第5章　抛物线

1．定义：动点到定点距离等于它到定直线的距离时 的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．

2．抛物线的几何性质．

考点1　抛物线的定义

例题

【例1 】（2015·广安月考）　已知动点M 的坐标满足方程 ，则动点M 的轨迹是（　　）．

A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对

条件 　 点点距与点线距的关系．

解析 　由题意可知， ，可知点（x ，y ）到原点距离与到3x +4y -12=0距离相等，所以点M 的轨迹为抛物线．故选：C．

【例2 】（2009·上海模考）　已知点M (1，0)，直线l ：x =-1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是（　　）．

A．抛物线
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．直线

条件 　垂直平分线→垂直平分线上的点到线段两端点距离相等．

解析 　如图：交点P 在垂直平分线上，故PB =PM ，即动点P 到l ：x =-1的距离与P 到M 距离相等，所以动点P 的轨迹为抛物线．故选：A．

总结

抛物线的定义是点点距与点线距的关系．

练习

1．（2008·北京理·4）　若点P 到直线x =-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P 的轨迹为（　　）．

A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

2．（2004·北京理·4）　如图，在正方体中，P 是侧面内一动点，若P 到直线BC 与到直线C ₁ D ₁ 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（　　）．

A．直线
B．圆
C．双曲线
D．抛物线

考点2　抛物线方程及基本量

例题

【例1 】（2016·四川文·3）　抛物线y ² =4x 的焦点坐标是（　　）．

A．（0，2）
B．（0，1）
C．（2，0）
D．（1，0）

条件 　y ² =2px ⇒焦点 ，准线： ．

解析 　2p =4，p =2⇒焦点（1，0）．故选：D．

【例2 】（2013·北京文·9）　若抛物线y ² =2px 的焦点坐标为（1，0），则p = ，准线方程为 ．

条件 　y ² =2px ⇒焦点 ，准线： ．

解析 　 ，p =2⇒准线x =-1．

总结

抛物线方程与基本量：

练习

（2014·上海文理·3）　若抛物线y ² =2px 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．

考点3　抛物线第一定义

例题

【例1 】（2016·浙江理·9）　若抛物线y ² =4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是 ．

条件 　点到焦点距离⇒点到准线距离．

解析 　因为点M 到焦点距离为10，所以点M 到准线x =-1距离为10，故到y 轴距离为9．

【例2 】（2015·中山联考）　已知点P 是抛物线y ² =2x 上的一个动点，则点P 到点A (0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　）．

条件 　点P 到抛物线准线距离⇒点P 到焦点距离．

解析 　如图， ，PA +PH =PA +PF ．

由三角形的两边之和大于第三边，则PA +PF ≥FA ，故当A ，P ，F 三点共线时，PA +PH 最小，最小值为 ．故选：A．

总结

抛物线第一定义：动点到定点的距离与它到定直线的距离相等．

练习

1．（2013·课标1文·8）　O 为坐标原点，F 为抛物线C ： 的焦点，P 为C 上一点，若 ，则△POF 的面积为（　　）．

2．（2008·江西师大附中月考）　已知点M (3，2)，F 为抛物线y ² =2x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，当|PM |+|PF |取最小值时，点P 的坐标为 ．

考点4　抛物线的焦半径和焦点弦性质

例题

【例1 】（2015·河北五校联考）　在抛物线y ² =2px 上，横坐标为2的点到抛物线焦点的距离为3，则p = ．

条件 　 ．

解析 　 ．

【例2 】（2013·渝中模考）　P 为抛物线y ² =2px 上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（　　）．

A．相交
B．相切
C．相离
D．位置由P 确定

条件 　以PF 为直径的圆⇒以焦半径为直径的圆与y 轴必相切．

解析 　设P′ 为PF 中点， ，又 ，所以与y 轴必相切．故选：B．

【例3 】（2012·南昌二中月考）　一动圆的圆心在抛物线y ² =8x 上，且动圆恒与直线x +2=0相切，则此动圆必过定点（　　）．

A．（4，0）
B．（2，0）
C．（0，2）
D．（0，-2）

条件 　相切⇒圆心到直线距离等于半径．

解析 　设圆心为P ，又x +2=0为y ² =8x 的准线，故PF =r ，故焦点F 必在圆P 上．故选：B．

【例4 】（2012·南昌市一模）　过抛物线y ² =4x 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p ，q ，则 = ．

条件 　线段PF 与FQ 的长⇒抛物线中PF 与FQ 的关系： ．

解析 　方法1： ， ，

由焦点弦： ，代入①式可求得 ．

方法2：特殊值法直线取x =1，故PF =2，QF =2，所以 ．

【例5 】（2011·海淀月考）　抛物线x ² =-4y 与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则（　　）．

A．|AB |=8，S _△ABO =4
B．|AB |=8，S _△AOB =2
C．|AB |=4，S _△AOB =2
D．|AB |=4，S _△AOB =4

条件 　过焦点垂直于对称轴⇒通径长．

解析 　依题意得，|AB |=通径长=2p =4， ．故选：C．

【例6 】（2013·南昌二中月考）　设抛物线y ² =2x 的焦点为F ，过点 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |=2，则△BCF 与△ACF 的面积之比 =（　　）．

条件 　

解析 　如图，可选F 为顶点，故 ．

， ．

所以 ，

则 ．故选：A．

总结

抛物线的基本性质．

（1）焦半径长． ， ．

（2）|AB |=|x_A +x_B |+p (y ² =±2px )=|y_A +y_B |+p (x ² =±2py )，通径长为2p ．

（3）以AB 为直径的圆与准线相切，以AF (BF )为直径的圆与y 轴相切．

（4） ， ， ， （y ² =±2px ）， ．

练习

1．（2010·南大附中月考）　在抛物线y ² =2px （p ＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 ．

2．（2009·莲塘一中月考）　过抛物线y ² =16x 上的动点P 向圆(x -4)² +y ² =1引切线，则切线长的最小值是 ．

3．（2014·萧山模考）　抛物线y ² =4x 上点M 的横坐标为1，则点M 到该抛物线的焦点的距离为（　　）．

A．3
B．2
C．1.5
D．1

4．（2011·银川模考）　已知直线y =k (x +2)（k ＞0）与抛物线C ：y ² =8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |=2|FB |，则k =（　　）．

5．（2010·南昌二中月考）　过抛物线y ² =2px （p ＞0）的焦点F 作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，交其准线于C 点．若 ，则直线l 的斜率为 ．

考点5　抛物线与椭圆双曲线综合

例题

【例1 】（2013·全国文·11，理·8）　等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y ² =16x 的准线交于A ，B 两点， ，则C 的实轴长为（　　）．

条件 　等轴双曲线⇒y =±x （渐近线）， （离心率）．

解析 　准线：x =-4．设双曲线为 ，代入可得 ，即y ² =16-a ² ．

，即a =2，则实轴长为2a =4．故选：C．

【例2 】（2013·江西理·14）　抛物线x ² =2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线 相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p = ．

条件 　 ．

解析 　 ，准线 ，所以 ，代入 ，则 ，即 ．

练习

1．（2014·山东文·15）　已知双曲线 （a ＞0，b ＞0）的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x ² =2py （p ＞0）的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |=c ，则双曲线的渐近线方程为 ．

2．（2013·山东理·11）　已知抛物线C ₁ ： （p ＞0）的焦点与双曲线C ₂ ： 的右焦点的连线交C ₁ 于第一象限的点M ．若C ₁ 在点M 处的切线平行于C ₂ 的一条渐近线，则p =（　　）．

懂得克制，才能主宰自己的行为，切忌自以为是．别以为知道“自制心”这个字眼，就能做到自制．自制必须拿出实际行动才行．

——娴姐（刘娴老师）

请要求自己每天克制一件小事．小事上无法自制的人，面对大事更不可能自制．

——娴姐（刘娴老师）

弄清楚动机，才能找到方向，就像同一种药不见得适合于每个人的体质．同样，别人的做法也不见得适用于自己．

——娴姐（刘娴老师）

千万不要自欺欺人，不要对自己说谎，要对自己诚实，了解自己到底是个什么样的人，有什么癖好、什么想法，遇事会做出什么样的反应．

——娴姐（刘娴老师）

善良人在追求中纵然迷惘，却终将意识到有一条正途．

——《浮士德》

Get busy living or get busy dying.忙于幸福或者不觉消沉．

——《肖申克的救赎》

一万年太久，只争朝夕．

——《大话西游》

不得不承认，付不起的是心态，和钱．

——荡荡（曹灏老师）

有的时候做梦，就想停在原地，等一切变回如初，害怕着远方．是的，可能一踏出去就是错误，但只有不断寻觅，才不至枉了少年．

——荡荡（曹灏老师）

青春，是所遇到的所有，认真生活才不负真情美好．

——荡荡（曹灏老师）

时间是世上最美妙的东西，可能做得不好，但幸亏有它才有机会补过．

——荡荡（曹灏老师）