2.4　常用的离散分布

2.4　常用的离散分布

在实际工作中可能用到很多离散分布，但其中最常用的离散分布有二项分布和泊松分布两种。MINITAB包含了这两种分布，一共列出了7种离散分布。本书则再加上理论讨论时常用的0—1分布，因此一共列出下列8种分布，括号内的英文是MINITAB软件中所使用的简称。

（1）0—1分布（0—1 distribution）

（2）二项分布（binomial distribution）

（3）Poisson分布（Poisson distribution）

（4）超几何分布（hypergeometric distribution）

（5）几何分布（geometric distribution）

（6）负二项分布（negative binomial distribution）

（7）整数均匀分布（integer distribution）

（8）任意离散分布（discrete distribution）

下面分别给出简要介绍。

2.4.1　0—1分布（两点分布）

有一种试验，每次试验只有两种可能的结果，而且出现两种结果的概率都保持不变。两种结果的例子很多，比如正面与反面，合格与不合格，通过与不通过，命中与不命中，具有某特性与不具有某特性等，我们归纳而统称为“成功”与“失败”。至于验收产品时，什么叫“成功”，大多数人倾向于把出现不合格叫做“成功”。记“成功”出现的概率为p，失败出现的概率为1－p，则称此随机变量服从0—1分布，也称为两点分布，记为B（1，p）。写成分布律的形式则如表2—8所示。

表2—8　0—1分布的分布律

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容易得出其期望及方差是：

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0—1分布在理论讨论上很重要，但实际应用很少。又因为下面介绍的二项分布当n＝1时就成为0—1分布，即二项分布是以0—1分布为其特例的，所以在MINITAB软件中并未专门列入此种分布。我们只要理解式（2—55）的结果就够了。

2.4.2　二项分布

考虑从本厂产品中随机抽取20件进行检测，产品只分一等品和二等品。根据历史数据知，产品的二等品率为20％，那么20件产品中大约会抽出几件二等品？如果记二等品件数为随机变量X，它的分布律会是怎样的？

把上述问题一般化：假设我们独立地进行了n次试验（“独立”就是说，上次试验的结果不影响下次试验的结果），每次试验结果只有“成功”及“失败”两种结果，而且每次试验获得“成功”的概率都是固定的常数p，记“成功”的总次数为随机变量X，则称X的分布为二项分布（记作X～B（n，p））。本节开头的问题就可以描述为：进行了20次抽样试验，抽中二等品产品称为“成功”，每次“成功”概率都是常数p＝0.2，总“成功”次数的分布就是参数为n＝20，p＝0.2的二项分布，即X～B（20，0.2）。数学上可以证明一般的二项分布的取值概率为：

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容易得出二项分布的期望及方差是：

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用MINITAB软件可以求出所有的概率值，而且可以画出分布律的图形。

在MINITAB中打开一个新（空白）文件。在第一列上命名为“次数”，取值为0，1，…，20。为此，从“计算＞生成模板化数据＞简单数集（Calc＞Make Patterned Data＞Simple Set of Number）”入口，就会看见信息窗如图2—52所示。

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图2—52　形成规则数据序列操作图

只要在“从第一个值”填入“0”，只要在“至最后一个值”填入“20”，“步长”保持为原来的“1”，则可以形成所需数列。再从“计算＞概率分布＞二项（Calc＞Probability＞Binomial）”入口，就会看见信息窗如图2—53所示。

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图2—53　形成二项分布概率分布律操作图

在已知分布律时，这里有两种方法可以绘制其图形，其中散点图方法，在2.1节已有介绍。下面介绍对于离散型指定分布类型后的分布律绘制方法，其实这与连续分布的图形绘制是完全一样的。

从“图形＞概率分布图（Graph＞Probability Distribution Plot）”入口，选中“单一视图（Single Parameter）”即可，其操作示意参看图2—26。

在分布类型中选定“二项（Binomial）”，再指定相应参数（见图2—54）即可。

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图2—54　绘制二项分布概率分布律图的参数设定

这时可以得到如图2—55所示的结果。

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图2—55　二项分布概率分布律图的输出结果

从图中可以看出，当x＝4时，概率值最大；当x＜4时，概率值逐渐增长；当x＞4时，概率值逐渐减小，很快就几乎为0了。从实际经验上，大家早有这种粗略的理解：如果二等品出现的概率是0.2，则在抽出的20件产品中，发生“二等品出现0件”这样的好事，概率大约1/100（百里挑一）；发生“二等品出现20件”这样的倒霉事，概率也绝对不会超过百万分之一。

二项分布除了作为连续生产过程中不合格品数的精确分布外，当抽样的样本量小于有限总体其个体总数的10％时，还可以作为超几何分布的近似分布。

虽然现在有了计算机可以帮助我们计算复杂的二项分布概率，但我们仍然应该了解有关二项分布的一些规律性的概念。在二项分布的计算中，最重要的是它的正态近似。当二项分布中的参数n足够大（比如超过100），参数p不是太大或太小（0.1＜p＜0.9），则二项分布B（n，p）近似于正态分布N（np，np（1－p））。

例2—9

一个城市出生10000名婴儿，假定生男生女概率相等，市长对每个男婴赠给一个小足球，对每个女婴赠给一个芭比娃娃，问市长要准备多少足球和芭比娃娃才能保证万无一失？

所谓“万无一失”指的是失误的概率小于万分之一。如果保证“永无一失”那就一定要准备1万个足球和1万个芭比娃娃。但实际上不用准备这么多，因为出现这种极端情况的概率几乎为零。

记男婴出生人数为X，则可知X～B（10000，0.5）。由于二项分布当样本量足够大（超过100），p不是太大或太小，因此可以用正态分布近似。由于均值为μ＝np＝5000，σ²＝np（1－p）＝2500，因此σ＝50。故B（10000，0.5）与N（5000，50²）近似相同（见图2—56）。

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图2—56　二项分布的正态近似示意图

从图2—30下方列出的表中，可以得知，在均值μ两侧的4σ范围内，将包含全部数据的99.9937％，4σ范围之外即未被包含部分之概率不到十万分之七，即未超过万分之一。在本问题中，4σ＝200，所以X落入（4800，5200）之外的概率不到万分之一，所以市长要准备5200个足球和5200个芭比娃娃足可以保证万无一失。

注意上面的解释一定不要理解为百分比的概念。上例中，保证万无一失的范围4σ＝200，相对原来总人数n＝10000占“2％”就够了。其实这样理解是完全错误的。读者可以自己计算，如果n＝100万，则4σ＝2000，只占n的2‰；而当n＝100时，4σ＝20，占n的2/10。可见，n越大，则随机现象的规律性越明显，随机波动会显得越小；n越小，则随机现象的规律性越不明显，偶然性就越大，随机波动会变得很大。而个别的随机现象是绝对不可预报的。有人声称可以预报彩票的中奖号码，稍有概率论常识的人都会知道这是无稽之谈。关于二项分布的规律性问题，我们在第6章比率检验中还会更深入地讨论。

2.4.3　Poisson分布

在自然界中，常常有一些不寻常的事情出现，例如，2006年福州遭到4次台风的袭击，一片镀防腐蚀膜的机翼上出现了3个瑕疵点，一匹染了蓝色的布上有5个黑斑点，等等。这种稀有事件的出现有什么规律性？概率论的理论研究结果表明，在一定的条件下，这些稀有事件出现的概率都服从Poisson分布（泊松分布），大量的观测也证明了这一点。博尔德希维兹（Bortkewitsch）在1898年提交了一份报告，记录了1875—1894年的20年间普鲁士骑兵团被马踢伤致死的士兵人数，发现其分布与Poisson分布非常吻合；英国著名物理学家卢瑟福观测记录了放射性物质在7.5秒内放射出的α粒子数目，其分布与Poisson分布非常吻合；第二次世界大战中，德国用V－2飞弹袭击伦敦，将伦敦分为576个区，发现每个区的真实弹着点数分布与Poisson分布非常吻合；在照片上记录细菌群的分布，每个细菌会形成小黑点，将显微镜整个视野分成若干小方块后，各方块中黑点的个数也服从Poisson分布。这些都不是偶然的。在质量管理中也常遇到这样的情况，我们不仅要关注不合格品，而且要关注每件产品中所包含的不合格项的情况。例如，在芯片的生产中，记录每片芯片上的瑕疵点数，则瑕疵点数就应该服从Poisson分布。记X为不合格点数，如果X的分布律为：

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则称X的分布为Poisson分布，记为X～P（λ）。

容易得出Poisson分布的期望与方差为：

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不要小看上述公式，它是有特殊含义的：期望值一定与原观测值有相同量纲，方差的量纲一定是原观测值的平方，这二者怎么可能相等呢？世上的分布成百上千，有此性质的分布唯有Poisson分布。仅从量纲上看，由于量纲与量纲的平方竟然相同，此量纲一定是无量纲的常数，即“点数”、“件数”、“次数”等。任何带有实际物理量纲者（如长度、重量等）绝不可能是Poisson分布。

Poisson分布与二项分布有非常深刻的本质上的联系。在二项分布中，当n较大（超过100）时，如果p值很小（p＜0.05，且np＜30），则二项分布B（n，p）可以近似看成是Poisson分布P（np）。比如，一条高速公路上，每天车流量为n＝10000，发生车祸的概率是p＝0.0003，这时，np＝3，也就是说，每日在此高速公路上将平均发生3次车祸。如果略去n和p的具体数值，只是笼统地说“每日在此高速公路上平均发生3次车祸”，这也就是Poisson分布P（3）。对于这种实际问题，用两种分布模型去处理，结果几乎是一样的。用MINITAB很容易计算出车祸问题的结果（见表2—9），两行结果中的上一行是用二项分布计算的，下一行是用Poisson分布计算的，可以看出，二者数值几乎相同。

表2—9　二项分布与Poisson分布比较表

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Poisson分布应用广泛，可以用来描述不少随机变量的分布。例如，中午时分，快餐店中每分钟顾客到来的人数；一定时间内，接错电话的次数；一定时间内，某操作系统发生的故障数；一个铸件上的缺陷数；一平方米玻璃上的气泡数；一件产品擦伤留下的痕迹数；一页书上的错字数，等等。

从Poisson分布的概念出发还可以看出下列性质，这就是均值的“可分性”。如果每罐稻米中的稗子数服从均值为6的Poisson分布，那么很容易想到，如果以半罐作为一“小罐”，每小罐稻米中的稗子数应服从均值为3的Poisson分布；若1000平方米一匹的化纤布平均瑕疵点数是25，瑕疵点数的分布是P（25），4平方米可以缝制一套工作服，每套工作服的瑕疵点数的分布就应该是P（0.1）。这就是说，在单位换算（例如从“罐”到“小罐”）时，Poisson分布的性质不变，而且均值也可以做同样的换算，当然这里只限于被分割或被合并的总份数很少的情况才成立。

2.4.4　超几何分布

当总体只包含有限个个体时，即使仍然只有两种可能的结果，但前次抽样的结果会影响下次抽样的结果。例如，原来只有100件产品，其中6件不良。抽第一件，不良率显然是6/100。但若第一次抽到良品，则第二次抽样的不良率就变成6/99；但若第一次抽到不良品，则第二次抽样的不良率就变成5/99。这时模型就与二项分布有很大的不同了。如果我们设想抽完第一次后，将样本放回，它可能被再次抽到，这种“有放回”的抽样将产生二项分布；如果我们抽完第一次后，不将样本放回，这种“无放回”的抽样将产生的分布称为超几何分布。假设总体中有N个个体，其中M个个体具有特征A（比如“不良”），在从中随机地抽出n（n≤N）个个体中（无放回抽样），恰好取得x个具有特征A的元素的概率为：

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超几何分布在抽样理论中占有重要地位。另外，超几何分布与二项分布之间有密切联系。事实上，当总体中元素的数量N很大，而取出的元素n相对较小时（n≤0.1N），这种差别就应该很小，前次抽样的结果基本上不会影响下次抽样的结果。超几何分布包含三个参数N，M，n（n≤M）。

超几何分布的数学期望和方差分别为：

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2.4.5　几何分布

如果我们进行独立试验时仍然只有“成功”和“失败”两种结果，而且每次获得“成功”的概率都是p，但试验一直要进行到首次出现“成功”为止，记所需试验次数为X，则X的分布称为几何分布（geometric distribution）。表面看来，这种模型与二项模型相同，但其实不然：二项分布的条件是试验次数固定，试验中总成功次数X为随机变量；现在则是试验次数为随机变量，而且最后一次一定是“成功”（否则早出现“成功”试验将停止）。这时得到的分布律为：

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式中，x表示获得首次“成功”所需要的总次数。几何分布具有一条重要特性——无后效性，即在前n次试验中未出现成功的条件下，再经过m次试验（即在第n＋m次试验中）首次出现成功的条件概率，等于首次成功恰好需要进行m次试验的无条件概率。换句话说，在已经进行了n次试验，且未出现成功时，首次成功恰好需要再进行m次试验的概率与以前的试验无关，就像试验重新开始一样。在老虎机前等待中大奖，究竟能否中大奖与你在此老虎机前已经投了多少次硬币是无关的，在另外一台机器上去碰碰运气和在此“死等”效果是相同的。在离散型随机变量中，只有几何分布才具有无后效性。这个分布只包含一个参数p（0＜p＜1）。

几何分布的数学期望和方差分别为：

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该公式的解释其实也很自然，如果你打枪命中概率是0.1，你进行射击直到首次命中为止，则平均说来你得打上10枪才行。注意这里说的并不是“打了10枪，平均会命中一枪（这是二项分布）”；现在是打到首次命中为止，前面射击各枪肯定是都没命中，最后一枪一定是命中，这才是几何分布，这时很可能要打上20枪、30枪才行。其分布律图形见图2—57，右边尾巴拖得很长。

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图2—57　几何分布的分布律图

2.4.6　负二项分布

讨论和几何分布相同的模型：如果我们进行独立试验时仍然只有“成功”和“失败”两种结果，而且每次获得“成功”的概率都是p，但试验一直要进行到“成功”出现r次为止，记所需试验次数为X，则X的分布称为负二项分布（negative binomial distribution），也称Pascal分布。这里要注意，负二项分布与二项分布截然不同：二项分布时，试验次数是固定的，试验中出现成功的次数X为随机变量；负二项分布则是总“成功”次数给定，总试验次数为随机变量，而且一定是最后一次为“成功”（否则早就达到r次出现“成功”，试验将停止）。这时得到的分布律为：

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