13.3　线性二次型最优控制问题

给定连续定常系统的状态空间为，最优控制的性能指标函数为

式中，Q为状态加权系数矩阵，R为控制加权系数矩阵。当tf=∞时，上述问题就是典型的无限时间最优调节器问题，最优控制为：

式中，是最优控制反馈系数矩阵，P(t)需要满足如下的Riccati方程：

因为Riccati方程中的A，B，Q，R均为常数矩阵，所以P(t)是存在且唯一的，并且是非负定的。

在最优控制下，性能指标可以写为

对状态完全可观的系统，如果Q可以分解为Q=STS，且(A,S)可观，那么最优控制存在，并且闭环系统是渐进稳定的。

以上提到的都是针对连续系统的。如果控制系统是离散的，则状态方程为

最优控制的性能指标为

那么，最优控制序列为：

式中，最优反馈系数矩阵为

Pk为非负定矩阵，且满足离散的Riccati方程：

当N→∞时，最优控制的解为稳态解，此时的性能指标为

式中，K,P均为常数矩阵。计算可得，最优的性能指标值为。