6.5　两个变量之间的非线性相关模式

    线性回归方程a+bx也称为1阶多项式方程，其是发现两个价格系列相关性的最简单方式。它使用一次幂（称为1阶）的乘数（即斜率）以及一个常数（y轴的截距项）来转换起始点。现在，我们可以添加第三项cx2 ，于是就可以得到一个更加准确的近似值，比如黄金供给量的下降会导致股票价格的快速上升，第三项x2 的使用会引入一个曲形的抛物线，即显示一个行单一的、平滑的方向变化模式，第四项dx3 的导入会添加一个拐点，从而使该曲线有能力在不同的数据点向上以及向下转换。每当我们多加一项，基于另一个价格系列而相对应的某一价格系列的拟合能力就变得更好。因为我们想要创建一个超过2阶或3阶的多项式，所以，应用下列方程式就会显得更方便一些，即

    图6-7　曲线回归模式

    资料来源：Copyright © 1976 from Standard Mathematical Tables，24th Edition by William H.Beyer.Reproduced by permission of Taylor and Francis Group，LLC，a division of Informa plc.

    上式之中，在等号右侧的前两项可以形成一条直线的方程（a0 被称为a、a1 被称为b），而对于大多数价格预测来说，2阶方程式，也叫作曲线方程，使用三项就足够了。图6-7显示了一个2阶方程的一般形式，其以越来越快的速度倾向右凸。

    如果我们想知道当黄金价格走得非常之高时，那么，ABX公司的股票价格是否比线性近似值升得更快？如此，我们就会尝试求解2阶以及3阶的近似值。同时，相应时间序列不应只是几天，相关的解将从1998年开始且使用10年的数据。在英航网站中TSM软件的ABX-Gold Regression程序当中，我们可以发现相应的数据以及相关近似值的电子表格。

    另外，2阶（曲线回归）方程的形式是：

    接下来，我们使用联立方程，求解相应的a、b、c的数值：

    2阶最小二乘法

    最小二乘法的解可以通过将误差项的总和进行最小化处理，从而扩展至回归曲线的（2阶）方程，相应的公式如下： [1]

    在求解a0 、a1 以及a2 数值之前，我们有必要分解各类中间值的和，即

    现在，我们用上式代入以下的方程，从而得出相应的常数值，即

    上述的推导过程与线性最小二乘法的求解过程是相同的。幸运的是，我们有已经编好的、用于解决这些问题的简单计算机程序，如Polysoftware’s Pro-Stat之类的专业统计软件或Matlab软件；或者，在转换输入的情境之下，我们也可以用Excel程序。

    ABX公司股价-黄金价格相关性的计算结果

    表6-3的计算包括额外的x3 、x4 以及x2 y的总和，这些都可以替换成上述的方程。对于一般的求解方法，同期的线性方程可以通过矩阵消元的模式来运行。但是，如果没有计算机的帮助，这种技术是不可行的；然而，相对于那些粗浅的尝试而言，我们可以在附录中找到。 [2] 为了找到前述问题相关的解决方案，我们将使用专业的统计软件，导入数据，得出自变量和因变量，再置入订单（序列为2，3，4，…），然后，再求得表6-6所相关的解，对于一个整体编辑程序即集成平台而言，Matlab软件则是一种更好的选择模式。

    表6-6　ABX公司股价=f（金价）：1阶、2阶、3阶多项式的解

    图6-8和图6-9给出了ABX公司股价和黄金相关性的可视化解析模式。在图6-8中，右侧纵轴表示了ABX公司股票价格的波动范围，左侧纵轴表示了黄金的现货价格——在第一个8年（即1998～2006年）中，两者之间的相关性非常密切；只是在最近，由于波动性发生极端变化，如此才改变了前述的这种密切相关性，其主要的问题不是价格的运行方向不同，而是二者之间存在着不同的波动率。

    图6-8　ABX公司股价和现货黄金价格，其显示了最近几年不同程度的波动率

    图6-9　ABX公司股价-黄金现货价格的2阶、3阶拟合度的比较模式

    在图6-9中，其显示了线性1阶、2阶以及3阶的解析解。其中，线性函数和3阶的解一直追踪ABX公司的股价，只是在2006年后期，相关波动率大幅增长，如此，则相应的情况有所不同——相应模式是正确的。但是，ABX公司股价相关的预测价格的波动性却不大，这是可以理解的，因为所输入的大部分数据的波动性都比较低。如果相关价格回到2006年以前的波动水平，那么，相应拟合度会再次地变好。这里有一个现象，即2阶的解会生成一个较好的波动拟合，但是，由于其所设定的波动率较高，因此，其所预测的价格也会变得比较高。其实，从实际价格出发，通过计算一个简单方差的方法所进行的预测会告诉我们哪个解是最好的。

    [1] F.R.Ruckdeschel，BASIC Scientific Subroutines，vol.1(Peterborough，NH：Byte/McGraw-Hill，1981).

    [2] 详见附录B范例中的矩阵解。