递归函数

在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。

举个例子，我们来计算阶乘 n! = 1 x 2 x 3 x … x n ，用函数 fact(n) 表示，可以看出：

fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n

所以， fact(n) 可以表示为 n x fact(n-1) ，只有n=1时需要特殊处理。

于是， fact(n) 用递归的方式写出来就是：

def fact(n):

if n==1:

return 1

return n * fact(n - 1)

上面就是一个递归函数。可以试试：

>>> fact(1)

1

>>> fact(5)

120

>>> fact(100)

93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

如果我们计算 fact(5) ，可以根据函数定义看到计算过程如下：

===> fact(5)

===> 5 fact(4)

===> 5 (4 fact(3))

===> 5 (4 (3 fact(2)))

===> 5 (4 (3 (2 fact(1))))

===> 5 (4 (3 (2 1)))

===> 5 (4 (3 2))

===> 5 (4 6)

===> 5 24

===> 120

递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。

使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。可以试试 fact(1000) ：

>>> fact(1000)

Traceback (most recent call last):

File "<stdin>", line 1, in <module>

File "<stdin>", line 4, in fact

…

File "<stdin>", line 4, in fact

RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison

解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化，事实上尾递归和循环的效果是一样的，所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。

尾递归是指，在函数返回的时候，调用自身本身，并且，return语句不能包含表达式。这样，编译器或者解释器就可以把尾递归做优化，使递归本身无论调用多少次，都只占用一个栈帧，不会出现栈溢出的情况。

上面的 fact(n) 函数由于 return n * fact(n - 1) 引入了乘法表达式，所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式，需要多一点代码，主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中：

def fact(n):

return fact_iter(n, 1)



def fact_iter(num, product):

if num == 1:

return product

return fact_iter(num - 1, num * product)

可以看到， return fact_iter(num - 1, num product) 仅返回递归函数本身， num - 1 和 num product 在函数调用前就会被计算，不影响函数调用。

fact(5) 对应的 fact_iter(5, 1) 的调用如下：

===> fact_iter(5, 1)

===> fact_iter(4, 5)

===> fact_iter(3, 20)

===> fact_iter(2, 60)

===> fact_iter(1, 120)

===> 120

尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。

遗憾的是，大多数编程语言没有针对尾递归做优化，Python解释器也没有做优化，所以，即使把上面的 fact(n) 函数改成尾递归方式，也会导致栈溢出。