8.6　综合实例及MATLAB/Simulink应用

8.6　综合实例及MATLAB/Simulink应用

下面通过一个综合实例，讲述MATLAB/Simulink在本章中的应用。

【例8-13】　某单位负反馈控制系统的开环传递函数 H_0028 ，设计一个串联的校正装置，使校正后的系统静态速度误差系数≥10s-1，相角裕量≥45，增益裕量≥10 dB。

解：使用MATLAB/Simunlink求解本题的基本步骤如下。

【步骤1】　确定开环传递函数中的系数K。

系统的静态速度误差系数的计算公式为：

P_236-2

根据题目要求，校正后的系统静态速度误差系数最小为10s-1，因此可求得K=20。

因此，系统的开环传递函数为 H_0029 。

【步骤2】　建立控制系统的数学模型。

MATLAB的代码如下：

clc;              % 清除工作空间显示
clear;            % 清除工作空间的所有变量
num_open = [0 20];         % 开环传递函数分子多项式系数
den_open = conv(conv([1 0],[1 1]),[1 2]);    % 开环传递函数分母多项式系数
sys_open = tf(num_open,den_open)       % 开环传递函数模型

程序运行的结果为：

Transfer function:
       20
--------------------
s^3 + 3 s^2 + 2 s

【步骤3】　分析系统的动态特性。

根据建立好的数学模型，绘制系统的频率响应曲线，分析系统的动态特性。利用margin命令计算闭环系统当前的相角裕量和增益裕量，以此确定所需的串联校正环节。

MATLAB代码如下：

% 分析系统的频率响应特性
[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(sys_open)     % 计算相角裕量和增益裕量
margin(sys_open);

程序的运行结果为：

Gm =     -10.50
Pm =     -28.0814
Wcg =  1.4142
Wcp =  2.4253

系统频率响应曲线如图8.48所示。

P_237-1

图8.48　闭环系统的频率响应曲线

计算结果显示，未校正的系统增益裕量只有-10.5，相角裕量为-28.0814；相角穿越频率为1.4142，幅值穿越频率为2.4253。系统尚不稳定，离题设要求的性能相去甚远。因此，需要串联校正环节，使系统的动态特性满足要求。

【步骤4】　设计系统的串联校正装置。

由于系统期望相角裕量为45，因此校正装置需要将相角提升大约73。如果单纯采用超前校正，则很难提升如此之大的相角；如果单纯采用滞后校正，则系统的增益裕量又会下降（目前的增益裕量尚且没有满足题设的要求）。综合考虑，需要采用超前滞后校正。

首先设计滞后环节。假定校正后的系统增益穿越频率为1，并且取零极点之比为10，则滞后环节的传递函数为 H_0030 。此时，系统的频率响应如图8.49所示。

P_238-1

图8.49　加入滞后环节后的系统频率响应曲线

对应的MATLAB代码如下：

% 设计串联校正器的滞后环节
num_zhihou = [1 0.1];         %滞后环节传递函数的分子多项式系数
den_zhihou = [1 0.01];        %滞后环节传递函数的分母多项式系数
sys_zhihou = tf(num_zhihou, den_zhihou);     %滞后环节的传递函数模型
sys_new = sys_open * sys_zhihou        %加入滞后环节后系统的开环传递函数
margin(sys_new);           %绘制加入滞后环节后系统的Bode曲线

随后，根据滞后校正得出的结果，相应设计超前校正环节为 H_0031 。此时，系统的频率响应如图8.50所示。

P_238-2

图8.50　加入超前滞后校正环节后系统的频率响应曲线

对应的MATLAB代码如下：

% 设计串联校正器的超前环节
num_chaoqian = [1 0.5];  den_chaoqian = [1 5]; %超前环节传递函数的分子、分母多项式系数
sys_chaoqian = tf(num_chaoqian,den_chaoqian); %超前环节的传递函数模型
sys_new = sys_new * sys_chaoqian;         %加入超前-滞后环节后系统的开环传递函数
margin(sys_new);             %绘制加入超前-滞后环节后系统的Bode曲线

不难看出，此时闭环系统的增益裕量为13.3，相角裕量为52.5，增益穿越频率为1.37；各项参数均符合题设要求。

利用如下MATLAB代码，可以对比校正前后系统的频率响应：

% 对比校正前后的系统频率响应
figure(1);            %开启新的图形显示窗口
bode(sys_open);           %绘制开环传递函数的Bode曲线
hold on;             %在同一幅图像上显示多条曲线
bode(sys_new);           %绘制加入校正环节后系统的Bode曲线
gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); gtext('校正前的'); gtext('校正后的');
           %为曲线添加标注
grid on             %显示网格线

程序运行的结果如图8.51所示。

P_239-1

图8.51　系统校正前后不同的频率响应曲线

从图8.51中可以看出：超前滞后校正环节主要作用于0.01～10频率段；滞后校正将低频部分的相频曲线“压低”，超前校正则将高频部分的相频曲线“抬高”，从而大大提高了系统中频段的相位。

同时，滞后校正“抬高”低频部分的幅频曲线，而超前校正“压低”从低频开始较广频率范围的幅频曲线，这又使得系统的增益频率左移。双重作用下，系统的相角裕量大大增加。

此外，相角穿越频率右移，使系统的增益裕量进一步提高。超前滞后校正较好的满足了题设的要求。当然，这些是以牺牲系统的增益穿越频率为代价的。

综上，校正后的系统开环传递函数为：

Transfer function:
20 s^2 + 12 s + 1
--------------------------------------------------------
s^5 + 8.01 s^4 + 17.08 s^3 + 10.17 s^2 + 0.1

【步骤5】　比较校正前后系统的性能。

比较一下校正前后系统的阶跃响应。

MATLAB代码如下：

% 系统校正前后的阶跃响应曲线
figure(2);           % 开启新的图形显示窗口
step(feedback(sys_open,1));        % 绘制原始闭环系统的阶跃响应曲线
grid on;            % 显示网格线
figure(3);           % 开启新的图形显示窗口
step(feedback(sys_new,1));        % 绘制校正后闭环系统的阶跃响应曲线
gtext('校正前的');  gtext('校正后的');      % 为曲线添加标注
grid on;            % 显示网格线