6.5　用根轨迹法分析系统的暂态特性

6.5　用根轨迹法分析系统的暂态特性

前几节讨论了如何根据开环系统的传递函数求取闭环系统的根轨迹。根轨迹求出后，对于一定的增益K值，就可利用幅值条件，确定系统的特征根（闭环极点）。如果闭环系统的零点、输入信号是已知的，那么可以结合根轨迹，在图上直观地对系统的暂态特性展开分析。用根轨迹法分析系统暂态品质的最大优点是：可以看出在开环放大系数发生变化时，系统的暂态品质是怎样变化的。

从前面章节可得出以下基本结论：

（1）如果已知系统的闭环零极点分布，那么控制系统的动力学性能就可唯一确定。在给出具体输入函数的条件下，可以求出其输出响应和性能指标。

（2）如果所有闭环极点均分布于复平面虚轴左侧，那么系统是稳定的。

（3）稳定系统的动力学特性主要取决于主导极点的位置。所谓主导极点指的是它们距虚轴的距离较其他闭环零极点距虚轴的距离近5倍或5倍以上。

（4）其他闭环零极点对系统动力学性能的影响：在主导极点的基础上，增加闭环极点，系统的响应速度将降低而超调量将减少；闭环零点的作用则刚好相反，其影响程度将随着距虚轴距离的减小而增强。

（5）偶极子对系统动力学性能的影响可以忽略。所谓偶极子指的是一对靠近的闭环零极点，它们之间的距离较它们本身到虚轴的距离要小10倍或10倍以上。

由上可知，可以由闭环零极点的分布来分析系统的时域响应。从前面的分析可知，闭环零点是开环传递函数中G(s)的零点和H(s)的极点，可以从开环传递函数中直接得到；而闭环极点，可以在根轨迹图上求出，例如利用MATLAB的rlocfind( )函数可以很方便、直观地求出系统的闭环极点。

【例6-9】　绘制以下系统的根轨迹并利用根轨迹图分析系统性能。已知一个三阶系统的开环传递函数为 168-1 ，试从根轨迹图分析其单位负反馈系统的暂态特性。

解：MATLAB程序代码如下。

num=1; den=conv([1, 0], conv( [1, 1], [1, 4]) );
                           %传递函数分子、分母多项式系数行向量
sys=tf(num, den)           %建立传递函数模型
rlocus(sys);  grid on;     %绘制根轨迹图并添加栅格
[k, poles]=rlocfind(sys)   %计算用户所选定的点处的增益和其他闭环极点
title('根轨迹图')           %添加图标题

运行程序，输出如图6.16所示的根轨迹图，图中，“×”表示闭环系统的极点，“○”表示闭环系统的零点。由于根轨迹所绘制的范围很大，显示出来的部分看得不是非常仔细，因此需要结合工具栏上的放大、缩小和拖拉等工具，方便灵活地查看根轨迹。如果用鼠标单击图中的曲线，可以得到一个文本框，里面显示对应的系统名（System）、增益（Gain）、极点（Pole）、阻尼比（Damping）、超调（Overshoot）、角频率（Frequency）等参数。

从图6.16可以看出，在根轨迹上选定的那点的参数：增益为8.37、极点为0.209±j2.48、阻尼比为-0.0839、超调为130%、角频率为2.49rad/s，从这些参数可以看出，此时系统是不稳定的。同时，此时的根轨迹上的那点位于虚轴的左半平面。

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