4.4　线性方程组的数值解

4.4.1　矩阵相除法X＝A\B

在MATLAB中，线性方程组AX＝B的直接解法是用矩阵左除来完成的，即X＝A\B．若A为m×n的矩阵，当m＝n且A可逆时，给出唯一解；当n>m时，矩阵除给出方程的最小二乘解；当n<m时，矩阵除给出方程的最小范数解．

>>a＝［1 -1 1 -1；1 -1 -1 1；1 -1 -2 2 ］；％A为3×4矩阵，n>m >>b＝［1；0；-0.5］；

>>c＝a\b％因为n>m，矩阵除给出方程的最小二乘解

4.4.2　消去法rref（）

方程的个数和未知数个数不相等，也可用消去法．将增广矩阵（由［A B］构成）化为简化阶梯形，若系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，则方程组无解；若两者的秩相等，则方程组有解，方程组的解就是行简化阶梯形所对应的方程组的解．

>>a＝［1 -1 1 -1 1；1 -1 -1 1 0；1 -1 -2 2 -0.5］；％为增广矩阵，由［A B］构成

>>rref（a）

4.4.3　逆矩阵法inv（）

inv（）函数求矩阵的逆矩阵，若系数矩阵是方阵，且是满秩，则方程组有唯一解，可以通过求逆矩阵来求解．

>>a＝［1 2 1 ；2 1 -1；2 2 2］；

>>b＝［0 2 1］′；

>>x＝inv（a）*b；

4.4.4　函数linsolve

格式：X＝linsolve（A，B）其中A，B是两个矩阵

如：A＝［34 8 4；3 34 6；3 6 8］；B＝［4；6；2］；X＝linsolve（A，B）

使用linsolve（A，B）可以对变量个数多于方程的个数的方程组求解；但要求A是满秩的．

4.4.5　迭代法

在线性方程组中常用的迭代解法主要有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、SOR（超松弛）迭代法等．Matlab没有提供相应的函数，可以自己写出其函数．

练习

写一个Jacobi迭代法的程序，首部如下：

function tx＝jacobi（A，b，imax，x0，tol）

其中线性方程组AX＝b，迭代初值为x0，迭代次数由imax提供，精确度由tol提供．

注：Jacobi迭代法是将方程组AX＝b写成：x＝Bx＋g的形式，其中B是将A中主对角线上的元素移至左边后再单位化后形成的矩阵．