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移除书签1.2 万物的数学基础
毕达哥拉斯
爱琴海中有一座与米利都一水之隔的小岛——萨摩斯岛，它就是智慧非凡的毕达哥拉斯（约公元前 570 年－公元前 497 年）的出生地。从我们所掌握的关于他和他的追随者的各种各样的片断记载中，我们得出他的哲学新思考的图景虽欠完整，却仍然富有魅力。在富裕的波吕克拉底的残暴统治期间，毕达哥拉斯对萨摩斯及整个伊奥尼亚地区的环境都极为不满。他迁移到意大利南部，并在那里的一个繁荣的希腊城邦克罗顿定居下来。通常认为他在那里的哲学活动的活跃期大约是从公元前 525 年到公元前 500 年。亚里士多德告诉我们，毕达哥拉斯派“致力于数学研究，他们是最先推动这项研究的，由于长期浸淫其中，他们进而认为数的原则就是所有事物的原则”。与米利都学派形成对照的是，毕达哥拉斯学派认为，事物是由数构成的。虽然这种解释听起来颇为奇怪，然而一旦考虑到毕达哥拉斯为什么会对数感兴趣，以及他的数的概念究竟是什么，这理论就不是那么难以理解了。
毕达哥拉斯对数学感兴趣似乎是出于宗教的原因。他的原创性有一部分在于，他相信研究数学是净化灵魂的最佳方式。事实上，他既是一个宗教派别的创始人，也是一个数学学派的创始人。毕达哥拉斯宗派产生于人们对深沉的精神宗教的渴望，这种宗教可以提供手段来净化灵魂并保证它不朽。荷马的诸神在神学的意义上并不是神，因为他们像人一样不道德。这样一来，他们既不能成为崇拜的对象，也不能成为任何精神力的源泉，从而克服无处不在的道德不洁感，以及人们对生命短暂和最终难逃一死的焦虑。狄俄尼索斯教派早就涉足了这个为人类所关切的领域，并且在公元前 7 世纪和公元前 6 世纪得到了广泛传播。对狄俄尼索斯的崇拜某种程度上满足了人们对纯洁和不朽的渴望。崇拜者们组成小型的、秘密的，甚至有些神秘色彩的团体，崇拜化身为各种动物形态的狄俄尼索斯。他们沉浸于疯狂粗野的舞蹈和歌唱，在心醉神迷的状态中把这些动物撕成碎片，痛饮其血液。最后他们累得筋疲力尽而倒地。他们相信，在疯狂的最巅峰，狄俄尼索斯的精神曾经进入过他们的身体，净化了他们，把他自己的不朽给予了他们的灵魂。
毕达哥拉斯学派也非常关注净化和不朽的神秘问题。正是由于这个原因，他们转向科学和数学，认为对这些做研究是对灵魂最好的洗涤。他们在科学思想和数学思想中发现了比其他任何生活都纯粹的一种生活。沉思默想代表着与牟利的营生和求名的竞争都截然不同的一种生活。毕达哥拉斯区分了三种不同的生活，也暗暗由此引出了灵魂的三重区分。他说，来到奥林匹克赛会的有三种人。最低级的是那些做买卖的人，他们为牟利而来。其次是那些来参加比赛的人，他们为荣誉而来。他认为最好的是那些作为观众而来的人，他们对正在发生的事情加以思考分析。在这三种人里边，观众体现了哲学家的活动，他们摆脱了日常生活和它的种种不完善。“观看”与希腊词“理论”是一个意思。毕达哥拉斯学派把理论思考或者纯粹的科学和数学看作是灵魂的清洁剂。数学思想可以把人们从对特殊事物的思考中解放出来，引导他们思考永恒而有序的数的世界。毕达哥拉斯主义者最终神秘的胜利是从“生的轮回”中，从灵魂通过永续不断的生死进程而向动物以及其他形态的转世中解脱出来。观察者以这种方式达到了与神的统一，并分享了他的不朽。
为了把这种宗教性的关切与毕达哥拉斯学派的哲学方面联系起来，我们应该首先谈谈他们对音乐的兴趣。他们认为，音乐对某些神经错乱颇有疗效。他们相信，在音乐的和谐与人的内在生活的和谐之间有某种关系。不过，他们在音乐领域真正的发现是音调之间的音程可以用数字来表示。他们发现一个乐器的弦的长度与它们实际产生的音程是成比例的。例如拨动一把小提琴的弦，你可以得到一个特定的音调。把这根弦截成一半，你会得到一个高八度的音，这里的比例是 2:1。所有其他的音程都可以类似地用数字比例来表达。因而在毕达哥拉斯学派看来，音乐定数字与一切事物有着普遍关联的一个很好的例子。这使得亚里士多德说：“他们发现音阶的属性和比例可以通过数字来表现；所有其他的事物在本质上似乎也都以数为模型，数在整个自然中似乎是最先存在的东西，整个天宇就是一个音阶、一个数目
。”
毕达哥拉斯学派有一种计算和书写数字的特殊方式，这或许也促成了他们认为万物都是数的观点。很明显，他们是以个体事物为基础单位来构建各个数字的，他们使用鹅卵石来计数。因此，数字一就是一块单个的鹅卵石，所有其他的数字都是由鹅卵石的增加产生的，这有些类似于我们今天在骰子上打点代表数字的做法。具有深远意义的是，毕达哥拉斯学派发现在算术与几何之间有一种关系。一个单个的鹅卵石代表了作为一个点的一。而二是由两个鹅卵石或两个点构成的，这两个点形成一条线。三个点，就像在三角形的三个角上一样，构成了一个面或区域，四个点可以表示一个立体。这表明，在数与大小之间存在着密切的关系。人们认为是毕达哥拉斯提出了我们今天所知的毕达哥拉斯定理：斜边的平方等于两个直角边的平方之和。数量和大小之间的相关性对于那些爱为宇宙中的结构和秩序寻找原则的人来说，是一个非常好的安慰。我们很可以理解为什么会产生一个有趣但有可能不足为信的故事。这个故事说，有一个叫希帕索斯的毕达哥拉斯学派成员被扔进赫勒斯旁海峡，因为他泄漏了一个秘密：此原理对等腰直角三角形不成立。就是说，在这种情况下，它的斜边和两个直角边的关系不能表达为任何数字比例，只有通过一个无理数表示。
在毕达哥拉斯学派看来，数与大小之间关系的重要性在于，数意味着某种形状，例如三角形、正方形、长方形等等。单独的点是“界碑”，它划定了“范围”。此外，毕达哥拉斯学派把这些“三角形的数”“正方形的数”“长方形的数”和“球形的数”区分为奇数和偶数，这使他们有了新的方法来处理对立面冲突的现象。因此，在所有这些形态中，数远非仅仅是抽象的东西：它们是特殊种类的实体。因此，像毕达哥拉斯学派那样说所有事物都是数，就意味着在他们看来所有具有形状和大小的事物都有一个数的基础。他们以这种方式从算术转到了几何，然后再转到实在的结构。所有事物都有数，它们的奇数或偶数的值解释了事物中的对立，例如一与多、正方形与长方形、直与曲、静止与运动，甚至光明与黑暗也是数的对立，正如雄与雌、善与恶的对立一样。
对数的这种理解使毕达哥拉斯学派形成了他们最重要的哲学观念，即形式的概念。米利都学派已经形成了原初质料或物质的观念，所有的事物都是由它构成的，但是特殊事物是如何从这个单一的原初物质中分化出来的？他们对此却没有一个连贯的概念。他们都谈到了一种无限定的物质，不论它是水、气还是不确定的无限制者，他们都以之来意指某种原初的物质。毕达哥拉斯学派现在提出了形式的概念。在他们看来，形式意味着限定( limit )而限定尤其要通过数来加以理解。他们相信，限定的概念在音乐和医学中得到了最好的体现。因为在这两门技艺中，最核心的问题是和谐，而要达到和谐，就要考虑比例和限定。在音乐中存在着一个数的比例，不同的音调必须按这个比例分布以便达到音程的协调。和谐就是数的比例的有限定的结构加在乐器的弦所能发出的各种声音的无限可能性之上的那种形式。毕达哥拉斯学派在医学中也发现同样的原理在起作用。健康是一些对立面的和谐、平衡或者恰当的比例——比如热与冷、湿与干，以及后来被生物化学认为是各种特殊元素者的量的平衡。事实上，毕达哥拉斯学派倾向于把身体看作一部乐器。他们说，当身体“协调”时人们就是健康的，而疾病乃是由于弦绷得太紧或者音没有调试好。在早期的医学文献中，数的观念经常与健康和疾病连在一起运用，尤其是当数被解释为“形”的时候。真正的数或者形指的是身体的诸元素间与诸功能间的平衡。因此，数代表了限定（形式）在无限定者（质料）上的运用，谈及音乐和医学，毕达哥拉斯学派只是把它们当作他们更广泛的概念，即万物都是数这个概念的鲜明例证。
毕达哥拉斯及其追随者的才华在某种程度上从他们对后来的哲学家尤其是柏拉图的影响上得到衡量。柏拉图哲学的许多内容在毕达哥拉斯的教导中已经得到了表述，包括灵魂的重要性和它的三重区分，还有数学的重要性，因为它关系到形式或“理念”的概念。
