13.5　综合实例及MATLAB/Simulink应用

13.5　综合实例及MATLAB/Simulink应用

下面通过几个综合实例，讲述MATLAB/Simulink在本章中的应用。

【例13-1】　给定系统 H_380-0-3 。求最优控制，使性能指标 H_380-0-2 取极小值。性能指标中， H_381-01 ，r=1。

解：利用MATLAB求解的基本步骤如下。

【步骤1】　建立系统的模型。

首先建立给定控制系统的数学模型，MATLAB代码如下：

clc;           % 清除窗口显示
clear;           % 清除工作空间所有变量
A = [0 1;0 0];  B = [0 ; 1]; C = [1 0]; D = [0];   %系统的状态空间矩阵
sys = ss(A,B,C,D)         % 建立控制系统的状态空间模型

【步骤2】　判断系统的可控性和可观性。

根据建立的控制系统状态空间模型，计算系统的可控矩阵，判断其可控性。

MATLAB代码如下：

control = ctrb(A,B)         % 计算系统的可控矩阵
if rank(control) ==2         % 如果系统的可控矩阵满秩
    disp('系统是完全能控的！');        % 说明系统的完全能控的
else           % 如果不满秩
    disp('系统是不完全能控的！');      % 说明系统不完全能控
end

程序运行结果为：

control = 0     1
        1     0
系统是完全能控的！

其次，还可以将 H_381-0-1 分解为 H_381-0-2 。计算相应的能观矩阵，代码如下：

s = [1 0; 0 1];    observe = [s ; s * A]  % 计算能观矩阵

程序运行的结果为：

observe =  1     0
      0     1
      0     1
      0     0

矩阵的秩为2，系统能改。因此，可以设计最优反馈调节器，并且使得闭环后的系统稳定。

【步骤3】　计算线性二次型最优控制的解。

根据建立好的系统模型，利用lqr函数计算线性二次型最优控制的解。

MATLAB代码如下：

% 最优控制与最优性能的求解
R = 1;  Q = [1 0; 0 1];  [K,P,E] = lqr(A,B,Q,R)    % 计算最优状态反馈的解

程序运行的结果为：

K =  1.0000    1.7321
P =  1.7321    1.0000
    1.0000    1.7321
E = -0.8660 + 0.5000i
    -0.8660 - 0.5000i

也就是说，最优的状态反馈为K=[1 1.7321]。因此，系统的最优控制为u=-Kx=-x1-1.7321x2。

【步骤4】　分析闭环系统的特性。

下面进一步讨论闭环系统的特性。引入状态反馈后，系统的状态转移矩阵变为 H_382-01 。利用MATLAB建立闭环系统的数学模型，并且比较反馈前后系统的稳定性。代码如下：

A_new = A - B * K;        % 反馈后系统的状态矩阵
sys_new = ss(A_new,B,C,D)        % 建立闭环控制系统的数学模型
figure(1)          % 开启新的图形窗口
step(sys);          % 绘制反馈前系统的阶跃响应曲线
gtext('反馈前')        % 给曲线添加标注
figure(2)          % 开启新的图形窗口
step(sys_new);         % 绘制反馈后系统的阶跃响应曲线
gtext('反馈后')        % 给曲线添加标注

程序运行的结果为：

% 闭环系统的状态空间表示
a =         x1      x2
   x1       0       1
   x2      -1  -1.732
b =     u1
   x1   0
   x2   1
c =     x1  x2
   y1   1   0
d =     u1
   y1   0

对比反馈前后系统的阶跃响应曲线，如图13.1所示。

从图13.1中不难看出，反馈前系统不稳定；通过状态反馈，闭环系统稳定，并且在阶跃响应下的稳态值为1，稳态误差为0。这与步骤2中对系统能控性和能观性的分析结果相符合。

P_384-1

图13.1　对比反馈前后系统的阶跃响应曲线

从步骤3计算得出的E矩阵中也可以分析出闭环系统的稳定性。因为E是闭环系统状态矩阵的特征值，而它们都位于复平面的左半部分，因此系统是稳定的。

【例13-2】　给定离散控制系统如下：

P_382-1

求最优控制，使性能指标 H_383-01 取极小值。式中， H_383-02 ，R=1。

解：利用MATLAB求解的基本步骤如下。

【步骤1】　建立系统的模型。

首先建立控制系统的数学模型。代码如下：

clc;            % 清除工作窗口中的显示
clear;            % 清除工作空间中的所有变量
A = [1 0; -1 1]; B = [1; -1]; C = [1 0];    D = [0];       %系统的状态矩阵
Q = [100 0; 0 1];        R = 1;           % 设定指标函数中的Q、R矩阵
sys = ss(A,B,C,D)          % 建立控制系统的状态空间模型

【步骤2】　计算离散线性二次型最优控制的解。

利用MATLAB中的dlqr命令，计算离散线性二次型最优控制的解。代码如下：

[K,S,E] =dlqr(A,B,Q,R)          % 计算最优控制的解
A_new = A - B * K;          % 反馈后系统的状态矩阵
sys_new =ss(A_new,B,C,D)         % 建立反馈后系统的数学模型

程序运行的结果为：

K =      0.9911   -0.0942
S = 100.9911      -0.0942
   -0.0942   10.5219
E = 0.0098
    0.9049

也就是说，最优的状态反馈矩阵为K=[0.9911 -0.0942]。

同时，系统进行状态反馈后的状态空间模型为：

a =        x1         x2
   x1   0.008873     0.0942
   x2  -0.008873     0.9058
b =    u1
   x1   1
   x2  -1
c =     x1  x2
   y1   1   0
d =     u1
   y1   0

【步骤3】　求取系统反馈前后的阶跃响应。

对比反馈前后系统的阶跃响应。代码如下：

dstep(A,B,C,D,1,10);         % 绘制反馈前系统的阶跃响应曲线
hold on;           % 在同一幅图像上绘制多条曲线
dstep(A_new,B,C,D,1,10);        % 绘制反馈后系统的阶跃响应曲线
gtext('状态反馈前');   gtext('状态反馈后');       % 给曲线添加标注