2.2　确定均值的方法

    在计算的过程中，为了合乎准确性的要求，常常需要使用具有代表性的数值，而为了解决这样的问题，我们就要使用那些具有普遍性的价格，以之取代一个简单的价格，进而凭其确定平均值或相应的取值范围，而由多重数值所计算的平均值（算术平均值）可以参考性地替代任何一个数值，例如，就我们日常生活费的计算而言，在美国东北地区，1磅咖啡的平均零售价格比任何商店里所标示的价格都更具说服力。然而，并非所有的数据都可以在被合并，或者被平均之后还具有某种意义，例如，在同一天里，由被采集的所有价格计算生成的平均值根本不会反映某个独立市场的整体状况（尽管此市场的相关市值也是计算相应均值的一个组成部分）；还有，依据不具有相关性物品的价格所计算的平均值（比如，一盒早餐麦片、汽车维修的小时成本、德国DAX指数期货的价格等）也会生成一系列存在问题的数字。因此，我们所使用的、由一组价格数据而生成的均值一定要具有非常有益的参考性。

    此外，所谓的“均值”有时会产生一些误导作用，比如咖啡，在过去的一年当中，它从每磅0.40美元上升至每磅2.00美元，因此该产品的平均价格是1.20美元。然而，这个均值不会告诉你我们喝的这个咖啡是在什么时间以什么价格出售的。表2-1将咖啡价格的升速分成4个等值的区间，从中我们可以看出：各区间所对应的时间跨度长短不一，即咖啡价格在低位徘徊的期限相对较长，而在高位的时间则较短，这是很正常的价格运行模式。

    表2-1　加权平均值的计算方法

    鉴于表2-1，我们可以看出，如果将各个价格水平所对应的时间序列囊括于相关数据之中，那么所计算的平均价格应低于1.20美元。现在，我们采用这样一种方法来进行相关的计算，即已知各价差区间所对应的具体天数，然后以此来确定各区间彼此所占的权重，进而计算加权平均的价格数值，公式如下：

    经计算得出：W=105.71。 [1]

    由上述推导可知，基于时间跨度的长短而计算的加权均值与算术平均法所计算的结果是不同的，然而，对于如何得出正确平均价格问题而言，其给出了一个更好的方法。由于时间是相对于均值的重要因子，基于此，我们应用了几何平均数以及调和平均数进行更加深入的解析。

    2.2.1　几何平均数

    几何平均值（G）代表了一种增长功能，即价格从50元到100元的变化过程与从100元到200元的增长模式是一样重要的，而如果某个金融工具有n个价格：a1 ，a2 ，a3 ，…，an ，那么，其几何平均数就是将各个价格联乘，然后开n次方，即

    由于我们不只是为了单纯地使用一个电子数据的表格，所以，为了解决上述这个数学问题，我们可以将上述的方程式更改为下列两种形式之一：

    上述这两个解决方案是等值的，ln为自然对数，或称之为“以e为底的log对数”（注意，有一些软件的对数功能log实际上就是ln），将表2-1中所列价格代入以上之对数方程，且不考虑时间跨度，那么，相应的数值是：

    那么，由上述方法所计算的几何平均值为104.19，而根据时间加权所得出的数值为105.71。

    在应用方面，几何平均数对经济和价格的影响是具有优势的。让我们拿一个典型的例子进行一下比较：如果价格从100元上涨了10倍至1000元，然后又从100元下跌了10倍至10元，10元和1000元这两个价格的算术平均值是505元，而其几何平均值G为：

    上式展示了几何平均值作为可比较增长函数所相关的各类价格的相对分布状态，而正是由于这个属性，当平均比率以分数或百分比形式表示时，应用几何平均值则是最好的选择。

    2.2.2　二次平均值

    二次平均值常常被应用于对误差值的估算，其计算方法如下：

    二次平均值就是将各个变量的平方值之和取均数，然后再开平方根（记住，平方值加总—取均值—再开平方根），这也是众所周知的标准差的基础，此问题会在第2.4节中得到进一步的解析。

    2.2.3　调和平均数

    调和平均数是另一个与时间相关的加权平均值，但是，其并不像几何平均值那样偏高或偏低。让我们举一个简单的例子来说明。比如，一辆轿车以20英里 [2] 的时速行走了4英里，然后又以30英里的时速行走了4英里，按照算术平均值的计算，其平均速度为每小时25英里，此方法没有考虑时速20英里所耗费的时间是12分钟，时速30英里所相关的时间跨度为8分钟，而如果应用加权平均的方法，则我们会得到如下的均值W：

    那么，调和均值的公式为：

    上式也可表示为：

    对于两个或三个数值，我们可以使用更简单的形式，即

    我们可以用调和均值的方法进行相关的计算，如果其时速为20～30英里，那么，按照上述公式，则：

    如此，以调和均值方法所计算的数值与加权平均法所计算的数值是一样的。现在，让我们再来考虑表2-1中的相关数据，如果应用调和平均数的基本方法，那么，相关的均值为：

    在上式当中，我们应用调和平均值测算了相应价格的波动情况，其第一波在经过了12天后，移动了20个点，而第二波在经过了8天之后，移动了30点。

    [1] W代表加权平均值，a代表的是各区间的价格平均值，d代表的是各区间所对应的实际天数，即咖啡均价是1.0571美元/磅。——译者注

    [2] 1英里＝1609米。——译者注