9.2　ANOVA模型拟合

虽然ANOVA和回归方法都是独立发展而来，但是从函数形式上看，它们都是广义线性模型的特例。用第7章讨论回归时用到的lm()函数也能分析ANOVA模型。不过，本章我们基本都使用aov()函数。两个函数的结果是等同的，但ANOVA的方法学习者更熟悉aov()函数展示结果的格式。为保证完整性，在本章最后我们将提供一个使用lm()的例子。

9.2.1　aov()函数

aov()函数的语法为aov(formula, data = dataframe)，表9-4列举了表达式中可以使用的特殊符号。表9-4中的y是因变量，字母A、B、C代表因子。 表9-4　R表达式中的特殊符号

符　　号 用　　法
~ 分隔符号，左边为响应变量，右边为解释变量。例如，用A、B和C预测y，代码为y~ A + B + C
+ 分隔解释变量
: 表示变量的交互项。例如，用A、B和A与B的交互项来预测y，代码为y~ A + B + A:B
* 表示所有可能交互项。代码y~ A * B * C可展开为y ~ A + B + C + A:B + A:C + B:C + A:B:C
^ 表示交互项达到某个次数。代码y ~ (A + B + C)^2可展开为y ~ A + B + C + A:B + A:C + B:C
. 表示包含除因变量外的所有变量。例如，若一个数据框包含变量y、A、B和C，代码y ~ .可展开为y ~ A + B + C

表9-5列举了一些常见的研究设计表达式。在表9-5中，小写字母表示定量变量，大写字母表示组别因子，Subject是对被试者独有的标识变量。 表9-5　常见研究设计的表达式

设　　计 表　达　式
单因素ANOVA y ~ A
含单个协变量的单因素ANCOVA y ~ x + A
双因素ANOVA y ~ A * B
含两个协变量的双因素ANCOVA y ~ x1 + x2 + A*B
随机化区组 y ~ B + A（B是区组因子）
单因素组内ANOVA y ~ A + Error(Subject/A)
含单个组内因子（W）和单个组间因子（B）的重复测量ANOVA y ~ B * W + Error(Subject/W)

本章后面将深入探讨几个实验设计的例子。

9.2.2　表达式中各项的顺序

表达式中效应的顺序在两种情况下会造成影响：(a)因子不止一个，并且是非平衡设计； (b)存在协变量。出现任意一种情况时，等式右边的变量都与其他每个变量相关。此时，我们无法清晰地划分它们对因变量的影响。

例如，对于双因素方差分析，若不同处理方式中的观测数不同，那么模型y ~ A*B与模型y ~ B*A的结果不同。

R默认类型I（序贯型）方法计算ANOVA效应（参考补充内容“顺序很重要！”）。第一个模型可以这样写：y ~ A + B + A:B。R中的ANOVA表的结果将评价：

  • A对y的影响；

  • 控制A时，B对y的影响；

  • 控制A和B的主效应时，A与B的交互效应。

顺序很重要！

当自变量与其他自变量或者协变量相关时，没有明确的方法可以评价自变量对因变量的贡献。例如，含因子A、B和因变量y的双因素不平衡因子设计，有三种效应：A和B的主效应，A和B的交互效应。假设你正使用如下表达式对数据进行建模：

Y ~ A + B + A:B

有三种类型的方法可以分解等式右边各效应对y所解释的方差。

类型I（序贯型）

效应根据表达式中先出现的效应做调整。A不做调整，B根据A调整，A:B交互项根据A和B调整。

类型II（分层型）

效应根据同水平或低水平的效应做调整。A根据B调整，B依据A调整，A:B交互项同时根据A和B调整。

类型III（边界型）

每个效应根据模型其他各效应做相应调整。A根据B和A:B做调整，A:B交互项根据A和B调整。

R默认调用类型I方法，其他软件（比如SAS和SPSS）默认调用类型III方法。

样本大小越不平衡，效应项的顺序对结果的影响越大。一般来说，越基础性的效应越需要放在表达式前面。具体来讲，首先是协变量，然后是主效应，接着是双因素的交互项，再接着是三因素的交互项，以此类推。对于主效应，越基础性的变量越应放在表达式前面，因此性别要放在处理方式之前。有一个基本的准则：若研究设计不是正交的（也就是说，因子和/或协变量相关），一定要谨慎设置效应的顺序。

在讲解具体的例子前，请注意car包中的Anova()函数（不要与标准anova()函数混淆）提供了使用类型II或类型III方法的选项，而aov()函数使用的是类型I方法。若想使结果与其他软件（如SAS和SPSS）提供的结果保持一致，可以使用Anova()函数，细节可参考help(Anova, package = "car")。