9.2　线性系统状态空间基础

9.2.1　状态空间基本概念

1. 状态

任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，系统在t0时刻的状态是t0时刻的一种信息0量，它与此后的输入一起唯一地确定系统在t≥t0时的行为。

1. 状态变量

状态变量是一个完全表征系统时间域行为的最小内部变量组。

1. 状态向量

设系统有n个状态变量，用x1(t), x2(t),…, xn(t)表示，而且把这些状态变量看做向量x(t)的分量，则向量x(t)称为状态向量，记为

1. 状态空间

以状态变量x1(t), x2(t),…, xn(t)为轴的n维实向量空间称为状态空间。

1. 状态方程

描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内部状态的变换过程，其一般形式为：

式中，t是时间变量，u(t)是输入变量。

1. 输出方程

描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程。输出方程的一般形式为：

1. 状态空间表达式

状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，也称为动态方程，它表征一个系统完整的动态过程，其一般形式为：

通常，对于线性定常系统，状态方程习惯写成如下形式：

输出方程习惯写成如下形式：

将其写成向量矩阵形式为：

式中，表示n维状态向量；表示m维输出向量；表示r维输入向量；A表示系统内部状态的系数矩阵，称为系统矩阵An×n；B表示输入对状态作用的矩阵，称为输入（或控制）矩阵Bn×r；C表示输出与状态关系的矩阵，称为输出矩阵Cm×n；D表示输入直接对输出作用的矩阵，称为直接转移矩阵Dm×x，也称前馈系数矩阵。

A由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而B则主要体现了系统输入的施加情况，通常情况下D=0。

系统动态方程可用如图9.1所示的方框图表示。系统由两个前向通道和一个状态反馈回路组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接转移。

图9.1　线性系统方框图

状态空间描述具有以下特点：

（1）状态空间描述考虑到了“输入-状态-输出”这一过程，考虑到了被经典控制理论的“输入-输出”描述所忽略的状态，因此它揭示了问题的本质，即输入引起状态的变化，而状态决定了输出。

（2）输入引起的状态变化是一个运动过程，数学上表现为向量微分方程，即状态方程。状态决定输出是一个变换过程，数学上表现为变换方程，即代数方程。

（3）系统的状态变量个数等于系统的阶数，一个n阶系统的状态变量个数为n。

（4）对于给定的系统，状态变量的选择不唯一，状态变量的线性变换结果也可以作为状态变量。

（5）一般来说，状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量，但从便于构造控制系统来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更合适。

9.2.2　状态空间实现

控制系统一般可分为电气、机械、机电、液压、热力等系统。要研究它们，一般先要建立其运动的数学模型（如微分方程组、传递函数、动态方程等）。根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，并利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压/电流定律、能量守恒定律等，建立系统的动态方程模型。下面以典型的RLC电路动态方程为例，讲述系统的状态空间实现。

【例9-1】　如图9.2所示的RLC电路，系统的控制输入为电压ui(t)，系统输出为电压uo(t)，试建立系统的状态空间表达式。

图9.2　RLC电路示意图

解：建立系统状态方程的步骤如下。

（1）选择状态变量。

该RLC电路有两个独立的储能元件L和C，可以取电容C两端电压uo(t)和流过电感L的电流i(t)作为系统的两个状态变量，分别记做x1和x2。

（2）列写微分方程。

根据基尔霍夫电压定律和R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程。

（3）转化为状态变量的一阶微分方程组。

微分方程可整理为：

（4）把一阶微分方程组写成向量矩阵形式，即状态空间表达式。

一阶微分方程组写成矢量形式为：

以上就是建立如图9.2所示RLC网络状态空间表达式的过程。

从经典控制理论中知道，任何一个线性系统都可以用下列线性微分方程表示：

式中，u为系统的输入量，y为系统的输出量，在零初始条件下，输入量与输出量的拉普拉斯变换之比就是这个系统的传递函数，即

利用传递函数的概念，可以用以s为变量的代数方程表示系统的动态特性。如果传递函数分母中s的最高次数为n，则称该系统为n阶系统。

传递函数只是表达了系统输出与输入的关系，没有表明系统内部的结构，而状态空间表达式可以完整地表明系统的内部结构，由系统的传递函数求其状态方程的过程称为系统的实现问题。

有了系统的状态空间表达式，就可以实现该系统，系统的实现一般有直接法、串联法和并联法，下面分别对这三种方法进行讲述。

9.2.2.1　状态空间直接实现法

不失一般性，假设m=n，则式（9-1）可以写成

选择状态变量如下：

得到的系统状态方程为

对式（9-4）进行拉氏反变换，并将式（9-8）代入，可得系统的输出y，即

将式（9-12）和式（9-13）写成矢量形式，得到系统的动态方程为：

式（9-14）所代表的系统实现的结构图如图9.3所示。这种系统的实现称做可控型（I型）实现，关于可控型将在后续章节介绍。

注意

当式（9-2）中m<n时，bn=0，b'i=bi(i=0,1,…, m)，这时式（9-14）可以直接从传递函数的分子、分母多项式系数中写出。当式（9-2）中m=0，即系统没有零点时，上述实现方法中系统状态变量就是输出变量的各阶导数y(0)、y(1)、…y(n-1)。

在通常的低阶物理系统中，上述各状态变量的物理意义非常明确，如位移、速度、加速度等。

9.2.2.2　状态空间串联实现法

式（9-1）所示传递函数为多项式相除形式，分子多项式（num）为

分母多项式（den）为：

如果z1,z2,…,zm为G(s)的m个零点，p1,p2,…,pn的n个极点，那么G(s可以表示为

图9.3　传递函数的直接法实现

所以，系统的实现可以由共n个环节串联而成，如图9.4所示。

图9.4　传递函数的串联实现结构图

图9.4中的第一个环节可变形为

其结构图可用图9.5中虚框表示。其他环节可类似地等效变换，因此可以得到如图9.5所示的只有标准积分器、比例器、综合器组成的等效方框图。令各个积分器的输出为系统状态变量，则得系统状态方程为

系统输出方程为

写成矢量形式，有

图9.5　有重根的传递函数的串联实现结构图

9.2.2.3　状态空间并联实现法

设系统传递函数为

为系统的特征方程。当den=0有n个不等的特征根pi(i=1,2,…,n)时，G(s可以分解为n个分式之和，即

式中，，称系统对应极点pi的留数。

根据式（9-16），有

式（9-17）可以用如图9.6所示的并联方式实现，或用图9.7（图9.5的等效形式）所示的方式实现。

图9.6　传递函数的并联实现结构图

图9.7　传递函数的并联实现结构等效图

从图9.7可得系统的状态方程为

输出方程为

写成矢量形式，有

注意到这里的系统矩阵A为一个标准的对角型。

当上述G(s的分母den=0有重根时，不失一般性地假设：den=(s-p1)q(s-pq+1)…(s-pn)，即s=p1为q重根，其他为单根。这时G(s可以分解为：

式中，

由式（9-19）可知

式（9-21）可以用如图9.7所示的方框图表示。

取图9.8中每个积分器的输出为状态变量，则有

其矢量形式为

图9.8　有重根传递函数的并联实现结构图

注意

式（9-22）中的A为约当标准型。关于约当标准型，请参见后续章节。

9.2.3　状态空间的标准型

系统动态方程的建立，无论是从实际物理系统或系统方框图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都有很大的、人为的随意性，因而求得的系统状态方程也带有很大的人为因素和随意性，因此会得出不同的系统状态方程。

虽然实际物理系统结构不可能变化，但状态变量取法不同就会产生不同的动态方程；系统方框图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构，因而也肯定会产生不同的动态方程。所以说，系统动态方程是非唯一的。

虽然同一实际物理系统、同一方框图、同一传递函数所产生的动态方程会各种各样，但其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也有一定联系，这种联系就是变量间的线性变换关系。

如图9.3所示的传递函数的直接法实现，按照图上所示各状态变量的取法，有式（9-14）所示的动态方程。若将各变量的次序颠倒，即令

取

将X=T-1X代入动态方程，可得

因此，系统的动态方程为

式（9-23）与式（9-14）是相同的。也就是说式（9-23）与式（9-14）代表的动态方程是一种线性变换的关系。

由于上述非奇异的变换矩阵T可以有无数种，所以系统的动态方程也有无数种。

虽然通过非奇异的线性变换可以求出无数种系统的动态方程，但是有几种标准型特别有用，如可控标准型、可观标准型、对角标准型和约当标准型。下面对最常见的对角标准型和约当标准型进行介绍。

9.2.3.1　对角标准型

设某系统的动态方程为：

式中，系统矩阵A有n个不相等的特征根λi(i=1, 2, 3, …，n)，相应地有n个不相等的特征向量mi(i=1, 2, 3, …，n)，因此矩阵A的特征矩阵（模态矩阵）为M=[m1　m1　…　mn]。

利用矩阵论知识，可得

对代表原系统的动态方程进行下列线性变换：X=MZ，得到

式（9-25）可写成

式中，

这样就将代表原系统的动态方程转化成了式（9-26）所示的对角型。从上面各式可以看出，只要求出系统矩阵A的n个不同特征根λi(i=1, 2, 3, …，n)，就可以直接写出A'和D'，但要求出B'和C′，还需根据矩阵论知识求出矩阵M及其逆矩阵M-1，然后根据式（9-27）才能求得。

将系统矩阵A变换为标准对角型，其变换矩阵也是非唯一的，实际上有无数种。这无数种变换矩阵不会改变式（9-27）中A'的对角型形式，只会改变B'和C'的结果。

另外，还有一种不同形式的标准对角型状态空间表达式，它的系统矩阵A'与式（9-27）一样，并且此时B'也有标准的形式(1,1,…,1)T。

要得到上述标准型，只需进行如下线性变换：

式中，M为模态矩阵，T为一个待定的对角矩阵，设T=diag(t1, t2, …, tn) 。此时，式（9-26）变为

式中，

矩阵T可以通过式（9-29）求得：

9.2.3.2　约当标准型

设系统有k个mi重特征值λi(i=1, 2, 3, …，k)，那么其约当标准型为

式中，J为约当矩阵，即J=diag[J1 J2 … Jk]。Ji为mi重特征根λi所对应的约当块，即

设现有系统的动态方程为，求线性变换矩阵TJ，使得变换后得到式（9-30）所示的约当标准型。

要得到上述标准型，只需进行线性变换：X=TJZ代入得：

即

对照式（9-30）约当标准型，有

式（9-33）可写成

设TJ=[t1,t2,…tn]，代入式（9-34），可得

式（9-35）可写成

对于mi重的特征根λi，TJ中有mi个列向量与Ji对应，即

展开式（9-37），可得

由式（9-38）即可求得各特征根λi所对应的mi个列向量(t1,t2,…,tmi)，从而求得变换矩阵TJ，进一步根据式（9-32）即可求得系统的约当标准型。

9.2.4　状态方程求解

9.2.4.1　线性连续定常齐次方程求解

所谓齐次方程解也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为：

式中，X是n×1维的状态向量，A是n×n维的常数矩阵。

标量定常微分方程的解为

与式（9-39）类似，假设的解X(t)为时间t的幂级数形式，即

式中，bi(i=0,1,…)为与X(t)同维的矢量。

将式X(t)两边对t求导，并代入，可得

式（9-40）对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即

改写为

将系统初始条件代入X(t的幂级数形式，可得b0=X0，代入式（9-41）可得

将式（9-42）代入X(t)的幂级数形式，可得的解

记为

式中，eAt为一矩阵指数函数，它是一个n×n方阵。因此变为X(t)=eAtX0。

当给定的是t0时刻的状态值X(t0)时，不难证明：

从式（9-44）可看出，eA(t-t0)形式上是一个矩阵指数函数，也是一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将t0时刻的系统状态矢量X(t0)转移到t时刻的状态矢量X(t)，也就是说它起到了系统状态转移的作用，因此称之为状态转移矩阵，记为Φ(t-t0)=eA(t-t0)。因此X(t)的解为

9.2.4.2　矩阵指数的性质及求法

对线性定常系统来说，齐次方程的求解可归结为求矩阵指数eA(t-t0)。eA(t-t0)具有以下基本性质：

（1）性质1：组合性质，从-τ转移到0，再从0转移到t的组合等于从-τ转移到t，即。

（2）性质2：状态矢量从时刻t转移到时刻t，状态矢量不变，。

（3）性质3：状态转移矩阵的逆意味着时间的逆转，。

（4）性质4：若矩阵A，B可交换，即AB=BA，那么，否则不成立。

（5）性质5：，该性质可用来从给定的eAt矩阵中求出系统矩阵A，即。

（6）性质6：若矩阵A为一对角阵，即A=diag(λ1,λ2,…,λn)，那么eAt也是对角阵，且。

（7）性质7：若n×n方阵A有n个不相等的特征根λi(i=1,2,…,n)，M是A的模态矩阵，。

（8）性质8：若Ji为mi×mi阶约当块，即，则

（9）性质9：若约当标准型矩阵，式中Ji为mi×mi阶约当块，则

（10）性质10：若n×n阶矩阵A有重特征根，TJ是将A转化为约当标准型J的变换阵，。

（11）性质11：设，则

（12）性质12：矩阵指数eAt可表示为有限项之和，即。

若A有n重特征根，设λ1为m1重根，此时上式只有n-m1+1个独立方程，剩下的m1-1个方程可由下列关系添加

（13）性质13：矩阵指数函数可用拉氏反变换法求得：。

9.2.4.3　线性连续定常非齐次状态方程求解

线性连续定常非齐次状态方程为

从物理意义上看，系统从t0时刻的初始状态X(t0)开始，在外界控制u(t)的作用下运动。欲求系统在任意时刻的状态X(t)，就必须求解式（9-46）。

采用类似于齐次标量定常微分方程的解法，式（9-46）可写为，两边同时左乘e-At，可得

利用矩阵微积分知识，可由上式进一步得：。两边同时在[t0, t]区间积分，得

上式两边同时左乘eAt，得

即

当初始时刻t0=0时，式（9-47）变为

从式（9-48）和式（9-49）可知，非齐次状态方程的解由两部分组成，第一部分是在初始状态X(t0)作用下的自由运动，第二部分是在系统输入U(t)作用下的强制运动。

下面讨论U(t)为几种典型的控制输入时方程的解。

（1）脉冲信号输入。此时U(t)=Kδ(t)，因此

即。

（2）阶跃信号输入。此时U(t)=K1(t)，因此

即。

（3）斜坡信号输入。此时U(t)=K1(t)，因此

9.2.4.4　离散时间系统状态方程求解

计算机处理的是时间上离散的数字量，如果要采用计算机对连续时间系统进行控制，就必须将连续系统状态方程离散化。因此，在对离散时间状态方程进行求解前，必须将连续状态空间表达式离散化。

设连续系统动态方程为。系统离散化的原则是：在每个采样时刻kT(k=0,1,2…)，T为采样周期，系统离散化前后的U(kt)，X(kt)，Y(kt)保持不变。而采样的方法是在t=kT时刻对U(t)值采样，得U(kT)，并通过零阶保持器，使U(kt)的值在[kT，(k+1)T]时间段保持不变。

根据上述离散化原则，得到离散化后的动态方程为

上述输出方程表示了kT时刻离散系统的输出Y(kT)和输入U(kT)及其系统状态量X(kT)之间的关系，它应该与离散化前的关系一样。

根据连续时间状态方程求解公式，假设t0=kT，求t=(k+1)T时刻的状态X[(k+1)T]。注意到U(t)=U(kt)在kT~(k+1)T时段保持不变，因此X[(k+1)T]为

式中，G(T)=eAt，它只与采样周期T有关，。

令t=(k+1)T-τ，则

因此

式（9-52）也只与采样周期T有关。为了方便起见，在书写时通常忽略kT时刻的T符号，直接用k代表kT时刻。因此连续系统离散化公式为

式中，

离散时间状态方程求解一般有两种方法：递推法（迭代法）和Z变换法。前者对定常、时变系统都适用，而后者只适用于定常系统。此处只介绍递推法，Z变换法将在后面章节介绍。

对于线性定常离散系统状态方程：，依次取k=0,1,2,…，得

当初始时刻为h时，同理可推出：

与连续时间系统方程解类似，记为，称它们为离散系统的状态转移矩阵。因此离散系统的解可记为：

或者

9.2.5　MATLAB/Simulink在线性系统状态空间描述中的应用

9.2.5.1　MATLAB中状态空间模型的实现

MATLAB提供了将传递函数模型转化为状态空间模型的函数，常见的有将传递函数模型转换为状态空间模型的函数tf2ss()、将零极点模型转换为状态空间模型的函数zp2ss()和直接建立状态空间模型的函数ss()。

这些函数的具体用法在本书的第4章进行了详细讲述，此处不再赘述。下面仅通过实例来讲述采用MATLAB的状态空间实现。

【例9-2】　已知系统G1(s)和G2(s)的模型分别为和，试求系统的状态空间模型。

解：MATLAB程序代码如下。

num=[2, 8, 6];  den=[1, 8, 16, 6]     %G1(s)的分子、分母多项式系数
[A1, B1, C1, D1]=tf2ss(num, den)     %将G1(s)的传递函数模型转换成状态空间模型
 z=[-1, -3];   p=[0, -2, -8];   k=2 ;    %G2(s)传递函数的零点、极点和增益
[A2, B2, C2, D2]=zp2ss(z, p, k)     %将G2(s)的零极点增益模型转换成状态空间模型

运行结果如下：

A1= -8   -16    -6
     1     0     0
     0     1     0
B1=  1
     0
     0
C1= 2     8     6
D1= 0
A2= 0     0     0
     1   -10    -4
     0     4     0
B2= 1
     0
     0
C2= 2.0000  -12.0000   -6.5000
D2= 0

由运算结果可知，系统G1(s)和G2(s)的状态空间表达式分别为：

【例9-3】　已知系统的动力学微分方程为

求系统的状态空间模型。

解：MATLAB程序代码如下。

num=[1, 2, 1] ;  den=[1, 3, 3, 1]   %微分方程输入量、输出量的系数
sys1=tf(num, den)       %建立传递函数模型
sys=ss(sys1)        %求状态空间表达式

运行结果如下：

a=       x1      x2     x3
   x1     -3     -0.75  -0.25
   x2      4      0      0
   x3      0      1      0
b=    u1
   x1   1
   x2   0
   x3   0
c=      x1    x2    x3
   y1     1   0.5  0.25
d=     u1
   y1   0
Continuous-time model

由运算结果可知，系统的状态空间表达式为

9.2.5.2　MATLAB中状态空间标准型的实现

MATLAB提供了以下两个函数，可用于状态空间标准型的实现，下面分别进行介绍。

1. 将系统直接转化为对角型的函数canon()

MATLAB提供了函数canon( )可以将系统直接转化为对角型，其常用的调用格式为：

[As, Bs, Cs, Ds, Ts]=canon(A, B, C, D, 'mod')

其中，A、B、C和D是变换前系统的状态空间实现，参数‘'mod'’表示转化成对角型，As、Bs、Cs和Ds是变换后的对角型，Ts表示所作的线性变换。

1. 进行状态空间表达式的线性变换的函数ss2ss()

MATLAB还提供了函数ss2ss()，可以进行状态空间表达式的线性变换，其常用的调用格式为：

[A1,B1,C1,D1]=ss2ss(A,B,C,D,T)

其中，T为变换矩阵。注意变换方程为X1=TX，而不是常见的X=TX1，因此要与用户习惯的变换方程一致，必须用T的逆代入上式，即：

[A1,B1,C1,D1]=ss2ss(A,B,C,D,inv(T))

【例9-4】　已知系统的状态空间模型为，求系统的对角标准型。

解：MATLAB程序代码如下。

A=[0 1 0; 0 0 1; -6 -11 -6];  B=[1; 0; 0];   C=[1 1 0];   D=0; %系统的系数矩阵
[As, Bs, Cs, Ds, Ts]=canon(A, B, C, D, 'mod')            %生成对角标准型

运行结果如下：

As=-1.0000         0         0
         0   -2.0000         0
         0         0   -3.0000
Bs=-5.1962
   -13.7477
   -9.5394
Cs= 0.0000   -0.2182    0.2097
Ds=  0
Ts=-5.1962   -4.3301   -0.8660
  -13.7477  -18.3303   -4.5826
   -9.5394  -14.3091   -4.7697

由运算结果可知系统的对角标准型为

【例9-5】　已知系统的传递函数模型，试分别求系统的约当标准型。

解：MATLAB程序代码如下。

num1=[2, 1] ;  den1=[1, 7, 14, 8]       %传递函数的分子和分母多项式系数
 [r1, p1, k1]=residue(num1, den1)      %求系统的分式表达式
A1=diag(p1) ; B1=ones(length(r1), 1) ; C1=rat(r1); D1=0  %对分式结果进行变换，得到约当标准型
num2=[2, 5, 3]; den2=conv( [1,-1], conv( [1,-1], [1,- 1]) ) %传递函数的分子和分母多项式系数
  [r2, p2, k2]=residue(num2, den2)         %求系统的分式表达式
A2=diag(p2) ; B2=rot90(r2); C2=ones(1, length(r2)); D2=0 %对分式结果进行变换，得到约当标准型

运行结果如下：

A1=   -4.0000         0         0
         0   -2.0000         0
         0         0   -1.0000
B1= 1
    1
    1
C1= -1 + 1/(-6)
2 + 1/(-2)
-0 + 1/(-3)
D1=     0
A2=
    1.0000         0         0
         0    1.0000         0
         0         0    1.0000
B2=
    2.0000    9.0000   10.0000
C2=
     1     1     1
     D2=
     0

由运算结果可知，系统的约当标准型分别为

9.2.5.3　采用MATLAB求解状态方程

MATLAB中提供了函数expm( )来计算给定时刻t的A矩阵指数，常用的格式为expm(At)，它的功能是求出矩阵A的指数eAt。

【例9-6】　考虑如下矩阵，当t=0.2 s时，试求状态转移矩阵。

解：MATLAB程序代码如下。

A=[0, 1, 0;0, 0, 1;1, -3, 3]            %矩阵A
t=0.2                 %状态转移时刻
Phi=expm(A*t)               %计算状态转移矩阵

运行结果如下：

Phi=1.0016     0.1954    0.0244
     0.0244    0.9283    0.2687
     0.2687   -0.7817    1.7344

由运算结果可知，该状态转移矩阵为：

【例9-7】　已知系统的状态空间模型为，试求：

（1）系统的脉冲响应和阶跃响应；

（2）在初始状态为x(0)=[1　0　2]T的条件下，输入时，状态变量的响应曲线。

解：MATLAB程序代码如下。

A=[-2 -2.5 -0.5; 1 0 0; 0 1 0] ;  B=[1; 0; 0];  C=[0 1.5 1];  D=0; %系统的系数矩阵
G=ss(A, B, C, D)                  %建立状态空间模型
t=[0:0.1:20]';             %仿真时间
impulse(G, t);    grid;              %计算脉冲响应并添加栅格
step(G, t); grid                %计算阶跃响应并添加栅格

输出结果如图9.9和图9.10所示。

图9.9　例9-7系统脉冲响应曲线

图9.10　例9-7系统阶跃响应曲线

接着输入如下MATLAB程序代码：

xo=[1; 0; 2]                %初始状态
u(1, 1:20)=2*ones(1, 20);  u(1, 21:201)=0.5*ones(1, 181);     %输入量u
[y, t, x]=lsim(G, u, t, xo);             %计算输入响应
plot(t, x(:, 1), '-', t, x(:, 2), '--', t, x(:, 3), '-.')     %绘制曲线
xlabel('时间/秒 ');  ylabel('幅值');          %标注坐标轴
grid                         %添加栅格
text(6, 0.3, 'x_1(t)');   text(6, -0.5, 'x_2(t)');  text(8, 1.8, 'x_3(t)')
%标注曲线

输出结果如图9.11所示。

图9.11　例9-7系统状态变化曲线