4.1　金刚坐飞机问题

国外有一个谚语：

问：体重800磅的大猩猩在什么地方坐？

答：它爱在哪儿坐就在哪儿坐。

这句谚语一般用来形容一些“强人”并不遵守大家公认的规则，所以要对其行为保持警惕。

现在有一班飞机将要起飞，乘客们正准备按机票号码（1，2，3，…N）依次排队登机。突然来了一只大猩猩（对，他叫金刚）。他也有飞机票，但是他插队第一个登上了飞机，然后随意地选了一个座位坐下了^②。根据社会的和谐程度，其他的乘客有两种反应：

1．乘客们都义愤填膺，“既然金刚同志不遵守规定，为什么我要遵守？”他们也随意地找位置坐下，并且坚决不让座给其他乘客。

2．乘客们虽然感到愤怒，但还是以“和谐”为重，如果自己的位置没有被占领，就赶紧坐下，如果自己的位置已经被别人（或者金刚同志）占了，就随机地选择另一个位置坐下，并开始闭目养神，不再挪动位置。

那么，在这两种情况下，第i个乘客（除去金刚同志之外）坐到自己原机票位置的概率分别是多少？

分析与解法

这两个问题之间有一处小小的区别，这个区别是如何影响最后的概率的呢？

【问题1的解法】

我们可以用F（i）来表示第i个乘客坐到自己原机票位置的概率。

第i个乘客坐到自己位置（概率为F（i）），则前i－1个乘客都不坐在第i个位置（设概率为P（i－1）），并且在这种情况下第i个乘客随即选择位置的时候选择了自己的位置（设概率为G（i））。

而P（i－1）可以分解为前i－2个乘客都不坐在第i个位置的概率P（i－2），和在前i－2个乘客都不坐在第i个位置的条件下第i－1个乘客也不坐在第i个位置上的概率Q（i－1）。

于是得到如下的公式（合并结果）：

F（i）＝G（i）P（i－1）＝G（i）Q（i－1）P（i－2）＝G（i）Q（i－1）…Q（2）*P（1）

容易知道Q（i）＝（N-i）/（N－i＋1），P（1）＝（N-1）/N，G（i）＝1/（N－i＋1）

代入公式得到，F（i）＝1/N。

【问题2的解法】

可以按照金刚坐的位置来分解问题，把原问题从“第i个乘客坐在自己位置上的概率是多少”变为“如果金刚坐在第n个位置上，那么第i个乘客坐在自己位置上的概率是多少”（设这个概率为f（n））。

现在金刚坐在了n号位置上。如果n＝1或n＞i，那么第i个乘客坐在自己位置上的概率是1（因为大家会尽量坐到自己的位子上，2号乘客将选择坐到2号位置上……）。如果n＝i，那么第i个乘客是没希望坐到自己的位置上了（他还不至于敢和金刚PK）。如果1＜n＜i，那么问题似乎并没有太直接的求解方式。我们来继续分解问题。当金刚坐在了第n（1＜n＜i）个位置上的时候，第2，3，…，n－1号的乘客都可以坐到自己的座位上，于是我们可以按照第n个乘客坐的位置来继续分解这个问题。如果第n个乘客，选了金刚的座位，那么第i个乘客一定坐在自己的位置上；而如果第n个乘客坐在第j（n＜j＜＝N）个座位上，就相当于金刚坐了第j个座位。

把问题分解到这一步，应该可以进行问题解答的合并了。一般来讲，合并这个步骤，有可能很简单，也可能很复杂，这主要取决于问题分解的结果。在这道题目里，合并问题的主要工具是全概率公式，也即，这里i表示各种不同的情况，P（i）表示这种情况发生的概率，表示在这种情况下事件M发生的概率。

首先求解f（n）（1＜n＜i），由前面的分析可知：

其中j表示第n个乘客坐的位置。

所以

由此递推式，可得f（n）＝f（n＋1）（1＜n＜i－1)

将n＝2代入（式1），再利用f（x）＝1（x＞i），f（x）＝0(x＝i），另1＜n，n＋1＜i－1可得：，所以

则就是第i个乘客坐在自己位置上的概率。

回顾

有些问题看起来规模太大而无从下手。这时我们可以采用分而治之的方法，这个方法有两个核心步骤：

1．分解问题，得到局部问题的答案。

2．合并问题的解答。

扩展问题

在这个问题假设所有乘客是按照机票座位的次序（1，2，3，…）登机的，在现实生活中，乘客登机并没有一定的次序。如果在金刚抢先入座之后，所有乘客以随机次序登机，并且有原来题目所描述的两种行为，那第i个乘客坐到自己原机票位置的概率分别是多少？