2.8　概率

    所谓“计算”就是要测度那些不可估量的东西。

    ——迪克森G.瓦茨（Dixon G.Watts）

    变化是一个容易让人产生焦虑的因素，然而，绩效以及机会发生的或然性只能被测算出来，却不能预期。研究领域将所谓的不确定性称为“概率”。在日常的思维和行动中，我们每个人都会使用概率，比如当你告诉别人你会在这30分钟之内到达某一地点，那么，你的前提假设是：

    （1）你的汽车能够发动；

    （2）在途中，交通工具不会发生故障；

    （3）你不会受到不必要因素的干扰；

    （4）你可以按照预期的速度行驶；

    （5）你遇到绿灯的频率在正常范围之内。

    上述所有这些情境都属于极端的概率，但每个人都会做同样的假设。以上述的范例而言，在旅程之中，如果说30分钟到达的话，其仅仅是对所花费的平均时间做的一种估测。而如果到达时间是至关重要的，你会将所估计的时间范围扩展至40或45分钟，以预防发生什么意外事件，在统计数据中，这就是所谓的置信区间。你不会预留出两个小时的时间，因为发生如此这般延迟的可能性几乎为零，这意味着所谓的估计是可以容忍一些变化的，而且所有这些变化都被认为是正常的。

    概率是对所有不确定性因素的平均值的一种测量方式，其是以相关可能性的百分比形式而显示的，例如，如果总量N中有M个数值被预期落在一个特定的定义域之内，那么，任何一个符合此标准数字的概率P是：

    当我们做交易或预测价格之时，我们只能在概率或者区间之上进行研究，例如，我们可以预计价格上涨30～40个点，或者预期我们有65%的机会从一笔交易中获利400美元。其实，没有什么东西是必然要发生的，但是，成功概率较高的交易是很具有吸引力的。

    2.8.1　概率法则

    概率的两个基本原则是可以很容易地通过玩扑克牌的例子来解释，即在一副52张的扑克牌里，我们将其分成4组，每组13张牌。在任意一个回合当中，抽到某张特定牌的概率是1/52；同样，抽到一个特别的花色或牌号 [1] 的机会分别为是1/4和1/13，而前三种机会的任何一种情境所发生的概率是其各自概率的总和，这就是所谓的叠加法则。在选择牌号、花色或特定一张牌时（即抽取10或者一张黑桃或者红桃Q），其成功的概率P是：

    另外，还有一种概率法则，即联乘法则，其阐述了相对于同时或连续发生的两个事件而言，相关概率等于其各自概率的乘积。按上例的解释是，在同一副牌中，我们进行两次连续不断的取牌（抽完一次则重新洗牌），目标是抽一个3和一个梅花；或者，我们要从两副牌中同时抽取同一张牌，那么相关的概率P为：

    2.8.2　联合概率与边际概率

    预期价格的波动并不能像定义扑克牌那样清晰。在连续的事件之间，通常都会存在某种相关性，例如，在连续的两天之内，价格必然会有以下序列或联合事件形式之一的运行模式，它们分别是：两日皆升、两日皆降、第一天升而第二天降、第一天降而第二天升，联合概率分别为0.40、0.10、0.35以及0.15。在前述这个范例中，最大的预期是价格会上涨，而价格于第一天上升的边际概率被标示在表2-4中，其得出的结论是，在第一天，价格上涨的概率是75%，而在第二天，价格继续上涨的概率是55%。

    表2-4　边际概率

    2.8.3　条件概率

    对于先验性的事件而言，我们需要弄清到底什么是与结果相关的条件概率。在联合概率的例子里，当第一天价格下降时，那么第二天的价格可能有机会上涨，应对这种情况（即基于B条件的A概率），其相应的概率符号是P（A|B），而相应公式为：

    结合前述的案例，可得：

    第一天降价而第二天涨价的概率为P（第二天涨价|第一天降价），且

    而价格在第一天上涨，且在第二天也上涨的概率为P（either），且

    2.8.4　马尔可夫链

    如果我们相信今天的价格波动是基于昨天所发生之事件中的相关部分而形成的，那么，我们就有了一个所谓的条件概率的情境，这一过程可以表示为一个马尔可夫过程，或称之为“马尔可夫链”，其结果或效果就是通过马尔可夫链，我们可以看到某种状态或条件出现之时所相关的概率，例如，无论明天的天气是晴是多云，抑或是多雨，其情境与今天的天气状况是相关的。

    在基于不同概率条件的各类组合事件之间，需要有一个转换矩阵进行相关的链接。我们以天气预报为例：在一个晴朗的日子之后，有70%的概率会伴随着另一个晴朗的天气，而第二天为阴天的可能性为25%，同时第二天下雨的机会只有5%。在表2-5中，今天的每一个可能性都被显示于左侧，而第二天天气变化所相关的概率被显示在顶部；同时，每一行的累计总值是100%，其显示的是各种天气所占的概率比例。前述这些事件之间的关系可以表现为一个连续的网络图（见图2-11）。

    表2-5　转换矩阵

    图2-11　概率网络图

    马尔可夫过程可以减少错综复杂的相关性，从而实现一个更加简单明了的情境。首先，我们考虑一个双态的过程，以市场行情为例，在经历了价格上涨的一天之后，在接下来的一天价格会是升还是降呢？其上升或下降的概率会各是多少呢？如果在第二天价格会持续上涨的概率是70%（我们可以说这是一个上升趋势），下跌的概率是55%，那么，在上升趋势中，任意一天中的价格上涨之概率又是多少呢？

    首先，我们选取一个初始日，该日可以是价格上升的一天，也可以是价格下降的一天。然后，我们可以预期其下一天的上升或下降的概率。通过表2-6a所给出的数据，我们可以简单地计算一下连续事件所相关的频率，如此就可以非常容易地得到相应的概率，接下来，就可以得到相应的百分比数据，如表2-6b所示。

    表　2-6

    由于第一天的行情被指定为向上或向下——相对于一般性的规则而言，此种设定是一个例外，因此，所给出的权重值是50%，而第二天行情升降所相关的概率P(上升)2 等于相关联合概率之和，即

    由上式可知，第二天价格上升的概率是62.5%。我们继续以同样的方式，以0.625为上升的概率，那么，相应的价格下降的概率就为0.375，依此类推，第三天价格上升的概率P(上升)3 为：

    依此类推，第四天价格上升的概率P(上升)4 为：

    由上述推导可知，相应的概率数值在慢慢地进行收敛。如果我们要把价格上升之日所相关的概率进行一般化处理，那么，我们就要看看在第i天会发生什么。

    首先，第i+1天价格上升的概率P(上升)i+1 为：

    因为概率属性是逐渐收敛的，那么，第i天的概率与第i+1天的概率的相关性为：

    现在，我们以迭代法求解相关方程，得出如下结果：

    在上升的趋势当中，任意一天行情上升的概率值为：

    关于上例所给出的前一日的价格走势而言，在代入5日趋势（或n天趋势）的情境之下，如果此5日的行情只有向上的走势，那么，我们即可发现价格升降日期所相关的概率。

    至于预测天气的问题，其所涉及的情境更加复杂，因为它是一个多重情境彼此收敛的过程；同时，其在当期价格应对过往价格方面，也非常具有代表性。我们以双态过程的方式对相关的问题进行解析，同时，对第一天的每个情境配以1/3的概率，那么，第二天的概率则是：

    然后，我们使用第二天的价格，推出第三天的概率，即

    上述三种情境的方程的一般化形式如下：

    这里，我们可以设置每个i+1元素等于其所对应的i元素值。另外，我们假设有三个方程，且有三个未知数，那么我们可以直接或通过矩阵乘法进行求解，如本章附录B中所显示的那样， [2] 否则，相应的求解需要应用附加的相关性，即

    如此，则相应的结果为：

    2.8.5　贝叶斯定理

    尽管从历史角度来看，存在一个由于某项事件所导致的结果，但是，一个特定的当期市场情境也可能改变相关的概率，因之而推出的贝叶斯定理是：将原始概率P（original）的估值与添加事件概率P（added-event）相结合（需要参考新增信息的可靠性），然后，获得一个后验的或者修正的概率，公式如下：

    我们假定价格上升的概率P（up）与价格下降的概率P（down）都是原始概率，再加上一个添加事件概率，如失业报告、贸易收支平衡表的变化、农作物报告、股票存量的情况或者预期在明天公布的且具有压倒一切优势的美联储的利率政策，那么，在添加事件之情境下价格上升的新概率P（up|added-event）为：

    上式中，价格升降所相关的概率为原始的历史性概率，而P（A and B）为联合概率。

    即使联合概率和边际概率是未知的，但是，贝叶斯定理还是发现了相应的条件概率，上述的新概率P（up|added-event）为：

    其中，P（added-event|up）是价格上升预期为正确情境下新事件所相关的概率，P（added-event|down）是价格下降预期为正确情境下添加事件所相关的概率。

    现在，让我们举例说明，如果利率下降0.25个百分点，那么，相应股票价格上扬的概率计算90%，如此：

    [1] 不分花色。——译者注

    [2] 一个完整的马尔可夫链的数学处理过程可以在John G.Kemeny和J.Laurie Snell的Finite Markov Chains（New York：Springer-Verlag，1976）中查到。