20.1　波动率的度量方式

    一般而言，无论股市、金融市场、商品期货或两个系列产品之间的点差交易，其中，大多数价格系列的波动率的增加和减少与相应价格水平成正比——更高的价格会带来较高的波动率。而在股票市场中，这种价格-波动率的相关性被描述为对数正态分布，其类似于一种百分比的增长情境。

    图　20-1

    图20-1a刻画了谷歌公司股价自初始阶段至当前的延展情境；图20-1b应用Excel工具中的format axis/axis scale/logarithmic函数刻画了一个半对数图表 [1] ，在这个半对数图表中，y轴所标注的是对数值，每个刻度都是上一个刻度的10倍，而通过此种并排的显示方法，我们发现相关波动率的规模显然是比较小的。另外，在较高的价格水平附近，快速移动的相应曲线于对数图表之上的波幅就会显得很小，如此，在价格和波动率之间，应用对数形式来解释其间相关性的模式则是一种很好的方法。

    20.1.1　价格波动率之间的相关性

    在开始研究各种波动率测量方法之前，我们要知道的是：以同样价格进行交易的两只股票价格的波动率可能会非常的不同，或许不仅仅是因为相关业务的性质，而且新闻的导向往往会对这些股票的波动率产生影响，而这就需要我们进行如下的工作，即

    ·调整头寸以平衡风险；

    ·在配对交易或者应对一揽子中性金融工具时，我们要对仓位的头寸进行平衡处理；

    ·评估投资组合的风险。

    在本书的其他地方，虽然上述这些问题中的每一个都被覆盖了，但是控制风险的关键要素就是波动率，因此，正确地测量波动率，并控制相应的风险则是非常必要的。

    20.1.2　基础价格的调整方式

    商品总会有其内在的价值，而股票的价格也可以为0，例如，小麦会有生产成本，当价格低于生产成本时，农民就不愿出售；当行情略有盈余或者当一个农民需要现金时，小麦也可以按低于成本的价格出售，但不会为0，且通常不会远低于成本。当异常高的库存导致价格很低时，交易者则倾向于以接近生产成本的价格来出售，这样，商品价格的波动率就会显著下降，而农民对这样的买卖并不感兴趣，因此，不会出现活跃的交易情境。同时，投机者在没有看到更多的明年农作物所相关的信息时也看不到价格的改变，因此，他们也会袖手旁观，从这一点来看，我们可以这样说：在价格低于生产成本时，其波动率趋近于0。为了便于计算波动率，我们将前述情境下的行情水平称为基础价格。

    我们用当前价格除以基础价格，或者用当前价格减去基础价格，然后对所得数值（p0 ）取自然对数值（ln），从而对价格系列进行调整，得到值，即

    上述两种价格调整的表格都类似于未经调整的半对数图。然而，当基础价格较高时，其调整后的数值对我们的用处更大。

    20.1.3　例外情境

    在价格-波动率的相关性上，有三个值得注意的例外情境，其将生成一种更具普遍性的波动率的度量方式。

    （1）利率期货交易的价格行情，其表现形式为逆收益率：在大多数情况下，当评估长期利率的波动率以及使用百分比指标时，我们应该考虑使用收益率来计算。

    （2）外汇交易没有基础价格，只有均衡价格，而且，所有交易者和政府都接受相对公允的价值，这种情况总是短暂的，当货币价值远离平衡价格时，该货币的价格就会变得非常不稳定。

    （3）能源价格是被垄断集团所控制的，而且，它们试图控制供应量以及目标性的行情波幅：当价格自18美元/桶涨至32美元/桶时，相应的控制手段是非常有效的；但是，相对于高价位的能源行情而言，其似乎并没有多大的影响力，于任何方向之上所出现的供应量的变化情境都会对市场造成冲击。

    20.1.4　基础价格的确定方式

    在基本面分析中，商品交易的基本价格的实盘情境可被用于波动率的计算中，这里有两个简单的方法。

    （1）使用线性回归的价格模式——应用标准的最小二乘法于Excel程序工具中的Data/Data Analysis（数据分析）函数内找到连续的整数序列x，且将收盘价设为y；然后，创建回归线：=a+bx，其中，a是y轴的截距，b是斜率；接下来，计算基础价格的残差值rest：rest=pt -，那么，我们即可发现最小的残差值。最后，从回归线减去最小残差值，如此则可得到基础价格线，如图20-2所示，其中，基础价格会随着时间的推移而持续增长。

    图20-2　应用线性回归来定义基础价格水平

    图20-3　1974～2011年7月铜的月度现货价格相对于波动率的散点图

    （2）使用波动率的线性回归模式，即我们不使用价格，而是使用一个与价格水平相关的波动率的度量指标，如此则可更加直接地体现价格和波动率之间的相关性。

    现在，我们再来考虑铜的月度价格，以及相关波动率的两个度量方法，即收益率和价格的月际波幅，相应数字将不会被年化，因为我们只需将一个常数与之相乘即可。从铜的现货价格的电子表格来看：无论何时的月度变化都是对过去21日收益率所进行的计算；同时，我们要找到过去21天中的最高点与最低点价格之间的差值，把它们和月度终端价格置于同一个表格中。我们可以应用Excel工具，凭借线性回归的方式生成一个散点图，从而使价格与收益率以及价格和相应波幅形成一个组合，此两种模式都被显示在图20-3a和图20-3b中。另外，应用月度行情波幅的模式能够为我们提供一个明确的价格-波动率的相关性，即二者是成正比的：当铜的现货价格为0.50美元/磅时，其与波动率的相关性为0；使用收益率则不易确定两者的相关性，如图所示，价格行情相关的集群模式显现于左下角，而低波动率却出现在高价格区间。因此，我们应该尽可能地使用行情波幅这一更加完善的指标模式，因为它有更多数据方面的优势，也就是说，此种模式既包括了高点，也包括低点，而不是只有收盘价。

    还有许多其他的方法可以找到基础价格以及价格和波动率的相关性，然而，简单的方法往往是最好的，在上述情境之下，线性回归模式可以明显地显示二者的相关性，即使非线性的方式可能更准确也不会妨碍其功效。而在交易系统中，使用波动率的目的则是通过对收益率与价格区间进行比较的方式来显示，当高点和低点的数据被使用之际，行情波幅区间则是一个更有效的测量方法。

    20.1.5　相应的时间间隔

    在确定价格和波动率之间的相关性时，相应的时间周期也是一个重要的因素。一个较长的时间周期意味着n天的净变化值可能变成几个月或几年的净变化值，而较长的测量周期会带来更高的波动价值。然而，随着行情波动的加大，相应的变化率会在一定时间内显示下降趋势。同时，波动率的增长过程所经历的最长时间周期等于最大的行情运行区间，我们则可视之为一个百分比值，期权交易商都熟悉这种相关性，因为期权的定价就是基于波动率而完成的，也就是说，我们要清楚在期权到期之前，股票或期货的价格行情是如何运行的。图20-4显示了一个随着时间推移而增长的波动率的普通情境，这可能与某些特定的市场行情略有不同。

    图20-4　相对于计量周期的波动率之变化情境

    对数正态分布计算的一个范例模式

    价格相关对数正态分布的相关性可以应用Excel中的自然对数函数log、ln来显示。在均衡市场的条件下，经过长期的过程，价格的实际变化值和波动率之间的相关性是：

    上述公式表明：第t天的价格变化的绝对值除以第t天价格的对数值，所得到的结果约等于（≈）任何一天（s）的价格变化值除以第s天的价格的对数值。

    例如，如果第t天的价格是20，第s天的价格是40，那么，它们的自然对数值就是ln20=2.99以及ln40=3.68 [2] 。而当pt =20时，如果波动率是1.00美元的话，那么当ps =40时，波动率就是1.23美元，即

    如果波动率在20处是1.00的话，那么，在40处的波动率就是1.23。当使用电子表格来计算时，我们要注意的是：自然对数ln的函数功能与对数log的功能是不一样的。

    20.1.6　波动率的测量方法

    相对于波动率而言，这里有五种实际的测量方法，它们可以很容易地满足各种需要，进而显示扩张和收缩的波动情境；但是，相关方法与基础资产的价格水平并没有直接的关系，它们只是衡量最近n天的波动率或者测度n条棒线的价格。另外，通过参考图20-5和下面的公式，且应用过去n天的计算周期，我们则可以推导出截至今天的五种波动率Vt ，即

    （1）基于n天价格的变化所导出的波动率（参看图20-5a）：

    （2）基于n天最大行情波幅所导出的波动率（参看图20-5b）：

    其中最大值函数Max和最小值函数Min皆存于TradeStation交易平台的Highest and Lowest程序中。

    （3）在过去n天的平均实时波幅所导出的波动率：

    其中Truerange是一个函数，其数值源于由当日高点、低点以及昨日收盘价组合而成的最大行情波幅。

    （4）基于n日价格变化绝对值之和而导出的波动率：

    其中相对于股票而言，我们应该使用收益率之和。

    （5）基于日间数据而导出的年化波动率：

    其中i=t-n+1，t。

    图20-5　波动率相关的四种测度方式

    资料来源：Perry J.Kaufman，A Short Course in Technical Trading(Hoboken，NJ：John Wiley & Sons，2003).Reprinted with permission.

    在上式（1）中，波动率完全依赖于两方面的价值：Pt 和Pt-n ，即与期间内的其他价格无关。而如果价格非常不稳定，但相关行情收敛于n日之前，那么，这种方法将显示零波动率。在许多计算方法中，此种模式可以导出一个合理的波动率，但是，其总是低于那些应用高点-低点而得出的数值。

    在上式（2）中，最大波幅的修正值所依赖的只有两个点，其将生成一个更具意义的波动率，且可评估相应的风险。如果你知道交易所相关的平均持有期，那么，前述这种方法可以为止损或止盈确定有效的基础，因为它估计的是相应周期最大的行情波幅。

    在上式（3）中，平均实时波幅是最流行的波动率相关的测量方法，其可为期货提供合理的波动率。许多策略都是用一个因子乘以平均实时波幅的方式来设置止损、止盈或决定当前的风险水平。

    在上式（4）中，价格变化绝对值之和与平均实时波幅相似，但其错过了与前一日时段的链接；之后如果行情出现较大的缺口，而此种方法又不追迹前一日的收盘价，那么，当前时段将呈现较低的波动率，因此这种方法可能更适合于盘中交易。

    最后一种方法（5）所推导的是年化波动率，它是最流行且最受金融分析师欢迎的一项指标。此种波动率的计算方法是：用过去n个周期的收益率的标准差乘以相关周期步长P的平方根，其广义公式为：

    其中相对于60日滚算模式项下的日间数据而言，i=T-59，且P=252；对于月度数据来说，P=12；另外，相对于回调的期货价格而言，收益率rt =Pt /Pt-1 -1或ln（Pt /Pt-1 ）。但是，相应价格是不正确的，因为旧的数据会因不断地调整而被扭曲。

    在上述五个测量方法中，我们最感兴趣的是两个，即平均实时波幅和年化波动率。

    年化波动率模式和平均实时波幅模式的比较

    图20-6　应用默克公司股价显示的20日实时波幅均值（中间面板）以及20日年化波动率（底部面板）

    年化波动率和平均实时波幅的测试结果可以是非常不同的，它们可以影响交易决策、头寸规模以及风险的评估方法。图20-6显示了2010年4月～2011年5月默克公司（MRK）股价的日间数据，其中平均实时波幅（ATR）显示在中心面板，年化波动率被显示于较低一层的面板中，它们的计算周期都超过了20年，ATR指标线所显示的日间数据比较平滑，且于行情跳开时也没有太大的波动。另外，在某些诸如极右侧的情境之下，行情的实时波幅虽呈现增长态势，但是年化波动率却很平滑。实际上，两种模式项下的测试结果都可以通过与当前价格相乘的方式转换为美元值。

    20.1.7　比率（Rt ）相关的波动率的度量模式

    布克斯塔伯（Bookstaber） [3] 为波动率V提供了一种度量模式，将连续收盘价之间的比率设置为收益率；同时，它应用高点、低点以及收盘价等指标组合生成以下的替代模式，即设

    （1）收盘价-收盘价式波动率（相对于股票价格或现货数据而言）：

    且

    那么：

    如此：

    （2）高点-低点所相关的波动率：

    （3）高点-低点-收盘价所相关的波动率：

    我们需要注意的是，t可以是一个时间间隔，而不是单独的一天；同时，Ct 是相应周期最后一个价格，而Ht 和Lt 是相应区间的最高价和最低价。在收盘价-收盘价模式中，波动率Vt 是收盘价之比的标准差。另外，布克斯塔伯指出：这种测量方法将遵循χ2 的分布形态；而且，当前周期t中的实际波动率可以被设置在分布形式所定义的误差范围内。

    20.1.8　相对波动率

    应用高低点波动率来过滤相关交易的做法是十分便利的。有时，绝对的低点和高点是重要的，但是，相对高点和低点可能更加适应较多的情境。所谓相对波动率（RV）可以被定义为：短期波动率Vt （n）除以较长期波动率Vt （m），其中较长周期的波动率是典型的正态波动率，相关公式为：

    上式之中，Vt 是任意模式导出的波动率；n和m是计算周期，且f×n=m，而f＞=5，F＞＝10会更好。

    较长周期的滞后模式

    相对波动率和许多其他形式的波动率所存在的一个问题是较短的计算周期被包含在较长周期中，所以，这里更好的方法是将较长的计算延后，使其于较短周期开始之前结束，即

    如此，较短的计算周期n是自t-n+1时刻到t，较长时间周期m则是自t-m-n+1时刻至t-n时刻，那么相应的周期则不会互相重叠。前述这种方法也将有助于规避一个动荡的时期，即如果典型的计算周期包括了最近期的波动率，如此则可使下降的波动性看起来比较正常，而不是太过震荡。

    20.1.9　隐含波动率VIX

    比自身计算波动率更加容易的方法是，于任何时刻均可获取相关数据。在芝加哥期权交易所的实时报价系统中，其波动率指数VIX可以反映标准普尔期权隐含的波动率的影响。VIX指数于1993年被引入市场，最近开始被应用于期货交易，其数值是当期价格的1000倍。VIX最初是期权指数OEX的波动率，即标准普尔100指数8种看跌和看涨期权的隐含波动率的，其被显示为价格指数的百分比；期货合约的波动率指数是由标准普尔500指数的前3日波动率所构建的。

    虽然OEX指数不再被引用，但是，这里重要的是要了解VIX数值的计算过程。如果VIX数值是25%，标准普尔指数价格是1600点，而VIX指数相关平价期权的预期波动率为25%，SPX指数价格循环期限为30天， [4] 因为30天的日历周期相当于约21个交易日，所以，一年有252个交易日，同时，波动率为1倍的标准差（相当于1600点SPX指数波幅的25%），那么，隐含波幅为：

    上式中，25%的隐含波动率于SPX指数1600点处的置信度等于68%（即1倍标准偏差），也就是说，在未来30天内（21个交易日），价格变动幅度为±115.47点的概率是68%。

    VIX指数是基于一套具体的通用标准而构建的，其不依赖于任何指数或股票；然而，其相对的变化以及极端的高点和低点均可非常适用于相关的交易。图20-7于标准普尔500指数现货价格SPX下方绘制了相应的VIX指标线，相关期限为著名的2008年3月～2009年3月——当标准普尔在2008年10月24日达到最低价格时，VIX的峰值为89.53；之前交易所对应的VIX低点值是20左右。波动率指数的运行模式通常与标准普尔相反——标准普尔上涨、波动率低；标准普尔下降、波动率升高，如此，交易者可以在高波动率情境之下离场，于低波动率情境之下进场。因此，相对于标准普尔指数来说，交易者一般会于VIX指数走高时买入，走低时卖出。

    图20-7　标准普尔迷你电子盘行情（顶部面板）和芝加哥期权交易所VIX指标线，而底部面板所显示的是实时波幅均值

    为了便于比较，图20-7下部面板显示了相关的历史波动率，这实际上是标准普尔迷你电子盘的21日平均实时波幅，但是，除了价格在承压而外，其密切追迹的是隐含波动率。我们这里需要记住的是：隐含波动率是期权交易者认定的未来30天的波动率，而历史波动率反映的是过去30天的实际行情的波动情境（实际上是21个交易日），这里的关键区别在于：于2008年10月行情下跌之后，隐含波动率的下跌幅度比实际行情波动率的要快；随后，在11月下旬，于实际波动持续回落之际，隐含波动率却再度飙升。

    [1] 一轴为对数形式，一轴为普通形式。——译者注

    [2] 原书为3.99，疑有误，更正为此。——译者注

    [3] Richard Bookstaber，The Complete Investment Book(Glenview，IL：Scott，Foresman，1985)，349.

    [4] Andrew Fisher，“Teaching the Old VIX New Tricks，”Futures(August 2001)；另外，费舍尔还解释了VIX指数的计算过程，以及附加的改进版iVIX。