5.2　基本步骤

5.2　基本步骤

假设检验基本步骤的规定在叙述时可以详细也可以简略，我们这里将假设检验过程归结为五个基本步骤。

1．建立假设

假设检验的第一步便是建立假设，通常需要建立一对假设：原假设H₀和备择假设H₁。比如：在对单总体均值进行检验时，有三类假设：

H₀：μ＝μ₀，H₁：μ＞μ₀

H₀：μ＝μ₀，H₁：μ＜μ₀

H₀：μ＝μ₀，H₁：μ≠μ₀

称前两个为单边假设检验，后一个为双边假设检验。

在例5—1中，我们用的是单边检验：

H₀：μ＝2000

H₁：μ＞2000

假设检验的任务便是根据样本X₁，X₂，…，X_n来判断原假设是否为真，如果有证据证明它已经不能成立，应该被拒绝，则可以得出结论说我们可以肯定H₁是成立的。

2．选择检验统计量，确定拒绝域的形式

若对总体的均值进行检验，那么将用样本均值 alt 引出检验统计量，若对于正态总体的方差进行检验，将从样本方差S²引出检验统计量。选定检验统计量还要看数据的基本条件，例如是否已知总体标准差σ等。

根据检验统计量的值，我们把整个样本空间分成两个部分：拒绝域W与接受域A。当样本落在拒绝域中就拒绝原假设，否则就无法拒绝原假设；如果样本落入所谓的“接受域”，我们所能说的也只是“无法拒绝原假设”，因为这时只能说明“目前我们尚未找到证据拒绝原假设”而已，这与说“接受原假设”或“原假设肯定成立”还是有差别的。这时候，拒绝是一种有说服力的判断，而“无法拒绝原假设”是一种没有说服力的判断。所以在假设检验中我们通常总是强调要找出拒绝域。

根据备择假设的不同，拒绝域可以是双边的也可以是单边的。在确定了拒绝域的类型后，还要确定临界值c，这应根据允许犯第一类错误的概率α来确定。

3．给出检验中的显著性水平α

在对原假设是否成立进行判断时，由于样本的随机性，判断可能产生两类错误，如表5—1所示。第一类错误是当原假设H₀为真时，由于样本的随机性，使样本观察值落入拒绝域W中，从而做出拒绝原假设的决定，这类错误称为第一类错误，其发生的概率称为犯第一类错误的概率，也称为“拒真概率”，记为α，即P（拒绝H₀|H₀成立）＝α。第二类错误是当原假设H₀为假时，由于样本的随机性，使样本观察值落入接受域A中，从而做出无法拒绝原假设的决定，这类错误称为第二类错误，其发生的概率称为犯第二类错误的概率，也称为“纳伪概率”，记为β，即P（不拒绝H₀|H₁成立）＝β。

表5—1　假设检验中的两类错误

alt

由于假设检验的目的通常是要进行某种判断，强调的是判断的说服力要足够强。当原假设成立的时候，如果出现“目前样本观测结果是根本不可能的”，则根据逻辑关系，我们可以根据出现了不应该出现的观测结果，而判定原假设不成立。但现实情况中，当原假设成立的时候，虽然目前观测结果出现可能性很小，但仍然是有可能出现的，则根据逻辑关系，我们“由于目前样本出现了，因而判定原假设不成立”也就有犯了判断错误的可能性。我们要求出现这类错误，也就是犯第一类错误的概率不能超过某个水平α，由此给出的检验称为“水平为α的显著性检验”，称α为显著性水平，通常取α为0.05。

以例5—1为例，因为要求检验钢筋抗拉强度的平均值是否提高，因此H₀的要求就是μ＝2000，表示平均值并未提高；如果H₀：μ＝2000被拒绝，则表明钢筋抗拉强度的平均值确有提高。为了真正理解假设检验结论的含义，我们应该具体地理解犯两类错误的实际意义。

关于第一类错误的说明：如果H₀钢筋抗拉强度的平均值μ＝2000，钢筋抗拉强度的平均值无提高，但我们拒绝了H₀，即把钢筋抗拉强度平均值未提高的总体当作了有提高。一般来说就是，当H₀成立时，我们却拒绝了H₀，这就是第一类错误。犯第一类错误的概率用α表示，通常取α＝0.05作为犯第一类错误的概率标准。有时也可能要求犯第一类错误的概率更小，而取α为0.01；有时为了减少犯第二类错误的概率，而取α为0.10。

关于第二类错误的说明：如果钢筋抗拉强度平均值实际已经有提高，但我们却把这样的总体当作了没有提高，没能辨别出来，这种情况下，我们不能拒绝H₀，即把钢筋抗拉强度平均值有提高的总体当作了没有提高。一般来说就是，当H₀不成立时，我们却未拒绝H₀，这就是第二类错误。犯第二类错误的概率用β表示。

在样本量n一定的情况下，α减小，β会增大；β减小，α会增大；要想同时减小α和β，只有增大样本量n才行。

4．给出临界值，确定拒绝域

有了显著性水平α后，可以根据给定的检验统计量的分布，计算或查表得到临界值，从而确定具体的拒绝域。在不同的备择假设下，拒绝域、临界值与显著性水平α的关系是不同的，如图5—1所示。

alt

（a）H₀：μ＝μ₀，H₁：μ＞μ₀

alt

（b）H₀：μ＝μ₀，H₁：μ＜μ₀

alt

（c）H₀：μ＝μ₀，H₁：μ≠μ₀

图5—1　备择假设、拒绝域和显著性水平

5．根据样本观察值，计算检验统计量的值并进行判断

判断检验结论通常有三种方法：

（1）p值比较法。所谓p值，指的就是当原假设H₀成立时，出现目前状况的概率（严格说是：当原假设H₀成立时，出现目前状况或对原假设更不利状况，即对备择假设更有利状况的概率）。当这个概率很小时（例如小于0.05），这个结果在原假设成立的条件下就不该在一次试验中出现；但现在它确实出现了，因此我们有理由认为“原假设成立”的这个前提是错的，因而应该拒绝原假设，接受备择假设。因此可以有个最一般的规则：如果p值＜α，则拒绝原假设。所谓p值，也可以理解为“对于此样本拒绝原假设将犯的第一类错误”，因此同样可以得到判断法则：“如果p值＜α，则拒绝原假设。”目前大多数统计软件都提供了与假设检验对应的p值（p-value），不必再查统计表确定拒绝域临界值就可以根据p值作出判断结论，这使在假设检验中得出结论的工作大大简化了。那么，小到什么程度才能算很小呢？这与我们指定的显著性水平α有关。我们把p值与显著性水平α进行比较，若p值比α小，则拒绝原假设；反之，不能拒绝原假设H₀。实际工作时，通常取α＝0.05，我们就把p值与0.05进行比较，若p值比0.05小，则拒绝原假设；反之，不能拒绝原假设H₀。

（2）置信区间方法。根据样本观测结果计算总体参数的置信区间，然后看置信区间是否包含了该总体参数的原假设值，如果原假设值未被包含在内，则拒绝原假设；反之，则不能拒绝原假设。目前大多数统计软件都提供了相应的置信区间，不必自己计算，因此用这个方法判断也很方便。

（3）临界值法。这是假设检验最早采用的一种手工计算方法，计算用的工具比较简单。我们先计算出检验统计量的观测值，将它与该检验统计量的临界值进行比较（详细比较方法参见图5—1），当它落在拒绝域中就作出拒绝原假设的结论，否则就作出无法拒绝原假设的结论。

当给定的第一类风险标准α相同时，三种方法得出的结论当然应该是一致的。但它们有不同的侧重点。作为黑带，应该对三者都很熟悉才好，至少前两种方法都应熟练掌握。p值着眼于考虑这个事件出现是小概率事件，其发生的概率是那么小，以至于我们认为它在一次试验中发生是非同寻常的，以此来拒绝原假设；置信区间则着重于考虑原假设的参数值“偏离1－α置信区间有多远”，以此来拒绝原假设。出发点略有不同，结论却是殊途同归。我们分析问题时，应全面掌握这些信息，以便更好地理解所得到的结论。

例5—1续

解　建立原假设和备择假设。

H₀：μ＝2000

H₁：μ＞2000

由于钢筋抗拉强度X为正态分布，故 alt 的抽样分布也服从正态分布，且标准差已知，检验统计量为：

alt