6.2　根轨迹定义

由前面章节可知，自动控制系统的稳定性完全由它的闭环极点（特征根）决定，而系统的品质则取决于它的闭环极点和零点。因此在设计一个闭环控制系统时，如果能够通过分析开环系统来确定闭环系统的特征，那将具有很大意义。如果系统具有可变的环路增益，则闭环极点的位置取决于所选择的环路增益值，因此，当环路增益变化时，知道闭环极点在S平面内如何移动，即根移动的轨迹，那对系统分析和设计具有很大意义。

从系统设计的角度来看，在某些系统中，简单的回路增益调整就可以将闭环极点移动到所需的位置，那么设计问题就转变成了选择合适的增益值的问题。

控制系统的闭环极点就是它的特征方程的根，求解高阶（三阶以上）特征方程的根是很麻烦的，需要借助计算机（MATLAB可以使该问题变得简单）。但是，求出特征方程的根可能是有限的值，因为当开环增益变化时，特征方程也在变化，因此这种计算是重复进行的。

1948年，W.R.Evans（伊凡思）根据反馈系统开环和闭环传递函数之间的关系，提出了一种简便的方法，由开环传递函数来直接寻求闭环特征根的轨迹的总体规律，而无须求解高阶系统的特征根。这在工程实践中获得了广泛的应用，这就是根轨迹法。根轨迹法用图解的方法来表示特征方程的根与系统的某个参数（通常是回路增益）之间的全部数值关系，该参数的某个特定值所对应的根显然位于上述关系图上。

当改变增益值或增加开环零极点时，可以利用根轨迹法预测其对闭环极点位置的影响。因此，掌握根轨迹的画法将非常有用，包括手工画和计算机辅助画，它们是利用根轨迹法分析和设计系统的基础。

所谓根轨迹是系统的某个特定参数，通常是回路增益K从0变化到无穷大时，描绘闭环系统特征方程的根在S平面的所有可能位置的图形。

根轨迹法的基本概念是使开环传递函数等于-1的s值必须满足系统的特征方程。

通过考察根轨迹图，设计者能够对控制器的结构和参数做出明智的选择，并推知大量受控系统闭环特性的相关信息。

若能掌握根轨迹图的一般作图规则，那么画已知系统的根轨迹将会变成一件容易的工作。利用MATLAB产生根轨迹是一件非常简单的事情，若有手工画根轨迹的经验，那么对于理解MATLAB产生的根轨迹图，并迅速获得根轨迹的基本概念，都将是非常有益的。