11.2　循环周期的发现模式

在采用数理方法发现相关的循环模式之前，笔者首先提一下可能对交易者有所帮助的几个方法。举例而言，如果你相信主要周期之中有一个20日的循环模式，那么，你可以先行创建一个简单的新型价格系列，然后，从一条20日移动平均线当中减去当前的数据，这就消除了可能掩盖循环模式的趋势因子。我们也可以应用与之相同的方法来消除相应的季节性，即从相关的价格中减去一年期趋势值。换句话说，你可以取20日的价格差值差异（p_t -p_t-20 ），从而有效地消除20日的趋势因子。

大多数震荡指标（如随机指标或相对强弱的RSI指标）也可以服务于价格运行周期的判定过程；然而，如果想看到一个20日周期的峰值和底值，那你就需要使用一个计算期不超过10天的震荡指标系统。

11.2.1　剔除趋势因子的相关方法

删除价格趋势的方法可以使相应的循环周期属性显得更加明显。在通常情况下，我们只使用一条趋势线，在大多数情况下，同时应用两条趋势线的方式所达成的效果似乎更好， ^[1] 因此，我们首先应用两条指数移动平均线对相关的数据进行平滑处理，其中较长期均线的时间跨度应该占到主要循环周期区间的一半（使用最好的预测方法）。同时，较短期的移动平均线的时间序列应该是较长周期区间的一半，然后，我们通过一条指数移动平均线减去另一条指数移动平均线的差值创建一个MACD指标，由此而生成的合成系列则可剔除相关的趋势因子，同时也能降低固有的延迟属性。

应用三角权重模式

有一种方法可以强化相关的周期运行模式，即应用三角权重法来替代指数平滑法（详见英航网站）。而相关权重模式之所以被称为三角形是因为其可以创建一组加权因子，其中，最大权重数值被置于中期数据，而最小权重数值则被配置于尾部数据之上，这是典型的对称模式。在前述这种情境之下，你必须首先确定计算周期以及中心价格相关的权重因子。出于实用的目的，我们只需给中心价格配以2.0的权重即可，由于存在一个中心价格，所以如果计算周期是一个偶数区间，那么，三角权重模式将剔除最古老的价格。

其实，中心价格的加权因子可以从价值2.0/（P/2）开始，且以相同的数值增加。如果计算周期P=10，且权重配置始于t-P+2或t-8的话，那么，为了生成一个奇数价格系列，我们则需删除最古老的价值，如此，权重因子w_i 的数值依次为：0.4、0.8、1.2、1.6、2.0、1.6、1.2、0.8和0.4，而第t期三角权重的平均值TMA_t 为：

另外，如果要强化相关的周期性，我们还需要计算两个三角权重的平均值，其中一个权重模式所相关的周期是另一个模式周期的一半，然后，我们需要找到这两个周期的差值。在图11-5中，我们以IBM公司的股价为例，应用三角权重模式刻画了一条平滑的MACD线，其以63天（日历年份当中的季度天数）为基础显示了相关股价行情增强型的循环模式（期限为1年），而相应的假设前提为：行情的循环属性与周期性的收益状况的公布时间相关。另外，图11-6应用了年化的概念，即将252天作为主要周期，且将回调的玉米价格数据所相关的年份覆盖了5年以上。

图11-5　应用于IBM公司股价的20日-10日周期的三角权重模式的MACD线

图11-6　应用于玉米期货回调数据的252日-126日周期的三角权重模式的MACD线

上述这种方法意在创建一个价格行情循环运行的平滑模式，因为相关行情的峰值和底值的形态不属于均匀分布，同时，周期变化的振幅也相对较大。然而，我们可以应用指标平滑的方法来预测价格走势的主要变化方向，在英航同业网站上TSM软件内的Triangular MACD程序中可以进行相应的操作。

11.2.2　相关术语的解析模式

在对相应循环周期模式进行测度、计算之前，笔者要先行介绍一些术语，它们会在本章中被涉及，其中，波与循环周期的概念是可以互换的。同时，我们要对相关的术语进行解析，即

·周期或波是指某种能够回归原始状态，且反复出现的过程；

·振幅（a）是指每一波自其中值水平（居于x轴上）至高点之间所计算的距离；

·时间周期（T）是指能够完整记录一个波长（周期）的时间跨度；

·频率（ω）是指每重复360°波长的数量，其计算公式为：

·相位是指对相关起始点位，或与精准波长相关的循环冲销模式的计量单位；

·相角是指对相关循环周期进行定位，就像钟表的分针绕行一圈，且3点钟的位置为0°；

·左右切换模式是指周期内的峰值相对于期间内的中心点而言右偏或左偏的态势。

11.2.3　价格分析的三角函数模式

尽管某些统计软件所能发现的循环周期略带缺陷，但是，一些分析师仍然觉得：在知道某种循环周期的前因后果之后，相关的工具对我们而言还是有用的。我们可以使用三角函数的正弦曲线和余弦曲线来发现相关的周期循环模式。前述这些函数会导出所谓的周期波，其在每个360°或2π弧度之处都会重复运行，其中，π=3.141592。同时，相应弧度可以使用公式1°=2π/360进行转化，所以，下面的分析模式均与弧度相关。

图11-7　正弦波弧

一个简单的正弦弧度（即一个波）于每一个周期（即一个波长）都会在+1至-1（0，+1，0，-1，0）之间来回波动，这种状态与从0°至360°的弧度增长模式是相同的（见图11-7）。在相应的框图当中，我们可以应用特定的步长来表示相关的波长（或者，在图纸上用天数来代表），在一个完整的波长之中，我们用360°除以框格的数量即可得到其大小尺寸（用度数来表示），例如，如果100个方格对应一个周期，那么每个方格或者每天的价值则为3.6°。另外，我们不只可以使用360°，还可以使用频率ω来变更相应的波长，应用一个正弦波角的乘数，且以表示，即sinω。

如果ω＞1，那么频率处于增长态势，且相应波长不足360°；如果ω＜1，那么频率则处于降势之中，而波长则处于增长的态势当中。因为ω代表的是频率，那么在每一个360°的周期中，ω则会给出波长的数量。为了改变波的相位（即起点），我们可以将b值添加至正弦角上，即

如果b值是180°，那么，正弦波将于相关周期的下半部分开始，且相位值b会使波曲线向左旋；同时，我们可以应用一个常数来乘以这个b值，如此则可以更改相应的振幅。因为正弦值的范围居于+1至-1之间，因此，新的周期循环幅度将会居于+a至-a之间（见图11-8），其可被书写为：asin（ω+b）。

图11-8　复合型正弦波弧

我们这里几乎没有什么范例能够显示价格行情的运行模式是在单一波段之内完成的，因此，我们必须将两个正弦波弧（或更多）叠加在一起，从而形成一个复合波弧，即

另外，每一组的特征变量a₁ 、ω₁ 、b₁ 以及a₂ 、ω₂ 、b₂ 都可以是不同的数值，但是，它们可以同时于点之上进行相应的测量工作。现在，让我们考虑一个特殊的情境，即假设相位常数b₁ 和b₂ 为0，那么：

图11-8分别显示了常规波弧y₁ 和y₂ ，以及0°~180°区间之内的复合波弧y。我们需要注意的是：y₁ 波和y₂ 波在0°时开始处于正常的上升周期，然而，当正弦曲线到达180°时，它们则完全脱离相应的区间；在接下来的180°的旋转过程当中，这两个波弧又回到了相应的区间。

对我们来说，当结合周期波弧之时，我们需要了解相应波弧所生成的振幅的最大值和最小值，这是很有帮助的，因为这两个基本波弧的峰值不一定处于同一点位，而且二者的最大振幅也不可能完全相同。我们可以使用一个在数学上被称为偏微分的方法来发现最大振幅和最小振幅——设角的1阶导数为dy/d或y′，如此，则可导出y值相关的偏微分公式，且相应规则为：

如果将上述方法应用到之前的范例当中，那么：

当y′=0时，则会生成最大值或最小值的价值点。因为=12cos4，而当4=90°和270°（=22.5°和67.5°）时，就会生成最大值和最小值（见图11-8）。又因为=30cos5，则于5=90°和270°处（=18°和54°），最大值和最小值就会生成。这里必须指出的是：1阶导数识别了极端高点和低点的位置，但是，它并没有告诉我们哪一个是最大值，哪一个是最小值。我们可以导数y′而得出2阶导数y″，并且，其可应用于如下程序：

·如果1阶导数y′(x)=0，且2阶导数y″(x)>0，那么y（x）则是一个最小值；

·如果1阶导数y′(x)=0，且2阶导数y″(x)<0，那么y（x）则是一个最小值。

接下来，当y₁ =22.5°，且y₂ =18°时，相应数值则是最大值；当y₁ =67.5°，且y₂ =54°时，相应数值则是最小值。

任何对极值分析感兴趣的人士都可以在微积分相关的书籍中发现比较完整的解析。我们不要只专注于曲线方面的理论， ^[2] 而是要考虑废铜一类商品期货的价格运行过程所相关的、实际的周期范例模式，就像表11-4以及图11-9所绘制和描述的那样，即价格峰值出现的时间间隔似乎比较均匀，比如1966年中期、1970年1月、1974年1月，基本上彼此相隔四年。虽然解决这些问题是乏味的，但我们可以应用英航同业网站中的Fortran程序、TSM软件中的Single Frequency Trigonometric Regression程序（单频）和2-Frequency Trigonometric Regression程序（双频）来完成上述的任务，相关理念都可以很容易地被编辑到相应的语言之中。

表11-4　纽约2号重废铜的经销商购买价格^①

①基于来自美国金属市场的价格。

通过使用铜的实时价格而获取的测试结果显示：与应用虚构数据方式相比，实物数据的相应周期看起来并不是那么清晰。这里重要的问题是，我们需要理解实际数据测试结果的重要性，且能有效地应用。在全球化的进程之中，同时在地缘政治危机爆发之前，旧数据可以作为一种假设条件而被使用，其也许会帮助我们更加清晰地判定商业和经济的循环周期。

图11-9　1963~1979年实物铜的价格

因为三角函数曲线围绕着横轴零线上下浮动，所以，我们首先需要应用最小二乘法剔除相应的趋势数据，而相关方程所揭示的结果则是一条上偏的直线；同时，我们以回归线值减去从原始数据之值，进而生成铜的价格曲线，其变化形式是：于相应直线上下自正值转向负值。

我们可以应用直线方程y=a+bx，同时通过最小二乘法求解相关方程（也见第6章），进而得出最能代表趋势的行情趋势，相关系数的解析模式如下：

在上述方程当中，我们设x是日期、y是日期所对应的价格，为了方便起见，我们没有令x=1967，，，…，而是令x=1，2，3，…。我们可以应用英航网站相应程序进行计算，或者应用第6章的公式y=28.89+0.267x进行求解。

图11-9显示了铜的原始价格和相应回归线：原始价格可以应用上述方程以相关价格点位减去直线值，进而剔除相应的趋势因子，相关范例完整的解析结果和程序编辑语言可在英航网站找到。同时，剔除趋势因子的数据可以被应用于一般性三角函数的单频波方程之中，即

我们以变量t代替，其目的是以整数单位替代相应的度数，从而可以更加便利地生成可视化的图表。而如果要发现频率ω的数值，则必须首先求解以下方程，即

同时，我们应用下列方程组求解α的数值，即

上述求和公式还需求解c、d值，即

剔除趋势因子的总值c² 和cd值应用于∑c² =6338.4和∑cd=9282.2，从而导出α=1.464，将α引入到方程中求解频率ω值，即

而周期T为360天，360/42.9=8.4（季度）。另外，求解的最后一步是一组单频率的正规方程组，即

上述方程求解了a和b的值，其中，t=1，…，40，且ω=42.9。在其他的解决方案之中，计算机程序具有最好的求和方式（使用剔除趋势的数据），而相应变量之和为：

我们将上述变量代入以下的方程，a和b的值即可被导出，即

上述求解的结果为：a=-0.603，b=1.831，如此，相应单频曲线的方程为：

方程当中，t=1时所对应的是1967年；t=68时所对应的是19793/4年，此种t值的增长趋势则生成了如图11-10所示的周期曲线。

图11-10　应用铜价相关的基于波幅近似值的单频循环周期而显示的1963～1969年的数据

图11-10中所示的单频曲线于铜价的八个峰值之中可以匹配七个；然而，此项工作不太可能由Ehrlich周期寻找器完成。一条单频曲线可以简单地通过识别占主导地位的峰值、平均距离（周期相关的），且应用单频公式而被构建出来。

11.2.4　双频三角函数回归模式

相较于单频模式而言，一组以上的，且依据不同振幅正弦波和余弦波的组合模式与相应频率能够创建更好的拟合度，其不属于一阶线性模式，而是类似于一个二阶（曲线）的解析方法。同时，双频循环周期方程为：

为了求解复合波的计算结果，我们可以应用与之前单频模式相同的技术来消除铜数据的趋势因子。解决这个问题的代数公式则是之前解决方法的一种扩展形式，其需要应用计算机进行操作（相关程序可在英航网站找到，并且笔者在附录C中也有相应的阐述）。频率ω₁ 和ω₂ 的一元二次求解方程为：

其中x=cosω，我们应用标准公式，即

同时，我们可以应用之前使用过的最小二乘法的一般形式，即

使用最小二乘方程求解α₁ 和α₂ ，即

其中：

应用上述方程则可以求解为α₁ 和α₂ ，即

接下来，ω₁ 和ω₂ 可以从x₁ 和x₂ 的二元方程之中求解，而振幅a₁ 与b₁ 、a₂ 和b₂ 的正常求解方程为：

一旦得到最终结果，那么，最后一步就是创建一个4×5型的矩阵，凭以求解系数a₁ 、b₁ 、a₂ 、b₂ 所相关的四个方程。然后，我们可以将答案绘制成图，这是刻画原始双频方程结构与组合模式的最好方法，相应解析过程为：

其中：

图11-11　双频三角函数近似求解模式

如此，双频求解方程则导出以下的值，即

最后，相关的频率值为：

如此，相关的ω值则可对应10.6和2.6的两个季度值（见图11-11）。

11.2.5　傅立叶分析：复杂的三角函数回归模式

由法国数学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶(Jean Baptiste Joseph Fourier)所开发的傅立叶分析法是一种复杂的三角函数回归模式，其可将上一节所探讨的任何数据系列显示作为一系列相同的正弦波和余弦波的类型。

我们应该知道的是：傅立叶分析法以及比较受欢迎的高效快速傅立叶变换模式（FFT）都是不可靠的——除非数据比较稳定，且随着时间进程而有规律地变化。农产品最有可能应用这种方法，但是，在价格以及结构之上经常变化的股票（还有那些具有多元化并购模式的产品）则不适用这种方法。本节中的傅立叶变换模式将被应用于玉米之上，观察其测试结果是否和之前谈到的季节属性相吻合。同时，我们也将依赖于季节性旅行，且不存在多样化模式的西南航空公司的股价作为另一个选项进行比较，而最理想的结果是：此种方法能够消除通货膨胀和美元汇率的影响，进而使相关价格系列变得更加稳定。

1.傅立叶方法的基本计算原理

我们现在假设有一种循环周期模式，并且在每个重复情境之中存在n个数据循环点，傅立叶方法的分析式则可表明，此n个数据点会位于回归曲线之上，即

其中回归系数u_k 和v_k 则由以下公式给出，即

上式之中的重点在于：该种周期上的各数据点的均值是否等于1，而y_i 值之和与N之间具有下列属性，即

如果我们将傅立叶级数应用于季节性的结构之内，那将有助于相应的解析工作，而季节性的数据则源自最明显的周期。我们需要应用价格的月度平均值来剔除数据的趋势因子，从而避免相关的趋势覆盖相应的周期，如此，则N=12。然而，我们知道，经过季节性调整的价格将有不同的均值，因此，相应方程中的加权因子将具有相同的属性，有了这个信息，我们即可生成近似季节性的三角函数曲线，同时导出与其他方法相比较的结果。 ^[3]

在工具/数据分析工作区之中，Excel模式则可为傅立叶方法提供相关的插件，相应的解析模式和实证范例将被呈现于第11.2.6节中。

2.频谱分析模式

所谓频谱分析模式其实是一种统计过程，其可于相应数据系列之内隔离，且测度相关的循环周期。尽管我们可以应用其他的数据系列，但是，此种模式则是傅立叶系列方法之中所应用的一种特定的技术模式。

在研究覆盖数据序列的循环周期之时，其中重要的一点是要参照它们彼此之间的相位值，其反映的是不同周期起点之间的相关性，例如，如果一个周期相较于另一个周期而言，相应峰值和底值的位置正好相反，那么，它们的相位差值为180°；如果两个周期相位一致，那它们则是相同的。另外，某种周期的循环模式可能以相位变化的形式领先或滞后于另一种周期的循环模式。

应用频谱分析模式显示一系列具有重要意义之循环结构的工具是周期图表，而图表之上的循环加权结构将生成更为流行的频谱密度图表，其将被用来阐述频谱分析的结果，而其中的密度是指相关事件发生的频率。图11-12a和11-12b显示了三个简单的波序列的频谱密度值（其中D波是由A、B、C波所组合而成的傅立叶级数）； ^[4] 同时，频谱密度图底部所显示的周期步长与A波、B波和C波的周期长度相对应。另外，沿图11-12b左侧而被测量的频谱密度值会受到相关周期振幅的平方值、噪声水平的大小、价格走势的随机属性等因素的影响而不断地发生变化，因此，其循环周期属性往往会被遮盖。在图11-12b中，相关测试结果是基于三波情境而生成的，如果基础资产的振幅所对应的噪声水平相同，那么，相关周期的频谱分析价格将会被完全地遮蔽。研究过ARIMA模型的读者则能够体会到频谱密度图表和相关性图表之间的相似性。

图11-12　频谱密度图

图11-13　250日季节性模式项下的10日、20日和40日的循环周期图表

在三角函数的回归分析当中，价格的其他基本属性可能会扭曲相应的测试结果，数据中明显的趋势因子必须被删除，否则，它可能会成为占主导地位的周期模式，而我们则可以应用1阶差分和线性回归的方法剔除相关的趋势因子。另外，季节性因素本身就是一种循环周期形式，我们无须从相应系列中移除。由于频谱分析能够识别相应的季节性和周期性，因此，相较于既存的噪声干扰而言，成功的测试结果将取决于波的强度。如果将这种技术应用到实际数据之中，那将会生成如图11-13所示的结果，其中三个子周期的时间步长为10日、20日和40日，所显示的部分为250天（季节性）的周期模式。这里，我们需要注意的是：由于周期延长，其频谱密度所示的宽度则会变大，但是，这并不意味着较宽泛的峰值有多么重要。

交易者最感兴趣的是那些更大的频谱密度周期，以及较大的价格波动情境。而连接相应周期所需的最小数据量必须涵盖被识别周期的全景模式，例如，要看到任何季节性的模式，则至少需要12个月。而当时间越来越多时，频谱分析则可以更好地保证相关周期的一致性。实际上，一年的周期是不足以发现任何季节性模式的。

3.权重因子

在频谱分析之中，相对于单频余弦波系列而言，其中最重要的部分是找到正确的估计值或加权因子。当寻找长期周期之时，趋势因子和季节性的结构必须被剔除，因为频谱分析的方法将考虑占主导地位的周期属性，而其他周期的循环模式可能会被遮蔽。

在其他的三角函数公式之中，我们应用基本时间序列符号y_t ，且数据点t=1，2，…，N；同时，会生成频谱分析的估计点位，即

其中

频谱分析的运行方法因权重函数的选择模式而有所不同，而加权函数c_k 的准确性会随着k值的增加而降低，解决这个问题最好的两个方式是：引入一个被称作滞后窗口的估计值λ_k ；同时，引入一个截断点M，且M＜N，在M＜k＜N的情况下，c_k 值无效；在k＜M的情况下，我们则可使用加权值λ_k 。

接下来，我们给出频谱分析的近似值，相应公式为：

其中λ_k 可以是以下两种情境的任意一值，即升余弦滚降函数值：

帕尔森窗口值：

4.傅立叶快速变换程序的应用模式

有许多计算机程序可以应用傅立叶快速变换模式进行相关的频谱分析，同时创建一个傅立叶功率图谱，如图11-12b所示。同时，在英航网站上TSM软件内的Fast Fourier Transform程序中，我们可以发现安东尼·沃伦的相应解析方法，其基本程序代码由约翰·埃勒斯编写： ^[5] 该程序可以剔除相应的趋势因子，且可降低由较长无用周期而生成的终端数据的不连续性，其过程可以通过将钟形窗口和延伸端点乘以相应数据的方法为无趋势数据提供一个比较明确的结构模式，同时不影响相应的测试结果（如上一节所讨论的那样）。

第二个过滤模式是选择特定的移动平均线——移动平均线将减少或消除某些周期的重要属性，如果引用等于或短于两倍步长的移动平均周期，那么，更多占主导地位的周期循环模式就会显现。例如，使用一条10日移动平均线则可消除小于20日周期（每年频率大于12.5）的时间步长，图11-14则显示了计算机程序所输出的测试结果。

沃伦与赫特森进行了一系列的后续工作，他们应用线性函数、三角函数以及汉宁加权模式编辑相应的计算机程序，进而创设移动平均加权过滤指标。 ^[6]

5.傅立叶功率频谱测试结果的解析模式

图11-1与图11-12b显示了傅立叶变换模式所生成的功率图谱，图11-12b比较理想，其在循环周期之中脱颖而出且没有歧义；图11-14则更现实一些，其显示了占主导地位的周期循环模式，以及一定数量的围绕相关数值的方差。在功率图谱之中，y轴所显示的是周期循环功率之振幅的平方值。图11-12a中峰值D的价格约为425，如此在取平方值之后，其将会生成一个180的频谱密度值，或者是625的频谱功率值，与之相对应的则是图11-12b中的40日周期。

图11-14　频谱分析程序所导出的测试结果

资料来源：Jack K.Hutson，“Using Fourier，”Technical Analysis of Stocks & Commodities(January 1983).

我们应用本章初始部分的信息可知：频率与周期的时间步长呈反比态势，因此，如果周期长度是40天，那么，频率F=360/40=9。正弦波以每天9度的速度进行变化，大约40天完成一个周期。

观察结果最快速的方法是使用周际数据，而不是日间数据，这是一个低频的近似值，但是，其无法代表高频的数据。同时，应用平均数据点可以得到与日间分析相近似的结果。

11.2.6　傅立叶分析方法所相关的EXCEL模式

EXCEL电子数据表格能够提供一个傅立叶分析的简单应用模式，这是为大多数用户进行数据分析而添加的插件，但是，相关用户必须对其进行选择，即我们可以进入工具/插件（Tools/Add-Ins）工作区添加数据分析功能，而一旦程序被加载，我们则需下拉菜单：工具/数据分析/傅立叶分析（Tools/Data Analysis/Fourier Analysis）。接下来的步骤则是创建相关电子表格，如图11-15所示。 ^[7]

（1）将相应数据装载至相关的工作表格中。月度数据则最适合寻找较长的循环周期，其自三个月至几年不等。在图11-15中，数据（日期和价格）显示在前两列中。

（2）傅立叶分析程序所需要的数据量相当于2的n次幂，即2，4，8，16，…，1024，2048，4096。但是，它不会接受超过4096的数据值，月度数据量应当保持在这个约束条件之内。然而，你可能只需使用最近的256个或512个数据点。

（3）应用相应数据的1阶差分或收益率模式消除相关的趋势因子：1阶差分值为C_t -C_t-1 、在列下标记为“Diff.”。数据差值的效果较好。但是，当价格持续走高时，应用收益率的方式则更好，否则在更高的价格项下，最近期的数据将会掩盖相应的测试结果。在范例中，我们对相关差值和收益率进行了比较。

（4）在工具/数据分析/傅立叶分析（Tools/Data Analysis/Fourier Analysis）之内，将数据点输入“价格”列，以第一个空列E的相应单元格作为输出列，应用傅立叶分析方法中的收益率模式生成相应测试结果，即“Fourier result using returns”。

（5）这里需要注意的是：E列中的大多数数字都是虚数（imaginary），“虚数”这个术语是指以负数根为结果的数值。为了创建一个使用值，我们则可运用“返回复数绝对值”（IMABS）的功能，将E列的数值存储到F列之中。

图11-15　基于1998年8月～2011年4月美国西南航空公司股价所进行的傅立叶分析而生成的Excel电子表格，其所显示的是初始各行的输入与输出情境

图11-15显示了相关电子表格前12行的内容，第六列（IMABS）所存储的是1～12月的重要月度周期，其中较大的数字表明了占主导地位的月度周期。在图11-16中，收益率和相应差值的循环强度被显示为一个条形图，其目的是表示相应的频谱密度值，该模式可以被解析为美国西南航空公司股价所相关的季节属性。无论是收益率（以条形图显示）还是1阶差分值（以棒线图显示）都表示出相同的测试结果，即使价格的变化幅度值不同也无关紧要。相关图表所显示的股票价格于夏季呈上升趋势，然后，在11月和12月再次上升；其在1月、5月和10月呈下降态势，10月的降势主要是由于“9·11”恐怖袭击所致；否则，我们对此将进行其他形式的解析：因为10月既不是人们飞行的季节，也不是他们购票的季节，同时投资者也没有认为西南航空公司的收入会增加。

图11-16　基于1998年8月～2011年4月美国西南航空公司股价而进行傅立叶分析所生成的Excel模式测试结果

为了对相应基础理论进行比较，我们将傅立叶分析模式应用到1990～2011年4月的玉米现货价格之上。图11-17也显示出应用差值和收益率所获取的两个测试结果是非常相似的。然而，收益率的百分比值将会调整近年来巨大价格变化所生成的扭曲情境。但是，相应数字规模与第10章季节性研究所涉及的不同：相关循环周期于9月所呈现的低值对应的是收获期间的卖方压力；同时，三个呈现较强行情的夏季月证实了我们的直觉判断，即农作物价格在生长季节具有不确定性。

图11-17　基于1990年～2011年4月玉米现货价格的差值与收益率而进行的傅立叶Excel分析所生成的循环周期模式

[1] 在布鲁斯·约翰逊的文章“Finding Cycles in Time Series Data，”Technical Analysis of Stocks & Commodities(August 1990)之中，他高度评价了约翰·埃勒斯应用两条指数趋势线所进行的研究工作，我们可以参看约翰·埃勒斯所发表的文章：John Ehlers，“Moving Averages，Part 1”and“Moving Averages，Part 2，”Technical Analysis of Stocks & Commodities(1988).

[2] 有关三角形曲线拟合更详细的解析模式可以在Claud Cleeton，The Art of Independent Investing(Upper Saddle River，NJ：Prentice-Hall，1976)的第8章中找到，在本节中所使用的资料还会被进一步地引用。

[3] 相关理论的持续发展模式可在Warren Gilchrist，Statistical Forecasting(London：John Wiley & Sons，1976)，139-148中找到一个更具理论性的方法则体现于C.Chatfi eld，The Analysis of a Time Series：Theory and Practice(London：Chapman and Hall，1975)的第7章之中。

[4] William T.Taylor，“Fourier Spectral Analysis，”Technical Analysis of Stocks & Commodities(July/August 1984).

[5] Anthony Warren，“A Mini Guide to Fourier Spectrum Analysis，”Technical Analysis of Stocks & Commodities(January 1983)；还有一系列已发表的与光谱分析相关的非常有用的文章，它们于1983年1月被安东尼·沃伦和杰克·赫特森编撰在《技术分析》杂志中，而本节大部分信息皆源于此。

[6] Anthony Warren and Jack K.Hutson，“Finite Impulse Response Filter，”Technical Analysis of Stocks & Commodities(May 1983).

[7] 在解析傅立叶Excel分析模式的过程当中，笔者非常感谢约翰·埃勒斯先生所给予的帮助。