）

你努力后的成功，难道不能弥补你成功前的痛苦？

哦！那也许是你还没体会过成功！

——冷冷的隆兄（袁龙老师）

假如今天数学伤害了你，不要悲伤，不要哭泣，因为明天数学还会继续伤害你．

——冷冷的隆兄（袁龙老师）

你努力后的成功，难道不能弥补你成功前的痛苦？

哦！那也许是你还没体会过成功！

——冷冷的隆兄（袁龙老师）