6.6　非线性模式向线性模式的转化过程

我们用于预测价格的曲线有两条：对数曲线（幂）以及指数曲线（见图6-10）。指数曲线常用于测定相关数据的规模尺度，其适用于较高程度的波动率，而下凹的指数曲线是典型的于较长时间间隔之内对波动率所实施的测度模式（0＜b＜1，如图6-10a所示）。其实，前述的每一种形式都可以很容易地被转换成线性的相关性，并且可以使用最小二乘法进行求解；同时，这些方法会使计算机生成一种默认程序，即用线性回归工具来解决非线性的问题。

图6-10　对数曲线和指数曲线

资料来源：Cuthbert Daniel and Fred S.Wood，Fitting Equations to Data：Computer Analysis of Multifactor Data，2nd ed.(New York：John Wiley & Sons，1980)，20，21.Reprinted with permission of John Wiley & Sons，Inc.

为了解决对数之间的相关性，我们用lnx代替x，用lny替代y。我们不使用电子表格中x列的值，而是创建一个含有lnx值的新数列；同时，创建另一个lny列。现在，我们用lnx和lny而不是用x和y来解决相关的回归问题。操作完成之后，我们就会得出b值，但是，你也得用lna值来代替a值——lna的数值必须是e的幂，那么，a的原始值=(lna)^e ，Excel程序中，指数e的幂函数是exp函数。一旦你得到了a和b的数值，那就可以计算并绘制对数近似值了。

在对数和指数的转换过程中，其显著的不同点在于：相对于指数而言，x的值是不按指数形式进行缩放的，我们截取玉米和大豆的原始数据；同时，在能够用最小二乘法求解的线性模式之中，将以对数形式和指数形式所得的两个近似值以自然对数函数ln的形式进行演示；然后，返回至玉米和大豆的简单范例之中，选择最佳的结果，如表6-7所示。

表6-7　玉米和大豆价格的对数和指数的值