参考答案

第1章　直　线

考点1　直线的倾斜角与斜率

1．B．　2．A．

考点2　直线的五种表达式及位置关系

1．【解析 】　（1）证明：直线l 的方程是：k (x +2)+(1-y )=0，令 解之得 所以无论k 取何值，直线总经过定点（-2，1）．

（2）由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为 ，在y 轴上的截距为1+2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有 解之得k ＞0；当k =0时，直线为y =1，符合题意，故k ≥0．

（3）由l 的方程，得 ，B (0，1+2k )．依题意得 解得k ＞0．因为 ，“=”成立的条件是k ＞0且 ，即 ，所以S _min =4，此时l ：x -2y +4=0．

2．B．　3．A．　4．C．　5．C．

考点3　距离和对称

1． ．

【解析 】　作点A 关于l 的对称点A′ ，则A′ (3，-3)，连接A′B 延长交l 于P ，则||PA |-|PB ||=||PA′ |-|PB ||=|A′B |，所以||PA |-|PB ||最大值为|A′B |，联立 得 ．

2．4x +3y +23=0．

【解析 】　设C 关于直线x -y +10=0的对称点为D (a ，b )，则 解得 由D (-8，11)，可知入射光线所在直线方程为AD 所在直线方程，由直线方程的两点式得 ，即4x +3y +23=0，由两点式求得入射光线所在的直线AC 的方程为 4x +3y +23=0．

3．x +2y +15=0．

【解析 】　在直线2x +y -3=0上取点A (1，1)，A 关于直线x +y +4=0的对称点为A′ ，设A′ (m ，n )，则 解之得A′ (-5，-5)．又直线l ₁ ：2x +y -3=0与直线l ₂ ：x +y +4=0的交点为B (7，-11)，所以直线A′B 的斜率是 ，所以直线A′B 的方程为x +2y +15=0，即为反射光线所在直线的方程．

考点4　线性规划

1． ．　2．B．　3．C．　4．216000．　5．C．　6．C．　7． ．　8．2或-1．　9．C．

第2章　圆

考点1　圆的方程

1．C．　2．x ² +(y -1)² =1．　3．(x -2)² +y ² =9．

考点2　直线与圆的位置关系

1．C．

2． ，|MN |=2．

【解析 】　（1）由题设，可知直线l 的方程为y =kx +1．因为l 与C 交于两点，所以 ．解得 ，所以k 的取值范围为 ．

（2）设M (x ₁ ，y ₁ )，N (x ₂ ，y ₂ )．将y =kx +1代入方程(x -2)² +(y -3)² =1，整理得 (1+k ² )x ² -4(1+k )x +7=0．所以 ， ， ．由题设可得 ，解得k =1，所以l 的方程为y =x +1．故圆心C 在l 上，所以|MN |=2．

3．2．　4．B．

考点3　弦长问题

1．C．　2．2．　3．A．　4．4π．

考点4　切线问题

1．D．　2．D．　3． ．

考点5　圆与圆的位置关系

B．

第3章　椭　圆

考点1　椭圆的定义

1．A．

【解析 】　由题意知，CD 是线段MF 的垂直平分线，所以|MP |=|PF |，所以|PF |+|PO |=|PM |+|PO |=|MO |（定值）．又显然|MO |＞|FO |，所以根据椭圆的定义可推断出点P 轨迹是以F ，O 两点为焦点的椭圆．

2．C．

【解析 】　因为F ₁ (-1，0)，F ₂ (1，0)，所以|F ₁ F ₂ |=2．因为|F ₁ F ₂ |是|PF ₁ |与|PF ₂ |的等差中项，所以2|F ₁ F ₂ |=|PF ₁ |+|PF ₂ |，即|PF ₁ |+|PF ₂ |=4，所以点P 在以F ₁ ，F ₂ 为焦点的椭圆上．又2a =4，a =2，c =1，所以b ² =3，故椭圆的方程是 ．故选：C．

考点2　椭圆的方程

1． ．　2．C．　3．C．

考点3　Ax ² +By ² =C （A ，B ，C 均不为零）是表示椭圆的条件

1．D．

【解析 】　因为方程 表示焦点在y 轴上的椭圆，所以m -3＞4-m ＞0，则 ．故选：D．

2．D．

【解析 】　根据题意，x ² -ky ² =2化为标准形式为 ，根据题意，其表示焦点在y 轴上的椭圆，则有 ，解得-1＜k ＜0．故选：D．

考点4　椭圆中三角形的面积和周长

1． ．

2．C．

【解析 】　椭圆方程为 ，所以 ，b =1，c =1．又P 为椭圆上一点，∠F ₁ PF ₂ =60°，F ₁ ，F ₂ 为左、右焦点，所以 ，|F ₁ F ₂ |=2c =2，所以|F ₁ F ₂ |² =(|PF ₁ |+|PF ₂ |)² -2|F ₁ P |·|PF ₂ |-2|F ₁ P |·|PF ₂ |cos60°=8-3|F ₁ P |·|PF ₂ |，所以 8-3|F ₁ P |·|PF ₂ |=4，即 ，则 ．故选：C．

3．C．

【解析 】　因为△F ₂ PF ₁ 是底角为30°的等腰三角形，所以|PF ₂ |=|F ₂ F ₁ |．因为P 为直线 上一点，所以 ，则 ．故选：C．

4．A．

【解析 】　由椭圆的定义可得，AF ₁ +AF ₂ =2a ，BF ₁ +BF ₂ =2a ，又因为 ，所以 ，解得 ，又因为 ，所以c =1，b ² =a ² -c ² =2，所以椭圆方程为 ，故选：A．

5．|AF ₂ |=5．

【解析 】　由|AF ₁ |=3|F ₁ B |，|AB |=4，得|AF ₁ |=3，|F ₁ B |=1．因为△ABF ₂ 的周长为16，所以由椭圆定义可得4a =16，|AF ₁ |+|AF ₂ |=2a =8，故|AF ₂ |=2a -|AF ₁ |=8-3=5．

考点5　椭圆上的点到直线的距离最值

C．

【解析 】　设直线x +y -c =0与椭圆 相切，联解消去x ，得25y ² -18cy +9c ² -144=0，所以Δ =(-18c )² -4×25×(9c ² -144)=0，解之得c =5或c =-5，所以与直线x +y -6=0平行且与椭圆相切的直线方程为x +y ±5=0，其中与直线x +y -6=0距离较近的是x +y -5=0，且距离为 ，故P 到直线x +y -6=0的最小距离为 ，故选：C．

考点6　直线斜率

1．D．

【解析 】　设P (x ₀ ，y ₀ )为双曲线 （a ＞0，b ＞0）上异于左右顶点A ₁ ，A ₂ 的任意一点，则A ₁ (-a ，0)，A ₂ (a ，0)，所以 ．又P (x ₀ ，y ₀ )在双曲线 上，所以 ，则 ，所以直线PA ₁ 与PA ₂ 的斜率之积为定值 ．故选：D．

2． ．

【解析 】　设P (x ₀ ，y ₀ )，代入椭圆方程得 ，即 ，又 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ，故答案为 ．

第4章　双　曲　线

考点1　双曲线的定义

1．A．　2．5．

考点2　双曲线方程

1．16．　2．D．

考点3　双曲线的一般方程

D．

考点4　双曲线的渐近线

1．A．　2．A．　3．C．　4．B．

考点5　焦点三角形与弦心三角形

1． ．　2．90°．

考点6　椭圆与双曲线综合

1．A．　2．A．

考点7　椭圆与双曲线离心率专题

1．C．　2． ．　3． ．　4． ．　5．A．

第5章　抛　物　线

考点1　抛物线的定义

1．D．　2．D．

考点2　抛物线方程及基本量

x =-2．

考点3　抛物线第一定义

1．C．　2．（2，2）．

考点4　抛物线的焦半径和焦点弦性质

1．2．　2． ．　3．B．　4．D．　5． ．

考点5　抛物线与椭圆双曲线综合

1．y =±x ．　2．D．

第6章　解析几何大题

考点1　轨迹方程的求法

方法1　定义法

1． ．

【解析 】　设 ， ，并设圆C 的半径为r ，则||CF′ |-|CF ||=|(2+r )-(r -2)|=4．又 ，则C 的圆心轨迹是以F′ ，F 为焦点的双曲线，且a =2， ，从而b =1，则C 的圆心轨迹L 的方程为 ．

2．y ² =2x ．

【解析 】　根据题意：点P 到 与到直线 的距离相等，所以点P 的轨迹是抛物线， ，p =1，所以轨迹方程为y ² =2x ．

方法2　相关关系法

1． ．

【解析 】　点M (x ，y )到直线x =4的距离是到点N (1，0)的距离的2倍，则 ．所以动点M 的轨迹为椭圆，方程为 ．

2．y ² =8x ．

【解析 】　设动圆圆心C 的坐标为（x ，y ），则(4-x )² +(0-y )² =4² +x ² ，整理得y ² =8x ．所以，所求动圆圆心的轨迹C 的方程为y ² =8x ．

方法3　相关点法

y ² =8-4x ．

【解析 】　设动点P 的坐标为（x ，y ），点A 的坐标为（x_A ，y_A ），则 ，因为F 的坐标为（1，0），所以 ，由 ，得(x -x_A ，y -y_A )=-2(x_A -1，y_A )．解得x_A =2-x ，y_A =-y ．代入y ² =4x ，得到动点P 的轨迹方程为y ² =8-4x ．

方法4　消参法

(x +2)² -y ² =4（y ≠0）．

【解析 】　当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y =k (x +2)（k ≠0），代入方程x ² -y ² =1，得(1-k ² )x ² -4k ² x -4k ² -1=0．

因为直线l 与双曲线有两个交点，所以1-k ² ≠0，设A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y ₂ )，则

．

设P (x ，y )，由 ，得 ，故 所以 ，代入 ，可得 ，化简得x ² -y ² +4x =0，即

当直线l 的斜率不存在时，易求得P (-4，0)满足方程②，故所求轨迹方程为(x +2)² -y ² =4（y ≠0），其轨迹为双曲线（也可考虑用点差法求解曲线方程）．

考点2　点差法（中点弦公式）

．

考点3　弦长公式

【思路 】　（1）可设直线AB 的方程为 ，从而可知 有两个不同的解，再由AB 中点也在直线上，即可得到关于m 的不等式，从而求解．

（2）令 ，可将△AOB 表示为t 的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解．

或 ，△AOB 面积最大值为 ．

【解析 】　（1）由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为 ，由 消去y ，得 ．因为直线 与椭圆 有两个不同的交点，所以 ，将AB 中点 代入直线 ，解得 ．由①，②得， 或 ．

（2）令 ，则 ，且O 到直线 AB 的距离为 ，设△AOB 的面积为S (t )，则 ，当且仅当 时，等号成立，故△AOB 面积的最大值为 ．

考点4　向量相关问题

1． ， ．

【解析 】　（1）由 知道曲线C 是以M ，N 为焦点的椭圆，且 ，c =1， ，所以曲线C 的方程为 ．

（2）设A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y ₂ )，由题意知l 的斜率一定不为0，故不妨设l ：x =my +1，代入椭圆方程整理，得(2m ² +3)y ² +4my -4=0，显然Δ ＞0，则

假设存在点Q ，使得四边形OAQB 为平行四边形，其充要条件为 ，则点Q 的坐标为(x ₁ +x ₂ ，y ₁ +y ₂ )．点Q 在椭圆上，即 ，整理得 ．又A ，B 在椭圆上，即 ．故2x ₁ x ₂ +3y ₁ y ₂ =-3②，所以x ₁ x ₂ =(my ₁ +1)(my ₂ +1)=m ² y ₁ y ₂ +m (y ₁ +y ₂ )+1，将①，②代入上式，解得 ．即直线l 的方程是： ，即 ．

2．（1） ．（2） ．

考点5　斜率问题

（1） ， ；（2）存在， ．

【解析 】　（1）由于椭圆C ： （a ＞b ＞0）过点P (0，1)且离心率为 ，因此 ， ，a ² =2，椭圆C 的方程为 ．

因为P (0，1)，A (m ，n )，则直线PA 的方程为 ．令y =0， ，则 ．

（2）因为P (0，1)，B (m ，-n )，直线PB 的方程为 ，直线PB 与x 轴交于点N ，令y =0， ，则 ．设Q (0，y ₀ )， ， ．

因为∠OQM =∠ONQ ，所以tan∠OQM =tan∠ONQ ，则 ，所以 （注：点A (m ，n )（m ≠0）在椭圆C 上， ），则 ，即存在点 ，使得∠OQM =∠ONQ ．

考点6　切线问题

（1）x ² =4y ；（2）x ₀ x -2y -2y ₀ =0；（3） 时，最小值为 ．

【解析 】　（1）依题意，设抛物线C 的方程为x ² =4cy ，由 结合c ＞0，解得c =1．所以抛物线C 的方程为x ² =4y ．

（2）抛物线C 的方程为x ² =4y ，即 ，求导得 ．

设A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y ₂ )（其中 ， ），则切线PA ，PB 的斜率分别为 ， ，所以切线PA 的方程为 ，即 ，即x ₁ x -2y -2y ₁ =0．同理可得切线PB 的方程为x ₂ x -2y -2y ₂ =0．

因为切线PA ，PB 均过点P (x ₀ ，y ₀ )，所以x ₁ x ₀ -2y ₀ -2y ₁ =0，x ₂ x ₀ -2y ₀ -2y ₂ =0，所以（x ₁ ，y ₁ ），（x ₂ ，y ₂ ）为方程x ₀ x -2y ₀ -2y =0的两组解．所以直线AB 的方程为x ₀ x -2y -2y ₀ =0．

（3）由抛物线定义可知|AF |=y ₁ +1，|BF |=y ₂ +1，所以|AF |·|BF |=(y ₁ +1)·(y ₂ +1)=y ₁ y ₂ +(y ₁ +y ₂ )+1．

联立方程 消去x 整理得 ．由一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，所以 ．

又点P (x ₀ ，y ₀ )在直线l 上，所以x ₀ =y ₀ +2，所以 ，所以当 时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为 ．

考点7　定点问题

y ² =8x （x ≠0）．

【解析 】　（1）设动圆圆心C 的坐标为（x ，y ），则(4-x )² +(0-y )² =4² +x ² ，整理得y ² =8x ．所以，所求动圆圆心的轨迹C 的方程为y ² =8x ．

（2）证明：设直线l 的方程为y =kx +b ，联立 得k ² x ² +2kbx +b ² =8x ⇒k ² x ² -(8-2kb )x +b ² =0（其中Δ ＞0）．设P (x ₁ ，kx ₁ +b )，Q (x ₂ ，kx ₂ +b )，若x 轴是∠PBQ 的 角平分线，则 ，即k =-b ，故直线l 的方程为y =k (x -1)，直线过定点（1，0）．

第7章　参数方程与极坐标

一、参数方程

考点1　直线

（1） ；（2） ．

【解析 】　（1）设出直线 和椭圆方程联立，消去x 可以得到 ，y ₁ =-2y ₂ ．

可以得到a ，c 的关系，即 ．

（2）略．

考点2　圆

C．

【解析 】　画图，AD ，BD 都过圆心．

考点3　其他曲线

（1） （2） ．

【解析 】　（2）联立 解得（1，0），（0，2），即y -1=0.5(x -0.5)，再化为极坐标： ．

考点4　参数方程的应用最值问题

最大值为 ；最小值为 ．

【解析 】　P (2cosθ ，3sinθ )，求到l 的距离d ，PA =d ，化简得最大值．

二、极坐标

考点1　直线

．

考点2　圆

1． ．　2．B．

三、综合

（1）（0，0） ；（2）最大值为4．

【解析 】　（1）曲线C ₂ 的直角坐标方程为x ² +y ² -2y =0，曲线C ₃ 的直角坐标方程为 ，联立 解得 或 所以C ₂ 与C ₁ 交点的直角坐标为（0，0）和 ．

（2）曲线C ₁ 的极坐标方程为 ，其中0≤α ＜π，因此得到A 的极坐标为（2sinα ，α ），B 的极坐标为 ．所以 ，当 时，|AB |取得最大值，最大值为4．

2．【解析 】　（1）C ₁ 的普通方程为 ，C ₂ 的直角坐标方程为x +y -4=0．

（2）由题意，可设点P 的直角坐标为 ，因为C ₂ 是直线，所以|PQ |得最小值，即为P 到C ₂ 的距离d (α )的最小值 ．当且仅当 （k ∈Z ）时，d (α )取得最小值，最小值为 ，此时P 的直角坐标为 ．

3． ．

【解析 】　直线l 方程化为普通方程为 ，椭圆C 方程化为普通方程为 ，联立得 解得 或 因此 ．

第8章　解析几何2015年真题必刷

直线与圆

1．D．

【解析 】　因为直线3x +4y =b 与圆心为（1，1）、半径为1的圆相切，所以 或b =12．

【考点 】　直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．

2．D．

【解析 】　由题意可得，圆的半径为 ，则圆的标准方程为(x -1)² +(y -1)² =2．

【考点 】　圆的标准方程．

3．D．

【解析 】　设所求切线方程为2x +y +c =0，依题有 ，解得c =±5，所以所求切线的直线方程为2x +y +5=0或2x +y -5=0，故选：D．

【考点 】　本题考查直线与圆的位置关系．

4．【解析 】　（1）因为圆C ₁ ：x ² +y ² -6x +5=0，整理，得其标准方程为(x -3)² +y ² =4，所以圆C ₁ 的圆心坐标为（3，0）．

（2）设当直线l 的方程为y =kx ，A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y ₂ )，联立方程组 消去y ，可得(1+k ² )x ² -6x +5=0，由Δ =36-4(1+k ² )×5＞0，可得 ．

由韦达定理，可得 ，所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为 其中 ，所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为 ，其中 ．

（3）结论：当 时，直线l ：y =k (x -4)与曲线C 只有一个交点．

理由如下：联立方程组 消去y ，可得(1+k ² )x ² -(3+8k )x +16k ² =0，令Δ =(3+8k )² -4(1+k ² )·16k ² =0，解得 ．

又因为轨迹C 的端点 与点（4，0）决定的直线斜率为 ，所以当直线l ： y =k (x -4)与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围为 ．

【考点 】　轨迹方程；直线与圆的位置关系．

5．（1） ；（2） ．

【考点 】　圆的几何知识．

6．2．

【解析 】　如图，直线3x -4y +5=0与圆x ² +y ² =r ² （r ＞0）交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB =120°，则圆心（0，0）到直线3x -4y +5=0的距离为 ， ，则r =2，故答案为2．

【考点 】　直线与圆的位置关系．

7．D．

【解析 】　点A (-2，-3)关于y 轴的对称点为A′ (2，-3)，故可设反射光线所在直线的方程为y +3=k (x -2)，化为kx -y -2k -3=0．

因为反射光线与圆(x +3)² +(y -2)² =1相切，所以圆心（-3，2）到直线的距离 ，化为24k ² +50k +24=0，所以 或 ．故选：D．

【考点 】　圆的切线方程；直线的斜率．

8．A．

【解析 】　由相交弦定理可知，AM ·MB =CM ·MD ，CN ·NE =AN ·NB ，又因为M ，N 是弦AB 的三等分点，所以AM ·MB =AN ·NB ，所以CN ·NE =CM ·MD ，所以 ．故选：A．

【考点 】　相交弦定理．

9． ．

【解析 】　设圆心为（a ，0），a ＞0，则半径为4-|a |，则(4-|a |)² =|a |² +2² ，解得 ，故圆的方程为 ．

【考点 】　椭圆的几何性质；圆的标准方程．

10．（1） ；（2）|MN |=2．

【解析 】　（1）由题设，可知直线l 的方程为y =kx +1．因为l 与C 交于两点，所以 ．解得 ．所以k 的取值范围为 ．

（2）设M (x ₁ ，y ₁ )，N （x ₂ ，y ₂ )．将y =kx +1代入方程(x -2)² +(y -3)² =1，整理得(1+k ² )x ² -4(1+k )x +7=0．所以 ， ．

．

由题设可得＝ ，解得k =1，所以l 的方程是y =x +1．

故圆心C 在l 上，所以|MN |=2．

11．C．

【解析 】　由已知得 ， ，所以k_AB k_CB =-1，所以AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为（1，-2），半径为5，所以外接圆方程为(x -1)² +(y +2)² =25，令x =0，得 ，所以 ．故选：C．

【考点 】　圆的方程．

12．B．

【解析 】　根据题意，△ABC 是等边三角形，设外接圆的圆心为D ，则 ．所以 ．故选：B．

【考点 】　三角形的外接圆．

13．C．

【解析 】　圆C 标准方程为(x -2)² +(y -1)² =4，圆心为C (2，1)，半径为r =2，因此2+a ×1-1=0，a =-1，即A (-4，-1)， ．故选：C．

【考点 】　直线与圆的位置关系．

圆锥曲线

14．C．

【解析 】　由题意得：m ² =25-4² =9，因为m ＞0，所以m =3．故选：C．

【考点 】　椭圆的几何性质．

15．C．

【考点 】　椭圆的概念．

16． ．

【解析 】　设F (c ，0)关于直线 的对称点为Q (m ，n )，则有 解得 ， ，所以 在椭圆上，即有 ，解得a ² =2c ² ，所以离心率 ．

【考点 】　点关于直线对称；椭圆的离心率．

17．（1） ；（2） ．

【解析 】　（1）由椭圆的定义 ，故a =2．

设椭圆的半焦距为c ，由已知PF ₁ ⊥PF ₂ ，因此 ，即 ．从而 ，故所求椭圆的标准方程为 ．

（2）解法1：设点P (x ₀ ，y ₀ )在椭圆上，且PF ₁ ⊥PF ₂ ，则 ， ．求得 ， ．

由|PF ₁ |=|PQ |＞|PF ₂ |，得x ₀ ＞0，从而

．

由椭圆的定义，|PF ₁ |+|PF ₂ |=2a ，|QF ₁ |+|QF ₂ |=2a ，从而由|PF ₁ |=|PQ |=|PF ₂ |+|QF ₂ |，有|QF ₁ |=4a -2|PF ₁ |．

又由PF ₁ ⊥PF ₂ ，|PF ₁ |=|PQ |，知 ，因此 ，于是 ．解得 ．

解法2：由椭圆的定义，|PF ₁ |+|PF ₂ |=2a ，|QF ₁ |+|QF ₂ |=2a ，从而由|PF ₁ |=|PQ |=|PF ₂ |+|QF ₂ |，有|QF ₁ |=4a -2|PF ₁ |．

又由PF ₁ ⊥PF ₂ ，|PF ₁ |=|PQ |，知 ，因此 ，即 ，从而 ．

由PF ₁ ⊥PF ₂ ，知|PF ₁ |² +|PF ₂ |² =|PF ₂ |² =(2c )² =4c ² ，因此

．

18．B．

【解析 】　由双曲线定义得||PF ₁ |-|PF ₂ ||=2a =6，即|3-|PF ₂ ||=6，解得|PF ₂ |=9．故选：B．

【考点 】　双曲线的标准方程和定义．

19．C．

【解析 】　由题意，选项A，B的焦点在x 轴，故排除A，B，C项的渐近线方程为 ，即y =±2x ．故选：C．

【考点 】　双曲线的渐近线．

20．A．

【解析 】　由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为y =±2x ．故选：A．

【考点 】　渐近线方程．

21． ．

【解析 】　双曲线 （a ＞0）的渐近线方程为 ， ，因为a ＞0，所以 ，即 ．

【考点 】　双曲线的几何性质．

22． ．

【解析 】　由题意知c =2，a =1，b ² =c ² -a ² =3，所以 ．

【考点 】　双曲线的焦点．

23．B．

【解析 】　因为所求双曲线的右焦点为F ₂ (5，0)且离心率为 ，所以c =5，a =4，b ² =c ² -a ² =9所以所求双曲线方程为 ，故选：B．

【考点 】　双曲线的标准方程及其几何性质．

24． ； ．

【解析 】　由题意得： ，b =1， ，所以焦距为 ，渐近线方程为 ．

【考点 】　双曲线的标准方程及其几何性质．

25．D．

【解析 】　由题意得a =1， ，故c =2，则渐近线为 ，将x =2代入渐近线，得 ，所以 ．

26． ．

【解析 】　根据双曲线渐近线方程为 ，可设双曲线的方程为 ，把 代入 ，得m =1，所以双曲线的方程为 ．

【考点 】　双曲线几何性质．

27．D．

【解析 】　双曲线 （a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为 ，由点 在渐近线上，所以 ，双曲线的一个焦点在抛物线 准线方程 上，所以 ，由此可解得a =2， ，所以双曲线方程为 ．故选：D．

【考点 】　双曲线的标准方程及几何性质；抛物线的标准方程及几何性质．

28．D．

【解析 】　由题意可得 ，则c =2，a =1， ．

【考点 】　圆与双曲线的几何性质．

29． ．

【解析 】　设双曲线的左焦点为F ₁ ，由双曲线定义知，|PF |=2a +|PF ₁ |，所以△APF 的周长为|PA |+|PF |+|AF |=|PA |+2a +|PF ₁ |+|AF |=|PA |+|PF ₁ |+|AF |+2a ，由 于2a +|AF |是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA |+|PF ₁ |最小，即P ，A ，F ₁ 共线．

因为 ，F ₁ (-3，0)，所以直线AF ₁ 的方程为 ，即 ．代入 ，整理得 ，解得 或 （舍），所以P 点的纵坐标为 ，所以 ．

【考点 】　双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题．

30．A．

【解析 】　由题意知A (a ，0)， ， ，由双曲线的对称性，知D 在x 轴上，设D (x ，0)，由BD ⊥AC ，得 ，解得 ，所以 ，所以 ，因此渐近线的斜率取值范围是（-1，0）∪（0，1）．故选：A．

【考点 】　双曲线的几何性质．

31． ．

【解析 】　准线y ² =2px （p ＞0）的准线方程为 ，双曲线x ² -y ² =1的一个焦点 ，因为抛物线y ² =2px 的准线经过双曲线焦点，所以 ，解得 ．

【考点 】　抛物线的几何性质；双曲线的几何性质．

32．B．

【解析 】　由抛物线y ² =2px （p ＞0）得准线 ，因为准线经过点（-1，1），所以p =2，所以抛物线焦点坐标为（1，0），故选：B．

【考点 】　抛物线方程．

33．D．

【解析 】　不妨设直线l ：x =ty +m ，代入抛物线方程有y ² -4ty -4m =0，则Δ =16t ² +16m ＞0．又中点M (2t ² +m ，2t )，则k_MC ·k_l =-1，即m =3-2t ² （当t ≠0时），代入Δ =16t ² +16m ，可得3-t ² ＞0，即0＜t ² ＜3．

又由圆心到直线的距离等于半径，可得 ．

由0＜t ² ＜3，可得r ∈(2，4)．故选：D．

【考点 】　直线与抛物线的位置关系；直线与圆的位置关系．

34．B．

【解析 】　因为抛物线C ：y ² =8x 的焦点为（2，0），准线方程为x =-2，所以椭圆E 的右焦点为（2，0），所以椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为 （a ＞b ＞0），c =2．

因为 ，所以a =4，所以b ² =a ² -c ² =12，故椭圆E 的方程为 ，将x =-2代入椭圆E 的方程，解得A (-2，3)，B (-2，-3)，所以|AB |=6．故选：B．

【考点 】　抛物线的几何性质；椭圆的标准方程与几何性质．

35．A．

【解析 】　 ．故选：A．

【考点 】　抛物线的标准方程及其几何性质．

36．A．

【解析 】　设左焦点为F ，连接AF ₁ ，BF ₁ ，则四边形BF ₁ AF 是平行四边形，故|AF ₁ |=|BF |，所以|AF |+|AF ₁ |=4=2a ，所以a =2，设M (0，b )，则 ，故b ≥1，从而a ² -c ² ≥1，0＜c ² ≤3， ，所以椭圆E 的离心率的取值范围是 ．故选：A．

【考点 】　椭圆的定义和几何性质；点到直线的距离公式．

37．D．

【解析 】　不妨设双曲线C ₁ 的焦点在x 轴上，即其方程为 ，则双曲线C ₂ 的方程为 ，所以 ， ．当a ＞b 时， ，所以 ，所以 ，所以e ₂ ＞e ₁ ；当a ＜b 时， ，所以 ，所以 ，所以e ₂ ＜e ₁ ；故选：D．

【考点 】　双曲线的定义；双曲线的几何性质．

38． ．

【解析 】　根据对称性，不妨设F (c ，0)，短轴端点为（0，b ），从而可知点（-c ，2b ）在双曲线上，所以 ．

【考点 】　双曲线的标准方程及其几何性质．

39．D．

【解析 】　因为双曲线 的一条渐近线经过点（3，-4），所以3b =4a ，则9(c ² -a ² )=16a ² ，即 ．故选：D．

【考点 】　双曲线的几何性质．

40． ．

【解析 】　设OA 所在的直线方程为 ，则OB 所在的直线方程为 ，解方程 组 得 所以点A 的坐标为 ．

抛物线的焦点F 的坐标为 ，因为F 是△ABC 的垂心，所以k_OB ·k_AF =-1，所以， ．

即 ．

【考点 】　双曲线的标准方程与几何性质；抛物线的标准方程与几何性质．

41． ．

【解析 】　双曲线 的右焦点为（c ，0）．不妨设所作直线与双曲线的渐近线 平行，其方程为 ，代入 求得点P 的横坐标为 ，由 ，得 ，解之得 ， （舍去，因为离心率 ），故双曲线的离心率为 ．

【考点 】　双曲线的几何性质；直线方程．

42．A．

【解析 】　由题意知 ， ， ，所以 ，解得 ．故选：A．

【考点 】　向量数量积；双曲线的标准方程．

43．D．

【解析 】　设双曲线方程为 （a ＞0，b ＞0），如图所示，|AB |=|BM |，∠ABM =120°，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，在Rt△BMN 中，|BN |=a ， ，故点M 的坐标为 ，代入双曲线方程得a ² =b ² =a ² -c ² ，即c ² =2a ² ，所以 ．故选：D．

【考点 】　双曲线的标准方程和几何性质．

44．（1）详见解析；（2）能， 或 ．

【解析 】　（1）设直线l ：y =kx +b （k ≠0，b ≠0），A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y ₂ )，M (x_M ，y_M )．将y =kx +b 代入9x ² +y ² =m ² ，得(k ² +9)x ² +2kbx +b ² -m ² =0，故 ， ，于是直线OM 的斜率 ，即k_OM ·k =-9，所以直线OM 的斜率 与l 的斜率的乘积为定值．

（2）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点 ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3．由（1）得，OM 的方程为 ．设点P 的横坐标为x_P ，由 得 ，即 ．将点 的坐标代入直线l 的方程得 ，因此 ．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x_P =2x_M ．于是 ．解得 ， ．因此k_i ＞0，k_i ≠3，i =1，2，所以当l 的斜率为 或 时，四边形OAPB 为平行四边形．

【考点 】　弦的中点问题；直线和椭圆的位置关系．

45．（1）A (2t ，t ² )， ；（2） ．

【解析 】　（1）由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y =k (x -t )．所以 消去y ，整理得x ² -4kx +4kt =0．

因为直线PA 与抛物线相切，所以Δ =16k ² -16kt =0，解得k =t ．所以x =2t ，即点A (2t ，t ² )．设圆C ₂ 的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x ₀ ，y ₀ )，由题意知，点B ，O 关于直线PD 对称，故有 解得 ， ，即点 ．

（2）由（1）知， ，直线PA 的方程为tx -y -t ² =0，所以点B 到直线PA 的距离为 ．所以△PAB 的面积为 ．

【考点 】　抛物线的几何性质；直线与圆的位置关系；直线与抛物线的位置关系．

46．（1） 或 ；（2） ．

【解析 】　（1）由题意知，m ≠0，可设直线AB 的方程为 ，由 消去y ，得 ．因为直线 与椭圆 有两个不同的交点，所以 ，将AB 中点 代入直线方程 ，解得 ．由①、②得， 或 ．

（2）令 ，则 ，且O 到直线AB 的距离为 ，设△AOB 的面积为S (t )，所以 ，当且仅当 时等号成立，故△AOB 面积的最大值为 ．

【考点 】　直线与椭圆的位置关系；点到直线的距离公式；函数的最值．

47．（1） ， ；（2）存在点 ．

【解析 】　（1）由于椭圆C ： （a ＞b ＞0）过点P (0，1)且离心率为 ，则 ，b ² =1， ，a ² =2，椭圆C 的方程为 ．因为P (0，1)，A (m ，n )，直线PA 的方程为 ，令y =0， ，所以 ．

（2）因为P (0，1)，B (m ，-n )，直线PB 的方程为 ，直线PB 与x 轴交于点N ，令y =0， ，则 ．

设Q (0，y ₀ )， ， ．因为∠OQM =∠ONQ ，所以tan∠OQM =tan∠ONQ ，则 ，所以 （注：点A (m ，n )（m ≠0）在椭圆C 上， ），则 ，存在点 ，使得∠OQM =∠ONQ ．

【考点 】　椭圆方程；直线方程及与坐标轴的交点；存在性问题．

48．（1） ；（2）1；（3）直线BM 与直线DE 平行．

【解析 】　（1）椭圆C 的标准方程为 ，所以 ，b =1， ．所以椭圆C 的离心率 ．

（2）因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y ₁ )，B (1，-y ₁ )，直线AE 的方程为y -1=(1-y ₁ )(x -2)．令x =3，得M (3，2-y ₁ )，所以直线BM 的斜率 ．

（3）直线BM 与直线DE 平行．证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（2）可知k_BM =1．又因为直线DE 的斜率 ，所以BM ∥DE ．当直线AB 的斜率存在时，设 其方程为y =k (x -1)（k ≠1）．

设A (x ₁ ，y ₁ )，B (x ₂ ，y ₂ )，则直线AE 的方程为 ．

令x =3，得点 ．由 得(1+3k ² )x ² -6k ² x +3k ² -3=0．所以 ， ．直线BM 的斜率

所以k_BM =1=k_DE ，所以BM //DE ．综上可知，直线BM 与直线DE 平行．

【考点 】　椭圆的标准方程及其几何性质；直线的斜率；两直线的位置关系．

49．（1） ；（2）证明略，详见解析．

【解析 】　（1）由题意得 ，b =1，所以 ，所以椭圆方程为 ．

（2）由题设知，直线PQ 的方程为y =k (x -1)+1(k ≠2)，代入 ，得(1+2k ² )x ² -4k (k -1)x +2k (k -2)=0．

由已知Δ ＞0，设P (x ₁ ，y ₁ )，Q (x ₂ ，y ₂ )，x ₁ x ₂ ≠0，则 ， ，从而直线AP 与AQ 的斜率之和：

【考点 】　椭圆的标准方程；圆锥曲线的定值问题．

50．（1）2；（2）① ，② ．

【解析 】　（1）设F (-c ，0)，由已知 及a ² =b ² +c ² ，可得 ，b =2c ，又因为B (0，b )，F (-c ，0)，故直线BF 的斜率 ．

（2）设点P (x_P ，y_P )，Q (x_Q ，y_Q )，M (x_M ，y _M ）．

①由（1）可得椭圆方程为 ，直线BF 的方程为y =2x +2c ，两方程联立消去y ，得3x ² +5cx =0，解得 ．因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 方程为 ，与椭圆方程联立消去y ，得21x ² -40cx =0，解得 ．又因为 ，x_M =0，则得 ．

②由（1）得 ，所以 ，即 ．又因为 ，所以 ．

又因为 ，所以 ，因此 ，c =1，所以椭圆方程为 ．