7.8　指数平滑模式

    指数平滑法与其他方法相比，似乎更复杂一些，但是，其只是另一种形式的加权平均方法。我们也可以更准确地将其称为百分比平滑法，并且只需要对当前的价格pt 予以重视，而上一期的指数平滑值Et-1 以及平滑常数a（一个百分比值）可以在计算机中获取新值。在第二次世界大战期间，指数平滑技术因跟踪飞机和导弹的需要而得到快速的发展，并且占据很重要的地位，其是凭瞬时消失的过去而瞬时预期未来的行情走势。

    我们将几何等比项的级数a0 ，a1 ，a2 ，a3 ，…，an 变为加权移动平均线的权重因子，已知加权平均值Wt 的计算公式为：

    现在，我们将顺序颠倒，令wn =a，那么，wn－1 =a2 ，wn－2 =a3 ，如此等等；如果a=1/2，那就是50%的平滑度，由此而生成的权重因子为：

    其中，a0 =1，a1 =a，如此则显示了每一个较早期价格的重要性大大下降了。我们将几何级数代入到加权移动平均值相关的方程当中，从而得出相应的指数解Et ，即

    7.8.1　指数平滑的常见形式

    指数平滑常见的使用方法都具有一些相似的形式，即

    式中　Et 和Et－1 ——今天和昨天的指数平滑值；

    pt ——今天的价格；

    a——平滑系数，0≤a≤1。

    图7-4　指数平滑模式

    注：新的指数趋势线的数值Et 向新价格pt 靠拢，而且新价格和之前指数趋势线Et－1 的距离为10%。

    我们设a=0.10，如此的考量是靠近当前价格的指数趋势线与靠近之前价格的指数趋势线之间的距离为10%，那么相应的平滑过程就变得可视化了。在图7-4中，我们使用平滑系数为0.10，且新价格pt 与之前趋势线Et－1 之间的距离是pt －Et－1 ，那么，新趋势线与当前价格之间的距离就比之前趋势线的要近10%，因为pt 与Et－1 之间距离的减少度是0.10-(pt －Et－1 )。因此：

    在平滑过程开始之际，我们令E1 =p1 ，那么，下一个值E2 为：

    即使在计算的初始阶段，我们使用的是收盘价，然而，一个常数很小的较长期的平滑线也需要更多数据以获取平滑效果，从而生成一个稳定的数值。

    7.8.2　以天数形式显示的平滑系数

    将天数转换为平滑系数c的模式是由赫特森开发的， [1] 相应公式为：

    在标准的（线性加权）移动平均线之中，n就相当于天数，基于过去2天或3天价格的权重p的相应2阶或3阶指数平滑法等效于阶梯式权重模式，其一般形式是：

    在表7-3中，笔者对1阶、2阶和3阶指数平滑的标准移动平均线进行了比较。使用赫特森转换模式不能给你真正的等效于移动平均线的指数平滑值，因为此种模式忽略了滞后因素，且可能还是很重要的滞后因子，这在表7-3～表7-6中可以看到。大多数的软件开发平台只允许输入计算周期的天数，而不是平滑系数本身，如此则可能导致平滑系数会有很大的跳跃性，其数值相当于取整的天数。我们可以在英航网站中TSM软件上的Exponential Smoothing程序找到一种特定的平滑系数输入方法。

    表7-3　指数平滑数值的比较模式

    7.8.3　剩余强度的预期模式

    标准移动平均线与指数平滑之间的差异性作为平滑数值的一个组成部分而无限期地存在于所有的价格之中。出于实用目的，最老数据的效果可能非常小，而在既定的水平之下，相应平滑常数c的近似值的一般求解方法是：

    式中　n——移动平均的天数，且等效于平滑常数；

    RI——用百分比所表示的剩余强度值（如0.05、0.10、0.20）。

    另外，较低的百分比数值意味着较高的剩余强度。 [2]

    相对于平滑常数的近似值而言，在前一节中，我们给出的是2/(n+1)，即显示了13%和14%之间具有一致性的剩余强度。如表7-4所示，我们使用之前的公式，从而对剩余强度做出特定的调整；然而，消除所有剩余强度的做法将会把指数平滑法转换成加权平均法。

    表7-4　指数平滑剩余强度的比较模式

    7.8.4　指数平滑模式与标准移动平均模式的相关性

    与指数平滑的“10%”的数值相比，为期10天的移动平均线中的平滑数量则更容易让人一目了然，其中，a=0.10。尽管我们试图将这两种技术的速度联系起来，但是简单的移动平均线是简单的等量加权，而指数平滑则是前置加权，因此，其所产生的测试结果则会有很大差别。由于指数平滑法并未完全丢弃旧的数据，因此，一个10%的平滑是慢于10日移动平均的，并且，一个5%的平滑线要慢于20日移动平均线。

    表7-5　指数平滑的评估模式——以前数据的意义所在

    表7-6　指数平滑的评估模式——以前数据的意义所在

    为了说明顺势交易模式间的差异，我们使用从1到15的一系列数字，再从15回到1，从而对5日移动平均线和“等效”的20%的指数平滑法进行比较。图7-5和表7-7显示了移动平均线和指数平滑法之间的相关性：在不断增加以及减少至少连续5天的期间当中，5日移动平均线的表现是较稳定的，其后的价格系列的变量滞后单位是1，其相当于价格的变化（表7-7中的第四列）。在常数上升的相同期间内，指数平滑法相关的滞后单位近似地等于1，且所得到的近似值只能接近0.95，假如稳步上升的时间足够长，在“理论上”讲，其可以达到1的水平。在峰值之后出现4个价格之时，指数趋势的方向才发生改变，而我们则能够看到因剩余价值而生成的滞后增长量。在峰值后出现三个价格，移动平均线就改变了方向。图7-5中很明显地表明标准的移动平均线对之前的价格变动没有内存，其确切的值可以参考表7-7。

    图7-5　趋势滞后的比较模式

    注：指数平滑模式从未达到一个常量滞后单位，而且在移动平均线转向一段时间之后，指数平滑线才改变方向。

    表7-7　标准移动平均值与指数平滑均值滞后性的比较模式

    图7-6将指数平滑（1%系数之内）与标准移动平均的相关性进行了完整的计算，我们在左轴可以发现平滑常数的范围，同时在底部，我们可以找到标准移动平均线所使用的相同天数。现在，我们可以观察下面的总结模式，即如果你设定一个优化等距的指数平滑常数，那么在底部，相关的敏感性会更强一些；在顶端，则几乎不存在敏感性。相应的总结模式如下。

    标准移动平均值向指数平滑系数所进行的等值映射

    图7-6　指数平滑模式与移动平均模式的比较图表

    如果我们使用相同的、分布均匀的平滑系数进行测试，那么，一半的测试将只能分析3日或更少天数的移动平均模式。如果过程相反，即使用等距离的天数，那么平滑常数会有很大差别。关于这一点，可在下边的总结中看到。事实证明：与等距的天数相比，等距的平滑系数分布是一个更好的分布测试模式。同时为了发现稳健的系统参数，用于测试的计算周期的分布形态是非常重要的，对此，我们将在第21章中进行讨论。

    指数平滑系数向标准移动平均值所做的等值映射

    从以上的映射模式中我们发现：平滑常数的分布与对数的分布模式非常接近，这在图7-6中已有显示，因为图中展示了代表平滑系数和移动平均天数之间相关性的曲线，从中我们就可以看到在较低端的部位，该曲线几乎就是一条直线。

    7.8.5　对相关滞后性的修正模式

    如果在指数平滑的计算过程当中，延迟因子被认为是预测误差et 的话，那么：

    其中，Et 是指指数趋势线的数值（平滑值）；pt 是最近期的价格。同样，相同的平滑技术也可以应用于滞后的测试之中，而涨跌的误差项ERRt 的计算公式为：

    其中，ERRt 是初始平滑值和2阶平滑误差之间的差值，我们可以将其添加回相应近似值之中，从而得到一条经过调整的趋势线EEt ，即

    如果新的误差项（即1阶指数Et 和2阶近似值EEt 之间的差值）的数值比初始误差项et 小的话，那么，EEt 误差值则在预测中得到了改善，而通过对比当前价格和2阶趋势值EEt 之间的差值，我们可以应用相同的方法，从而将此过程延续至3阶平滑模式。前述这种模式则与第6章中所探讨的自回归求和移动平均模式（ARIMA）所使用的方法相类似。

    7.8.6　二次平滑模式

    为了使一个趋势线尽量流畅，我们可以延长移动平均的周期或者降低指数平滑系数，这种方法以增加滞后因子为代价，在降低短期市场噪声方面是比较成功的。相对于这种为延长计算周期所做的改变，我们称为二次平滑，也就是说，趋势值本身就可以被平滑，这将使趋势线变得缓慢。但是，如果以一种方式给之前的价格加以权重，则可能就会导致意想不到的结果。

    一个为期3天的移动平均线MA的双平滑值的计算需要取距现在最近的3个移动平均值，移动平均线的值是从价格p中计算出来的，且在另一个3日周期的平均线中使用，进而得到所需的双平滑移动平均值DMA，即

    如此导出：

    我们用初始方程的价格因子p1 ，…，p5 进行迭代，从而得到DMA5 相关的新方程，即

    上式表明二次平滑模式为中间值所配置的权重最大，而且，一个3日均线的测试结果与三角形加权模式是相同的。而在长期的计算周期中，最终数值的权重会降低，然而，所有其他的数值却有相同的权重，相对于一个5日二次平滑均线而言，三个最终值的权重都会做向下的调整。对于指数平滑法来说，其结果也是不同的，因为在指数平滑法中，离现在最近的价格则接受了平滑系数a的全部权重，而指数二次平滑数值DEt 的计算公式为：

    上式会使时间因子t附近的数值被a平滑处理两次或a×a次，之前的数值也是如此。所以，对于指数二次平滑模式而言，使用一个a=0.10的常数净效应会生成一个接近a平方根的值，即0.031。

    图7-7　应用于微软公司股价的一个指数平滑模式

    注：平滑系数为0.20的平滑，同时附带一个二次平滑，以及一个能够简单地对预测误差进行修正的平滑系列。

    图7-7和表7-8以相应的天数为起点，应用平滑系数的标准转换模式，给出了一个相关范例，其所显示的是微软公司（Microsoft，简称MSFT）的股票价格，同时附带一个简单的系数为0.20的指数平滑模式（Single Exp）、一个二次平滑模式（Dbl Exp）以及一个简单的修正模式（Single Err Cor）。其中，误差的修正模式所调整的是价格运行的中间位置，那么这种形式对均值回归的交易而言，可能是一个很好的选项。

    表7-8　应用于微软公司股价的指数平滑的比较模式

    7.8.7　价格变化的二次平滑模式

    为了降低因二次平滑而产生的复合滞后效应，而且还要有利于形成平滑的趋势线，威廉·布劳对价格自身的变化值pt －pt－n 进行了替代， [3] 这一过程会使数据对价格变化更加敏感。其中，第一个平滑在加速运行的价格系列中被执行，同时，其开始存储这一系列价格运行的速率，使之恢复到正常的水平。另外，当n=1时，价格的变化被称为1阶差分或速率。实际上，第一平滑系列没有滞后性，所以，其会导致第二个平滑系列的测试结果出现一个滞后因子，这与正常的移动平均线相同。布劳还发现对于长期趋势来说，此种模式是一个成功的替代方法，其中第一个平滑可能需要250天，而第二个平滑的时间却非常的短，只需要5天。二次平滑模式的唯一缺点是其规模同价格不再一样，这样也就不能沿着价格的运行模式绘制图表了。

    为了计算二次平滑的价格变化（在图7-8中，价格变化也被称为动量），我们按照指数平滑模式之中所描述的相同方法，首先计算平滑动量SMt ，用它来替代价格的变化值pt －pt－n ，而价格pt 还要被正常使用。接下来，我们使用平滑动量来替代价格，从而运行另一个指数平滑模式，其结果就是二次平滑动量DSMt ，相应数理公式为：

    图7-8　应用于微软公司股价的二次平滑模式（2010年6月～2011年2月）

    注：顶部面板是微软公司的股票价格，其中附带10日和20日的指数双平滑均线；第二个面板为20日/20日的布劳二次平滑线；第三个面板是5日/40日的布劳平滑线；底部面板所应用的5日/20日二次平滑线之前的5日价格差。

    作为二次平滑方法的一个范例，图7-8起始于为期5天的动量，此时M(5)t =pt －pt－5 ，而且，其使用5天的周期等效值0.166，从而使动量值趋于平滑。平滑之后得到的测试结果被再次以20日等效常数值0.0555所平滑，其结果显示在图7-8中微软公司股价相关的底部面板之上，此时，趋势线与价格不再具有一样的单位，因此它不能像微软公司股票价格那样被绘制在同一面板之上。然而，二次平滑趋势线是非常平滑的，且与任何其他的方法相比，其点数的表现形式降低了相关的滞后性。交易信号应该或者只能从趋势线中生成，也就是说，当趋势线向上时，我们买入；当其向下时，我们则卖出。这些方法将在第9章的第9.4.1节和第9.4.2节详细地讨论。

    7.8.8　指数平滑模式的比较

    一次与二次指数平滑模式都包括了对误差的修正方法，且都可以进入一个电子表格进行比较。在表7-8中，我们已经展示了这样的电子表格，并且，整个电子表格的编辑可以在附带骨外软件的英航网站中TSM软件内Comparison of exponentials MSFT程序中找到，这种方法被应用于1998年8月～2011年2月微软公司股票价格的计算当中。在第三列中的第一个计算模式是一次指数平滑（Exp）；接下来就是第四列的二次平滑模式（Db1Exp）；一次平滑的误差也就是目前的价格减去相应指数的差值，其位于第五列（指数误差，Exp Err），紧随其后的是对这些误差值（误差和，Sm Err）所运行的指数平滑；在第七列中，其显示了附带平滑误差的一次平滑指数的修正模式水平（Corr Exp）。为了看到一次平滑与误差修正数值的差异，最后两列显示了基于趋势线所判断的价格方向的变化模式，即判断趋势线是向上还是向下。前述这种误差矫正的方法对价格的变化而言是非常敏感的。

    7.8.9　二次平滑的正规化调整模式

    二次平滑的一个有趣的形式是由米尔斯(Mills)提出的，其被称为指数正规化法则： [4]

    式中　p——价格；

    α——平滑系数；

    w——权重因子。

    从名义上讲，α和w两者都被设置为9。为期9天的标准指数形式和为期9天的指数正规化模式的比较方法在图7-9中被表示出来，并且图7-9中所应用的是2007～2010年标准普尔指数的周际数据。从中我们看到，正规化的趋势线显得更为顺畅。而前述图表的编程模式可以在英航网站中的TSM软件内Exponential Regularization程序中找到。

    图7-9　一个为期9天的指数平滑模式和一个为期9天的指数正规化模式（更平滑的线）的比较图，其所应用的是2007～2010年标准普尔指数的周际数据

    7.8.10　赫尔移动平均线

    应用周际数据，利用线性加权平均模式以及修正计算周期等所有方法的二次平滑模式就是赫尔移动平均线（HMA）。 [5] 此方式从建议周期p开始，向后计数16周，将周期或半个周期的数值取平方根，进而生成三个加权平均值，其目的就是为了缩短周期，从而降低滞后性，其计算公式可以写成：

    式中　close——周际收盘价；

    p——计算周期；

    WAVG——加权平均函数（数据系列，计算周期）；

    int——取整函数；

    sqrt——平方根函数。

    我们可以将16周赫尔移动平均线与传统的二次平滑均线进行比较，如图7-10所示，其展现了一个20周-5周的指数平滑模式；其所选择的是2007年12月~2011年7月的标准普尔迷你交易的电子盘。图中，两条均线非常相似（赫尔移动平均线在顶部面板显现的趋势较慢，而二次平滑均线则位于底部面板）。同时，一个二次平滑的16周简易型移动平均线相对于价格的变化而言，显得更加敏感一些，这一点在顶部面板中可被发现。前述图的编程模式可以在英航网站中TSM软件内的Hull Moving Average程序中找到。

    图7-10　赫尔移动平均线（在顶部面板呈现较慢的趋势）

    注：在底部面板之中，其将一个16周二次平滑的移动平均线（顶部面板）和一个（20周-5周）二次平滑的指数均线进行比较。

    [1] Jack K.Hutson，“Filter Price Data：Moving Averages vs.Exponential Moving Averages，”Technical Analysis of Stocks & Commodities(May/June 1984).

    [2] Donald R.Lambert，“Exponentially Smoothed Moving Averages，”Technical Analysis of Stocks & Commodities(September/October 1984).

    [3] William Blau，Momentum，Direction，and Divergence(New York：John Wiley & Sons，1995).

    [4] Mark Mills，“Regularization”(in“Traders’Tips”)，Technical Analysis of Stocks & Commodities(July 2003).

    [5] “The Hull Moving Average，”The Technical Analyst(July-September 2010).