15.4　公式

我们已经看到在lattice绘图和ggplot2面板中使用了公式。许多统计模型为了指定模型中变量的结构都类似地使用了公式。公式的确切含义取决于传递给它的模型函数（相同的公式分别出现在lattice绘图和ggplot2面板中时，它们的含义是不同的），但大多数模型都满足一个通用的模式：左边指定响应变量，右边指定自变量，两者由波浪线隔开。回到gonorrhoea数据集的例子，我们有：

  1. Rate ~ Year + Age.Group + Ethnicity + Gender

在这里，Rate是响应变量，我们选择了四个自变量（year/age group/ethnicity/gender）。对于可包括截距的模型（几乎都是回归模型），这样的公式隐式包含了截距。如果把它传递给一个线性回归模型，这将意味着：

Rate = α0 + α1 Year + α2 Age.Group + α3 ethnicity + α4 Gender + Ԑ

其中每个αi是一个由该模型决定的常数，而Ԑ是正态分布的误差项。

如果我们不想要截距项，可在右边添加一个零来取消它：

  1. Rate ~ 0 + Year + Age.Group + Ethnicity + Gender

由该式给出的更新的公式为：

Rate = α1 Year + α2 Age.Group + α3 ethnicity + α4 Gender + Ԑ

每个这些公式仅包括自变量，它们之间没有任何交互。如果要包括交互，可以用星号代替加号：

  1. Rate ~ Year * Age.Group * Ethnicity * Gender

这增加了所有可能的双向交互（year和age group，year和ethnicity等），以及三方交互（year和age group和ethnicity等），一直到所有自变量之间都有交互（year和age group和ethnicity和gender）。这往往就太多了，因为所有交互通常是没有意义的。

有两种方式能限制交互的程度。首先，你可以使用冒号新增个别的交互。在下例中，Year：Ethnicity是这两者之间的交互，而Year：Ethnicity：Gender是一个三方的交互：

  1. Rate ~ Year + Ethnicity + Gender + Year:Ethnicity + Year:Ethnicity:Gender

然而，如果你有超过三到四个变量，这种方法就会显得过于精细，会使输入变得很麻烦。使用^符号这种替代语法能让你包括所有的交互组合。下例包括了year、ethnicity和gender，以及它们之间的三个双向交互：

  1. Rate ~ (Year + Ethnicity + Gender) ^ 2

还可以包括变量的修饰版本。例如，环境进程生成了大量符合对数正态分布的变量，你可能希望把它们包含到一个log(var)的线性回归中。这些项可以直接包括在内，但你可能已经发现，包括var^2时会产生问题。因为该语法是保留给交互使用的，所以如果你想把幂计算包含在内，把它们包括在I()内吧：

  1. Rate ~ I(Year ^ 2) # 是Year的平方，而不是交互