7.5　组间差异的非参数检验

如果数据无法满足t检验或ANOVA的参数假设，可以转而使用非参数方法。举例来说，若结果变量在本质上就严重偏倚或呈现有序关系，那么你可能会希望使用本节中的方法。

7.5.1　两组的比较

若两组数据独立，可以使用Wilcoxon秩和检验（更广为人知的名字是Mann–Whitney U检验）来评估观测是否是从相同的概率分布中抽得的（即，在一个总体中获得更高得分的概率是否比另一个总体要大）。调用格式为：

  1. wilcox.test(y ~ x, data)

其中的y是数值型变量，而x是一个二分变量。调用格式或为：

  1. wilcox.test(y1, y2)

其中的y1和y2为各组的结果变量。可选参数data的取值为一个包含了这些变量的矩阵或数据框。默认进行一个双侧检验。你可以添加参数exact来进行精确检验，指定alternative="less"或alternative="greater"进行有方向的检验。

如果你使用Mann–Whitney U检验回答上一节中关于监禁率的问题，将得到这些结果：

  1. > with(UScrime, by(Prob, So, median))
  3. So: 0
  4. [1] 0.0382
  5. --------------------
  6. So: 1
  7. [1] 0.0556
  9. > wilcox.test(Prob ~ So, data=UScrime)
  11.         Wilcoxon rank sum test
  13. data:  Prob by So
  14. W = 81, p-value = 8.488e-05
  16. alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

你可以再次拒绝南方各州和非南方各州监禁率相同的假设（p < 0.001）。

Wilcoxon符号秩检验是非独立样本t检验的一种非参数替代方法。它适用于两组成对数据和无法保证正态性假设的情境。调用格式与Mann–Whitney U检验完全相同，不过还可以添加参数paired=TRUE。让我们用它解答上一节中的失业率问题：

  1. > sapply(UScrime[c("U1","U2")], median)
  2. U1 U2
  3. 92 34
  5. > with(UScrime, wilcox.test(U1, U2, paired=TRUE))
  7.         Wilcoxon signed rank test with continuity correction
  9. data:  U1 and U2
  10. V = 1128, p-value = 2.464e-09
  11. alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

你再次得到了与配对t检验相同的结论。

在本例中，含参的t检验和与其作用相同的非参数检验得到了相同的结论。当t检验的假设合理时，参数检验的功效更强（更容易发现存在的差异）。而非参数检验在假设非常不合理时（如对于等级有序数据）更适用。

7.5.2　多于两组的比较

在要比较的组数多于两个时，必须转而寻求其他方法。考虑7.4节中的state.x77数据集。它包含了美国各州的人口、收入、文盲率、预期寿命、谋杀率和高中毕业率数据。如果你想比较美国四个地区（东北部、南部、中北部和西部）的文盲率，应该怎么做呢？这称为单向设计（one-way design），我们可以使用参数或非参数的方法来解决这个问题。

如果无法满足ANOVA设计的假设，那么可以使用非参数方法来评估组间的差异。如果各组独立，则Kruskal—Wallis检验将是一种实用的方法。如果各组不独立（如重复测量设计或随机区组设计），那么Friedman检验会更合适。

Kruskal–Wallis检验的调用格式为：

  1. kruskal.test(y ~ A, data)

其中的y是一个数值型结果变量，A是一个拥有两个或更多水平的分组变量（grouping variable）。（若有两个水平，则它与Mann–Whitney U检验等价。）而Friedman检验的调用格式为：

  1. friedman.test(y ~ A | B, data)

其中的y是数值型结果变量，A是一个分组变量，而B是一个用以认定匹配观测的区组变量（blocking variable）。在以上两例中，data皆为可选参数，它指定了包含这些变量的矩阵或数据框。

让我们利用Kruskal–Wallis检验回答文盲率的问题。首先，你必须将地区的名称添加到数据集中。这些信息包含在随R基础安装分发的state.region数据集中。

  1. states <- as.data.frame(cbind(state.region, state.x77))

现在就可以进行检验了：

  1. > kruskal.test(Illiteracy ~ state.region, data=states)
  3.         Kruskal-Wallis rank sum test
  5. data:  states$Illiteracy by states$state.region
  6. Kruskal-Wallis chi-squared = 22.7, df = 3, p-value = 4.726e-05

显著性检验的结果意味着美国四个地区的文盲率各不相同（p <0.001）。

虽然你可以拒绝不存在差异的原假设，但这个检验并没有告诉你哪些地区显著地与其他地区不同。要回答这个问题，你可以使用Mann–Whitney U检验每次比较两组数据。一种更为优雅的方法是在控制犯第一类错误的概率（发现一个事实上并不存在的差异的概率）的前提下，执行可以同步进行的多组比较，这样可以直接完成所有组之间的成对比较。npmc包提供了所需要的非参数多组比较程序。

说实话，我将本章标题中基本的定义拓展了不止一点点，但由于在这里讲非常合适，所以希望你能够容忍我的做法。第一步，请先安装npmc包。此包中的npmc()函数接受的输入为一个两列的数据框，其中一列名为var（因变量），另一列名为class（分组变量）。代码清单7-20中包含了可以用来完成计算的代码。

代码清单7-20　非参数多组比较

  1. > class <- state.region
  2. > var <- state.x77[,c("Illiteracy")]
  3. > mydata <- as.data.frame(cbind(class, var))
  4. > rm(class, var)
  5. > library(npmc)
  6. > summary(npmc(mydata), type="BF")
  8. $'Data-structure'
  9.               group.index   class.level nobs
  10. Northeast               1     Northeast    9
  11. South                   2         South   16
  12. North Central           3 North Central   12
  13. West                    4          West   13
  15. $'Results of the multiple Behrens-Fisher-Test'       # ❶ 成对组间比较结果
  16.   cmp effect lower.cl upper.cl p.value.1s p.value.2s
  17. 1 1-2 0.8750  0.66149   1.0885   0.000665    0.00135
  18. 2 1-3 0.1898 -0.13797   0.5176   0.999999    0.06547
  19. 3 1-4 0.3974 -0.00554   0.8004   0.998030    0.92004
  20. 4 2-3 0.0104 -0.02060   0.0414   1.000000    0.00000
  21. 5 2-4 0.1875 -0.07923   0.4542   1.000000    0.02113
  22. 6 3-4 0.5641  0.18740   0.9408   0.797198    0.98430
  24. > aggregate(mydata, by=list(mydata$class), median)        # ❷ 各类别的文盲率中间值
  25.   Group.1 class  var
  26. 1       1     1 1.10
  27. 2       2     2 1.75
  28. 3       3     3 0.70
  29. 4       4     4 0.60

调用了npmc的语句生成了六对统计比较结果（东北部对南部、东北部对中北部、东北部对西部、南部对中北部、南部对西部，以及中北部对西部）❶。可以从双侧的p值（p.value.2s）看出南部与其他三个地区显著不同，而其他三个地区之间并没有什么不同。在❷处可以看到南部的文盲率中间值更高。注意，npmc在计算积分时使用了随机数，所以每次计算的结果会有轻微的不同。