第5章

假设检验

5.1　基本原理及方法

参数估计和假设检验是统计推断的两个重要方面。参数估计是以“数值”为其输出结果。与参数估计不同的是，我们还会经常遇到另一类问题，例如要判断新配方药物的疗效是否比原配方药物疗效好些？采取改进措施后合格品率是否提高？纤维的长度是否服从正态分布？等等。这类问题要求对总体参数的性质、分布的类型做出结论性的判断。我们对这类问题的共同处理方法是：先把某个结论当成一种假设，然后根据样本观测值的情况，运用统计分析的方法对假设进行检验，并做出判断。这类问题最终是以“判断”为其输出结果，我们把它归纳为假设检验的问题。

由于观测到的样本数据总会带有误差，因此不能简单地由样本统计量结果直接作结论，必须使用严格的统计假设检验方法才能得出科学的结论。本节着重介绍有关假设检验的基本原理和检验方法，这是下面几章讲解统计方法的理论基础，大家必须理解掌握。

为使大家对假设检验的基本原理有具体的了解，先看一个例子。

例5—1

原来的冷拉钢筋生产线上的钢筋平均抗拉强度为2000kg，标准差为300kg。经过调整参数后，希望钢筋平均抗拉强度能有所提高。项目团队实施改进后抽取了25根钢筋，测得钢筋平均抗拉强度为2150kg。问：能否断言，钢筋平均抗拉强度确有提高？

从此例的问题可以看出，我们是希望通过样本观测数据的情况，即“抽取了25根钢筋，测得钢筋平均抗拉强度为2150kg”这样的结果，去推断“整批钢筋平均抗拉强度是否确有提高”。这实际就是典型的假设检验问题：根据所获取的样本——运用统计分析方法——对总体X的一个假设做出判断。

问题的关键在于：如何运用统计分析方法呢？

一般的做法是：根据所讨论问题的性质构造一个检验统计量，计算出在原假设成立的条件下，该统计量应该有的分布及应拒绝的范围，再根据样本观测值是否落入应该拒绝的范围做出判断。

统计分析方法运用过程中蕴含了两条基本原理：

1．带有概率性质的反证法原理

在例5—1中，用μ代表总体的钢筋抗拉强度的平均值，这个值是我们不知道的。我们从抽样中得到的只是样本均值，而统计学的目的就是要用样本去推断总体。对于这个问题，我们知道，若总体均值μ＝2000，则认为钢筋抗拉强度的平均值没有提高；若μ＞2000，则认为钢筋抗拉强度的平均值有提高。为此可以建立两个命题，在假设检验中称它们为假设（hypothesis），前一个为原假设（或零假设）（null hypothesis），记为H₀；后一个为备择假设（或对立假设）（alternative hypothesis），记为H₁，即

我们思考的逻辑是：为检验H₀（原假设）是否正确，先假定它正确，看由此会出现什么结果，如样本观测值出现了一个与H₀应有结果明显矛盾的情况，则表示应该判定“H₀正确”这个假设是错误的，于是拒绝H₀，这时检验结果是具有说服力的；如果没出现矛盾的情况，我们却不能判定“不拒绝H₀”或“接受H₀”，因为此时只能说明“目前还没找到足够拒绝H₀的理由”而已，没有足够的说服力来肯定H₀一定是成立的。

基于这些事实，H₀和H₁地位是不对等的，不能随意交换。因而，在一般情况下，H₀要取那个在实践中应该受到保护，有足够证据时才能否定的论断或“不证自明”的论断作为原假设，在对参数进行检验时，我们将把相等的、无差别的、等号成立的结论作为原假设；根据要说明的问题，将待判定、待证明的、不相等的、有差别的结论作为备择假设，设为H₁。对于参数检验的问题，原假设一定含有“等于”某值，备择假设中永远只可能是“大于”、“小于”或“不等于”这三种情况。

对于本例题所建立的检验，有人会问，检验原假设和备择假设中都没有包含“小于”号，这是否漏掉了一种可能而不完善呢？事实上，我们在这里只是检验“抗拉强度是否提高”的命题，并不关心也不讨论“抗拉强度是否降低”或“抗拉强度是否合格”的问题，因此，并不需要包含“小于”这种情况。正如在法院打官司，张先生告王先生欠他3万元，原假设H₀是王先生不欠钱，备择假设H₁是王先生欠3万元，张先生要举出证据来证明王先生确实欠钱。这时候是不需要讨论是否张先生反而欠王先生钱的问题，如果要讨论，那也是另一场官司的事了。

有些六西格玛培训教材中特别强调了“H₀与H₁一定构成全空间”，因此它们建议，此钢筋抗拉强度的检验问题应该写成：

这里应该说明的是，“H₀与H₁一定构成全空间”这种说法是正确的，但问题在于什么是“全空间”。实际上，由于我们这里讨论检验的是均值这个参数，在分析之前，一定要根据检验问题的实际含义讨论清楚什么是我们所要检验的“参数空间”。注意，它与该参数全部可能取值的范围即“参数的自然空间”不见得是一回事。例如讨论“检验现在钢筋抗拉强度是否超过2000”问题时，钢筋抗拉强度μ的自然空间是全部实数（-∞，+∞）或（0，+∞），但我们的统计问题则只限于讨论μ≥2000这样的“参数空间”，我们只是希望将此空间分割为“μ＝2000”（均值未提高）和“μ＞2000”（均值有提高）两个部分。这里，μ＜2000这部分是不需要讨论的。比如抽检了25根钢筋，其平均抗拉强度只有1900，那么这时如果要检验“现在钢筋抗拉强度是否超过2000”，这个检验问题的提法本身就是错误的。我们只能在样本平均抗拉强度超过2000后，才有资格讨论该总体在参数空间中究竟是“μ＝2000”还是“μ＞2000”。这样说来，“H₀与H₁一定构成全空间”虽然还是正确的，但我们的全空间是“μ≥2000”。总之，我们的问题“检验现在钢筋抗拉强度是否超过2000”写成式（5—1）或式（5—2）都是正确的，没有“对”与“错”的区分，但它们考虑的参数空间是不同的。另外，从统计学理论上看，对于检验式（5—1）和式（5—2），它们的一致最大功效（uniform most powerful，UMP）检验一定是相同的。因此两种设定原假设的形式其分析结果完全是相同的。由于式（5—1）的形式是更基本、更简单的，因此从理论上说，式（5—1）比式（5—2）要更简洁、更清晰，在实际工作中，用式（5—1）来处理问题，也更容易思考，所以各种统计计算软件也都采用这种表达方法来设定。因此编著者建议大家以后在工作中，不论对立假设是H₁：μ＞μ₀，或H₁：μ＜μ₀，还是H₁：μ≠μ₀中的哪一种，其原假设写成统一形式“H₀：μ＝μ₀”，则处理起来更简洁、清晰，不易出错。

2．小概率事件原理

带有概率性质的反证法原理中，所谓的明显不合理情况指的就是竟然出现了小概率事件，因为按照常识，在假设“H₀是成立的”条件下，与大概率事件相比，小概率事件在一次试验中是几乎不会发生的，如果它发生，说明最初的假设“H₀是成立的”并不正确，因此应该拒绝H₀。但与此同时，应该注意的是，在处理假设检验问题时，未考虑特殊情况，虽说小概率事件在一次试验中几乎不会发生，但不等于就不会发生，它仍然有发生的可能性。所以，根据小概率事件发生而做出的拒绝H₀的判断有犯错误的可能，了解这一点是很重要的，这就是下一节要讨论的两类错误问题。

在实际工作中，常见的比较问题可以按总体的个数分为三种类型：单总体、双总体、多总体。上面所说的钢筋平均抗拉强度是否提高的问题是典型的第一种类型：单总体问题。如果想改进水泵的平均抽水量，改进前抽取15台，改进后抽取12台，希望检验改进后的水泵平均抽水量比改进前是否有提高，这就是双总体检验问题。如果有4台车床，都生产同型号的垫片，希望检验4台车床生产的垫片厚度的平均值是否相等，这就是多总体比较问题。

在MINITAB软件中，相应的问题是用样本来表述的，即称为“单样本、双样本、多样本”问题。本书以后的章节对这两种提法也就不再加以区分了。另外，从比较的对象上讨论，上述几个例题讨论的都是平均值问题，同样的三种比较类型还可以比较方差相等性、比率相等性或中位数相等性问题。这样一来，在六西格玛管理中经常遇到的检验问题，搭配起来至少有3×4＝12类。下面我们将逐个介绍，并在本章最后给出一个检验方法总表（详见本章表5—16），供读者参考。