2.1　随机变量及其分布

2.1　随机变量及其分布
- 2.1.1　随机变量的概念
- 2.1.2　随机变量分布的概念

2.1.1　随机变量的概念

在同一组条件下，对某事物或现象所进行的观察或实验叫随机试验（experiment），把观察或实验的结果叫随机事件（event）。例如，抛掷一枚质地均匀的骰子就是一次试验，骰子落地，可能出现1点，2点，…，6点，或为奇数点或为偶数点，点数大于5，等等，这些就是一个个事件。这些事件在一次试验中可能出现也可能不出现，我们称之为随机事件。

如果随机试验的每种结果可以用一个数字作为其代表，则我们称此变量为随机变量（randomvariable）。例如掷骰子试验中，骰子落地，将可能出现的点数作为考察的变量X，则X就是一个随机变量。此随机变量可以取的值仅限于1～6这六个正整数。在此范围内，随机变量究竟在一次试验中会出现哪一个值，在试验前是完全不能确定的。通常的随机变量都具有这种性质和特点，即事先可以肯定取值的范围，但不能肯定具体的取值是多少。同样，在掷两颗骰子试验中，我们可以定义所掷两颗骰子“点数和”为一个随机变量Y，它的取值范围就是2～12的这些整数，投掷之前不知道此随机变量取值是几。当然，你也可以定义所掷两颗骰子“点数差（绝对值）”作为另一个随机变量Z，那么它的取值范围就将是0～5这六种结果。

概率论并不能确定一次试验下随机变量所取的值是多少，它所要研究的是随机变量所取之值的规律，即出现各种结果的可能性如何。例如，在掷骰子试验中，随机变量取1～6这六个整数的可能性全都相同，都是1/6。掷两颗骰子点数和的这个随机变量，取值范围是2～12的这些整数，但取这些值的可能性很不同，取值为7的可能远大于取值为2的可能。描述出现各种结果的可能性规律的就是分布律。

随机变量的取值有两种不同的类型。

第一种是离散型（discrete）随机变量。例如，检查一个产品是否合格，可能有“合格”及“不合格”两种结果，可以分别用0，1代表。例如，市场手机有A，B，C共三种，这里没有顺序可言，但可以分别以1，2，3代表。又如，车间产品分一等品、二等品及三等品；满意性分为“极不满”、“不满”、“尚可”、“满意”、“极满意”五等，这些是有顺序可言的。同样可以分别规定产品等级为1～3共三种，对于满意度可以规定为1～5共五类，等等。

另一种是连续型（continuous）随机变量。例如，自动车床生产的螺钉直径、长度，每台手机的发射功率，等等。这些随机变量的取值通常是某个实数区间，此区间可以是有限的，也可以是无限的。连续型随机变量的应用要比离散型随机变量广泛得多。

随机变量的两种数据类型不同，处理方法也不同。我们再看些例子。设X为某铸件上的缺陷点数，X可以取0，1，2，…可能值。因此，X是离散型随机变量。类似地，手机外壳透明显示框内包含的气泡数、布匹上的疵点数、车床一天内发生的故障次数、京津高速公路上的事故数等，都是取值为{0，1，2，3，…}的离散型随机变量。射击飞碟比赛，共发10枪，命中飞碟的次数也是离散型随机变量，其取值域为{0，1，2，…，10}。

再比如，设X为某品牌手机电池的寿命（单位：小时），则X是在［0，∞）上取值的连续型随机变量。类似地，PCB板上焊锡膏涂层厚度、硝酸铵化肥反应罐每天的产量等，都是在［0，∞）上取值的连续型随机变量。

2.1.2　随机变量分布的概念

随机变量通常用大写字母X，Y，Z等表示，随机变量的取值常用小写字母x，y，z等表示。我们已经知道，随机变量可以分为两类：连续型随机变量和离散型随机变量。

为了描述随机变量的分布规律，我们对这两种类型分别讲述。

2.1.2.1　离散型随机变量的分布律

对于离散型随机变量，我们可以将其所有可能的取值排列起来。例如，掷骰子试验中，将可能出现的点数这个随机变量记为X，则这就是一个离散型随机变量。此随机变量可以取的值x_i是1～6这六个整数。由于取这六个数的概率全相等，都是1/6，因此分布律可以写成下列形式（见表2—1）：

表2—1　掷1颗骰子点数分布律表

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在掷2颗骰子的试验中，将可能出现的点数和这个随机变量记为Y，则此离散型随机变量可以取的值y_i是2～12这11个整数。由于取这11个数的概率不全相等，因此要把取每个不同值的概率分别写出，因此分布律可以写成下列形式（见表2—2）：

表2—2　掷2颗骰子“点数和”Y的分布律表

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一般说来，我们可以先将离散随机变量所有可能的取值，沿水平方向排成一行，在每个值的下方列出随机变量取此值的可能性，这个表就称为离散型随机变量的分布律。当然，这里所有列出的概率一定是非负数，而且所有这些概率之和应恰好为1。

我们再看几个离散型随机变量分布律的例子。

例2—1

在M电子公司生产的简易二极管中，按质量等级可分为5级，其中1级最差，5级最好。现统计了今年1月份生产的二极管质量各种等级所占比率（见表2—3）。

表2—3　质量等级分布状况表

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为了直观显示概率分布的状况，我们可以画出分布律图。在研究二极管质量等级分布状况的例子中，记X为任意抽取一个二极管的质量等级数，则X是个以表2—3为分布律的离散型随机变量。图2—1就是二极管质量等级的概率分布律图。

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图2—1　质量等级分布律图

由于画出概率分布律图非常重要，在很多计算机软件中，都可以直接画出离散随机变量的分布律图来。例如，用MINITAB软件，先形成一个离散分布律的数据表，如图2—2所示。

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图2—2　离散分布律输入数据表

在图2—3中介绍了画图的具体过程：从“图形＞概率分布图（Graph＞Distribution）”进入，选“单一视图（Simple）”，然后在各种分布中选“离散（Discrete）”，指定“值在（value）”为“等级”，指定“概率在（probability）”为“P”，则计算机可以直接画出如图2—4所示形状的分布图。

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图2—3　画离散概率分布律图的MINITAB操作流程

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图2—4　质量等级分布律图

还有另一种方法可以画离散型的分布律图。

如图2—5所示。从“图形＞散点图（Graph＞Scatterplot）”窗口进入，选“简单（Simple）”，出现如图2—5所示的界面。再以“P”为纵坐标，以“等级”为横坐标，则可以画出散点图，再在“数据视图（Data View）”选项中在原来已有的“符号（symbols）”的基础上，加选“投影线（Project Line）”项，则可以画出在每个点的下方带投影线的图（见图2—6）。

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图2—5　画柱状图的MINITAB操作流程

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图2—6　质量等级分布律图（柱状图）

2.1.2.2　连续型随机变量的分布

我们平时都有直方图的概念，对它的详细介绍将在第3章给出。例如，对收集到的1213名成年男子身高数据绘制出频数直方图，如图2—7所示。频数直方图可以清楚地显示出在不同取值处，取值可能性的大小状况，身高在162cm～174cm的人比别的身高人数要多很多。但要注意，这里画的只是频数直方图。直方图的纵坐标可能是频数，也可能是频率，观测值的个数发生变化，或区间的划分方法发生变化时，纵坐标就会发生变化。我们可以这样设想，当数据个数很多、组距很小、组数很多时，连接直方图中每个矩形上边中点的折线就接近一条光滑的曲线了，图2—7给出了这样的描述。

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图2—7　中国成年男子身高抽样分布图

随着数据的不断增加，频率趋于稳定，频率的稳定值就是概率。如果要求整个曲线下方的面积恰好为1，则这条曲线就称为概率密度曲线，此密度函数就是概率密度函数（probability density function，pdf），如图2—8所示。

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图2—8　中国成年男子身高（单位：cm）概率密度分布图

请注意比较一下，在图2—7与图2—8中，两条曲线形状完全相同，但二者的纵坐标是不相同的。图2—7中，纵坐标高度与观测值总个数及身高间隔的划分都有关系，但图2—8则不然，光滑曲线下方的面积固定为1，它的曲线高度与抽样人数及间隔的划分都无关。可是，对于概率密度曲线而言，它仍然与选用单位有关。例如，在图2—8中，身高的单位是厘米，其密度的最大值大约是0.07，如果我们把身高的单位换成米（厘米的100倍），则其密度的最大值也要扩大100倍，大约是7，如图2—9所示。也就是说，密度是有量纲的，它的量纲是1/［X］。

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