13.7　混料设计

13.7.1　混料设计概论

在实际工作中，常常需要研究一些配方配比试验问题。这种问题常出现在橡胶、化工、制药、冶金等课题中。例如不锈钢由铁、镍、铜和铬4种元素组成；闪光剂由镁、硝酸钠、硝酸锶及固定剂组成；复合燃料、复合塑料、混纺纤维、混凝土、黏接剂、药品、饲料等都是由多种成分按相应比率制作而成的，统称为混料（mixture）。组成混料的各种成分称为混料成分或分量，也就是混料试验中的因子（factor）。这里我们关心的是各种分量的比例而不是其绝对数值；而且显然所有分量之和总是为1的。这里对分量的约束条件将使本节内容与以前所讨论的试验设计类型有所差别。对于这种分量之和总是为1的试验设计，称为混料设计（mixture design）。在本节中，混料的成分至少应有3种，其约束如图13—88所示。

图13—88　混料设计的约束图

为了更直观显示各分量的组成状况，我们引入“三线坐标系”，其原理是：平面几何的知识告诉我们，等边三角形内的任何一点，到三边（垂线）距离的和等于该三角形的高。如果把三角形的高设为1，则任何一点都可以由其到三条边的三个距离给出三个坐标。当然，这三个坐标并不独立，三者之和恒为1。三线坐标系的示意见图13—89。

图13—89　三线坐标图

从图13—89中可以看出：三角形的三个顶点坐标分别为A（1，0，0），B（0，1，0）及C（0，0，1）。三角形内任意一点都有三个坐标，可以理解为每个点到三个顶点对边的“距离”。越靠近某个顶点，这项坐标越接近于1，越远离某个顶点，这项坐标越接近于0。如果点移到了三角形的边上（图中未显示），则表示三种成分中缺少一种（此缺少成分的名称，在此边所对的顶点处）。三角形的质心到三顶点距离相等，所以坐标为（1/3，1/3，1/3）。图13—89只是因子个数为3的示意图，4个因子将画为正四面体，5个以上则无直观图形了。以下将因子个数记为p（或称p维），我们的设计及分析将对一般的p维来讨论，但仍然以3因子的图作为示意。

当然，混料设计还可以有更细致的分类。第一种混料（mixture）型最简单，最终结果只与各分量的比率有关；第二种混料—总量（mixture-amounts）型，最终结果与各分量的比率及混料总量有关；第三种混料—过程变量（mixture-process variable）型，最终结果与各分量的比率及某些过程变量有关，而这些过程变量并不是混料的一部分，但可能影响混料的搅拌性质。本节只讨论第一种类型问题。

13.7.2　混料试验的计划

13.7.2.1　混料试验计划的基本概念

为了全面考察各分量对于响应变量的影响，我们要在整个试验区域内布置一些点做试验。点的选取方法有三种。

第一种：单纯形质心法（simplex centroid）

在p个因子的混料设计问题中，单纯形质心法的基本思想是：试验点由下列p批点组成。第一批是各顶点（共p个），第二批是上述顶点中每2个顶点的质心（共p（p－1）/2个），第三批是上述顶点中每3个顶点的质心（共p（p－1）（p－2）/3！个），…。总之，p批点总计有2^p－1个点。

3因子单纯形质心法设计示意图见图13—90（a）。这时，列出试验计划表中各试验点（总共7个）的坐标是：

顶点：（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）；

2个顶点的质心：（0.5，0.5，0），（0.5，0，0.5），（0，0.5，0.5）；

三个顶点的质心：（1/3，1/3，1/3）。

在这种类型试验结果下，将要拟合的是下列方程（以3因子为例）：

图13—90是3维及4维单纯形质心法设计示意图。

图13—90　单纯形质心法设计示意图（3维及4维）

下面给出4因子单纯形质心法设计计划表（见表13—43）：

表13—43　4因子单纯形质心法设计计划表

第二种：单纯形格点法（simplex lattice）

在p个因子（或称p维）的混料设计问题中，单纯形格点法的基本思想是将全部格子点集内每个点依次选中。在直角坐标系中，格子点的含义是很清楚的。以二维平面上的单位正方形为例，本来正方形有4个顶点；每边上增加一个中心点，则可以构成“田”字格，共有9个点；如果每边分5格，形成36个格点的图形（见图13—91（a））；一般地，每边分成n格，则将形成一共有（n＋1）²个格点的正方形图形。对于混料设计中的区域（等边三角形、正四面体等）也可以按照这种思路给出“单纯形格点”的概念。以平面上的三线坐标系来说，等边三角形的每边分为相等的d段（d称为格度），过这些分点做平行于三角形底边的线，则可以形成三线坐标的格点网格。图13—91（b）显示的就是一个3变量的格度为6的格点网格。至于这些格点的坐标计算大家不用过问计算细节，计算机将列出全部格点坐标，例如3个变量的格度为3的格子点坐标值在表13—44中已经给出，其图形可以参看图13—92中的D图。

图13—91　格子点位置示意图

显然，格子点是由维数和格度（degree）这两个参数给定的，此格子点集记为{p，d}。我们仍以p＝3为例。3维格度1的格子点集合（记作{3，1}）就是3个顶点全体（见图13—92B）。3维格度2的格子点集合（记作{3，2}）就是将3条边各二等分，由3个顶点及3边中点全体组成的集合（见图13—92C）。3维格度3的格子点集合（记作{3，3}）就是将3条边各三等分，过各分点画与另两边平行的直线，由平行线所交而形成的格点（共10个）组成的集合（见图13—92D）。依此类推，但阶数通常到3为止就够了。{3，3}格子点坐标如表13—44所示。

表13—44　3因子3阶单纯形格子点设计计划表

一般来说，p维格度d的格子点集{p，d}中，共包含个点。注意：这里的圆括号中含有上下两数，它表示“组合”，这是现在国际上更通行的组合记号，是从p＋d－1个元素中取d个元素的组合数。例如，p＝3，d＝2，N＝6；p＝3，d＝3，N＝10。

在这种类型试验结果下，要拟合的方程将与格度有关，细节就不在这里详细讨论了。

这些设计方法就是普通的未增强（unaugmented）的设点方法（见图13—92）。

图13—92　单纯形质心及单纯形格点设计示意图（未增强情形）

如果有条件，可以加密些取点，从而拟合更高阶方程。增强就是在各顶点与中心点的连线中点再增加一次试验，其示意可以参看增强设计（augmented）方法（见图13—93）。

图13—93　单纯形质心及单纯形格点设计示意图（增强情形）

为了在单纯形格点设计法中比较不同的因子数（维数）和阶数的含义，特将4组单纯形格点设计法的图（见图13—94）一起列出：

图13—94　单纯形格点设计法示意图

第三种：极端顶点设计法（extreme vertices design）

在很多实际的混料设计问题中，各分量常要受到上下界的限制，各分量间还有些约束条件要满足，对这类问题有一种最简便的极端顶点设计法。各限制平面的交点处称为极端顶点。利用极端顶点集所构成的混料试验方案称为极端顶点设计。其示意图如图13—95所示：

图13—95　极端顶点设计法示意图

我们不准备讨论计算顶点的细节，因为在实际工作中，只要输入约束条件，计算机可以自动形成全部顶点坐标。

13.7.2.2　混料试验计划的计算机实现

下面介绍用MINITAB软件对混料试验方案计划表的形成步骤。

从“统计＞DOE＞混料＞创建混料设计（Stat＞DOE＞Mixture＞Create Mixture Design）”入口（其界面见图13—96）。从图形上可以看出这里有三种类型选择，单纯形质心、单纯形格点和极端顶点，下面分别举例说明。

图13—96　创建混料设计法操作图

1．单纯形质心设计

例13—23

空气过滤器设计。对于室内的空气不洁（主要是甲醛含量超标）常安装空气过滤器来实现空气的净化。通常所用过滤材料是由活性炭、碳酸钙及碱性液三种成分组成。为了探索三种成分的最佳组合，用混料设计方法进行试验。请安排试验计划。

解　我们可以用单纯形质心设计法来安排试验。从“统计＞DOE＞混料＞创建混料设计（Stat＞DOE＞Mixture＞Create Mixture Design）”入口后，选用“单纯形质心（Simplex Centroid）”（见图13—97左上）。打开“显示可用设计（Display Available Design）”，可以看见，对于3个因子的混料设计试验次数为7。如同在图13—92中A图所显示，在未增强情形，单纯形质心法安排试验只在3个顶点、三边上的中点及中心点（质心）。为了获得更好结果，希望多进行些试验，我们希望如图13—93中A图所显示那样，采用增强方案，即在所有顶点与中心点连线上再增加其中点（称为“轴点”，点类型用代码“－1”）做试验，总试验次数将达到10。

图13—97　创建单纯形质心设计的操作图

打开“设计（Design）”（见图13—97左下），选中“通过轴点增强设计”。再打开“分量（Component）”（见图13—97右下），填写所有因子名称。

完成这些操作后，即可输出设计表，结果见表13—45。

表13—45　空气过滤器的设计计划表

设计的结果可以直观地显示出来。从“统计＞DOE＞混料＞单纯形设计图（Stat＞DOE＞Mixture＞Simplex Design Plot）”入口后（见图13—98），选中“点类型”作为点的标签。执行此操作后，可以得到单纯形质心设计的布点图（见图13—99）。

图13—98　显示单纯形质心设计的操作图

图13—99　单纯形质心设计的布点图

本例将在获得数据后进行分析，有关细节请参考13.7.3节混料试验设计结果的分析。

2．单纯形格点设计

例13—24

糕点香料设计。糕点生产中需要在食物油中增加些香料，此种香料由桂花、茉莉及混合香精调配而成。为精细地寻求最佳设计方案，加之试验成本较低，在安排混料设计方法时，容许多进行些试验。请安排试验计划。

解　在例13—23中用单纯形质心设计法来安排，但单纯形质心设计法的安排点数受到限制（3因子可以试验7次或10次，而不能有更多次），单纯形格点设计则可以增加很多，点数由试验的“格度”来控制。从“统计＞DOE＞混料＞创建混料设计（Stat＞DOE＞Mixture＞Create Mixture Design）”入口后，选用“单纯形格点法（Simplex Lattice）”。打开“显示可用设计（Display Available Design）”，可以看见，对于3个因子的格度3的设计未增强情形试验次数为10，如图13—92中D图所示。为了获得更好结果，我们希望如图13—93中D图所显示那样，应增强而多进行些试验，即在所有顶点与中心点连线上再增加其中点（称为“轴点”，点类型用代码“－1”）做试验，总试验次数将达到13。

选定单纯形格点后（见图13—100），在“设计（Design）”对话窗中，除了要将格度选为“3”外，要进一步加选“通过中心点增强设计（Augment the design with center point）”和“通过轴点增强设计（Augment the design with axial point）”，这时将会增加若干点。最后，所有这些点将按类型分为“顶点（Vertex）”、“双混合（Double Blend）”、“三混合（Triple Blend）”、“中心点（Center Point）”和“轴点（Axial Point）”。

图13—100　单纯形格点法设计的操作图

最后形成的试验设计方案如表13—46所示。

表13—46　单纯形格点法设计的计划表

为了绘制布点图，操作与单纯形质心设计完全相同，从“统计＞DOE＞混料＞单纯形设计图（Stat＞DOE＞Mixture＞Simplex Design Plot）”入口后（见图13—98），选中“点类型”作点的标签。执行完此操作后，可以得到单纯形格点法设计的布点图（见图13—101）。

图13—101　单纯形格点法设计的布点图

3．极端顶点设计

在混料设计的实际工作中，很多时候会出现更复杂的情况，例如对各分量的取值有范围上的限制，而且含有对于各分量间关系的限制，对此通常采用极端顶点设计的方法。下面举例说明。

例13—25

闪光剂设计。闪光剂的化学原料为下列4种（见表13—47），试安排设计方案。

表13—47　闪光剂配方条件表

解　对于这种有范围的分量，只能使用极端顶点设计方法。从“统计＞DOE＞混料＞创建混料设计（Stat＞DOE＞Mixture＞Create Mixture Design）”入口后，选用“极端顶点（Extreme Vertices）”，并选定因子个数为“4”（见图13—102左上）。打开“设计（Design）”（见图13—102右上），先选定非增强的普通型。再打开“分量”窗（见图13—102下），填写4个因子的名称及设定范围，则可以得到设计计划表（从略），表中包含8次试验。

图13—102　极端顶点设计的操作图

为了绘制布点图，操作与单纯形质心设计完全相同，从“统计＞DOE＞混料＞单纯形设计图（Stat＞DOE＞Mixture＞Simplex Design Plot）”入口后（见图13—98），可以得到极端顶点设计的布点图（见图13—103）。

图13—103　极端顶点设计的布点图

为了提高精度，我们希望多安排些试验点，在“设计（Design）”对话窗中（见图13—102右上），进一步加选“通过中心点增强设计（Augment the design with center point）”和“通过轴点增强设计（Augment the design with axial point）”，则可以得到17次试验的试验安排。其计划见表13—48。

表13—48　极端顶点设计计划表

例13—26

烘烤蛋糕。有面粉（因子A）、鸡蛋（因子B）和油（因子C）3种主要原料，要求面粉（因子A）介于0.50～0.70之间，鸡蛋（因子B）介于0.30～0.50之间，油（因子C）介于0.05～0.15之间，且鸡蛋（因子A）与面粉（因子B）总和介于0.88～0.93之间，试安排设计方案。

除了边界条件外，这里的约束条件是：0.88≤A＋B≤0.93。

解　安排设计与前面几个例题相同，只是要增加约束条件。从“统计＞DOE＞混料＞创建混料设计（Stat＞DOE＞Mixture＞Create Mixture Design）”入口后，选用“极端顶点（Extreme Vertices）”，并选定因子个数为“3”（见图13—102左上）。打开“设计（Design）”（见图13—102右上），先选定增强型。再打开“分量（Component）”窗（见图13—104左），填写3个因子的名称及设定范围，打开“线性约束（Linear Constrains）”（见图13—104右），将上下限及各分量的系数填写入表格内，则可以得到设计计划表（见表13—49），表中包含9次试验。本例是双侧约束，因此下限、上限都要填入数值；如果只有下限约束，则“上限（Upper）”留为空白；如果只有上限约束，则“下限（Lower）”留为空白。其布点图见图13—105，其中点的标号是“运行序（Run Order）”。

图13—104　带约束的极端顶点设计的操作图

表13—49　带约束的极端顶点设计（蛋糕）计划表

图13—105　带约束的极端顶点设计（蛋糕）的布点图

13.7.3　混料试验设计结果的分析

下面举例说明混料设计的分析步骤。

例13—27（续例13—23）

空气过滤器设计。空气过滤器所用过滤材料主要由活性炭、碳酸钙及碱性液三种成分组成，其响应变量为吸附率。为了探索三种成分的最佳组成，用混料设计方法进行试验，其方案已在例13—23中给出。试验结果见表13—50（数据文件：DOE_空气过滤器（混料）.MTW）。请分析结果，并给出最佳设置。

表13—50　空气过滤器设计数据表

解　从“统计＞DOE＞混料＞分析混料设计（Stat＞DOE＞Mixture＞Analyze Mixture Design）”入口后（见图13—106），将响应变量“吸附率”填入后，打开“项（Terms）”（见图13—106右上），选定分量项为“二次（Quadratic）”。再打开“图形（Graph）”窗（见图13—106左下），对于残差分析选定“四合一（Four in one）”并填写3个因子名称。打开“存储（Storage）”（见图13—106右下），选定“拟合值（Fits）”及“残差（Residual）”。

图13—106　混料设计分析的操作图

我们选定全模型（A，B，C及3项2阶交互项），得到以下结果：

混料回归：吸附率与活性炭，碳酸钙，碱性液

吸附率的估计回归系数（分量比率）

对于吸附率的方差分析（分量比率）

从上述结果可以看出，3个主效应和3项2阶交互效应都是显著的（显著水平取0.1）。残差分析也都正常。

从“统计＞DOE＞混料＞等值线／曲面图（Stat＞DOE＞Mixture＞Counter/Surface）”入口，将等值线及曲面图分别加以设置，则可以得到下列等值线及曲面图（见图13—107及图13—108）。要注意的是，如果曲面图的显示不直观，可以从“工具＞工具栏＞3D图形工具（Tools＞Toolbars＞3D Graph Tools）”入口，选择适当的旋转轴，就可以把坐标轴旋转，直至得到理想的图形。

图13—107　空气过滤器的等值线图

图13—108　空气过滤器的曲面图

从图13—107中可以看出，碳酸钙的含量似乎取值小些将使总吸附效果更好，活性炭取0.4，碱性液取0.6处附近有最大点。

为了准确地求出能使吸附率最大的设置，我们使用响应变量优化器。从“统计＞DOE＞混料＞响应优化器（Stat＞DOE＞Mixture＞Response Optimizer）”入口。设定“目标（Goal）”为“望大（Maximize）”，取“下限（Lower）”值为已实现的“60”，取“目标（Target）”为“99”，“上限（Upper）”不填写，则可得到下列结果（见图13—109）：

图13—109　混料设计的响应变量优化图

最后可知，当B（碳酸钙）取0，A（活性炭）取0.3669，C（碱性液）取0.6331时有最大点，可得最大吸附率89.1461。