【考点 】　直线与椭圆等基础知识．

51．（1） 或 ；（2）存在．

【解析 】　（1）由题设可得 ， ，或 ， ．

因为 ，故 在 处的倒数值为 ，C 在 处的切线方程为 ，即 ，故 在 处的倒数值为 ，C 在 处的切线方程为 ，即 ，故所求切线方程为 或 ．

（2）存在符合题意的点，证明如下：

设P (0，b )为符合题意的点，M (x ₁ ，y ₁ )，N (x ₂ ，y ₂ )，直线PM ，PN 的斜率分别为k ₁ ，k ₂ ．将y =kx +a 代入C 的方程，整理得x ² -4kx -4a =0．所以x ₁ +x ₂ =4k ，x ₁ x ₂ =-4a ，所以 ．

当b =-a 时，有k ₁ +k ₂ =0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM =∠OPN ，所以P (0，-a )符合题意．

【考点 】　抛物线的切线；直线与抛物线的位置关系．

52．（1） ；（2）为定值 ．

【解析 】　（1）由题设得 ，又知点的坐标满足椭圆的方程，所以 ，联立解得a ² =8，b ² =4，所以切线C 的方程为 ．

（2）设A ，B 两点的坐标为（x ₁ ，y ₁ ），（x ₂ ，y ₂ ），点M 的坐标为（m ，n ）， ．则 ， ，上面两个式子相减，得 ，变形得 ，所以 （定值）．

【考点 】　直线与椭圆的相交问题；中点弦问题．

53．（1） ；（2） 在以AB 为直径的圆外．

【解析 】　解法1：（1）由已知得 解得 所以椭圆E 的方程为 ．

（2）设点A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y ₂ )，AB 中点为H (x ₀ ，y ₀ )．

由 得(m ² +2)y ² -2my -3=0，所以 ， ，从而 ，所以 ．

， ，所以 ，故 在以AB 为直径的圆外．

解法2：（1）同解法1．

（2）设点A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y ₂ )，则 ， ．

由 得(m ² +2)y ² -2my -3=0，所以 ， ，从而 ，所以 ．又 ， 不共线，所以∠AGB 为锐角．故点 在以AB 为直径的圆外．

【考点 】　椭圆的标准方程；直线和椭圆的位置关系；点和圆的位置关系．

54．（1） ；（2） ，②详见解析．

【解析 】　（1）由C ₁ ：x ² =4y 知其焦点F 的坐标为（0，1），因为F 也是椭圆C ₂ 的一焦点，所以a ² -b ² =1①，又C ₁ 与C ₂ 的公共弦的长为 ，C ₁ 与C ₂ 都关于y 轴对称，且C ₁ 的方程为x ² =4y ，由此易知C ₁ 与C ₂ 的公共点的坐标为 ，所以 ，联立①，②，得a ² =9，b ² =8，故C ₂ 的方程为 ．

（2）A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y ₂ )，C (x ₃ ，y ₃ )，D (x ₄ ，y ₄ )．

因为 与 同向，且|AC |=|BD |，所以 ，从而x ₃ -x ₁ =x ₄ -x ₂ ，即x ₁ -x ₂ =x ₃ -x ₄ ，于是(x ₁ +x ₂ )² -4x ₁ x ₂ =(x ₃ +x ₄ )² -4x ₃ x ₄ ③，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y =kx +1，由 得x ² +16kx -64=0，而x ₁ ，x ₂ 是这个方程的两根，所以x ₁ +x ₂ =4k ，x ₁ x ₂ =-4④，由 得(9+8k ² )x ² +16kx -64=0，而x ₃ ，x ₄ 是这个方程的两根，所以 ， ，将④，⑤代入③，得 ，即 ，所以(9+8k ² )² =16×9，解得 ，即直线l 的斜率为 ．

②由x ² =4y ，得 ，所以C ₁ 在点A 处的切线方程为 ，即 ，令y =0，得 ，即 ，所以 ，而 ，于是 ，因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD =180°-∠AFM 是钝角，故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．

【考点 】　椭圆的标准方程及其几何性质；直线与椭圆的位置关系．

55．（1） ；（2） ．

【解析 】　（1）由C ₁ ：x ² =4y ，知其焦点F 的坐标为（0，1），因为F 也是椭圆C ₂ 的一个焦点，所以a ² -b ² =1①．又C ₁ 与C ₂ 的公共弦长为 ，C ₁ 与C ₂ 都关于y 轴对称，且C ₁ 的方程为C ₁ ：x ² =4y ，由此易知C ₁ 与C ₂ 的公共点的坐标为 ，所以 ．联立①，②，得a ² =9，b ² =8，故C ² 的方程为 ．

（2）如图，设A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y ₂ )，C (x ₃ ，y ₃ )，D (x ₄ ，y ₄ )，因 与 同向，且|AC |=|BD |，所以 ，从而x ₃ -x ₁ =x ₄ -x ₂ ，即x ₃ -x ₄ =x ₁ -x ₂ ，于是(x ₃ +x ₄ )² -4x ₃ x ₄ =(x ₁ +x ₂ )² -4x ₁ x ₂ ③．

设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y =kx +1．由 得x ² -4kx -4=0，由x ₁ ，x ₂ 是这个方程的两根，得x ₁ +x ₂ =4k ，x ₁ x ₂ =-4④．由 得(9+8k ² )x ² +16kx -64=0，而x ₃ ，x ₄ 是这个方 程的两根，故 ， ，将④，⑤代入③，得 ，即 ，所以(9+8k ² )² =16×9，解得 ，即直线l 的斜率为 ．

【考点 】　直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的几何性质．

极坐标与参数方程

56．6．

【考点 】　极坐标与直角坐标的互化；点到直线的距离．

57．1．

【解析 】　先把点 的极坐标化为直角坐标 ，再把直线的极坐标方程 化为直角坐标方程 ，利用点到直线距离公式，得 ．

【考点 】　极坐标与直角坐标的互化；点到直线的距离．

58．x ² +(y -1)² =1．

【解析 】　将极坐标化为直角坐标，求解即可．

曲线C 的极坐标方程为 ，所以 ，它的直角坐标方程为x ² +y ² =2y ，所以x ² +(y -1)² =1，故答案为x ² +(y -1)² =1．

【考点 】　圆的极坐标方程．

59．（1）(x -1)² +(y +2)² =9，x -y -m =0；（2） ．

【解析 】　（1）消去参数t ，得到圆的普通方程为(x -1)² +(y +2)² =9，由 ，得 ，所以直线l 的直角坐标方程为y -x -m =0．

（2）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即 ，解得 ．

【考点 】　参数方程和普通方程的互化；极坐标和直角坐标方程的互化；点到直线的距离．

60． ．

【解析 】　直线l 的极坐标方程为 ，对应的直角坐标方程为y -x =1，点A 的极坐标为 ，它的直角坐标为（2，-2）．点A 到直线l 的距离为 ．

【考点 】　简单曲线的极坐标方程．

61．（1）x ² +y ² -2x =0；（2）18．

【解析 】　（1） 等价于 ，将 ， 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是x ² +y ² -2x =0．

（2）将 代入x ² +y ² -2x =0，得 ．设这个方程的两个实根分 别为t ₁ ，t ₂ ，则由参数t 的几何意义，知|MA |·|MB |=|t ₁ t ₂ |=18．

【考点 】　直线参数方程中t 的几何意义．

62．（2，π）．

【解析 】　由直线l 的参数方程 （t 为参数），得直线方程为x -y +2=0①；由 ，得 ，故x ² -y ² =4②．联立①，②： 易得交点坐标（-2，0），较易得交点的极坐标为（2，π）．

【考点 】　参数方程的化简；直角坐标系与极坐标的转化．

63．（1） ；（2）（3，0）．

【解析 】　（1）由 ，得 ，从而有 ，所以 ．

（2）设 ，又 ，则 ，故当t =0时，|PC |取得最小值，此时P 点的坐标为（3，0）．

【考点 】　坐标系与参数方程的转化；点与圆的位置关系．

64．（1） ；（2） ．

【解析 】　（1）因为 ， ，所以C ₁ 的极坐标方程为 ，C ₂ 的极坐标方程为 ．

（2）将 代入 ，得 ，解得 ， ，故 ，即 ．由于C ₂ 的半径为1，所以△C ₂ MN 的面积为 ．

【考点 】　直线与圆的极坐标方程．

65．（1）（0，0）， ；（2）4．

【解析 】　（1）曲线C ₂ 的直角坐标方程为x ² +y ² -2y =0，曲线C ₃ 的直角坐标方程为 ，联立解得 或 所以C ₂ 与C ₃ 交点的直角坐标为（0，0）， ．

（2）曲线C ₁ 极坐标方程为 ，其中0≤α ≤π，因此点A 的极坐标为（2sinα ，α ），点B 的极坐标为 ，所以 ．当 时，|AB |取得最大值，最大值为4．

【考点 】　参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化．

66．（2，-4）．

【解析 】　曲线C ₁ 的直角坐标系方程为x +y =-2，曲线C ₂ 的直角坐标方程为y ² =8x ．联立方程 解得 ，所以 ^C ₁ 与C ₂ 交点的直角坐标为（2，-4）．

【考点 】　简单曲线的极坐标方程．

67． ．

【解析 】　因为 ，所以 ，所以y -3x =0，即y =3x ．由 消去t 得y ² -x ² =4，联立方程组 解得 或 即 ， ．

由两点间的距离公式，得 ．

【考点 】　极坐标方程、参数方程与普通方程的转化；两点间的距离．

第9章　解析几何2016年真题必刷

直线与圆

1．C．

【解析 】　圆心坐标为（-1，0），由点到直线的距离公式可知 ．故选：C．

【考点 】　点到直线的距离．

2．4．

【解析 】　因为 ，且圆的半径为 ，所以圆心（0，0）到直线 的距离为 ，则由 ，解得 ，代入直线l 的方程，得 ，所以直线l 的倾斜角为30°，由平面几何知识知在梯形ABDC 中， ．

【考点 】　圆的弦长公式．

3．4．

【考点 】　直线与相交的弦长．

4．4π．

【解析 】　圆C ：x ² +y ² -2ay -2=0，即C ：x ² +(y -a )² =a ² +2，圆心为C (0，a )，由 ，C 到直线y =x +2a 的距离为 ，所以由 ，得a ² =2，所以圆的面积为π(a ² +2)=4π．

【考点 】　圆的弦长公式．

5．A．

【解析 】　圆的方程可化为(x -1)² +(y -4)² =4，所以圆心坐标为（1，4），由点到直线的距离公式得 ，解得 ．故选：A．

【考点 】　点到直线的距离．

6．B．

【解析 】　由x ² +y ² -2ay =0（a ＞0），得x ² +(y -a )² =a ² （a ＞0），所以圆M 的圆心为（0，a ），半径为r ₁ =a ，因为圆M 截直线x +y =0所得线段的长度是 ，所以 ，解得a =2．圆N 的圆心为（1，1），半径为r ₂ =1，所以 ，r ₁ +r ₂ =3，r ₁ -r ₂ =1，因为r ₁ -r ₂ ＜|MN |＜r ₁ +r ₂ ，所以圆M 与圆N 相交．故选：B．

【考点 】　圆的弦长公式；圆与圆的关系．

7．(x -2)² +y ² =9．

【解析 】　设C (a ，0)（a ＞0），则 ， ，故圆C 的方程为(x -2)² +y ² =9．

【考点 】　点到直线的距离．

8．（-2，-4），r =5．

【考点 】　圆的一般方程．

9．（1）(x -6)² +(y -1)² =1；（2）2x -y +5=0或2x -y -15=0；

（3） ．

【解析 】　圆M 的标准方程为(x -6)² +(y -7)² =25，所以圆心M (6，7)，半径为5．

（1）由圆心在直线x =6上，可设N (6，y ₀ )．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y ₀ ＜7，于是设圆N 的半径为y ₀ ，从而7-y ₀ =5+y ₀ ，解得y ₀ =1．

因此，圆N 的标准方程为(x -6)² +(y -1)² =1．

（2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为 ．

设直线l 的方程为y =2x +m ，即2x -y +m =0，则圆心M 到直线l 的距离 ．因为 ，而 ，所以 ，解得m =5或m =-15，故直线l 的方程为2x -y +5=0或2x -y -15=0．

（3）设P (x ₁ ，y ₁ )，Q (x ₂ ，y ₂ )．

因为A (2，4)，T (t ，0)， ，所以

因为点Q 在圆M 上，所以(x ₂ -6)² +(y ₂ -7)² =25②．

将①代入②，得(x ₁ -t -4)² +(y ₁ -3)² =25．于是点P (x ₁ ，y ₁ )既在圆M 上，又在圆[x -(t +4)]² +(y -3)² =25上，从而圆(x -6)² +(y -7)² =25与圆[x -(t +4)]² +(y -3)² =25有公共点，所以 ，解得 ．

因此，实数t 的取值范围是 ．

【考点 】　直线与圆的位置关系；点到直线的距离；圆与圆的位置关系．

10． ．

【考点 】　平行直线的距离公式．

11．C．

【考点 】　线性规划类型①．

12．C．

【考点 】　线性规划类型②．

13．216000．

【解析 】　设生产产品A 、产品B 分别为x ，y 件，利润之和为z 元，那么

目标函数z =2100x +900y ．

二元一次不等式组①等价于

作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域．

将z =2100x +900y 变形，得 ，平行直线 ，当直线 经过点M 时，z 取得最大值．解方程组 得M 的坐标为（60，100）．所以当x =60，y =100时，z _max =2100×60+900×100=216000．

【考点 】　线性规划的实际应用．

14．-5．

【解析 】　由 得 点A (1，2)．由 得 点B (3，4)．由 得 点C (3，0)．分别将A ，B ，C 代入z =x -2y ，得z_A =-3，z_B =-5，z_C =3，所以z =x -2y 的最小值为-5．

【考点 】　线性规划的形式①．

15． ．

【考点 】　线性规划的形式①．

16．-10．

【解析 】　可行域为一个△ABC 及其内部，其中A (1，0)，B (-1，-1)，C (1，3)，直线z =2x +3y -5过点B 时取最小值-10．

【考点 】　线性规划的形式①．

17．C．

【考点 】　线性规划的形式③．

18．-2．

【考点 】　线性规划的形式①．

19．B．

【考点 】　线性规划的形式①．

20．B．

【考点 】　平行线间的距离．

21． ．

【解析 】　在平面直角坐标系中画出可行域如图，x ² +y ² 为可行域内的点到原点距离的平方．

可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点A 到直线2x +y -2=0的距离， ，则 ，图中B 点距离原点最远，B 点为x -2y +4=0与3x -y -3=0交点，则B (2，3)，则(x ² +y ² )_max =13．

【考点 】　线性规划类型③．

圆锥曲线

22．2．

【解析 】　双曲线的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，所以渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y =±x ，即a =b ．

因为正方形OABC 的边长为2，所以 ，即 ，则a ² +b ² =c ² =8，即2a ² =8，则a ² =4，a =2．

【考点 】　双曲线的几何性质．

23．a =1，b =2．

【解析 】　依题意有 结合c ² =a ² +b ² ，解得a =1，b =2．

【考点 】　双曲线的渐近线方程．

24．A．

【解析 】　由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，所以m ² +n +3m ² -n =4，解得m ² =1．因为方程 表示双曲线，所以 解得 ，所以n 的取值范围是 （-1，3）．故选：A．

【考点 】　双曲线的一般方程．

25．B．

【解析 】　设抛物线方程为y ² =2px ，AB ，DE 交x 轴于C ，F 点，则 ，即A 点纵坐标为 ，则A 点横坐标为 ，即 ，由勾股定理知DF ² +OF ² =DO ² =r ² ，AC ² +OC ² =AO ² =r ² ，即 ，解得p =4，即C 的焦点到准线的距离为4．故选：B．

【考点 】　抛物线的准线．

26．B．

【解析 】　由题意知在椭圆中，OF =c ，OB =b ， ．

在Rt△OFB 中，|OF |×|OB |=|BF |×|OD |，且a ² =b ² +c ² ，代入解得a ² =4c ² ，所以得离心率为 ．故选：B．

【考点 】　椭圆的离心率．

27．A．

【解析 】　因为MF ₁ 垂直于x 轴，所以 ， ，因为 ，即 ，化简得b =a ，故双曲线离心率 ．故选：A．

【考点 】　双曲线的通径长；双曲线的离心率．

28．D．

【考点 】　抛物线的概念和对称性．

29．A．

【解析 】　由题意设直线l 的方程为y =k (x +a )，分别令x =-c 与x =0，得|FM |=k (a -c )，|OE |=ka ，由△OBE ∽△CBM ，得 ，即 ，整理得 ，所以椭圆离心率为 ．故选：A．

【考点 】　椭圆的离心率．

30．2．

【解析 】　易得 ， ，所以 ，|BC |=2c ．由2|AB |=3|BC |，c ² =a ² +b ² ，得离心率e =2或 （舍去），所以离心率为2．

【考点 】　双曲线的离心率．

31．D．

【解析 】　由题意，y ² =4x 的焦点坐标为（1，0）．故选：D．

【考点 】　抛物线的方程．

32．D．

【解析 】　根据对称性，不妨设A 在第一象限，A (x ，y )，所以 所以 ，故双曲线的方程为 ．故选：D．

【考点 】　双曲线的方程．

33．A．

【解析 】　由题意得 ， ， ．故选：A．

【考点 】　双曲线的方程．

34． ．

【解析 】　抛物线的普通方程为y ² =2px ， ， ，又|CF |=2|AF |，则 ，由抛物线的定义得 ，所以x_A =p ，则 ．由CF ∥AB 得 ，即 ，所以 ， ，所以 ， ．

【考点 】　抛物线的方程．

35．A．

【解析 】　由题意知m ² -1=n ² +1，即m ² =n ² +2， ，代入m ² =n ² +2，得m ＞n ，(e ₁ e ₂ )² ＞1．故选：A．

【考点 】　椭圆与双曲线的离心率．

36．9．

【解析 】　x_M +1=10⇒x_M =9．

【考点 】　抛物线的焦半径．

37． ．

【解析 】　由已知a =1， ，c =2，则 ，设P (x ，y )是双曲线上任一点，由对称性不妨设P 在右支上，则1＜x ＜2，|PF ₁ |=2x +1，|PF ₂ |=2x -1，∠F ₁ PF ₂ 为锐角，则|PF ₁ |² +|PF ₂ |² ＞|F ₁ F ₂ |² ，即(2x +1)² +(2x -1)² ＞4² ，解得 ，所以 ， ．

【考点 】　双曲线的定义．

38． ．

【解析 】　因为a ² =7，b ² =3，所以c ² =a ² +b ² =7+3=10，则 ，即 ．

【考点 】　双曲线的方程．

39． ．

【解析 】　由题意得 ， ，因此 ．

【考点 】　椭圆的离心率．

40．（1） ；（2）定值为4．

【解析 】　（1）由题意可得 ，又△OAB 的面积为1，可得 ，且a ² -b ² =c ² ，解得a =2，b =1， ，可得椭圆C 的方程为 ．

（2）证法1：设椭圆上点P (x ₀ ，y ₀ )，可得 ．

直线PA ： ，令x =0，可得 ，则 ；

直线PB ： ，令y =0，可得 ，则 ．

证法2：设P (2cosθ ，sinθ )，（0≤θ ＜2π）．

直线PA ： ，令x =0，可得 ，则 ；

直线PB ： ，令y =0，可得 ，则 ．

【考点 】　直线与椭圆的位置关系．

41．（1） ， ；（2）定值为2．

【解析 】　（1）由题意得，a =2，b =1．所以椭圆C 的方程为 ．又 ，所以离心率 ．

（2）设P (x ₀ ，y ₀ )（x ₀ ＜0，y ₀ ＜0），则 ．又A (2，0)，B (0，1)，所以直线PA 的方程为 ．

令x =0，得 ，从而 ．

直线PB 的方程为 ，令y =0，得 ，从而 ．所以四边形ABNM 的面积

从而四边形ABNM 的面积为定值．

【考点 】　椭圆的离心率；对角线垂直的四边形的面积．

42．（1） （y ≠0）；（2） ．

【解析 】　（1）因为|AD |=|AC |，EB //AC ，故∠EBD =∠ACD =∠ADC ，所以|EB |=|ED |，故|EA |+|EB |=|EA |+|ED |=|AD |．

又圆A 的标准方程为(x +1)² +y ² =16，从而|AD |=4，所以|EA |+|EB |=4．

由题设得A (-1，0)，B (1，0)，|AB |=2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为 （y ≠0）．

（2）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y =k (x -1)（k ≠0），M (x ₁ ，y ₁ )，N (x ₂ ，y ₂ )．

由 得(4k ² +3)x ² -8k ² x +4k ² -12=0，则 ， ，所以 ．

过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ： ，A 到m 的距离为 ，所以 ．故四边形MPNQ 的面积 ．

可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为 ．

当l 与x 轴垂直时，其方程为x =1，|MN |=3，|PQ |=8，四边形MPNQ 的面积为12．

综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为 ．

【考点 】　椭圆的离心率；对角线垂直的四边形的面积．

43．（1）2；（2）没有．

【解析 】　（1）由已知得M (0，t )， ．

又N 为M 关于点P 的对称点，故 ，ON 的方程为 ，代入y ² =2px ，整理得px ² -2t ² x =0，解得x ₁ =0， ，因此 ．所以N 为OH 的中点，即 ．

（2）直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：

直线MH 的方程为 ，即 ．代入y ² =2px ，得y ² -4ty +4t ² =0，解得y ₁ =y ₂ =2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．

【考点 】　抛物线的概念；直线与抛物线的交点问题．

44．（1） ；（2） ．

【解析 】　（1）设M (x ₁ ，y ₁ )，则由题意知y ₁ ＞0，当t =4时，E 的方程为 ，A (-2，0)．

由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为 ．因此直线AM 的方程为y =x +2．

将x =y -2代入 ，得7y ² -12y =0，解得y =0或 ，所以 ．

因此 ．

（2）由题意t ＞3，k ＞0， ．

将直线AM 的方程 代入 ，得 ．

由 ，得 ，故 ．

由题设，直线AN 的方程为 ，故同理可得 ，由2|AM |=|AN |，得 ，即(k ³ -2)t =3k (2k -1)．

当 时上式不成立，因此 ．t ＞3等价于 ，即 ．由此得 或 解得 ．因此k 的取值范围是 ．

【考点 】　坐标化值坐标比问题．

45．（1） ；（2）详见解析．

【解析 】　（1）设M (x ₁ ，y ₁ )，则由题意知y ₁ ＞0．

由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为 ．又A (-2，0)，因此直线AM 的方程为y =x +2．将x =y -2代入 ，得7y ² -12y =0，解得y =0（舍去）或 ．

因此△AMN 的面积 ．

（2）将直线AM 的方程y =k (x +2)（k ＞0）代入 ，得(3+4k ² )x ² +16k ² x +16k ² -12=0．

由 ，得 ，故 ．

由题设，直线AN 的方程为 ，故同理可得 ．

由2|AM |=|AN |得 ，即4k ³ -6k ² +3k -8=0．

设f (t )=4t ³ -6t ² +3t -8，则k 是f (t )的零点，f′ (t )=12t ² -12t +3=3(2t -1)² ≥0，所以f (t )在（0，+∞）单调递增，又 ，f (2)=6＞0，因此f (t )在（0，+∞）有唯一的零点，且零点k 在 内，所以 ．

【考点 】　椭圆的性质；直线与椭圆的位置关系．

46．（1）略；（2）y ² =x -1．

【解析 】　由题设 ．设l ₁ ：y =a ，l ₂ ：y =b ，则ab ≠0，且 ， ， ， ， ．

记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x -(a +b )y +ab =0．

（1）由于F 在线段AB 上，故1+ab =0．

记AR 的斜率为k ₁ ，FQ 的斜率为k ₂ ，则 ，所以AR ∥FQ ．

（2）设l 与x 轴的交点为D (x ₁ ，0)，则 ， ．

由题设可得 ，所以x ₁ =0（舍去），x ₂ =1．

设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．

当AB 与x 轴不垂直时，由k_AB =k_DE 可得 （x ≠1），而 ，所以y ² =x -1（x ≠1）．

当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以，所求轨迹方程为y ² =x -1．

【考点 】　相关关系法求轨迹方程．

47．（1）x ² +4y ² =1；（2）①略， ．

【解析 】　（1）由题意知 ，解得a =2b ．因为抛物线E 的焦点为 ，所以a =1， ，所以椭圆的方程为x ² +4y ² =1．

（2）①设 （m ＞0），由x ² =2y 可得y′ =x ，所以直线l 的斜率为m ，其直线方程为 ，即 ．

设A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y ₂ )，D (x ₀ ，y ₀ )，联立方程组 消去y 并整理可得(4m ² +1)x ² -4m ³ x +m ⁴ -1=0，故由其判别式Δ ＞0，可得 且 ，故 ，代入 可得 ，因为 ，所以直线OD 的方程为 ．

联立 可得点M 的纵坐标为 ，即点M 在定直线 上．

②由①知直线l 的方程为 ，令x =0，得 ，所以 ．

又 ， ， ，所以 ， ，所以 ，令t =2m ² +1，则 ，因此当 （即t =2）时， 最大，其最大值为 ，此时 满足Δ ＞0，所以点P 的坐标为 ，因此 的最大值为 ，此时点P 的坐标为 ．

【考点 】　直线与椭圆相交．

48．（1） ；（2）①定值为-3，② ．

【解析 】　（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意知2a =4， ，所以a =2， ，所以椭圆C 的方程为 ．

（2）①设P (x ₀ ，y ₀ )（x ₀ ＞0，y ₀ ＞0），由M (0，m )，可得P (x ₀ ，2m )，Q (x ₀ ，-2m )．所以直线PM 的斜率 ，直线QM 的斜率 ．此时 ，所以 为定值-3．

②设A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y x ₂ )，直线PA 的方程为y =kx +m ，直线QB 的方程为y =-3kx +m ．联立 整理得(2k ² +1)x ² +4mkx +2m ² -4=0．

由 ，可得 ，所以 ．

同理 ， ，

所以 ，

，

所以 ．

由m ＞0，x ₀ ＞0，可知k ＞0，所以 ，等号当且仅当 时取得．

此时 ，即 时，符合题意．

所以直线AB 的斜率的最小值为 ．

【考点 】　直线与椭圆相交．

49．（1） ；（2）l 的斜率为 ．

【解析 】　（1）设A （x _A ，y _A ）．

由题意，F ₂ (c ，0)， ， ，因为△F ₁ AB 是等边三角形，所以 ，即4(1+b ² )=3b ⁴ ，解得b ² =2．故双曲线的渐近线方程为 ．

（2）由已知，F ₂ (2，0)．

设A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y ₂ )，直线l ：y =k (x -2)．

由 得(k ² -3)x ² -4k ² x +4k ² +3=0．

因为l 与双曲线交于两点，所以k ² -3≠0，且Δ =36(1+k ² )＞0．

由 ， ，得 ，

故 ，解得 ，故l 的斜率为 ．

【考点 】　向量在双曲线中的应用．

50．（1） ，（2，1）；（2） ．

【解析 】　（1）由已知， ，则椭圆E 的方程为 ．由方程组 得3x ² -12x +(18-2b ² )=0①．

方程①的判别式为Δ =24(b ² -3)，由Δ =0，得b ² =3，此方程①的解为x =2，所以椭圆E 的方程为 ．点T 坐标为（2，1）．

（2）由已知可设直线l′ 的方程为 （m ≠0），由方程组 可得 所以P 点坐标为 ， ．设点A ，B 的坐标分别为A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y ₂ )．由方程组 可得3x ² +4mx +(4m ² -12)=0②．

方程②的判别式为Δ =16(9-2m ² )，由Δ ＞0，解得 ．

由②得 ， ．

所以 ．

同理 ，所以 ．故存在常数 ，使得|PT |² =λ |PA |·|PB |．

【考点 】　直线与椭圆的相交问题．

51．（1） ；（2）略．

【解析 】　（1）由已知，a =2b ．又椭圆 （a ＞b ＞0）过点 ，故 ，解得b ² =1．所以椭圆E 的方程是 ．

（2）设直线l 的方程为 （m ≠0），A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y ₂ )，由方程组 得x ² +2mx +2m ² -2=0①，方程①的判别式为Δ =4(2-m ² )，由Δ ＞0，即2-m ² ＞0，解得 ．

由①得x ₁ +x ₂ =-2m ，x ₁ x ₂ =2m ² -2．所以M 点坐标为 ，直线OM 方程为 ，由方程组 得 ， ．所以 ．

又 ，所以|MA |·|MB |=|MC |·|MD |．

【考点 】　直线与椭圆的相交问题．

52．（1） ；（2） 或 ．

【解析 】　（1）设F (c ，0)，由 ，即 ，可得a ² -c ² =3c ² ，又a ² -c ² =b ² =3，所以c ² =1，因此a ² =4，所以椭圆的方程为 ．

（2）设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y =k (x -2)．设B (x_B ，y_B )，由方程组 消去y ，整理得(4k ² +3)x ² -16k ² x +16k ² -12=0．

解得x =2或 ，由题意得 ，从而 ．

由（1）知F (1，0)，设H (0，y_H )，有 ， ．由BF ⊥HF ，得 ，所以 ，解得 ．因此直线MH 的方程为 ．

设M (x_M ，y_M )，由方程组 消去y ，解得 ．在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即 ，化简得x_M ≥1，即 ，解得 或 ．

【考点 】　直线与椭圆的相交问题．

53．（1） ；（2） ．

【解析 】　（1）设F (c ，0)，由 ，即 ，可得a ² -c ² =3c ² ，又a ² -c ² =b ² =3，所以c ² =1，因此a ² =4，所以椭圆的方程为 ．

（2）设直线的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y =k (x -2)，设B (x_B ，y_B )，由方程组 消去y ，整理得(4k ² +3)x ² -16k ² x +16k ² -12=0，解得x =2或 ，由题意得 ，从而 ，由（1）知F (1，0)，设H (0，y_H )，有 ， ，由BF ⊥HF ，得 ，所以 ，解得 ，因此直线MH 的方程为 ．设M (x_M ，y_M )，由方程组 消去 y ，得 ，在△MAO 中，∠MOA =∠MAO ⇔|MA |=|MO |，即 ，化简得x_M =1，即 ，解得 或 ，所以直线l 的斜率为 ．

【考点 】　椭圆的标准方程和几何性质；直线方程．

54．（1）p =2；（2）（-∞，0）∪（2，+∞）．

【解析 】　（1）由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x =-1的距离．由抛物线得 ，即p =2．

（2）由（1）得抛物线的方程为y ² =4x ，F (1，0)，可设A (t ² ，2t )，t ≠0，t ≠±1．

因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x =sy +1（s ≠0），由 消去x 得y ² -4sy -4=0，故y ₁ y ₂ =-4，所以 ．又直线AB 的斜率为 ，故直线FN 的斜率为 ，从而得直线FN ： （x -1），直线BN ： ，所以 ，设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得 ，于是 ，经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）．

【考点 】　直线与抛物线的相交问题．

55．（1） ，（2） ．

【解析 】　（1）设直线y =kx +1被椭圆截得的线段为AP ，由 得(1+a ² k ² )x ² +2a ² kx =0，故x ₁ =0， ．因此 ．

（2）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |=|A Q |．

记直线AP ，AQ 的斜率分别为k ₁ ，k ₂ ，且k ₁ ，k ₂ ＞0，k ₁ ≠k ₂ ．

由（1）知， ， ，故 ，所以 ．由于k ₁ ≠k ₂ ，k ₁ ，k ₂ ＞0，得 ，因此 ．

因为①式关于k ₁ ，k ₂ 的方程有解的充要条件是1+a ² (a ² -2)＞1，所以 ．

因此，任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2，由 得所求离心率的取值范围为 ．

【考点 】　圆的弦长公式；椭圆的离心率．

56．（1）y ² =8x ；（2）①（2-p ，-p ），② ．

【解析 】　（1）抛物线C ：y ² =2px （p ＞0）的焦点为 ．由点 在直线l ：x -y -2=0上，得 ，即p =4．所以抛物线C 的方程为y ² =8x ．

（2）设P (x ₁ ，y ₁ )，Q (x ₂ ，y ₂ )，线段PQ 的中点M (x ₀ ，y ₀ )．因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为-1，则可设其方程为y =-x +b ．

①由 消去x ，得y ² +2py -2pb =0*．

因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y ₁ ≠y ₂ ，从而Δ =(2p )² -4(-2pb )＞0，化简得p +2b ＞0．

方程*的两根为 ，从而 ．因为M (x ₀ ，y ₀ )在直线l 上，所以x ₀ =2-p ．因此，线段PQ 的中点坐标为（2-p ，-p ）．

②因为M (2-p ，-p )在直线y =-x +b 上，所以-p =-(2-p )+b ，即b =2-2p ．

由①知p +2b ＞0，于是p +2(2-2p )＞0，所以 ．因此p 的取值范围为 ．

【考点 】　抛物线的性质．

极坐标与参数方程

57．2．

【考点 】　直角坐标与极坐标的转换．

58．（1） ；（2）a =1．

【解析 】　（1） （t 均为参数）所以x ² +(y -1)² =a ² ①，所以C ₁ 为以（0，1）为圆心、a 为半径的圆，方程为x ² +y ² -2y +1-a ² =0．因为 ， ，所以 ，此即为C ₁ 的极坐标方程．

（2）C ₂ ： ，两边同乘以 得 ．因为 ， ，所以x ² +y ² =4x ，即(x -2)² +y ² =4②．

C ₃ 化为普通方程为y =2x ，由题意，C ₁ 和C ₂ 的公共方程所在直线即为C ₃ ，①-②得，4x -2y +1-a ² =0，即为C ₃ ．所以1-a ² =0，即a =1．

【考点 】　参数方程与直角坐标的转换；极坐标与直角坐标的转换．

59．（1） ；（2） ．

【解析 】　（1）整理圆的方程，得x ² +y ² +12+11=0．

由 可知圆C 的极坐标方程为 ．

（2）记直线的斜率为k ，则直线的方程为kx -y =0，由垂径定理及点到直线距离公式，知 ，即 ，整理得 ，则 ．

【考点 】　参数方程与直角坐标的转换；极坐标与直角坐标的转换．

60．（1）C ₁ ： ，C ₂ ：x +y -4=0；（2） ， ．

【解析 】　（1）C ₁ 的普通方程为 ，C ₂ 的直角坐标方程为x +y -4=0．

（2）由题意，可设点P 的直角坐标为（ ，sinα ），因为C ₂ 是直线，所以|PQ |的最小值，即为P 到C ₂ 的距离d (α )的最小值， ．

当且仅当 时，d (α )取得最小值，最小值为 ，此时P 的直角坐标为 ．

【考点 】　参数方程与直角坐标的转换；极坐标与直角坐标的转换．

61． ．

【解析 】　椭圆C 的普通方程为 ，将直线l 的参数方程 代入 ，得 ，即7t ² +16t =0，解得t ₁ =0， ．所以 ．