10.3　季节性模式的流行算法

    季节性模式通常使用月度数据进行计算。尽管一些研究试图确定它们的周期，且将这些周期固定为一个特定的天数，而与大多数其他的分析模式相比，密切地观察较短的时间周期的方法同样会带来大量的噪声和不稳定的结果。有鉴于此，本章在研究季节性问题时使用了月度数据，同时对大的行情趋势保持高度的关注。

    10.3.1　数据应用过程当中的注意事项

    在使用的一些范例当中，期货价格所相关的一个重要的预警问题是：这些价格是通过使用一些连续且回调的数据而构建的，相对于研究而言，连续期货数据的获取方式比个别交割月的要更加容易一些；而且，对大多数交易者来说，其比现货数据更易理解。另外，期货数据中的运行模式与交易行为更有相关性，因为在交易中，我们所使用的数据是相同的。不幸的是，在测试过程当中，经过回调的期货价格与现货价格的结果是不同的，并且，我们通常要将现货价格融入传统的季节性模式中。同时，本章的内容也包括了使用不同类型的数据对季节性模式进行比较。

    如果要基于单笔合约交割月创建一个连续的数据系列，那么，我们就有必要去除旧的期货合约与循环日之新合约之间的价差，然后向后调整所有的数据，从而映射相应缺口（即新旧期货合约之间的差值）的价值。相对于顺势分析系统而言，这种连续数据是非常适用的，由于存在被调整的价差所生成的累积效应，最老的数据可能会比当期的实际价格要高出或低出很多。在小麦的案例中，其所显示的是：1965年，使用现货数据所得出的价格是1.72美元/蒲式耳，但是其回调后的价格是12.45美元。在其他情况下，如果按利率进行调整，那么，价格可能会被调整至25年前，也可以变成负数，因为运费总是体现负值。传统的季节性分析将使用现货价格，而不是构建一个系列，其目的是拥有一个有效的百分比，而当使用连续期货数据时，其结果就不能以百分比的变化形式表现出来。而基础期货合约资产的现货价格则可在诸如位于佛罗里达州博卡拉顿的国际工会联合公司之商品系统一类的下载服务中心内找到。

    读者应该记住：股票的拆分或反向分割模式会使其价格发生改变。因此，我们在1975年所得到的百分比数值可能在当时就会出现很多不同的变化情境。

    10.3.2　季节性的分解模式

    我们在之前显示了发掘季节性模式的各种手工方法，而现在市场上出现了更多的且效果相同的自动化方法，在随机过程的统计软件当中，其本身就具有季节性差异（seasonal differences）和季节性分解（seasonal decomposition）的选择程序（option）。季节性差异程序要求你输入具体的季节相关的天数或周期，如果我们使用月度数据，那就是12个月；使用天数据，那就是252天（你也可以用总的天数除以年数，从而得到精确的数字）。同时，相应的测试结果将是无趋势的价格系列。至于其所相关的比较模式，笔者将在下一节进行论述。

    季节性分解模式非常广泛，其基本过程是根据各个时间序列中的诸如市场行情、季节模式、循环周期以及噪声一类的重要因子进行拆分。另外，分解模式还应该提供一种残差方法，也就是说，我们需要将其他要素剔除，然后再进一步研究季节性的变化对相应的价格波动所产生的影响。在本章中，我们不会像其他时间序列中的构成因子所要求的那么严格，但是，相对于实际提取的季节性模式而言，其必须具备具有可用于交易的实效功能。

    10.3.3　趋势性相关的拆解模式

    前面的论述已经指出价格趋势或者潜在的汇率变化会使我们难以识别相关的季节性模式。作为一个范例，图10-1显示了1985～2010年农产品小麦的月度现货价格的平均值，其间包含了一个向上的行情趋势以及随着时间而增长的波动率。我们可以通过Excel形式进行一个简单的回归分析，然后，再基于斜率和Y轴的截距创建一条回归线，这样就能很容易地看到价格的长期趋势，也可发现自1985年伊始，小麦价格每个月的增长额是1/2美分/蒲式耳。接下来，我们从实际价格中减去回归值，如此就得到相应的价差。这种非趋势性的小麦价格也被绘制在图10-1中，实际上，2007年，小麦相关的非趋势性价格的波动率比现货价格的还要高。

    图10-1　非趋势性的小麦之月度现货价格

    在发现季节性模式之前，我们应该从所有的数据中更加准确地删除相应的趋势，但是，这里还有一点要做的就是，相对于一个特定的月份而言，我们需要对其相关的趋势导向进行回调处理，进而找到相关运行模式的净值，而大部分交易者却不愿意这样做。实际上，在许多情况下，比如小麦，其潜在的行情趋势是每年只有0.42%的波动情境，但在经历了25年之后，其波动率会达到51%，因为每个月都会重复同样的情境，所以它不会改变相关季节性的循环模式。

    10.3.4　季节性模式构成因子的基本计算方法

    1.相关价格的平均模式

    我们不需要应用复杂的方法来发现相关的季节性模式，但是，我们必须遵循一些基本的规则。对于大多数分析师来说，最简单的方法莫过于借助相应的电子表格，即以列的形式记录相关月，以行的形式代表年份（见表10-1），每月的平均价格被放置于每一个单元格之中；然后，对每一列所对应单元格的数值进行简单的平均计算，且将其标注于底部的四行之内，如此则可显示相应的测试结果，进而得出准确的季节性模式。前述这种技术的主要缺点就是：它忽略了随着时间的变化而变化的价格水平，例如在关于25年期的大豆研究中，其所使用的价格从6美元/蒲式耳至15美元/蒲式耳不等，那么，价格在15美元发生变化则说明其波动性较大，而相应年份则可能会压倒其他年份。

    在获得每月的平均价格数值之后，我们就可以应用。但是，有许多图表和数据服务器可以将天图转换成月图（其显示每月的最后价格，而不是平均价格），然后，把这些价格下载到Excel的电子表格中。相对于交易网站而言，其可以编写一个程序，将月图中所显示的价格打印到一个平面文件中。

    2.现货价格与期货价格的比较模式

    在这里，我们需要再一次强调的是使用正确的数据非常重要，因为我们会把每个月最后的小麦现货价格和回调后的期货价格置于一个表格当中（整个表格可在英航网站中TSM软件内的Cash and Futures monthly tables wheat程序中找到），如表10-1a和表10-1b所示。这里特别强调的是：小麦的现货价格正在稳步地从低向高运行，而期货价格却是以高价开始，以低价结束，其中高波动率和低波动率所对应的周期在表中并没有被显示出来。

    每个表底部所显示的是小麦价格的月度平均值和月度中值。通常情况下，中间值被认为是一个更好且更具代表性的价格，因为其不受一个或两个极端值的影响，而且，其所显示的价格通常会被大众所接受。如果我们将每月均值之和进行再次平均，然后应用每个月的均值除以这个年化平均值，那么，我们就可以得到一个经过调整的平均数，其被显示于表格最下端的两行之内；最后两行的单元格所显示的是相应的平均值和中位数再除以年化均值而得出的结果。在图10-2a和图10-2b中，其根据平均值和中位数之间的比率刻画出了季节性的循环模式。

    表10-1　以月度均值和中值所显示的1966~2011年的小麦的现货价格

    表中的现货价格显示了一个典型的季节模式，而期货价格却没有显示相应的季节性。美国最大的作物冬小麦是从6月开始收获的且可能持续至夏季。图10-2a显示了其于5月和6月中的最低平均价以及7月和8月的最低中间价，两者都是合理的。期货价格表现出夸张的形式：其7月的中值价格处于飙升状态；但是，相应的均值却没有呈现此种状态，那么，均值的运行模式可能被认为具有正确的季节属性。总之，期货价格可能会为一些市场交易者的行为所左右，而现货价格对交易者来说则会更安全一些。

    10.3.5　创建月度结果变化之表格的编辑模式

    为了评估季节性模式而创建一个与价格变化相关表格的工作流程是单调和乏味的。在各种表格中所表示的月度结果的变化当中，我们使用了TradeStation交易系统的TSM软件内的三个程序，即均值相关的Seasonal Average程序、中值相关的Seasonal Median程序以及季节性波动率相关的Seasonal Volatility程序，它们皆可于英航网站上生成。同时，前述这些程序会以表格的形式被编写于平面文件之中，其相关月份会被置于顶部，而相应年份则位于表格的左侧。另外，相应的程序无须输入数据，它们会自动运行并生成，且输出表格，同时会尽快地将其装载至相关的工作区。

    图10-2　以月度均值除以年化均值而计算得出的季节性模式

    1.相关数据的指数化模式

    相对于某个时间序列之内的价格差值所应用的一个简单的调整方法就是将相应数据指数化，即其中每个新的数据值都是基于前一个值的百分比。前述这个方法非常适合季节性研究，但必须使用未经调整的现货数据或股票价格，其并不适用于测试回调的期货价格。在操作的过程中，我们需要先给出第一个月的平均价格（例如25美元），然后将此指数价值设为100；如此，每个后续的月度平均价格则可以通过指数的百分比值来显示其增加或减少的情境。如果第二个月的平均价格为27美元，那么100×27/25=108，相当于增长了8%；如果第三个月显示了一个26美元的平均值，那么，指数值就变成了108×26/27=104。前述这个方法可以在第2章的第2.6节中找到。一旦相关数据被指数化，那么，我们则可以根据百分比的变化情境来解析相应的均值。由于前述模式考虑了价格相对于时间而发生变化的情境，所以，其更具有实用性。

    我们现在考虑两只股票——西南航空公司（简称LUV）和亚马逊公司（简称AMZN）。我们的预期是：西南航空公司的股价与相应的季节性模式之间应该存在一定的关联度，因为大多数休闲旅游会发生在夏天；亚马逊公司的股价与季节性模式的相关性并不那么明确。如此，我们首先使用1998年8月～2011年2月的相关数据；同时，应用与小麦所使用的计算方法相同的模式从价格之中计算相应的季节性价值，所得到的结果则如表10-2所示，其是位于底端的、经过调整的价格均值；随后，价格被指数化，以100为起点，如此，则以相同的方式得到了月度平均值。图10-3则比较了季节性相关的价格模式与百分比模式。表10-2a所显示的是用美元（＄）计算出来的西南航空公司股价所相关的季节性价值，而表10-2b所使用的则是百分比（%）的数值。

    图10-3　以美元（＄）和百分比（%）形式显示的西南航空公司股价相关的季节性价值

    图10-4　使用价格变化值和百分比变化值，且依据1998年8月～2011年2月的数据所显示的亚马逊公司股价相关的季节性变化模式

    在图10-3中，两种季节性模式是相同的，但是用美元（＄）数值所呈现的曲线波动率似乎非常小。而表10-2则显示了-0.50美元至+0.50美元的季节性价值的波动范围，同时，附带百分比模式的图形则更加清晰一些，其显示了自-6%至+6%的波动情境。因为西南航空的股价在整个期间几乎保持了同一价格水平，所以相关图表的差异只是显示其比例尺的规模不尽相同。这里最重要的是：相应图表显示4～7月（也就是美国的春天到初夏），相对于西南航空公司而言，其会迎来一个季节性的高峰，而另一个高峰则是11月的感恩节；其业务低谷期则表现在8月和9月，因为此时各个家庭于度假之后需要上班，学生于假期之后也要上课。

    表10-2　西南航空公司股价相关的季节属性

    我们对亚马逊公司也应用了相同的季节性计算模式。其实，相对于该公司股票价格是否具有季节性的问题而言，我们并没有做出任何的预期。图10-4则显示了相应的测试结果，其中我们没有应用相同的规模来显示价格和百分比的波动情境，而是将相应的百分比变化值标注于左侧，将价格的变化值显示于右侧。虽然图表几乎相同，但是，百分比的变化情境显示出从-40%到+30%的波动范围，而价格的变化值也从-5.00美元延展至+6.5美元。在相关的期间内，亚马逊公司的股票价格曾经处于6美元的低位以及180美元的高点。无论价格处于哪种极端情境，此时的平均价格波动率将不会是一个很好的且值得衡量的期望值。相对于此种问题，百分比的模式就会更好，但也不是完美的，我们需要再考虑一些其他的技术方法，进而观察相关模式的变化而不是相应波幅的规模。

    亚马逊公司股价所关联的季节性模式显然是非常清晰的，公司业务在暑假之后会明显地改善，而且股价会在圣诞节之前得以飙升。现在，我们可能会想到零售商都会在圣诞节期间获取很大的收益，所以，前述的这个结果是合理的。总之，我们这里需要强调的最重要的一点是：清晰的季节性模式可以帮助交易者制定盈利型的交易决策。

    2.亚马逊公司股票价格所相关之趋势性的移除模式

    正如前一节所显示的那样，从理论上来说，如果要剔除相关的趋势因子，我们则有必要找到一个明确的季节性模式。尽管季节性模式总会影响价格，然而，一个强大的行情趋势可能会压倒季节性的运行模式，从而使其难以生效。我们可以应用线性回归、移动平均线、年化均值、1阶差分以及更为复杂的链接相关性和X-11等模式剔除相应的趋势性。而作为一个反映非趋势性效应的范例，亚马逊公司的股价会再一次被涉及。我们会发现：自1998年以来，亚马逊公司的股票行情当中存在着一个广泛的运行区间。

    如果要去除亚马逊公司股票价格的趋势因子，我们可以依据之前的论述，且使用以下的步骤。

    （1）应用简单的序列级数1，2，3，…来创建一个数据列，在回归分析之中，其可被当作自变量x，因为日期形式在这里不起作用，而且日期当中并不包括周末时段，所以相应程序容易导致错误的测试结果。

    （2）应用数字序列x以及价格y来发现相关的斜率和Y轴的截距，在数据分析当中，我们可以应用Excel相关的回归工具进行相应的操作。

    图10-5　应用亚马逊公司股票原始的以及非趋势性的价格所构建的相关季节性模式的比较情境

    （3）相对于每个价格x而言，我们可以创建一条线性的回归线，然后再使用公式y=ax+b，其中a是斜率，b是y轴的截距。

    （4）从相应的原始价格中减去回归线（3）上的每一个值，从而计算出残差值。

    （5）将年化残差设置于表格的左侧，同时将月度残差值与表格的顶部相交叉，如此则可以创建季节性的图表。

    当非趋势性的季节模式与没有非趋势性的季节性模式相比之时，其整体形状是相同的，如图10-5所示，二者主要的差异于2月表现的比较弱，于11月时比较高，而11月和12月间的差异性是最强的。虽然这只是一个范例，但是我们仍然可以得出这样的结论，即相对于寻找整个季节性模式的交易者来说，他们没有必要使价格呈现非趋势化的情境。而偏向于做多的交易者则会应用原始的非趋势化的价格，且选择最强6个月的数据来获取相同的测试结果。

    10.3.6　应用1阶差分剔除相关的趋势性

    伯恩斯坦关于季节性的研究方法比较著名， [1] 他在计算季节性调整因子之前，先行使用1阶差分的方法，于价格中删除相关的行情趋势。同时，伯恩斯坦提出了以下步骤，凭以确定现货价格的季节属性。

    （1）将一年中所使用的数据设置于相关表格的每一行中；虽然大多数分析将使用月度数据，但是相应的列却需要被标注为日间、周际或月度的级数。另外，相对于每一个周期而言，平均价格是首选的数据（见表10-2）。

    （2）将3月的价格数据减去2月的价格数据，2月的价格数据减去1月的价格数据，如此等等，那么在第2个表格之中便可计算月度之间的差值，而且于这个新表之中，其包含了非趋势化的数值，而相应差值的平均数则应该接近于零。

    （3）在新表的每一（月度）列中，计算价格差值的总和，然后将其除以数据所对应的年数，从而找到这一列的平均值（各列所对应的交易次数可能有所不同），这就是月度价格的平均变化值。

    （4）在相应的表格当中，计算每个月（列）内的价格上涨、下降或者不变的次数，如此则会得出每一个行情方向的运行频率（用百分比表示）。

    图10-6　以月度玉米现货平均价格显示的相应的季节性趋势

    伯恩斯坦又将每月的平均变化值进行叠加，用以表示相关价格上涨的变化频率，图10-6显示了玉米的测试结果。

    图10-6应用伯恩斯坦的方法显示了玉米现货价格的季节性的行情趋势，其清晰地勾勒出玉米行情的运行模式，其中玉米每月价格的变化均围绕于零线而波动，但是，此种方法并不适用于分析亚马逊公司的股票价格。在通常的情况之下，1阶差分法会删除相应的趋势；然而，玉米价格在近20年的时间内保持了一个狭窄的波幅区间，而亚马逊公司股票价格的波动范围却非常广泛，其以低价开始，却以高价结束。另外，最近几年玉米价格的巨大变化也极大扭曲了相应的测试结果。

    10.3.7　个别较高波动率相关年份所造成的影响

    季节性因子的计算过程可能会受一些波动较大的非常年份的影响，特别是在没有很强的季节性倾向时，其会显示出很大的百分比变化值，例如我们可以很容易地判断，由于受到巴基斯坦的洪水、埃及的地缘政治事件以及美国旱情等因素的影响，相应的预期则是最近期的棉花供应量会发生很严重的中断状况。在图10-7中，其基于1973～2011年2月的数据显示了正常的季节性模式，而此种模式的近似情境是北半球夏季作物的价格于收割期或预期的收割期之内会呈现季节性的低点，基本在7～9月。

    图10-7　应用棉花价格的月度均值相关的季节性模式，期限为1973～2011年

    如果我们只对过去两年的数据进行平均，那么所显示的相关模式则是非常不同的，其在10月有一个17%的涨幅，如此价格会在通常的收获季节得以上涨。前述这种扭曲的状况说明季节性模式是经过多年形成的，而即使一些非季节性事件可能会导致巨大的交易损失，但是，其不会影响季节性的长期模式。这里有一个现象，即我们注意到，非季节性模式相关的极端值通常会处于较高价格所对应的行情方向之上。

    图10-8　1973～2011年2月棉花价格的月度极端变化情境

    观察极端值的另一个方法是：刻画出相应的最高点位和最低点位，从而发现于任何月份之内所发生的价格方向的变化情境，这与本章后面的小节中所讨论的波动率相关。如图10-8所示，尽管季节性的价格低点出现在7月、8月和9月；月度移动值最大的变化率是45%，此情境发生在9月，而第二大的移动出现在8月；同时，最大降幅约为22%，此情境出现在10月。其实，相应的升幅比降幅要大得多。

    如果将一年的月度百分比变化值从高到低进行排序，那么，我们就可以在图10-9中看到极端的程度。尽管我们很难将一个月与另一个月进行区分，但是从中可以看出：9月的最大升幅为45%，紧随其后的是8月的40%以及6月的约30%；在下行的方向之中，7月、9月和10月的情境基本相同，即大约-20%左右。实际上，无论方向如何，收获季节的行情变化似乎是最大的。棉花和取暖油相关完整的季节性价格和百分比的表格可以在英航网站的Cotton Extreme Years和Heating Oil Extreme Years程序中找到。

    图10-9　棉花价格的月度百分比变化值，自最高值向最低值排序

    10.3.8　年化平均法则

    尽管我们应用许多不同的方法来显示相关的季节性模式，然而，所有这些方法中存在的问题是：当价格的波幅变宽或膨胀之时，其季节性就难以显现。我们用百分比的倾向来表现价格，此举确实可以减少一些前述的尴尬情境。但是，相对于较高价格水平的变化，其似乎仍然可以压倒那些较低价格水平的变化模式。

    分析师多年以来一直试图解决前述这个问题，他们应用经过回调的期货价格替代相应百分比的变化值，即以相关的年化均值映射每年的变化情境。相对于农产品而言，其应用收成年份的模式比使用日历年份有效，但是，最终的价格应该是一样的。

    为了进一步比较相关的测试方法，我们在表10-1中使用了相同的小麦数据，而最初几年的原始数据和年化平均值均被显示在表10-3a中。同时，每个月的百分比变化值均使用所在年份的均值进行计算，即相应变化值=月度均值/年化均值-1，如表10-3b所示，而在前述过程被运行之后，我们即可创建相应的季节性模式。另外，每个月的数据被平均之后，我们将相应数值再除以所有月份的平均值，从而再观测其围绕零线绕行的结果。图10-10表明基于月度均值的测试模式与第一个发现季节性的方法几乎是相同的，但是，中值点位所对应的相关低点则出现在5月和6月，而不是8月和9月，这个结果似乎更具连续性。

    表　10-3

    这里，计算月度均值的一般公式为： [2]

    式中　APPi ——第i个月的平均价格的百分比值；

    i——1～12月的日历月；

    N——在分析中所使用的年的数量；

    Pjn ——第n年中第j月的价格平均值。

    上述这个公式可以应用于周际或季度性平均价格，我们可以将12（个月）分别改变为52（周）或4（个季度）。

    在股票或期货的市场行情当中，即使我们应用年度平均价格也不会发现其长期的趋势。如果美国的通货膨胀率为6%，那么相对于一个大宗商品价格而言，其将会预示着一个趋势，比如黄金价格就会以每月0.5%的幅度上涨，如此则可导致其价格在年底的时候进一步地升高，这种长期的趋势体现在1972～1975年以及2008～2011年。另外，在相关价格交替上升的过程中，其间也有较长的降势。如果我们不能剔除相应的趋势，那么，相关的季节性就会变得很模糊甚至被扭曲。其实，即使某种趋势处于主导的地位，相关的季节性因素仍然会对价格的变化产生一定的影响。

    图10-10　应用年化平均的方法所测试的小麦的季节性的变化模式

    10.3.9　各类相关性的链接模式

    我们还有一种识别季节性的价格变化，且使之从其他要素中分离出来的分析方法，即将各类相关性进行链接。表10-4则显示了虽然相应的均值和其他的计算模式包含了1966～2010年的数据，但是其主要研究了1966～1968年两年当中应用相关性链接模式而计算小麦现货价格的几个步骤。同时，相关完整的电子表格连同所有的计算方法可以在英航同业网站中TSM软件内的计算小麦价格年化均值的Wheat method of yearly averages程序以及链接相关性的link relatives程序当中找到，其具体操作过程如下：

    （1）以每个月的价格除以前一个月的价格，用所得的比率标识每一个月，比如1966年12月的值可被用来计算1967年1月的比率。但是，这里我们忽略了1966年的数据，且于1967年开始，从而使相关年份的每个月都存在相应的数据。

    （2）计算所有年份月度比率的均值，将其设置于右列。

    （3）在第一、二、三行当中所显示的月度比率之内，计算相应均值（或中间数，如果使用一个适当的样本的话，此数值是首选）。第四行的平均值以百分比的变化形式来代表月度变化值，到目前为止，这与伯恩斯坦的平均月度的价格变化是一样的，即表示为之前价格的百分比。

    （4）为了以指数模式构建一个稳固的基础分析方法，我们将1月设置为1.00，从而形成一个相关性的链接模式（见表10-4b）。依此类推，每个月的相关性的链接方式就是将本月的相关性均值与前一个月的相关性均值彼此相乘。在表10-4b中的第二行，我们可以发现1967年3月的相关性链接数值是1.107（1967年2月的相关性链接值）×1.006（1967年3月的相关性数值）=1.113（1967年3月的相关性链接值）。

    （5）贯穿于整个测试周期的是一个恒定的趋势，我们可以用1968年12月的相关性链接值乘以1967年1月的相关性数值（见表10-4b），所得到的是0.928×0.915=0.849。如果价格行情既没有向上也没有向下运行的趋势，那么，相应的测试结果将是1.00（右列）。然而，长期的通货膨胀态势应该生成一个向上倾斜的角度，因此，预期的测试结果可能会被高估，如此会使15.1%的负面因子不能被显现出来，而1967～1968年的价格行情则呈现强烈下倾态势。然而，预期的通货膨胀率可以被诸如美国政府的粮食储备的累积数量，以及好于预期的作物收割情境之类的其他一些经济因素所抵消。

    表10-4　以相关性链接模式显示的小麦现货价格

    （6）通过添加负偏的方向值，我们可以使相关性链接值回归到正常的水平，进而被修正，此过程与计算机所计算的复利的方法是一样的，例如从1967年到1977年，消费者价格指数从100增加到175，总共10年就增加了75%。为了计算年化复合增长率，我们应用了如下的公式，即

    其中N为复合增长率相关的年份数量或计算周期的总步长。

    如果代入数值，则

    上式表明，通货膨胀相关的复合增长率为5.75%/年。在小麦的范例中，如果这种趋势是正值的，也就是说，大于1.00而不是0.990的话，那么，从每个月的数值中减去上偏的方向值就是增长率，在这种情况下，相应的计算结果被添加到相关性链接数值之中，从而弥补其负偏因子。相对于一个0.1%的下降幅度，如果应用连续12个数值进行复利计算，那相应的结果就是：

    （7）步骤(6)中的计算结果显示了一个加剧的通缩情境，大约为0.08%。将此数值应用到小麦的范例当中，即可对每年的趋势变化净值的复合变化率进行计算。1968年，0.919的趋势倾向变成了一个-0.007的复合增长率，将每年的增长率添加到每个月的链接值中，即可得到修正的数值，例如1968年的增长率为-0.007，将其添加至2月的链接值0.988中，那么，相应的结果就是0.981。

    （8）为了在整个测试周期内修正复合的偏向值，我们需要以1月为基础计算相应的链接值，这一点非常重要，而最后一步，也是最关键的一步就是何时使用纠正的相关性链接值，从而形成一个基础的平均值。我们可以使用修正的链接值来发现每个月的平均值；然后，计算所有月份的平均值；接下来，用每月的平均值除以每年的平均值，从而使计算结果规范化。最终的测试结果就是季节性的变化指数，其被显示于表10-4e中。

    图10-11　构建相关性链接模式的四个步骤

    图10-11显示了构建上述指数所需要的四个主要步骤以及相应的月度均值，其中最后的指数是非常平滑的，同时，在收获期间，其所对应的是季节性的行情低点。使用前述这种方法对季节性因子所进行的完整的研究方法可以在考特尼·史密斯（Courtney Smith）所著的《季节性期货交易指南》(Seasonal Charts for Future Traders)一书中找到。

    10.3.10　移动平均模式

    移动平均模式非常简单，但它却能很好地确定季节性模式，且消除相关的趋势因子。现在，我们应用小麦的月度现货价格，按如下步骤进行相应的计算。

    （1）提取第一批12个月的平均价格，即1966年5月～1966年4月的平均价格。这里也可以使用季度价格，但月度平均价格更具有代表性。

    图10-12　应用移动平均方法计算的小麦的季节性中值点位

    （2）在第三列的第六行，设置一个平均值①，其与6个月之后的滞后平均值相同。

    （3）在第四列，提取第六行和第七行的平均值，因为一个日历年是月份的偶数倍，所以，相应的中间值就是6月价格和7月价格的平均值。

    （4）从相应的均值之中减去中间值③，从而得到季节性的调整因子。

    （5）季节性指标值=1+（季节性调整因子/100）。

    在表10-5中，我们可以看到上述这些计算过程，而且在图10-12中，我们沿着小麦的价格点位绘制一条2005～2010年的中值线，进而以其预期小麦的季节性价格。因此，实际的小麦价格和中值点位之间的差值所显示的是不正常的价格运行模式。

    表10-5　移动平均模式的计算方法

    季节性指标可以被用来构造我们所熟悉的季节性图表，我们可以将所有的季节性指标1月的数值进行平均，同时按此类推所有2月的平均值，如此等等；接下来，我们就可以刻画出相应的季节性模式，如图10-13所示，相关的测试结果非常平滑且易于计算。此种模式与其他方法所得到的结果是一样的。

    10.3.11　X-11型和X-12型自回归移动平均模型（ARIMA法则）

    X-11属于季节性的调整方法（统计调查法Ⅱ中的第11款），其主要是用于构建诸如房屋、车辆以及其他消费产品季节性的价格调整系列，而且，此种季节性的调整方法已经被广泛地使用。我们可以应用移动平均线剔除相关数据的趋势因子，其包括了一个初始的估计值和一个再估值。同时，X-12型ARIMA方法常常被用来调整相应的消费者物价指数CPI，且包含一个X-11型的预估值和一个回归值（见第6章），从而确定相应的介入值和数据的扩展值， [3] 由于此种模式为经济学家所广泛地使用，所以，接下来，笔者将阐述一下X-11的计算轮廓。 [4]

    图10-13　对所有月度季节性指数值进行平均得出小麦相关的一个标准化的季节性模式

    （1）计算出相应的12个月移动平均的中心值（MA），然后，从原始的系列中减去这个中心值，就像移动平均模式那样，计算一个初始的非趋势化的季节性价格系列。

    （2）将一个加权的5日周期的移动平均值分别应用于每一个月份当中，进而获取一个季节性因子的估值。

    （3）相对于整个价格系列而言，我们可以利用计算机计算出季节性因子12个月的移动平均值［步骤（2）］；接下来，我们可以重复第一个和最后一个可用的移动平均值，然后，再于两侧加入6个缺失的值，经过调整的季节性因子值相对于12个月的周期而言，其大体接近于0。

    （4）从最初的非趋势化季节性价格系列［步骤（1）］中减去季节性因子的估值［步骤（3）］，所得结果属于不规则的系列成分，用于调整异常数值。

    （5）步骤（4）中的异常值调整程序为：

    a.应用计算机求出不规则系列成分的5年移动平均线的标准差s；

    b.设不规则系列成分为ci ，我们要为其配置相应的权重，且约束条件如下：

    ·如果ci ＞2.5s，则线性比例值=0；

    ·如果2.5s≥ci ≥1.5s，则0＜线性比例值＜1；

    ·如果c＜1.5s，则线性比例值=1。

    如此，我们则可按上述的权重函数值对步骤（1）中的非趋势性价格系列进行调整。

    （6）将一个加权的，且以7日为周期的移动平均值应用到一个经过调整的价格系列当中［步骤（5）］，从而得到初始的季节因子值。

    （7）重复步骤（3），将季节性因子标准化。

    （8）从原始的价格系列中减去应用步骤所得到的结果，进而发现初始的、经过调整的季节性因子系列值。

    （9）将一个以9天、13天、23天为周期的亨德森加权移动平均值应用到步骤（8）中， [5] 从而得到调整过的季节性价格系列，然后获取相关行情趋势的预估值。接下来，从原始数据中减去前述这个系列值，如此，则可以找到非趋势性价格系列的第二个预估值。

    （10）将一个加权的、以7日为周期的移动平均值（MA）分别应用到每个月的数据中，凭以得到价格系列的季节性成分的第二个预估值。

    （11）重复步骤（3），得到标准化的季节因子值。

    （12）从原始价格系列中减去最后的季节因子值，进而获得最终的、经过调整的季节性价格系列。

    X12型ARIMA法则

    美国劳工统计局在消费者物价指数（CPI）季节性的调整过程中使用了干预性的分析模式，从而提供更多的且准确的CPI数据。 [6] 在季节属性相关数据调整的估值方面，前述的模式抵消了极端价格波动的影响。其具体程序是：

    在计算季节性因子之前，干预分析模式需要对相应的指数系列进行前期的调整，如果行情呈现“倾斜”的态势，那就需要一个前期的调整（当在某个价格水平之上，某种商品或者劳务产品的行情如果出现独特的、大的、快速的变化时，相应走势则会呈现一个“倾斜”的状态）。我们可以举例说明，在石油卡特尔崩溃之际，汽油价格则大幅地下滑，如果删除这个呈倾斜态势的行情走势，即可得到清晰的季节性模式；接下来，我们需要进一步地减少行情之中的不规则区间。

    这里必须要指出的是：在美国劳工统计局的声明中，其引用了石油价格大幅下跌的范例模式。然而，更能吸引人们眼球的是，我们应该如何减少价格上涨所造成的影响。由于相关统计人士认为油价已经被包含在所有的消费者价格当中，因此，在通货膨胀（如CPI）的计算过程中，如果使用相关的数据，则会发生重复计算的问题。这种考量模式也符合美国政府的利益，即只显示较小的CPI上涨幅度。根据法律的要求，政府必须基于CPI的年度变化值向所有的社保受益者提供所增加的生活成本，而一个大幅向上的修正模式将会导致高昂的政府成本。实际上，虽然干预分析模式已经可以被自动化地处理，然而，相对于事件驱动模式以及季节的结构性变化问题而言，其可以延迟价格大幅变化所带来的影响。因为存在前述这种固有的利益冲突，那么相对于降低商品价格的问题而言，CPI数据能否成为一个不错的选择模式呢？答案则是不可知。

    为了与ARIMA法则相关之概念保持一致，我们每一年都会用最近期的5～8个日历年的数据重新计算季节性的调整因子，而这些经过调整的数值则被用于下一年的季节性调整指标的计算程序。同时，最近5年的调整因子值则可以被公开展示。另外，前述过程的一部分内容则显示出：

    大多数较高水平的指数系列都被间接指数或者综合方法所调整，这些方法更适合那些大类的、能够强烈地显示不同季节性模式的成分指数。而相对于前述这种综合的方法而言，直接的调整模式首先会在较低的层次之上被粗略地应用于指数当中；之后，调整的细节才向较高水平聚合，从而生成经过调整的季节性的指数系列。如果出现了干预分析模式的话，那么在聚合之前，其将被用于调整那些被选择的、较低水平的指数。对那些没有被选中的季节性调整系列而言，在聚合的过程中，这些原始的、未经调整的数据终究会被使用。

    10.3.12　温特法则

    以季节性结构预测价格行情的另一种方法是温特法则， [7] 其是一种自发的且兼具启发式的预期模式。此种方法假定在价格运行的过程之中，唯一相关的特征就是趋势性以及结构化的季节性，相应的数理公式如下：

    式中　Xt ——在时间t点之上的价格预估值；

    a+bt ——一条映射相关行情趋势的直线；

    St ——0～1的季节性权重因子；

    et ——相对于每一个时间节点的预期误差。

    如果每个季节都是由n个数据点来显示，那么，St 则与每个n值所对应的交易次数相关，且

    温特法则的数理模型的独立特征是：每一个新的观察值都被用于纠正之前的a、b以及St ，如果没有这个特征的话，它就不适合依据房屋开工、就业或其他季节性数据进行相关的价格预测。此种法则以两年或三年的价格数据为起点，同时使用相关年度（季节性）的平均价格（例如，一个月度数据的12个平均点）来计算两个线性趋势值a和b，而每一个连续的年化数据都可以用来纠正任何回归分析之中a+bt 的方程。温特方法实际上使用了类似于指数平滑法的方法，进而分别预估下一个a和b的数值。另外，季节性的调整因子则于线性结构当中计算其相关的平均变量，从而在每个数据点上进行相应的配置，其表现状态是比率形式。随着观察的次数越来越多，相应方程的每个组成部分都可以被提炼，因此，我们通常会采信一种长期的季节性模式。

    10.3.13　季节性的变化模式

    经过长时间的发展，季节性模式也在不断地完善和发展。我们看到，美国已经改善了其生产方式，且成为并保持了小麦和其他谷物的主要出口国地位。同时，世界其他地区的种植状况也在不断地改善，小麦已经在许多国家被种植，而且，大豆和大米也正在成为重要的食品之一。虽然俄罗斯一直是比较大的小麦生产国，但是，我们同时也应该注意到，南美洲的农业生产也取得了重大的进步。

    1966年，世界小麦产量约为3亿吨，其中美国3500万吨，中国2500万吨，阿根廷600万吨。而在2003年，全世界的小麦产量为5.52亿吨（上升了84%），其中美国6300万吨（上升了80%），中国8600万吨（上升了244%），阿根廷1350万吨（上升了125%）。但是，由于恶劣的天气问题，对许多国家来说，2010～2011年，世界小麦的总产量估计只有3.51亿吨。

    中国处在北半球，因此，从本质上讲，她与美国和俄罗斯具有相同的收割期。然而，阿根廷、巴西和智利农产品数量的增长态势将会影响相关的季节性模式。同时，任何国家都会以最好的价格，从可以出口的国家中购买所需要的小麦，进而使得小麦成为一种可替代的商品——如果美国的小麦供应不足，或者市场存在更大的需求，那么，买家就会到别的地方采购，如此则会压低美国小麦的价格，从而使其符合世界市场的行情。

    图10-14　小麦相关的季节性变化模式

    如果基于其他国家的生产状况以及美元价值的波动情境对小麦的季节性变化模式进行预测，那可能是非常困难的，但是，我们可以使用历史价格来显示模式是如何发生变化的。图10-14则显示了应用季节性模式所计算的1966~2010年的月度平均价格（所讨论的第一种方法），其中较低的价格出现在6月，而第二个最低的价格则出现在5月；如果我们观察1966年，其低点则出现在5月；其他情境下的季节性基本相似。2001~2010年，有一个后偏的倾向，即价格低点一般出现在4月，而第二个最低点则出现在3月，如此则呈现出一个比较不规则的变化模式。前述这些变化模式可能是结构性的，即人口统计数据中的供求情境发生变化；或者，最近的世界产量大幅下降，不过这种因素可能是暂时性的。因为本书不是要阐述预测的原理，而只是想说明季节性模式是可以改变的，所以，依赖于季节性的交易系统应该有一个更广泛的窗口，从而可以预测何时会出现较低的季节性价格。

    10.3.14　季节性的波动情境

    图10-15显示了1984～2010年的燃油价格，在其季节性行情达到峰值之时，相应的波段行情也处于不断上升的时期，因此，我们可以说，季节性模式与相应的波段行情是一致的。我们可以通过相关价格月度变化的百分比值首先计算波动率，然后再通过每个月的平均值找到最大和最小的波动月份。如果仅仅是基于波动率来看的话，4月、5月和6月则会出现季节性的低点，此种模式所对应的是冬季供暖季节的终了时刻；同时，工业生产也从加工精炼油转移到汽油的生产上来。而在夏季的几个月里，相应的库存会有一个缓慢的增长态势，但是，冬季的燃油需求较高，且存在不确定性。意想不到的寒冷天气以及那些考虑不到的地缘政治事件将会减少燃油的库存，从而使其价格变得更加的不稳定。

    图10-15　应用价格的百分比变化模式显示的1984～2010年燃油行情的月度平均波动率

    相对于燃料油的价格来说，波动率的变化情境显示：前一年12月和今年的1月是具有季节属性的关键月份，而对于交易者而言，这是一个重要的信息，且可生成以下的交易模式：

    （1）在漫长的冬季，我们做燃油的多头交易。

    （2）为了控制风险，在冬季，我们要减少持仓的数量。

    （3）由于燃油在5月和6月的活跃性降低，所以在此期间内，持仓量要降低。

    （4）我们需要购买期权，进而控制风险。

    为了确认季节性测试结果的有效性，我们可以围绕6月的峰值观察其在行情波段之中的稳定的增长和下降态势，如此则可以发现季节性因素所导致的广泛的行情波动状态。如果单一价格发生了与季节性无关的冲击事件，那么，在这个月份中，就会出现一个价格的急剧波动情境，要么向上要么向下；同时，事件所引起的行情波动不具备那种稳定的增长态势。

    10.3.15　气候的敏感性

    所谓气候敏感性是指气候变化所带来的影响，尤其在出现极端天气之时，其对农产品市场的影响会非常大，因此气候因素是季节性模式不可分割的一部分。没有天气的影响，农产品的价格就不会有很大的波动，同时，它们也不会在生长期内呈现忽高忽低的情境。一旦种植了某种农作物，你会很好地预期它的供应数量，而对保险公司来说，飓风季节（从每年的仲夏到10月）也同样存在着不确定性。

    每种农业产品以及相应的经营公司都会由于其相关价格的变化而受到影响，因此，我们对天气的变化情境需要具有独立的、特别的敏感性，比如雨季的持续可能会导致粮食种植的推迟，也会导致一些农民不种玉米而种大豆；在授粉期间，如果出现炎热的天气，那会显著地降低相关产品的收益率；在9月，如果出现冻结天气，那就会阻碍作物的成熟过程，随之而来的就是橙汁的生产遭到破坏。实际上，我们对冻结天气的关注要大于对旱情的关注，因为冻结天气会影响更多的农作物。另外，作物相对于气候的敏感性模式取决于其位置是在北半球还是在南半球。然而，在世界市场之间，积极的国际贸易状况表明：主要生长在北半球的农作物的价格会受到天气的影响，同时在南半球得以延续。在表10-6中，其将主要的气象因子按南北半球进行了划分。另外，图10-16结合大豆和玉米的气候敏感性表格显示了南北半球天气变化所生成的各种情境。 [8]

    表10-6　南半球与北半球的气候相关的各类情境

    图10-16　大豆和玉米相关的气候的敏感性

    资料来源：美邦公司。

    10.3.16　相对于气候敏感度的测量模式

    图10-16所显示的气候敏感性图形与标准的季节性图表非常相似，但是实际上它们二者是非常不同的。相对于天气敏感性的测量方式而言，其实际针对的是价格的潜在波动率，因为在一段时间内，如果有天气事件发生，那么相关的市场价格就可能达到最高值，所以那些善于做统计数据的人士则更希望依据天气事件发生月份中的平均价格来记录其上升的幅度，然后，显示95%置信度项下的价格水平，其大约为两倍的标准差。

    一个全面的天气敏感性的测量方法是记录每天的温度，且找出相对于平均水平而言异常高或者异常低的阈值。美国国家海洋和大气管理局（NOAA）所提供的信息可以帮助你了解区域气候以及上升的暖气流（热效应影响的两个数据）。实际上，热量的累积效应对农作物的损害要比高温天气还可怕。此外，农作物损失的数量与上升的气温并不是简单的线性关系，相应的减损数量更有可能在开始的时候慢慢增加；然后，当时间和热度达到临界水平之际，其会有一个快速的增长态势；旱情的状况也是如此。由于种子杂交技术的进步，玉米和其他谷物都具有很强的抗旱性，它们可以承受长时间的干旱天气，在这种情况下，即使雨量不大，相关作物仍然会获得丰收。因此，许多分析师推荐，在玉米的收获期，我们应该以多头的形式持仓。

    温度变化及其对农作物产量和价格影响程度的测度模式是使用较热天数（HDD）和较冷天数（CDD）进行判断，其中：

    在特定关键的几个月里，我们可以将每日的价值积累起来，例如使用取暖油的月份是12月、1月和2月，在日历上共计有90天，其中时间t是从12月1日开始计数的，但不超过90天，相应的数理公式为：

    相对于燃料油的需求因子而言，其可以通过记录与人群密切相关的天气温度的方式而进行估测，因此，如果8月出现大范围的冰雹天气，那么，它对蒙大拿州的影响与其对俄亥俄州的影响是不一样的，而此种情境对期货价格则有着直接的影响，同时对相关的业务也会产生连锁的反应。另外，在持续的寒冷时期，燃料油产量的增加将意味着汽油产量的减少，如此，驾驶汽车所使用的汽油价格就会上升。

    芝加哥商品交易所（CME）已经通过启用相关的合约来构建美国月度天气相关的低温期货，而与之并列的是美国月度天气相关的高温期货，如此，期货合约之中则引入了热天和冷天的概念。此外，还有季节性低温天气的期货合约（以及高温天气的期货合约），其构建过程是：将单个交易日的低温天气相关的期货合约累积汇总，从而形成n个月之后交割的期货合约。

    [1] Jacob Bernstein，Seasonal Concepts in Futures Trading(New York：John Wiley & Sons，1986).

    [2] David Handmaker，“Low-Frequency Filters for Seasonal Analysis，”in Perry J.Kaufman，Handbook of Futures Markets(New York：John Wiley & Sons，1984).

    [3] 在美国劳工统计局（Bureau of Labor Statistics）的网站中，美国政府提供了详细的使用方法，其可以在因特网上搜索“X-11”或者“X-12”。

    [4] 相对于X-11以及亨德森的加权移动平均值［步骤（9）］的更详细的计算方法而言，其可以在Abraham，Bovas，and Johannes Ledolter，Statistical Methods for Forecasting(New York：John Wiley & Sons，1983)，178-191中找到，而且该书还包括一个计算机程序，即“季节性指数平滑法”。

    [5] 这是一个专业的对称的权重值的分配法则。在Abraham，Bovas，and Johannes Ledolter，Statistical Methods for Forecasting(New York：John Wiley & Sons，1983)，178中，其提到了一个具体的范例。

    [6] BLS Handbook of Methods Bulletin 2490(April 1997)，Chapter 17，“The Consumer Price Index：Estimation of Price Change，”192.

    [7] 温特法则以及其他的高级模型均可在Douglas C.Montgomery and Lynwood A.Johnson，Forecasting and Time Series(New York：McGraw-Hill，1976)中找到；同时Abraham and Ledolter，Statistical Methods for Forecasting(New York：John Wiley & Sons，1983)一书也有所提及。

    [8] Jon Davis，“Weather Sensitivity in the Markets”(Smith Barney，October 1994).