第9章　解析几何2016年真题必刷

直线与圆

1．（2016·北京文·5）　圆(x +1)² +y ² =2的圆心到直线y =x +3的距离为（　　）．

2．（2016·新课标3理·15）　已知直线l ： 与圆x ² +y ² =1交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若 ，则|CD |= ．

3．（2016·新课标3文·15）　已知直线l ： 与圆x ² +y ² =12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |= ．

4．（2016·新课标1文·15）　设直线y =x +2a 与圆C ：x ² +y ² -2ay -2=0相交于A ，B 两点，若 ，则圆C 的面积为 ．

5．（2016·新课标2文·6，理·4）　圆x ² +y ² -2x -8y +13=0的圆心到直线ax +y -1=0的距离为1，则a =（　　）．

6．（2016·山东文·7）　已知圆M ：x ² +y ² -2ay =0（a ＞0）截直线x +y =0所得线段的长度是 ，则圆M 与圆N ：(x -1)² +(y -1)² =1的位置关系是（　　）．

A．内切
B．相交
C．外切
D．相离

7．（2016·天津文·12）　已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点 在圆C 上，且圆心到直线2x -y =0的距离为 ，则圆C 的方程为 ．

8．（2016·浙江文·10）　已知a ∈R ，方程a ² x ² +(a +2)y ² +4x +8y +5a =0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ．

9．（2016·江苏理·18）　在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x ² +y ² -12x -14y +60=0及其上一点A (2，4)．

（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；

（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ，求直线l 的方程；

（3）设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得 ，求实数t 的取值范围．

10．（2016·上海文理·3）　已知平行直线l ₁ ：2x +y -1=0，l ₂ ：2x +y +1=0，则l ₁ 与l ₂ 的距离是 ．

11．（2016·北京理·2）　若x ，y 满足 则2x +y 的最大值为（　　）．

A．0
B．3
C．4
D．5

12．（2016·北京文·7）　已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x -y 的最大值为（　　）．

A．-1
B．3
C．7
D．8

13．（2016·新课标1理·16）　某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg、乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg、乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg、乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．

14．（2016·新课标2文·14）　若x ，y 满足约束条件 则z =x -2y 的最小值为 ．

15．（2016·新课标3理·13）　若x ，y 满足约束条件 则z =x +y 的最大值为 ．

16．（2016·新课标3文·13）　设x ，y 满足约束条件 则z =2x +3y 的最小值为 ．

17．（2016·山东文理·4）　若变量x ，y 满足 则x ² +y ² 的最大值是（　　）．

A．4
B．9
C．10
D．12

18．（2016·上海文·7）　若x ，y 满足 则x -2y 的最大值为 ．

19．（2016·天津理·2）　设变量x ，y 满足约束条件 则目标函数z =2x +5y 的最小值为（　　）．

A．-4
B．6
C．10
D．17

20．（2016·浙江文·4）　若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）．

21．（2016·江苏理·12）　已知实数x ，y 满足 则x ² +y ² 的取值范围是 ．

圆锥曲线

22．（2016·北京理·13）　双曲线 （a ＞0，b ＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a = ．

23．（2016·北京文·12）　已知双曲线 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为2x +y =0，一个焦点为 ，则a = ；b = ．

24．（2016·新课标1理·5）　已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（　　）．

25．（2016·新课标1理·10）　以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的标准线于D ，E 两点．已知 ， ，则C 的焦点到准线的距离为（　　）．

A．2
B．4
C．6
D．8

26．（2016·新课标1文·5）　直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为（　　）．

27．（2016·新课标2理·11）　已知F ₁ ，F ₂ 是双曲线E ： 的左、右焦点，点M 在E 上，MF ₁ 与x 轴垂直， ，则E 的离心率为（　　）．

28．（2016·新课标2文·5）　设F 为抛物线C ：y ² =4x 的焦点，曲线 （k ＞0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（　　）．

29．（2016·新课标3文·12，理·11）　已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ： （a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（　　）．

30．（2016·山东文·14，理·13）　已知双曲线E ： （a ＞0，b ＞0）．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是 ．

31．（2016·四川文·3）　抛物线y ² =4x 的焦点坐标是（　　）．

A．（0，2）
B．（0，1）
C．（2，0）
D．（1，0）

32．（2016·天津理·6）　已知双曲线 （b ＞0），以原点为圆心、双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（　　）．

33．（2016·天津文·4）　已知双曲线 （a ＞0，b ＞0）的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线2x +y =0垂直，则双曲线的方程为（　　）．

34．（2016·天津理·13）　设抛物线 （t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设 ，AF 与BC 相交于点E ．若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为 ，则p 的值为 ．

35．（2016·浙江理·7）　已知椭圆C ₁ ： （m ＞1）与双曲线C ₂ ： （n ＞0）的焦点重合，e ₁ ，e ₂ 分别为C ₁ ，C ₂ 的离心率，则（　　）．

A．m ＞n 且e ₁ e ₂ ＞1
B．m ＞n 且e ₁ e ₂ ＜1
C．m ＜n 且e ₁ e ₂ ＞1
D．m ＜n 且e ₁ e ₂ ＜1

36．（2016·浙江理·9）　若抛物线y ² =4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是 ．

37．（2016·浙江文·13）　设双曲线 的左、右焦点分别为F ₁ ，F ₂ ，若点P 在双曲线上，且△F ₁ PF ₂ 为锐角三角形，则|PF ₁ |+|PF ₂ |的取值范围是 ．

38．（2016·江苏理·3）　在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 的焦距是 ．

39．（2016·江苏理·10）　如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆 （a ＞b ＞0）的右焦点，直线 与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC =90°，则该椭圆的离心率是 ．

40．（2016·北京理·19）　已知椭圆C ： （a ＞b ＞0）的离心率为 ，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：|AN |·|BM |为定值．

41．（2016·北京文·19）　已知椭圆C ： 过点A (2，0)，B (0，1)两点．

（1）求椭圆C 的方程及离心率；

（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．

42．（2016·新课标1理·20）　设圆x ² +y ² +2x -15=0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．

（1）证明|EA |+|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；

（2）设点E 的轨迹为曲线C ₁ ，直线l 交C ₁ 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．

43．（2016·新课标1文·20）　在直角坐标系xOy 中，直线l ：y =t （t ≠0）交y 轴于点M ，交抛物线C ：y ² =2px （p ＞0）于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H ．

（1）求 ；

（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．

44．（2016·新课标2理·20）　已知椭圆E ： 的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k ＞0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．

（1）当t =4，|AM |=|AN |时，求△AMN 的面积；

（2）当2|AM |=|AN |时，求k 的取值范围．

45．（2016·新课标2文·21）　已知A 是椭圆E ： 的左顶点，斜率为k （k ＞0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．

（1）当|AM |=|AN |时，求△AMN 的面积；

（2）当2|AM |=|AN |时，证明： ．

46．（2016·新课标3文理·20）　已知抛物线C ：y ² =2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l ₁ ，l ₂ 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．

（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR //FQ ；

（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．

47．（2016·山东理·21）　平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： （a ＞b ＞0）的离心率是 ，抛物线E ：x ² =2y 的焦点F 是C 的一个顶点．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．

①求证：点M 在定直线上；

②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S ₁ ，△PDM 的面积为S ₂ ，求 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．

48．（2016·山东文·21）　已知椭圆C ： （a ＞b ＞0）的长轴长为4，焦距为 ．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过动点M (0，m )（m ＞0）的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P （P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B ．

①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明 为定值．

②求直线AB 的斜率的最小值．

49．（2016·上海文理·21）　双曲线 （b ＞0）的左、右焦点分别为F ₁ ，F ₂ ，直线l 过F ₂ 且与双曲线交于A ，B 两点．

（1）若l 的倾斜角为 ，△F ₁ AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设 ，若l 的斜率存在，且 ，求l 的斜率．

50．（2016·四川理·20）　已知椭圆E ： （a ＞b ＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l ：y =-x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T ．

（1）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；

（2）设O 是坐标原点，直线l′ 平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ ，使得|PT |² =λ |PA |·|PB |，并求λ 的值．

51．（2016·四川文·20）　已知椭圆E ： （a ＞b ＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 在椭圆E 上．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）设不过原点O 且斜率为 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |=|MC |·|MD |．

52．（2016·天津理·19）　设椭圆 的右焦点为F ，右顶点为A ．已知 ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （点B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ．若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．

53．（2016·天津文·19）　设椭圆 的右焦点为F ，右顶点为A ．已知 ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （点B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ．若BF ⊥HF ，且∠MOA =∠MAO ，求直线l 的斜率．

54．（2016·浙江文·16）　如图，设抛物线y ² =2px （p ＞0）的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1．

（1）求P 的值；

（2）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ．求M 的横坐标的取值范围．

55．（2016·浙江理·19）　如图，设椭圆C ： （a ＞1）．

（1）求直线y =kx +1被椭圆截得到的弦长（用a ，k 表示）；

（2）若任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．

56．（2016·江苏理·22）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y ² =2px （p ＞0）．

（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；

（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．

①求证：线段PQ 的中点坐标为（2-p ，-p ）；

②求p 的取值范围．

极坐标与参数方程

57．（2016·北京理·11）　在极坐标系中，直线 与圆 交于A ，B 两点，则|AB |= ．

58．（2016·新课标1文·23，理·23）　在直线坐标系xOy 中，曲线C ₁ 的参数方程为 （t 为参数，a ＞0）在以坐标原点为极点、x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ₂ ： ．

（1）说明C ₁ 是哪种曲线，并将C ₁ 的方程化为极坐标方程；

（2）直线C ₃ 的极坐标方程为θ =α ₀ ，其中α ₀ 满足tanα ₀ =2，若曲线C ₁ 与C ₂ 的公共点都在C ₃ 上，求α ．

59．（2016·新课标2文理·23）　在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x +6)² +y ² =25．

（1）以坐标原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（2）直线l 的参数方程是 （t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点， ，求l 的斜率．

60．（2016·新课标3文理·23）　在直角坐标系xOy 中，曲线C ₁ 的参数方程为 （θ 为参数），以坐标原点为极点、以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ₂ 的极坐标方程为 ．

（1）写出C ₁ 的普通方程和C ₂ 的直角坐标方程；

（2）设点P 在C ₁ 上，点Q 在C ₂ 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．

61．（2016·江苏理·21）　在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为 （t 为参数），椭圆C 的参数方程为 （θ 为参数）．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．