11.2 若尔当曲线

球面上的路线没有内外之分。球面会分为两部分，像相邻的拼图一样镶嵌在一起。图11-3左图为Robert Bosch设计的雕刻工艺品《拥抱》（Embrace），上面刻出了一整条若尔当曲线，对称性显而易见。它的表面并不是球面，而且由于有最外侧的浅色环形，实际上可以分辨出内侧区域和外侧区域。尽管如此，图案的中心对称性依然令人称奇。2010年，这件工艺品在数学艺术展（Mathematical Art Exhibition）中荣获一等奖，颁奖机构为美国数学学会和美国数学协会。

图11-3　左图：TSP雕刻工艺品《拥抱》；右图：多重对称环，Robert Bosch供图

Robert Bosch的名字在第1章已经出现过，那道含有100 000座城市的《蒙娜丽莎》TSP题目正是出自他之手。Bosch在美国欧柏林学院数学系工作，现任系主任一职，是一位数学家。数学最优化问题当年是他博士学位论文的研究方向，如今又成为他从事美术创作的工具。¹

^{1. Bosch, R. 2010. Embrace. 2010 Joint Mathematics Meetings Art Exhibition Catalog.}

我对一件作品有了创意之后，先把创意转化成一道数学最优化问题，然后解题，得到答案，看看自己是不是满意。如果我满意了，就到此为止。否则，就修改原来的数学最优化问题，重新解题，得到答案，看看这次结果如何。我经常要反复好多次才能得到自己满意的作品。这些都是因为我喜欢数学最优化——我喜欢它的理论，喜欢它的算法，也喜欢数不清的应用题。

Bosch很喜欢几种最优化方法，包括求解TSP的精确算法和启发式算法。他借助最优化方法创造了无数TSP艺术品，比如第1章的《蒙娜丽莎》以及下一节会出现的波提切利名画《维纳斯的诞生》。Craig Kaplan是加拿大滑铁卢大学的计算机科学家。他们两人合作开发了精细复杂的方法，可以巧妙设定城市位置，从而能用一条好的TSP路线有趣地重现一幅画作。²

^{2. Kaplan, C., R. Bosch. 2005. Proceedings of the Bridges 2005 Conference.}

雕刻工艺品《拥抱》的图案环环相扣。利用Bosch-Kaplan方法，可以创作出相应且合理的TSP画作，但是在得到的若尔当曲线中，相邻的环臂可能位于空间的同一区域，即同处于内侧区域或外侧区域。这时就轮到Bosch出场修改题目了。他用到一种整数规划方法，被他本人称作“随心所欲弯折曲线”（bending the curve to our will）。³给定TSP路线构成的若尔当曲线，他选取自己希望放在曲线两侧的两个点。这一几何要求等价于叙述“连结两点的线段必须与TSP路线相交奇数次”，而后一条件可以添加进TSP的整数规划模型中，作为附加的约束条件。因此Bosch向模型中加入这条异侧约束，使用整数规划解题程序，解决得到的新最优化问题，然后再看看生成的若尔当曲线是否称心如意。

^{3. Bosch. R. 2009. Proceedings of the Bridges 2009 Conference.}

《拥抱》的底材是四分之一英寸（约0.6厘米）厚的金属板，内侧区域由不锈钢构成，外侧区域则是黄铜。一台水切割机⁴用来沿着726座城市的TSP路线切割这两种金属板，得到内外两侧区域的两套金属图案构件，分别配对，就制作成两个版本的《拥抱》。在切割过程中，每块构件上都切除掉一小条金属，在雕刻成品中构成空白区域，让原始路线一目了然。

^{4. 一种利用高压水流切割的机器。——译者注}

Bosch还制作了一条规模更大的多重对称环状若尔当曲线，如图11-3右侧所示。他在一封电子邮件里如此介绍这份作品：

我向TSP题目里加入异侧约束条件，限制路线各边在圆心和边缘处要有五重旋转对称性，在中间区域则要有十重旋转对称性。我又加入了其他异侧约束条件，以得到内外侧分别染色后的错综交织之美。

这次的TSP题目包含2840座城市，因此很难准确求解相应的整数规划问题。图中用到的路线其实是用软件内置的启发式算法求得的。

Philip Galanter的TSP壁画

Bosch和Lethbridge都巧妙地使用了TSP和相应的若尔当曲线。Bosch作品的巧妙之处在于设计中的对称性，而Lethbridge在画作纹理布局上独具匠心。相比之下，Philip Galanter则采取了鲜明直接的做法，绘制了一系列大型TSP壁画。其中一例见图11-4，他利用一条TSP路线和两种对比强烈的颜色给一面墙上色。

图11-4　TSP壁画，Philip Galanter供图

Galanter是美国得克萨斯农工大学视觉系的助理教授。他的研究创作主要围绕美术及音乐中的复杂性和自动化展开。在秘鲁首都利马举行的一次展览上，他介绍自己的作品时，对这一组TSP作品作出了如下评述。¹

^{1. Galanter, P. 2009. Artist text. Artware 5 Exhibition, Lima, Peru, May 2009.}

旅行商系列壁画另辟视角，探寻艺术的出现。每幅壁画都是针对那面墙专门设计而成的，首先生成大量随机点，然后计算机程序计算恰好经过各点一次的最短路线。结果，得到的所有壁画都有共同的视觉风格，这让人感觉有些不可思议。在自然界中，树或其他植物的美则源自于大自然求解一道最优化问题：植物怎样才能利用最少的有机物资源，接收最多的阳光？这两个最优化问题的例子表明，美不是无意义的，也不是由个别天才独占的。美应该既隽永，又能让大众理解。

Galanter计划延续TSP系列设计，再创作几幅新作品，例如完成一件直径16英尺（约4.9米）的金属雕塑，再比如在一大片校园草坪上用足球场划线设备画出一条路线。