10.4　综合实例及MATLAB/Simulink应用

下面通过一个综合实例，讲述MATLAB/Simulink在本章中的应用。

【例10-5】　给定一个线性系统，其状态空间表达为，试采用两维状态反馈方法，实现闭环阻尼比ξ=0.707，无阻尼自然振荡频率ωc=10 rad/s。

解：利用MATLAB求解的基本步骤如下。

【步骤1】　建立系统的状态空间模型。

相应的MATLAB代码如下：

clear al;       %清除工作空间的变量
A = [0 1; 0 -5];  B = [0; 100];  C = [1 0];  D = 0;
sys = ss(A,B,C,D)      %建立系统的状态空间模型

【步骤2】　检验此系统的可控性和可观性。

相应的MATLAB代码如下：

 ctrl_matrix = ctrb(A,B);  %检验控制系统的可控性
if(rank(ctrl_matrix) == 2)    %根据题意，可知能控矩阵的秩为2时，系统完全可控
    disp('系统完全可控！');
else
    disp('系统不完全可控！');
end
observe_matrix = obsv(A,C);   %检验控制系统的可观性
if(rank(observe_matrix) == 2)    %根据题意，可知能观矩阵的秩为2时，系统完全可观
    disp('系统完全可观！');
else
    disp('系统不完全可观！');
end

运行程序，输出结果为：

系统完全可控！
系统完全可观！

由输出结果可知，题设中的系统是可控且可观的，因此可以实现任意的极点配置，也可以对系统设计观测器。

【步骤3】　求取状态反馈矩阵，进行状态反馈。

根据题设要求，闭环阻尼比ξ=0.707，无阻尼自然振荡频率ωc=10 rad/s；不难得出，闭环系统的期望极点为s1,2=-7.07±7.07i。

因此系统的特征多项式为。

假设两维状态反馈矩阵为，那么反馈后的闭环系统特征多项式为：

根据，可直接求得状态反馈矩阵K=[1,0.914]。

【步骤4】　对状态反馈前后的系统进行对比分析。

利用MATLAB对状态反馈后的系统进行建模，并且对比反馈前后系统的阶跃响应。代码如下：

K = [1 0.914];        %状态反馈矩阵K
A_state_feedback = A - B * K;         %对系统进行状态反馈
sys_state_feedback = ss(A_state_feedback,B,C,D)    %状态反馈后系统的状态空间模型
syms s;          %定义符号变量s
det(s * eye(2) - A_state_feedback)         %求取状态反馈后系统的特征多项式
figure(1);         %在图1上绘制反馈前后阶跃响应曲线对比
step(sys);        %反馈前系统的阶跃响应曲线
hold on;          %允许在同一坐标系下绘制不同的图形
step(sys_state_feedback,2);      %反馈后系统的阶跃响应曲线
title('反馈前后阶跃响应曲线对比图')   %添加图标题
gtext('反馈前系统的阶跃响应曲线'); gtext('反馈后系统的阶跃响应曲线');  %在响应曲线上标示
grid on;         %添加栅格
figure(2);          %在图2上单独绘制反馈
          %后阶跃响应曲线
step(sys_state_feedback);   grid on;     %反馈后系统的阶跃响应
          %曲线并添加栅格
title('反馈后阶跃响应曲线图')    %添加图标题

程序运行结果为：

% 反馈后系统的状态空间表达式
a =        x1     x2
   x1      0      1
   x2   -100  -96.4
b =     u1
   x1    0
   x2  100
   c =     x1  x2
   y1   1   0
d =     u1
   y1   0
Continuous-time model.
% 反馈后，闭环系统的特征多项式
ans = s^2+482/5*s+100

反馈前后，系统阶跃响应曲线的对比如图10.10所示。

图10.10　状态反馈前后系统阶跃响应曲线的对比

不难看出，在进行反馈前，系统不稳定，阶跃响应曲线很快发散。加入二维状态反馈后，闭环系统稳定，阶跃响应曲线的如图10.11所示。

图10.11　进行状态反馈后系统的阶跃响应曲线

分析其原因，在反馈前系统的特征多项式为，有极点(0,0)，不在S平面的左半部分，系统不稳定；状态反馈后，系统的极点是-7.07±7.07i，在S平面的左半部分，系统稳定。

【例10-6】　给定受控系统的状态空间模型为：，试在MATLAB中建立上述控制系统的数学模型，并且设计其降维状态观测器。

解：利用MATLAB求解的基本步骤如下。

【步骤1】　建立系统的状态空间模型。

相应的MATLAB代码如下：

A = [4 4 4; -11 -12 -12; 13 14 13];    B = [1; -1; 0];      C = [1 1 1];    D = 0;
sys = ss(A,B,C,D)           %建立系统的状态空间模型

【步骤2】　判断系统的可观性。

相应的MATLAB代码如下：

observe_matrix =obsv(A,C);          %系统的能观测矩阵
rank_of_obsv =rank(observe_matrix);         %能观测矩阵的秩
if rank_of_obsv ==3               %判断系统的能观性
    disp('系统是完全可观的');
else
    disp('系统是不完全可观的');
end

运行程序，输出结果为：

系统是完全可观的

同时，输出矩阵C的秩为1，所以降维观测器的最小维数为3-1=2。

【步骤3】　设定降维观测器的期望极点。

设定常数矩阵R和降维观测器期望极点的位置向量p。代码如下：

R = [0 1 0;0 0 1];  P = [C; R];         % 常数矩阵R和P
invP = inv(P)            % 常数矩阵P的逆矩阵
p = [-3; -4];             % 期望的观测器极点位置

【步骤4】　求取等价系统的模型。

确定受控系统在非奇异变换下，所得的代数等价系统为

相应的MATLAB代码如下：

AA = P * A * invP;           % 等价系统的状态转移矩阵AA
A11 = [AA(1,1)];  A12 = [AA(1,2:3)];  A21 = [AA(2:3,1)];  A22 = [AA(2:3,2:3)];  %  对矩阵分块
B = P * B;             % 等价系统的输入矩阵BB
B1 = B(1); B2 = B(2:3);        % 对矩阵分块
C = C * invP;       % 等价系统的输出矩阵CC

程序运行的结果为：

AA =       6      0    -1
         -11    -1    -1
          13     1     0
BB =     0
        -1
         0
CC =     1     0     0

【步骤5】　求取矩阵L。

确定矩阵L，使得的特征值为步骤2中指定的p向量。计算系统特征多项式的代码如下：

syms L_1 L_2         %在工作空间中声明符号变量L_1和L_2
syms s          %在工作空间中声明符号变量s，用于计算特征多项式
L = [L_1;L_2];
eq = collect(det(s * eye(2) - (A22 - L * A12)),s) %以s为变量，计算系统的特征多项式

程序运行的结果为：

eq =   s^2+(1-L_2)*s+1-L_1-L_2

为了确定矩阵L的具体取值，需要首先计算期望的系统特征多项式。代码如下：

syms s
system_eq = expand((s - p(1)) * (s - p(2)))       %以s为变量，展开期望的系统特征多项式

得出的期望特征多项式为：

system_eq = s^2+7*s+12

由此，可以唯一地确定L矩阵的数值。代码如下：

[L_1,L_2] = solve('1-L_2 = 7','1-L_1-L_2 = 12')      %解方程组

求解结果为：

L_1 = -5
L_2 = -6

因此，L矩阵为[-5;-6]。

【步骤6】　求取降维观测器的动态方程。

至此就可以得出系统降维观测器的动态方程了。代码如下：

L = [L_1; L_2]
AW = (A22 - L * A12);      BU = (B2 - L * B1);      BY = (A21 - L * A11) + (A22 - L * A12) * L;
CW = invP(1:3,2:3);     DY = invP(1:3,1) + invP(1:3,2:3) * L;

程序运行的结果为：

AW = [ -1, -6]
         [  1, -6]
BU =      [ -1]
[  0]
BY =  [ 60]
         [ 80]
CW =   -1    -1
         1     0
         0     1
DY =  [ 12]
          [ -5]
          [ -6]

因此，系统的降维观测器动态方程为。

习　题

【10.1】　给定单输入、单输出受控系统状态空间表达为

（1）利用MATLAB建立系统的数学模型；

（2）计算上述控制系统的极点，并判断系统的稳定性；

（3）计算状态反馈矩阵，将不稳定的极点配置到指定位置-1和-2；

（4）计算反馈后闭环系统的极点，并且绘制反馈前后系统的阶跃响应曲线，比较二者的区别。

【10.2】　已知系统的开环传递函数为。

（1）利用MATLAB建立上述控制系统的数学模型；

（2）将得出的传递函数模型转换为状态空间模型；

（3）计算状态反馈矩阵，使闭环系统的极点位于-5和-2±2i；

（4）画出反馈系统的结构图，绘制反馈前后系统的阶跃响应曲线。

【10.3】　已知倒立摆系统的状态空间方程为

（1）利用MATLAB建立上述控制系统的数学模型；

（2）计算系统的可控性矩阵，判断系统是否完全能控；

（3）设计状态反馈矩阵，使闭环系统的极点位于。

【10.4】　给定受控系统系数矩阵为。

（1）利用MATLAB对上述控制系统建立数学模型；

（2）设计观测器，使观测器的极点为-10两重根。

【10.5】　设计下列系统的降维观测器，并使极点为给定的值。

【10.6】　已知某伺服电机的传递函数为。

（1）利用MATLAB建立伺服电机的数学模型；

（2）将得到的传递函数模型转化为状态空间模型；

（3）设计降维状态观测器，使观测器的极点为-15；

（4）设计状态反馈矩阵，使得闭环传递函数为；

（5）绘制系统的阶跃响应曲线，分析系统的动态特性，计算其稳态误差。