5.7　样本量的计算

5.7　样本量的计算

在实际工程应用中，常会出现这样的问题：究竟要采集多大的样本量才能得到我们所需要判断的结论呢？这个问题很复杂，不同的检验问题需要样本量的计算方法是不同的。下面讨论最简单的单样本均值检验问题，原假设是均值为0，备择假设是均值为1的单点情形。检验问题实际上是如何判断一组样本来自哪个总体。假设两个总体的标准差都是σ＝1，如果只抽取1个样品，这时它本身就是样本均值，样本均值的分布与原来总体的分布完全一样。我们从图5—27可以看出它们的概率分布图形有很大部分会重叠，当抽取出一个样品后很难判定它是来自哪一个总体。但是，当抽取的样本量超过1个并且将数据取平均值之后，我们知道，这些均值的分布会变得越来越窄，当样本量大到一定程度的时候，比如，取到样本量为25时，从图5—27可以看出，两组样本均值的概率分布图形只有很少部分会重叠，这时就很容易识别两者的差别了。

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图5—27　不同样本量的样本均值分布对比图

下面的问题是，如果知道两总体确有差别，那么，又该如何确定其样本量保证达到这种分辨开两总体的效果呢？首先引入检验功效的概念。一个检验的检验功效指的是“在原假设不成立的条件下，拒绝原假设的概率”。换言之，由于我们知道，“在原假设不成立的条件下，不拒绝原假设的概率”就是犯第二类错误的概率β，因此“原假设不成立的条件下，拒绝原假设的概率”就应该是1－β。总之，在原假设不成立的条件下，能够拒绝原假设，也就是能够分辨出原假设与备择假设的差别，这就是检验能力的表现，其概率值当然越大越好。我们将侦测到两总体间这种差别的能力称为检验功效，即1－β。

从前几节的内容我们知道，利用抽取的样本情况对总体进行估计或检验时都可能会犯两类错误，样本量的大小取决于决策错误的风险、总体标准差大小、拟检查的差异大小这三方面的因素：通常，如果希望降低犯错误的风险，那么必须增大样本量；随着总体变异性的增大，即总体标准差变大，为了保持原有的风险，样本量必须增大；随着拟检查之差异的变小，样本量必须增大。对于像例5—1那样的右单侧检验问题，其假设是如下简单原假设和简单备择假设的检验问题：

H₀：μ＝μ₀

H₁：μ＝μ₁＞μ₀

我们记两总体均值的差异为Δ，在本例中，Δ＝μ₁－μ₀，可以结合图5—28看到两类错误的概念，也可以具体得到计算样本量的公式，见表5—17第1行。至于其他类型的检验功效与样本量的计算要更加复杂，此处不再进行公式推导，直接给出了结论。大家只要学会解决下面例5—18类型的问题就很好了。

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图5—28　两类错误概率及检验功效示意图

表5—17　样本量确定公式一览表

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注：由于t分布分位数的数值依赖于自由度，因此使用t检验的样本量计算公式时并不能直接给出结果，实际计算时的最终结果是由迭代法得到的。

例5—18

某钢铁公司项目团队在参数调整后，希望评估冷拉钢筋生产线上的钢筋平均抗拉强度是否能比2000kg有所提高，假定生产线制程的标准差为300kg。经检验，钢筋平均抗拉强度已变为2150kg。问：如果我们选定α＝0.05，还要求检验功效达到90％（也就是说，对于平均抗拉强度已提高为2150kg的钢筋样本，被误判为“没有提高”的概率要小于10％），项目团队对于“钢筋生产线上的钢筋平均抗拉强度是否从2000kg有所提高”的检验，需要抽取多少根钢筋才能同时达到这两类风险的要求？

解　根据公式 alt 来计算：