4.2　插值和拟合

插值和拟合都是构造函数对已有的离散点对进行逼近，或者用简单函数（一般是多项式）近似代替复杂函数．

4.2.1　插值

对于已有的离散点对（x_i ，y_i ）i ＝0，1，…，n ，需构造一个相对简单的函数y ＝g （x ），使g 通过全部的结点，即y_i ＝g （x_i ）i ＝0，1，…，n ，用g （x ）作为函数f （x ）的近似．找到的简单函数称为插值函数，如果g （x ）是多项式则称为插值多项式．

当n ＝1时，通过已知2点的多项式函数（简单函数）为直线，设直线方程为g （x ）＝ax ＋b ，将已知2点的坐标代入即可求出a 与b ；

当n ＝2时，通过已知3点的多项式函数（简单函数）为二次曲线，设方程为g （x ）＝ax ² ＋bx ＋c ，将已知3点的坐标代入即可求出a、b 和c ；

很明显，有n ＋1个点对时，可以唯一确定一个n 次多项式（用待定系数法可求），这个多项式称为插值多项式．由插值多项式又可以近似求出其他点的函数值．

Matlab提供了函数求已知点列求其他点函数值．

A．一维插值interp1（）

格式1：interp1（x，y，xi）求出点列（x，y）的插值函数在xi的值

格式2：interp1（x，y，xi，method）求出点列（x，y）的插值函数在xi的值，这里x，y是已知数据点，xi表示要求的数据点，method的取值为′nearest′表最近插值，′linear′表线性插值，′spline′三次样条插值，′cubic′表三次插值．

B．三次样条插值spline（）

格式1：spline（x，y）获得分段三次样条函数

格式2：spline（x，y，xi）直接求出三次样条插值函数在xi点的值．

注：interp1（x，y，xi，′spline′）与spline（x，y，xi）是等价的．

C．二维插值interp2（）

格式1：interp2（x，y，z，xi，yi）求出点列（x，y，z）的插值函数在点xi，yi的值．

格式2：interp2（x，y，z，xi，yi，method）求出点列（x，y，z）的插值函数在点xi，yi处的值.method的取值同上．

D．其他插值函数

4.2.2　拟合

对于已有的离散点对（x_i ，y_i ）i ＝0，1，…，n ，需寻找一个相对简单的函数y ＝g （x ），使g 与全部结点达到最近．这种方法称为拟合，找到的函数称为拟合函数．

注意到拟合函数与插值函数的区别，插值函数要求通过每一点，而拟合只要求函数与所有点都达到最近．这里说的“最近”是总体上的最近，可有多种定义，一般定义为误差的平方和最小．

为简单起见，一般找多项式函数作为拟合函数．确定拟合多项式的步骤如下：

A．确定次数——通过观察已给点的图形来确定

B．确定系数——通过最小二乘法来确定

MATLAB的提供了polyfit函数从一阶到高阶多项式的拟合，其格式为：

格式1：p＝polyfit（x，y，n）

格式2：［p，s］＝polyfit（x，y，n）

其中x，y为已知的数据组，n为要拟合的多项式的阶次，向量p为返回的要拟合的多项式的系数．

注意：

1．多项式拟合必须先确定次数，确定的办法是根据图形来观察，须有一定的预备知识．

2．根据实际问题的数学模型的需要，可将其他函数如指数函数、对数函数线性化后再进行拟合．

练习1：设某国今年的国民生产总值为45600亿元，若今后每年以8％的增长率增长，计算：

（1）多少年后能实现国民生产总值翻一番？

（2）若每年再提高一个百分点（即9％）则至少可提前多少年？（精确到年）

练习2：人口问题：已知60年代的人口增长的统计数据（单位：百万）

请预测2000年的人口数目．