1.1　什么是数学建模

1.1.1　数学模型

数学模型（Mathematical Model）并不陌生，很多数学建模教材都有表述．简单地说，数学模型是用数学语言对实际问题的表述． 这里“数学语言”包括文字语言、图形（几何的）、含字母的式子（代数的）、数据表等；这里的“实际问题”是问题的本身或客观对象的抽象（也就是平常所说的定义），或问题的结论（其内在规律的描述，也就是平常所说的定理）．

例如：我们说平面上两个圆相离，可以用如下数学模型来表示：设两个圆的半径分别为r ₁ 、r ₂ ，两个圆心的距离为d ，如果r ₁ ＋r ₂ <d ，则称两个圆相离．这个数学模型表述的是问题本身，即平面上两个圆相离的代数定义（当然也可用图形—几何的方式表述）．

另外，设圆的半径r ，数学模型L ＝2πr 表示的是圆的周长L 与圆的半径r 的内在关系．

很多人只注意到数学模型可以表达实际问题的内在规律（结论或定理），而忽视数学模型表达问题本身．因此，特别强调，数学模型既可以表示问题的定义，又可以表达实际问题的某个结论．

1.1.2　数学建模

按上面的定义，数学建模（Mathematical Modeling）是如何用数学语言表述并解决实际问题的过程．

数学建模是一个动作，一个研究、思考、解决问题的过程．因此，数学建模能力的培养有利于研究问题、思考问题、解决问题的能力的提高．

因为数学模型既可以表示问题的定义，又可以表达实际问题的内在关系．也就是说，我们既可对问题本身来数学建模，又可以对实际问题的内在关系来数学建模．

例如：平面曲线光滑的定义——对“光滑”的数学建模：如何用数学语言表述平常生活上所说的“光滑”？生活上平面曲线光滑的理解应该是自然弯曲，没有断点，没有折拐（即尖点），即没有突然的变化，在数学上什么表示“变化”？当然是导数—切线的斜率．如果某曲线是光滑的，那么曲线的切线沿着曲线运动，它的变化是自然的，既没有断，也没有突兀．反过来，如果线不光滑，则曲线的切线可能没有或可能发生突然变化．即可以用切线是否连续变化来定义是否光滑，因此，可以用该曲线的导函数的连续性来定义光滑．

通常，对实际问题的内在规律的建模问题不胜枚举，因此淹没了对问题本身的建模（定义的数学表述）．在大多数学教科书中，一般直接给出某个概念的定义，学生往往只记住这个定义最多理解这个定义，很少琢磨这个定义是如何表述出来的，即很少研究定义的数学建模过程．

现在，有了数学建模的概念，回过头去看数学主干课程的教科书，研究一下那些概念是如何提出的，如何表达（建模）的，这对数学的抽象过程、数学思想方法的理解是大有裨益的．你会看到数学不是那么枯燥的、晦涩的，而是自然的、有趣的．