［1］《连线》第7卷第4期（1999年4月），存档于www.wired.com/wired/archive/7.04。

    ［2］ 托马斯·海尔斯爵士，The Thirteen Books of Euclid’s Elements，2E（Cambridge University Press，1926，Dover Publications，1956），Vol. 1，154-155。

    ［3］ 托马斯·海尔斯爵士，Mathematics in Aristotle（Oxford University Press，1949，Thoemmes Press，1998），50-57，或者参见Howard Eves，Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics，3rd edition（PWS-Kent，1990；Dover，1997），29-32。

    ［4］ 康斯坦斯·雷德，Hilbert（Springer-Verlag，1970，1996），57。

    ［5］ 雷德，Hilbert，25。

    ［6］ 英文版见Jean van Heijenoort，ed.，From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931（Harvard University Press，1967），1-82。

    ［7］ 雷德，Hilbert，69。

    ［8］ 引自Ben H. Yandell，The Honors Class: Hilbert’s Problems and Their Solvers（A. K. Peters，2002），389。演讲的英文版最初刊登在 Bulletin of the American Mathematical Society，Vol. 8（July 1902），由Mary Winston Newson翻译。修订版见Jeremy J. Gray，The Hilbert Challenge（Oxford University Press，2000），240。

    ［9］ 引自Yandell，The Honors Class，395。

    ［10］ 引自Gray，The Hilbert Challenge，58。

    ［11］ 引自Yandell，The Honors Class，397。

    ［12］ 引自Yandell，The Honors Class，406。在Ivor Grattan-Guinness的 “A Sideways Look at Hilbert’s Twenty-three Problems of 1900”，Notices of the American Mathematical Society，Vol. 47，No. 7（August 2000），752-757中，翻译为 “丢番图方程可解性的判定性”。术语 “有理整数” 意为我们熟悉的普通整数。

    ［13］ 见Oxford English Dictionary，2nd edition，I，313。 同见Donald E. Knuth所著 “The Art of Computer Programming”，Vol. 1，Fundamental Algorithms，3rd edition（Addison-Wesley，1997）的开篇。最有名的古老算法是欧几里得找出两个数的最大公约数的方法，但是术语 “Euclid’s Algorithm” 直到20世纪初才首次使用。

    ［14］ 来自德语中的空间和时间Raum和Zeit。——译者注

    ［15］ 功利主义是伦理学中的一个理论。——译者注

    ［16］ 伯特兰·罗素，The Autobiography of Bertrand Russell，1872-1914（George Allen and Unwin Ltd，1967），36。

    ［17］ From Frege to Gödel，124-125。

    ［18］ 伯特兰·罗素，“The Theory of Types” 于 From Frege to Gödel，150-182中。

    ［19］ I. Grattan-Guinness，The Search for Mathematical Roots, 1870-1940: Logics, Set Theories and the Foundations of Mathematics from Cantor through Russell to Gödel（Princeton University Press，2000），380。

    ［20］ Grattan-Guinness，The Search for Mathematical Roots，454。

    ［21］ 最初的结论出现在54.43节，“From this proposition it will follow, when arithmetical addition has been defined, that 1 + 1 = 2”，另外可以在怀特海和罗素所著的 Principia Mathematica to56（Cambridge University Press，1997）简本中方便找到。不过，通过严谨的观察完成的证明直到Vol. II *110.643节中才出现，“上述引理有时是有用的”。

    ［22］ 雷德，Hilbert，137。

    ［23］ 后来数学家G. H. 哈代写了一本描述这些事件的小册子，1942年由Cambridge University Press出版，并在小圈子里传播。后来重新出版，书名改为 Bertrand Russell and Trinity: A College Controversy of the Last War（Cambridge University Press，1970）。

    ［24］ Grattan-Guinness，Search for Mathematical Roots，471，footnote 28。

    ［25］ William Ewald，ed.，From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics（Oxford University Press，1996），Vol. II，1113。

    ［26］ 引自 Paolo Mancosu，“Between Russell and Hilbert: Behmann on the Foundations of Mathematics”，The Bulletin of Symbolic Logic，Vol. 5，No. 3（Sept.1999），321。

    ［27］ Wilfried Sieg，“Hilbert’s Programs 1917-1922”，The Bulletin of Symbolic Logic，Vol. 5，No. 1（March 1999），22。

    ［28］ 《希尔伯特和阿克曼》，Grundzüge der Theoretischen Logik（Verlag von Julius Springer，1928）。第2版于1938年发表，其中反映了前几十年中的其他研究，德文第2版的英文翻译由Chelsea 出版公司于1950年出版。德文第1版没有英文翻译版。

    ［29］ 《希尔伯特与阿克曼》，Grundzüge der Theoretischen Logik，68。

    ［30］ From Kant to Hilbert，Vol. II，1157-1165。

    ［31］ 实际标题是 “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I”，发表在 Monatshefte für Mathematik Und Physik，Vol. 38（1931），173-198。 第一个英文版是由爱丁堡大学的Bernard Meltzer翻译，出现在书Kurt Gödel，On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems（Basic Books，1962，Dover Publications，1992）中。第二个英文版由纽约皇后大学的Elliott Mendelson教授翻译，出现在Martin Davis的书 The Undecidable: Basic Papers on Undecidable Propositions，Unsolvable Problems and Computable Functions（Raven Press，1965），5-38中。第三个英文版由Jean van Heijenoort翻译（Gödel本人也参与协助），出现在他自己的书 From Frege to Gödel中，596-616。这也是Kurt Gödel，Collected Works，Volume I，1929-1936（Oxford University Press，1986），144-195中所使用的翻译版本。这篇论文常称为 “Gödel 1931”。

    ［32］ 雷德，Hilbert，198。

    ［33］ The Autobiography of Bertrand Russell，1872-1914，153。

    ［34］ http://nobelprize.org/nobel_prizes/literature/laureates/1950。

    ［35］ 雷德，Hilbert，205。

    ［36］ 《希尔伯特与阿克曼》，Grundzüge der Theoretischen Logik，77。

    ［37］ 阿隆佐·邱奇，“A Note on the Entscheidungsproblem”，The Journal of Symbolic Logic，Vol. 1，No.1（March 1936），41。

    ［38］ 阿兰·图灵，“On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem”，Proceedings of the London Mathematical Society，2nd Series，Vol. 42（1936），231。（本书第67页）。

    ［39］ 同上，262（本书第277页）。

    ［40］ 雷德，Hilbert，209。