2.5　标准化的风险与收益

    为了将一种交易方法与另一种交易方法相比较，我们有必要对用于评估的检验和测量方法进行规范化处理。如果一个系统有50%的总收益率，而另外一个系统的收益率是250%，对此，我们难以确定哪个是更好的，除非我们知道测试程序所相关的持续时间，以及相应收益或风险的波动性。如果获取50%收益的时限超过1年而获取250%收益的时限超过10年，那么，第一种情境就是更好的。同样，如果50%的收益所伴随的是10%的年化风险率，而250%的收益所相关的年化风险率为50%，那么，此二者的测试结果是相同的。与风险相关的收益率对相关系统的功能而言是至关重要的。关于这一点，我们将在第21章中进行更加深入的探讨。现在，唯一重要的是，收益和风险将会被年化或标准化处理，从而使其能够更加有效地对各类交易方法进行比较。

    2.5.1　收益率的计算方法

    一定期限的收益率和年化收益率的计算方法是所有绩效评估中最为关键的一个组成部分，其中，一定期限收益率R（或者被称之为“持有期的收益率”）的计算形式是最简单的，其公式如下：

    相对于股票市场之上的连续性价格而言，收益率r可以被书写成下列形式：

    其中，p0 是初始价格，p1 是相关期限结束时的价格，而证券行业则倾向于用下列公式计算，即

    上述两种方法各有其优缺点，我们不能说哪一个是“正确”的计算。这里需要注意的是：在一些软件之中，log函数实际上是自然对数，log10则是以10为底的对数，我们最好经常检查一些相关的定义。同时，为了区分上述两个计算公式，我们将第一种方法所计算的收益率称为标准收益率，而第二种方法计算的收益率则被称为以e为底的ln收益率。

    表2-3显示出，在经过了22天之后，标准收益率被标识于第四列，而ln收益率则被展示于第五列，它们之间的差异看起来微不足道，但是，其各自所对应的均值却分别是0.00350和0.00339。在正常的情况下，标准收益率于一个交易月的期限内最好是3.3%，按照这个比率，在随后的一年里，标准收益率将会超过40%。另外，本书当中会广泛地使用一个概念，即资产净值（NAV），它是一个复合性周期收益率，而且，资产净值通常都有一个初始值，即NAV=100，同时，NAV的计算公式如下：

    2.5.2　年化收益率的计算方法

    在大多数情况下，我们最好计算年化的标准收益率。当比较两组测试结果，且每一组都覆盖了不同的测试周期之时，如果我们使用年化标准收益率作为参照值，那是特别有用的。而在按年度计算收益率时，我们要知道几件重要的事情，即

    （1）政府的金融工具所使用的利率按360天计（以90天为一季度）。

    （2）365天利率是最常见的数据类型，可以每日更换。

    （3）在美国，交易收益率的计算最好按252天计，因为在其境内一年的交易中，252天是典型的交易天数（相对于欧洲而言，则是262天）。

    表2-3　根据日常损益而计算的收益率和资产净值

    接下来，我们会将相关公式的时间标量转换为252天，以此作为标准而计算天数的方法会贯穿于本书的始终，不过，利率的计算除外。但是，在世界的其他地方，通常所使用的交易天数大都是365天或360天，有时甚至是260天。

    相对于n天的投资而言，以单利（用simple表示）计算的年化收益率AROR为：

    上式当中，E0 指的是初始时刻的资产或账户余额；En 是周期结束时的资产，而252/n则是用小数来表示的年化交易频率。如果说一个周期的收益率以标准形式进行计算，那么，以复利表示的年化收益率的公式是：

    这里需要注意的是：年化收益率AROR或者大写的R所指的是年化回报率，而r指的是日间收益率或1个周期的收益率。当然，运用上述两个公式所得出的结果是不同的。再者，如果以单利形式计算的收益率增加25%，那么，相应的结果将显示为0.25。而相对于使用复利计算的收益率而言，同样是增长25%，其结果将显示为1.25。

    在以ln对数形式计算一个周期之收益率时，年化收益率则是各期收益率之和除以相应的年数n，公式如下：

    在表2-3的第六列、AROR行中（被标示的年化收益率），我们可以看到相应的范例，注意，使用ln对数法所计算出来的年化收益率比用除法或复利方法所计算出来的年化收益率要低得多。因此，以复利计算收益率的方法将贯穿于本书的始终。

    2.5.3　收益的概率

    这里，我们将标准差和复合收益率结合使用 [1] ，用以发现目标收益所对应的概率值，在接下来的计算当中，连续收益率的算术平均值以ln(1+Rg )来表示，同时，我们假设的正态分布之收益率所相关的公式是：

    式中　z——标准化的变量（可以在附录A中找到）；

    T——目标值或目标收益率；

    B——初始投资价值；

    Rg ——周期收益率的几何平均值；

    n——周期的频率；

    s——1+周期收益率的对数值［即ln(1+Rg )］的标准差。

    2.5.4　风险与波动率

    虽然我们总是愿意考虑相应的收益，但对我们更重要的是能够评估相关的风险。鉴于此，我们要考虑有两种极端的风险：第一种风险是由意外事件所诱发的，其表现形式是相应行情受到一个不可预测的价格冲击，而其中最糟糕的情境是发生灾难性的后果，即遭受致命的损失或面临“爆仓”的结局；第二种风险是因自我所采取的杠杆过大，或者你所构建的投资组合举债过多，而一旦出现一系列糟糕的交易，那么，因之就会产生毁灭性的损失。而价格冲击的风险和杠杆问题都会在以后的其他章节之中进行详细的讨论。

    以标准差来测量风险的模式相对于比较两个交易系统的运行效应而言是有用的，与标准化的检测程序相比，此方法通常被应用于单个股票的收益率或整个投资组合的收益率的考量之中，例如标准普尔500指数的收益率或债券基金等。而最常见的风险评估方式是应用收益率r的标准差σ，这在本章前半部分已经被提及。在大多数探讨风险的情境之下，标准差也被称为“波动率”。而当我们提及某个投资组合的目标波动率时，我们所指的风险比例就是由年化收益率1倍的标准差来代表的，例如，在表2-3中，第四列和第五列所显示的是日间收益率，这些收益率的标准差都显示在相同列中的“Std Dev”行，其数值为0.01512和0.01495；如果我们只看第四列，那么，1倍标准差所相关的数值0.01502意味着每日损益小于1.502%的概率为68%。然而，目标波动率总是需要被转为年化的风险波动率，即将日间天收益率向年化收益率转换，我们可以简单地将天收益率乘以252（天），那么，1.512%收益率所相关的日间标准差则变成了23.8%的年化波动率，此数值显示在表格底部的范例之中。而由于我们只关心下行的风险，所以，一年之中有16%的可能性会使相关的损失达到23.8%。我们由此而得出的结论是：收益率的标准差越大，相应的风险也就越大。

    2.5.5　贝塔（beta）系数

    贝塔（β）系数在证券行业中经常被使用，其所表达的是单一金融工具的行情与相关指数或投资组合之间的相关性。如果β是零，那么，各变量之间则没有对应关系；如果β是正值，那么，单一行情趋势会随着指数的变化而上下波动。随着β数值的增大，单一金融工具行情趋势的波动要比指数的增长率更大，特别要注意的是：

    ·当0＜β＜1时，单一金融工具行情的波动小于相关的指数波动；

    ·当β＝1时，单一金融工具的行情波动与指数一样；

    ·当β＞1时，单一金融工具行情的波动性要大于指数波动率。

    负的β值类似于一个负相关，即单一金融工具的价格波动与指数价格的波动方向是相反的。

    β是在计算单一金融工具行情与指数行情之间线性回归属性时被应用的，它是用单一金融工具行情的斜率除以指数行情的斜率；同时，还有一个作为附加值的α——y轴所对应的截距项，其价值在应用Excel时会被发现，关于这一点，我们将在第6章进行详细的讨论，而β的一般公式如下：

    上式当中，A指单一金融工具的行情走势；B指一个投资组合或指数的行情走势。

    2.5.6　趋向目标波动率所做的调整

    如果我们设定一个目标波动率为12%，也就是说，我们愿意接受一年之内与16%概率所相关的损失为12%，并且相关交易基于一个10万美元的投资，然而，实际的收益率显示为23.8%的年化波动率，那么，我们需要将目标波动率纠正至12%，这样，我们就可以简单地增加23.8/12.0的相关投资，或者说，将资金追加1.98倍至198000美元。同时，所持有的头寸规模不变，这就是本质上的去杠杆化，即只使用你账户资金的一小部分；或者，我们可以通过除以1.98以减少头寸规模，从而保持投资比例的一致性。

    在本书中，除非另有说明，所有的测试结果都将以12%的目标波动值的形式显示出来，此数值被认为是一个温和的风险水平，而对一些对冲基金而言，其目标波动值可能高达18%。实际上，设定目标波动值可以使你比较各种系统的性能以及相应的测试结果，同时发现相关系统风险所处的层级，从而使各类交易结果更加具有目标性。

    2.5.7　年化之天收益率与月收益率

    在前面的例子中，我们使用了日间数据以及年化因子252进行了相关的计算。而在绩效表中，我们最常使用的是月际数据，即截取每月的收益率，然后再乘以12。一般来说，按年化指标进行相应的计算时，我们可以将这一年内的数据与相应数据项所对应的次数相乘再开平方根，然后就可以用252对应日间数据，12对应月际数据，4对应季度数据，如此等等。

    2.5.8　月际数据通常显示较小的波动性

    在财政信息披露的文件当中，尽管月度的绩效表现比较常见，但是，相应文件所仰仗的是相关绩效发布人的优势。由于最高或最低的资产净值（NAV）出现在某个月最后一天的情境几乎是不可能发生的，所以，在月际通报中，我们很少会看到某些极端的情况，因此，月际统计数据会比日间收益率所相关的数据要平和一些。然而，在投资一个新产品之前，我们往往都需要进行一个尽职尽责的调查，在这个时候，作为一项重要的数据，日间收益率是一定要参考的，它可以规避一种风险，即漏看了在该月当中所发生的大幅下跌的行情。

    我们以标准普尔指数为例，从1990年到2010年，其日间收益率的年化波动值为18.6%，但是如果参看每月的收益率，其年化波动率则只有15.3%。基于月度收益所相关的风险低于17.7%，但是，相关收益率的年化波动率将保持不变，因为它只使用了初始值和终值。

    2.5.9　行情的下行风险

    因为标准差是对称的，所以，在收益当中的一系列的跳跃式行情将被视为更大的风险。一些分析师认为，只衡量那些负收益和下行风险的方法会更加精准，而此种只测度损失的模式被称之为“低阶矩模型”，这里的“低”意味着有下行的风险，而“低阶矩”则意味着在收益率的分布图中，只有一侧会被使用；测量低阶矩最简单的方法是使用半方差（semivariance）的概念，即只衡量低于收益率均值R的离散值或一些目标值，其公式如下：

    然而，由上式可见，最常见的、对系统性能所进行的计算主要是依据日间的跌幅，也就是说，所谓日间跌幅即为每天总资产低于其自身峰值的净亏损值。例如，在t天之中，如果系统收益率所生成的资产净值是25000美元，而紧随其后的是每天亏损500美元，其他损失是250美元，那么，我们会输入两个值：500/25000和750/25000，或者0.02和0.03。

    在半方差的计算中，只有低于近期峰值的那些净收益率才可以被使用，或者，你可以只计算相关日间跌幅的标准差，从而发现相应的、可能发生的价值缩减规模。

    这里有一个需要考虑的事情，即如果我们只使用相应跌幅来预测另一个价值的削减度，那么，此种方法就限制了所发生事件的数量，并且丢弃了一种概率的情境，即高于正态分布的收益所对应的是高于正态的风险。对此，我们的解决方法是，在有限的实验数据所对应的情境之下，同时使用收益和损失进行相应的计算所得到的测试结果更有说服力，而对于大量的数据而言，（半方差所相关的）测度削减值的方法也的确是一个非常不错的计量模式。

    关于性能测量的全面性讨论，我们将在第21章中进行详细论述，而关于系统的测试问题，我们将在第23章的第23.4节中进行解析。

    [1] 关于相应收益率的、比较清晰的解析模式，我们可以参看彼得·伯恩斯坦的著作《便携式MBA投资课程》。