2.6　指数问题

平均的目的是将个体数据转换为分类数据组。为此，相关的数据通常需要进行平滑处理，从而获得有用的信息。近年来，各类指数吸引了巨大的人气。在20世纪80年代早期，所谓指数只有价值线 ^[1] 和用于期货市场的标准普尔500指数；现在，每一个工业化国家的金融市场都有其相应的、具有代表性的股指期货合约。随着基金类股指的创设（比如存托凭证式SPDR指数，通常被称为标准普尔500指数的“世爵指数”）、Diamonds指数（简称DIA指数，即道琼斯工业100指数）、Qs指数（也称QQQ指数，即纳斯达克100指数）等，股票交易者可以因之而获取一种熟练的工具去投资广阔的市场而不是选择个股进行交易。在工业领域，如医药、卫生保健和技术，首先出现的是共同基金，然后才是可在交易所交易的ETF基金，现在是期货交易，而这些指数市场都有一个附加的好处，就是在卖空时，可以不必因卖空而不得不借入股票或受制于“报升规则”的限制（如果它是平仓的话），即不必在高于之前成交价格的点位才能植入相应的空单。

指数市场既允许个人，也允许那些具有很多专业投资策略的机构参与其中，这些交易者可以在大盘中任意地买入或卖出相关的金融工具，他们可以从一个板块转到另一个板块（部门轮换），或者他们可以出售被高估的行业股而买入大盘指数（统计套利）——机构投资者发现，从成本和税收的角度来看，此种方法是非常可取的，并且其可以暂时出售标准普尔500指数期货，从而对冲相关的现货股票所构建的投资组合，而不必清算相应的股票头寸。同时，机构投资者也可用期权来对冲标准普尔期货或SPY基金（ETF式基金，该投资工具基本追随标准普尔500指数成分股的价格和收益表现）。总之，相应的指数交易简化了交易的决策过程；如果指数市场不存在，那么，我们就要构建一个满足大多数用途的交易工具，只是叫法不一而已。

作为一种基准，指数交易在测试系统性能方面扮演着重要的角色。多数投资者认为，相对于一个交易程序而言，只有其收益-风险比率较之由60%的股票（由标准普尔500指数表示）以及40%的债券（以雷曼兄弟国债指数表示）所构建的投资组合的表现好，那么，它才是具有吸引力的。而与指数进行战斗的交易行为被称作“创建一个α”，其证明你比市场更精明。

2.6.1　指数的构建过程

指数是显示价格运行状态的标准化方式，即其是一个正态百分比变化的累积值。大多数指数都选定一个特定的日子为基期，设定其初始值为100，而基期年份的选择往往要考虑其“便利”性，因此，我们要选择一个价格相对比较稳定的时间段。拿美国来说，在考虑其生产力和失业率时，其将1982年作为基期，而在考虑消费者信心指数时，以1985年为基期，至于综合性的领先指标则是以1987年为基期。商品研究局（CRB）年鉴所显示的生产者价格指数（PPI）的基期是1913年。比方说，每月公布的PPI于2010年9月的值为185.1、10月的值为186.8，如此，在一个月里，PPI指数增长了0.9184% ^[2] 如果指数值不到100，则意味着相应的指数价值小于其初始的价值。

由上述理论可知，每一个指数的数值均按之前的均值计算而来，且公式如下：

正如在本章前面所述的那样，一个周期的收益率也是以相同的方式而计算得出的。

2.6.2　资产净值-指数收益率的计算方法

在表2-3中，其所示的最后的计算单元是资产净值（NAV），且此数值是以两种方法而生成的。从本质上来说，这个过程就是将收益率转换为指数，即其所显示的是相对于初始投资，且基于日间损益的复合收益率。在此电子表格中，第六列所表示的是标准收益率，第七列所显示的是ln对数收益率。

总体而言，计算资产净值的过程可以分为以下几个步骤：

（1）建立初始的投资，表2-3的范例中，所设定的头寸规模是10万美元，被显示在第三列的顶部，且在此之后，其数值可以根据目标波动率进行相应的调整。

（2）通过向第三列中的前一期添加每日的收益或损失值（在第二列中显示），我们就可以得到当期的账户头寸累积值。

（3）将今日的损益值除以前一天的账户资本总值，即可得出相应的r值（方法a），或者取1+r的自然对数值（方法b），这两种方法之一即可得出日间收益率的数值。

（4）如果你使用方法a，那么，之后所得出的资产净值NAV_t =NAV_t－1 ×(1+r)；如果你使用方法b，那么，每一期的资产净值NAV_t =NAV_t－1 +ln(1+r）。 ^[3]

在表2-3中，资产净值NAV的最终价值显示在最后一期的横行之内，虽然没有指定相关收益率是否要基于自然对数的形式而得出，然而，上述的步骤是美国政府要求的一种计算方式。另外，上述的这个过程也同样适用于指数，如此，则可将任何价格系列转换成一个由比率来表示的收益率。

2.6.3　杠杆式多空指数基金

随着指数市场受到大家的普遍关注，金融工程师进行了大量的金融创新，创设了广泛的金融交易工具。为了迎合市场的时间节奏，共同基金（如Rydex基金以及ProFunds基金）旗下的资金管理团队每一天都可以进行交易，买入或卖出相关的指数基金；相应的这些基金会密切地追踪主要的指数行情，但是，其给出的是具有独特变化性质的报价。所谓基金既有多头形式，也有空头形式，每种形式都可以加杠杆使用。当你买入一个多头式基金，如果其所追踪的是标准普尔500指数（被称为“新星Rydex基金”），那么，此种模式就相当于买入了等值的标准普尔500指数期货。然而，当你买入一个空头式标准普尔基金（被称为“Ursa基金”）时，如果标准普尔指数价格下降，那你就可以获利平仓了。此外，Rydex基金和ProFunds基金均提供1.5倍或2.0倍的杠杆，因此在标准普尔500指数有1.0%收益的情况下，ProFunds旗下的UltraBull（超级牛市）标准普尔基金的杠杆就可生成2.0%的收益；而在标准普尔500指数下降一个百分点的情况下，ProFunds旗下的UltraBear（超级熊市）基金中就会生成2%的收益。这里，相应的空头式基金或反向基金所生成的动机是为了规避美国政府的“禁止做空退休账户之头寸”的规定。

其实，杠杆化多头式基金的计算非常类似于一个简单的指数计算，而且一个空头式基金（你从价格下降中获得利润）也可以按同样的多头基金形式复合上行。下面的计算将创建一个多头式和空头式的指数基金，从而密切接近那些被Rydex基金和ProFunds基金所跟踪的指数。此外，如果你想创建一个杠杆式的标准普尔指数，那么，你就要依据标准普尔的现货价格。同时，如果你计划复制共同基金指数，那你就要针对每一个基金应用等值的相关指数的现货价格。

在以下的计算中，我们考虑了基金的杠杆因子，而多头式基金和空头式基金所导出的初始指数价值为：

对多头式基金而言，其后续指数值为：

对空头式基金而言，其后续指数值要于中间项进行反向计算，即

其中，XC、XH以及XL=杠杆指数的收盘价、最高价、最低价，而C、H以及L=基础资产或指数价值的收盘价、最高价以及最低价。

如果没有杠杆，那么，在上述的方程中，我们可以将杠杆数值设置为1，然后进行相应的迭代。

2.6.4　跨市场加权指数

针对不同的两个市场而言，它们在进行交易的过程中，使用的单位是不一样的，那么，将这两个不能做比较的市场合二为一而创建一个指数则显得非常便利。举个例子来说，如果你想展示黄金和IBM股票之间的相关性，那你可以设定同一日期为此二者的初始时刻，然后，对这两个市场同时进行指数计算，而在这个指数的计算过程中，我们将使用同一单位（百分比），这样比较起来就容易得多。

在多数情况下，指数可以将大量的相关市场结合在一起，进而导出一个简单的数值。而一个简单的集合指数是指在相同的市场之中，以特定的年份相对于基期年份，将非加权的、不同期的市场价格进行汇总，然后根据其彼此间的数值来确定一个比率，大部分流行的指数，如纽约证券交易所综合指数，都属于此类。而加权式集合指数则倾向于通过调整各类市场的权重来增加或减少其各自的影响度，进而形成一个合成的指数价值，然后，该指数就可以在一个简单的相关集合当中进行计算。当我们将各类金融市场的指数结合到一个单一的指数价值之中的时候，所有的权重之和等于1，而各类市场指数的权重都以百分比的形式进行显示。

2.6.5　美元指数

加权指数的一个实际例子是美元指数，在纽约商品交易所以DX表示，在洲际交易所以USDX表示。美元指数的数值是以几何平均的方法，按照与六种货币相关国家的贸易权重而计算得出，其中，相关货币的权重为欧元，57.6%；日元，13.6%；英镑，11.9%；加元，9.1%；瑞典克朗，4.2%；瑞士法郎，3.6%。美元指数是一个有价值的经济指标，但在亚洲却只有13.6%的影响度，对于多样化的世界市场投资组合来说，其并不是一种好的替代品。

相对于其他货币而言，从价值的角度来看，当美元上涨时，美元指数就会上升。在美元指数的日常计算中，每个价格的变化都以百分比表示，例如，如果欧元上涨50个点，即从1.2500升至1.2550，那么，相应的变化值为1.2550/1.2500=0.004 ^[4] ，然后将此值再乘以其权重因子0.576，那么欧元的此种变化对美元指数的影响就是-0.002304（因为欧元的上升意味着美元的贬值）。

[1] value line，股票所相关的指数，现在被称作“价值投资”。——译者注

[2] （186.8-185.1）/185.1=0.9184%。——译者注

[3] 这里，t-1代表的是前一期。——译者注

[4] (1.2550－1.2500)/1.2500。——译者注