23.4　收益和风险的衡量方式

风险和收益是衡量绩效以及判定一种交易方法相较于另一种交易方法更好的两个最重要的准则，只看收益的模式是不够的。然而，将这些方法与其他措施结合起来表达绩效质量的模式之间差别很大，例如，回报通常表现为年化收益率（见第2章），但是，其也可以表示为通过日利率或月利率凭以绘制直线的斜率。而风险在年化收益标准差、缩减量以及恢复时间等方面有很多的变化情境，在接下来的部分，我们将对这些技术进行概述。

23.4.1　交易模型的风险特征

在衡量风险或回报之前，我们有必要制定一个具有历史性的战略，无论是真实的还是理论的。应用实际交易数据的测试结果会更好，因为无论你如何认真地运行开发和测试的程序，实际交易总是会显示出比假设绩效更大的波动情境。假设的结果总是偏于乐观，在某些情况下，顺势系统的技术分析有时会与理论上的测试结果有所不同，但其却会在实际交易中获益匪浅。

假设我们选择了一个交易系统，每个系统都适用于日间股票交易且都是可用的。如果只能选择一个，那我们应该选择哪一个呢？具有如下特征的系统通常被认为是更好的：

（1）选择能够获取较大利润，而不是较小利润的系统，这样就能给执行过程中的错漏项留下更多的补救空间。

（2）行情上涨的幅度（利润）多于下降的幅度（亏损）。

（3）行情恢复的时间较短，而不是长时间地缓慢回升。

（4）持仓时间较短，因为这样能够尽量避免经历价格冲击的事件。

当然，测试结果总是相对的。如果你选择买入并持有一个收益率为8％、风险为11％的投资组合，与此同时，标准普尔期货相关的简易型移动平均系统具有12％的收益率和13％的风险，相比之下，应用移动平均线系统的方式显然会更好。为了找到最佳的投资方案，你需要参考一个基准。在大多数情况下，我们都是选择由60％股票（应用标准普尔行情）和40％国债（使用雷曼兄弟国库券指数）所构建的投资组合。

23.4.2　夏普比率和信息比率

经典的绩效计量方法就是夏普比率（SR），其表示为：

式中　E——预期收益率（年化收益率）；

I——无风险收益率（通常是3个月收益率）；

σ——定期收益的标准差或波动率（年化波动率）。

年化收益率和年化波动率的计算方法在第2章中已经给出。为了实用的目的，无风险收益率I经常会被省略，这个简化的形式被称为信息比率，它是最常见的性能统计方法之一。当没有利益收入被用于未使用的资本或部分账户余额之时，无风险收益率I则不能被忽略。对于期货交易而言，利息每天大部分可以通过账户的市场价值来获取。为了对不同的投资进行比较，我们有必要具体确定哪些回报包含利息收入。在商品交易顾问（CTA）的视野里，其可能会存在一些业绩障碍，例如3个月的国库券收益率在支付利息之前就是如此。

图23-4　夏普比例不足的两种情况

夏普比率和信息比率满足系统选择的第一个通用标准就是：当所有其他指标都相等时（主要是风险），具有更高利润的就是更好的；而且，其不符合图23-4所示的其他类型标准当中的任何一个，因为它无法区分以下两种情境：

（1）连续小损失（系统B）和交替性的小损失（系统A），如图23-4a所示。

（2）收益大幅上升和大幅下滑，如图23-4b所示。

显然，系统A在上述两种情况下都是最好的。另外，我们还要注意的是月收益率的性能表现总是比基于日收益率计算而得出的测试结果要好，因为它本来就是平滑的。但是，虽然最高点出现的可能性高于最低点，然而，月末资产净值（NAV）不太可能是月中最低或最高的点位。

特雷诺比率

风险收益的另外一个衡量标准是特雷诺比率（TR），即年化收益率（AROR_t ）减去无风险收益率I，再除以β，其表示为：当前投资组合相对于基准模板（通常是标准普尔）的相对波动率，相应数理公式为：

23.4.3　最大回调幅度均值

施瓦格 ^[1] 介绍了关于风险和收益评估技术的综合研究方法。虽然每种方法都可能强调特定的资产特征，但是他似乎更倾向于利用最大回调幅度均值（average maximum retracement，AMR）指标，通过比较当期数值和以往最高价格的差值，该种方法发现了相关资产均值处于下降的态势之中；但是，其忽略了资产价格出现新高的时段，相应数理公式为：

其中，

MCE_i ——在第i天之前所有交易相关的封闭股本金（已经实现的利润）；

TE_i ——第i天的总股本；

n——资产数据相关的总天数或计算周期。

当TE_i ＞MCE_i 时，资产将达到一个新的高点，无论交易者从什么时候开始交易，他们都会在第i天同时获利。施瓦格表示：一个简单的计算方式只会使用每个月的低收益日，它会给出一个粗略但很好的近似值。

仅衡量降势的模式是一个类似于半方差的概念且很有价值，因为与损失收益率相比，盈利收益的分配是不对称的，因此标准差不能被正确地表达，并且测试结果可能会偏向获得更多利润的情境，同时给出一个被低估的风险。

23.4.4　最大损失和卡尔马比率

应用施瓦格的AMR模型，甚至是基本标准差的方式都有助于比较一个系统与另一个系统的长期性能，然而，他们缺乏查看实际交易当中于测试期间所生成的最大损失情境这一简单步骤，约翰·斯威尼称其为最大不利偏差 ^[2] ，它是一种倡导交易者将其最大损失最小化的做法。

现在，我们考虑一下资产收益变动的标准差，如果其显示出在任何一个月内，你有68％的获利概率，且收益率将在15％～（-5％）（5％的平均值以及10％的标准差），同时在一个月内损失超过15％的交易相关的概率只有2.5％（即为单边2倍的标准差），那么你有50％的概率会在前20个月（20÷2.5）间的某一个月内损失15％。然而，如果你停止交易，那就会丧失更多获利的可能性。

最大的历史损失被称为最大跌幅（max drawdown），其是一个实际的替代方案。简单地说，交易计划在一个3年的测试期内的某个月内确实生成了15％的损失情境，尽管有这个可能，甚至可能该计划将来会有更大的损失，但是，你必须做好在一个月内损失15％的准备。损失与收益的相关性可以用卡尔马比率（Calmar ratio）表示，即

上式当中，从第t天起的最大跌幅是从数据开始到今天之间的最大历史性的下降情境——从峰值到底值。

使用历史数据是符合实际的做法，但是它并不是没有问题。我们可以参考第22章关于测试的章节：在很多情况下，最终的系统概况受益于无意识的过度拟合。如果从测试表面的稳健性区间选择参数的话，那可能看起来很好，因为它已经避开了特别糟糕的价格冲击，如此，理论上的最大跌幅可能会被低估；即使不是过度拟合，那么未来总是会带来更大的利润，当然也有可能带来更大的损失。

23.4.5　索提诺比率

夏普比率和半方差之间的差异是索提诺比率（Sortino ratio），其仅包括分母中的下降风险，并且其利用分子中可接受的最小收益率（MAR）代替无风险阈值。索提诺比率的计算方法为：

MAR可能是无风险回报率或是由投资者设定的任何其他性质的阈值。分母是计算期间的每一天所有资产负收益的标准差，其中，峰值（PE）与当前收益（E）之间的差值不等于0。

23.4.6　溃疡指数

投资者的焦虑会增加，因为当前的收益率低于以前的最高收益率。这种情况可以应用溃疡指数（UI） ^[3] 来衡量，这也是一种半方差模式，其类似于施瓦格的最大回调幅度均值，即其使用的是在过去所有日子里相对下降的统计量，而不是衡量新的高值收益率，而相应公式为：

式中　D_i ——前i天最高收益与第i天的实际收益之间的差值；

n——相关资产所包含的天数。

如果第i天的资产生成新的高收益率，则D_i =0。随着交易时间的延长，投资者会对业绩回报的表现更为焦虑。

23.4.7　潜在的风险

风险永远不只是一个单一的数值，它更应该是一种概率。其中，标准差是最常用于表示风险大小的工具。即使出现了大于先前最大跌幅的情境，其间仍然会有很小的概率出现一个更大的跌幅。因此，认为所有未来损失都将小于已经发生的最大损失的概念是不合理的。而相关的潜在损失可以表示为n日内两次不同测量方式所对应的概率：

（1）缩减概率（DP），其与施瓦格和溃疡指数所使用的方法基本相同。它要计算相对于最近期的资产的最高权益值：以今日权益值下跌的标准差为D_i ，当今天的权益值达到新高时，其所计算的标准差值为0。

其中，i=1，…，n，n为发生下降行情的天数，即D_i ≠0。

（2）半方差（SV）。首先计算权益流或净资产价值的线性回归值，然后求出所有降势的标准差D_i ，最后拟合那些低于直线的对应值。因为直线以上的价格将低于最高权益值，所以应用半方差法将会得出比DP模式更小的数值。

DP概率法可以说是一种比施瓦格法则和溃疡指数法则更保守的模式，因为它忽略了资产创造新高的那些时段，其标准差会根据被省略的天数成比例地增加。在任何一种测量方式当中，DP和SV模式可用于表示1倍的标准差值，所以在接下来的n天内，区间情境大于DP或SV值的概率是16％。因此在接下来的n天内，只有2.5％的概率会下降两倍。

上述这些测量中的任何一种方式都可用于形容风险收益率（其被称为下降比率（DR）），相应公式为：

或者

其中，AROR_t 是第t天的年投资收益率。

上述这些比率满足了三个原始标准：较高的利润更有利，因为收益率是分子；利润和损失的计算方式会导致净资产减少的速度越来越慢；而且，大量收益不会受到威胁，因为系统只应用跌幅去考虑风险。

保守的投资者可能希望对潜在风险进行一些额外的简单性的评估，而如此会使系统面临更大的风险；当所有条件均处于平等地位之时，下列的做法会使系统面临更大的风险，即

（1）他们用较小的样本进行测试。

（2）他们几乎没有股票下跌的历史数据（也可能是一个糟糕的样本）。

（3）他们专注于较少标的资产的投资组合（非多样化）。

（4）他们的头寸是自己合成的。

1.年化波动率

年化波动率V_t 被单独提及是因为它是表达风险最常见的方式。这里只是简单的年化标准差，在第2章中已经给出，但是其在本书中始终需要被使用：

其中，r表示过去n天的收益，252是一年的交易日数，分析师将V_t 简单地称为波动率。即使我们知道收益不是对称的，但是，这仍然是风险最常见的测量方式。在投资组合分析中，它将被用于确定目标波动率。

2.在险值

在险值（VaR）被广泛应用于大多数的交易公司，其可评估当前市场头寸是否有可能在接下来的几天内发生无法接受的大幅度的损失。它与上一节中给出的波动率不同，因为它的目标是预测风险，虽然它是用历史数据计算出来的。我们可以根据过去的市场走势找出当前市场头寸的损失概率来发现其数值。例如，二号银行在固定收益期货中持有大量的空方头寸，以确保目前的贷款承诺；他们也持有多种外币，其中50％与远期合约进行对冲。如果利率下降或美元走强，他们的期货头寸可能会有很大的损失；根据银行的政策，一天内允许的损失必须保持在其承诺现金价值的0.5％以下，如果存在超过前述金额的潜在风险，则必须立即减少期货头寸。

在险值是存在风险敞口的市场之间的交叉相关性、合约规模、市场波动率、预测风险的预期时间以及风险承受能力的置信区间。使用二号银行所持有的利率和外汇风险的收益系数，VaR的方差-协方差的解可以计算为：（注：Jacques Longerstaey，RiskMetrics^TM Technical Document，4th ed.(Morgan Guaranty Trust Company，riskmetrics@jpmorgan.com).）

式中　σ——各个市场工具收益序列的标准差；

ρ——两个收益率序列之间的相关系数。

在上述这个例子当中，收益序列反映了风险敞口的头寸和波动率，其意味着在险值所预期的周期为1天。

此外，二号银行持有100万美元欧元债券（Eurobund），日间标准差为0.565％。如果目前的欧元/美元汇率是1.25，那么，该头寸的现值就是125万美元；另外，它还持有10年期欧元债券100万欧元的头寸、标准差为0.605％、市值为125万美元。我们使用1.65倍标准差来表示95％的置信水平，并假设r_i /σ_i 服从正态分布，欧元/美元汇率于一日之内的降幅不应超过（0.565％×1.65=0.932％，小于1％）95％的置信水平。欧元/美元汇率在一天内的跌幅为0.605％×1.65=0.998％，那么我们可以预期外汇头寸的大致风险为125万美元×0.932％=11650美元；欧元债券的风险在未来24小时内将达到125万美元×0.998％=12475美元。

外汇和欧洲债券头寸的总风险不是两种风险的总和，因为两个市场之间的相关性可能表明，一个市场的价格走势会被另一个市场的相对运行情境所抵消。在这个例子中，两个市场的收益率相关性为-0.27，如此则表明两者之间具有明显的抵消效应。我们将相应数值应用于一个公式，即

上式当中，未来24小时的在险值远低于两个市场风险金额的总和，因为它们的价格走势将会相互抵消。一般来说，VaR的一般计算要使用单独的价格（即基础资产价格）、头寸规模、时间周期以及置信区间等数值。而对于三种资产而言，相应公式为：

式中　CI——置信区间（以5％概率表示标准差为1.65）；

P——在险值计算周期（5代表的是预计期限为5天）；

w_i ——加权因子或相对权重规模；

x_t ——当前资产的价值或第t期的价格；

σ_i ——年化波动率，如下所示；

r_ij ——市场i与市场j之间的相关系数。

交叉相关的模式可以使用电子表格的相应函数或者可以直接在第6章的公式之中计算。波动率σ_i 是使用价格x_i 以及n天周期计算的，作为价格变动的标准差，其年化数值为：

于过去n天之内，252的算术平方根用于计算年化日间波动率。

在风险控制的实际过程中，VaR模型将在交易结束前停止计算；如果其价值超过阈值，则可以采取措施在同一交易日减少风险敞口。

3.广义在险值的计算方法

预测期末损失概率P_E 的计算方式为，统计相关期间累计损失的百分比值与累计预期收益之间的差额，再除以累计的标准差，同时应用正态分布函数得出概率估计值： ^[4]

式中　N［］——累积正态分布函数；

L——周期内累积损失的百分比值；

μ——连续的年化预期收益率；

T——地平线上的年数，其中1天为1/252年；

σ——连续的标准差。

在上述过程中，周期性复合收益率值服从对数正态分布，而连续收益和标准差服从正态分布。为了计算VaR值，该计算模型被改变为以指定概率Z求出损失阈值的大小，即

式中　e——自然对数的基数（2.71828）；

Z——所选择的概率分布之逆函数值（例如，5％为1.65）；

W——资产的初始值。

上述公式的计算结果给出了期末T的损失概率，其不反映该期间可能发生的任何损失（如果T大于1天），而期间的亏损总是至少与期末损失一样大。

4.一个更简单的在险值分析方法

有三种与在险价值相关的计算方法：方差-协方差、历史波动率以及蒙特卡罗模拟法。上面的章节讨论了经典的方差-协方差法，但是，大多数分析人士将会发现历史波动率方法更容易实现，其直观上也更简单。从本质上来说，为了计算今天的在险值，你可以将今天的市场头寸应用于过去的数据，例如1年（252天），具体而言，即 ^[5]

（1）给定n个市场或资产，每个具有的数量（合同或股份）为W₁ ，W₂ ，…，W_n ；

（2）计算过去k天（k=252）的收益率R，因为R_i =［P_i /（P_i-1 ）］-1，i=t-k+1，t。

（3）计算第i天的总收益R_i =W₁ R_1i +W₂ R_2i +…+W_n R_ni ，其中包括外汇和转换因子（适用于国债期货），以便使总收益全部为美元、欧元或任何单一货币。

（4）在k天内查找R的平均值R和标准偏差s；

（5）给定在标准差（例如，99％的逆函数值=2.33）中指定的置信水平下，第t日的VaR=R-2.33s，VaR总被表示为负数。

5.价格冲击和现实分布

在险值是大多数市场条件下衡量风险的良好指标，但在市场工具极端高度相关的价格走势中，它就是一个不佳的衡量标准。据说除非在最需要的时候，即风险最大的时候，VaR指标才有效。压力测试被用于了解VaR值在极端情况下的表现，其将排除特定的市场时期，如价格冲击（见第22章的讨论）；或者，它可以使用模拟数据，其中所有价格都反向变动并形成具有高度相关性的2～3倍标准差的行情模式，如2008年年底发生的次贷危机。

收益率或价格走势服从正态分布的假设是不现实的，本华·曼德博等人认为：使用权益变动的标准差低估了金融市场实际所特有的风险。 ^[6] 大多数收益分布是偏斜的，由于其应用了资本保护措施，以及异常长期非随机分布的运行模式，因此，相关情境存在有一个厚尾状态。对数分布可以代替正态分布，但是，这往往会生成不必要的极端情境。同时，存在于分布之中的厚尾区间可以使用峰度指标k来测量：

式中　r_i ——第i天的收益率；

σ² ——方差；

n——天数。

正态分布的峰度值为3，但是实际的收益率系列峰度值可能高达25，如此则显示出显著厚尾形态。虽然我们可以识别非正态分布，但是其中似乎并不存在可应用于VaR值分布形式相关的简易型的解决方案。当存在极端分布时，实际的解决方案是进行压力测试，凭以识别极端情况下的潜在风险并将其视为例外情境，这与价格冲击期间可能使用危机管理方法相同。VaR指标主要是侧重于替代分布类型，同时衡量意想不到的极端风险。

6.兴登堡凶兆模式

兴登堡凶兆 ^[7] 是一种价格模式，其试图用来预测股市崩盘。1937年5月6日，德国兴登堡飞艇爆炸并烧毁，此次灾难非常著名。而此种模式计算的基础是出于诺曼·福斯布克的高低逻辑指数（HLLI），这是用纽约证券交易所新高点或新低点中较低的交易量除以交易所交易的数量，然后使用指数移动平均的方式进行平滑而得出的。它的前提是：在正常情况下，大量股票可能创造新高或新低，但两者不会时出现；如果存在新高或新低价位，那就表明了具有潜在波动性行情的具体情况。具体来说，在某一天：

·纽约证券交易所新的52周高点或新的52周低点的数值大于或等于当天涨幅或跌幅总量的2.8％，请注意：从之前的2.5%水平上调至2.8%，因为整体市场波动性有所上升。

·纽约证券交易所指数行情大于50个交易日前的行情。

·麦克莱伦震荡指标为负值（见第12章）。

·尽管新低点跌幅可能会超过新高点涨幅许多倍，但是，新的52周高点不得超过52周低点的两倍。

·事件的组合情境必须连续3天出现。

一旦信号发生，我们预计在30个交易日内股市崩盘，但是，这也要在麦克莱伦震荡指标值为负时才准确。

根据你对“崩溃”的定义，下降5％~50％，你可以预期兴登堡凶兆模式会在大约25％的时间序列当中发生。最近类似的情境包括：2010年8月12日、20日、24日、25日和31日。

23.4.8　系统风险特征

每种交易方式都有其独特的风险和回报模式。第22章的第22.5节讨论了顺势交易系统与均值回归系统之间的差异。一般来说，顺势交易系统的损失较小、利润较大。均值回归系统则相反，其会生成许多较小的损失和更大的损失，这与博弈策略的选择模式相似。

即使在同一顺势交易系统中，交易风险也存在巨大差异。符合资本保值条件的典型的移动平均系统相关的个体交易的损失较小、利润率较低，但其可能会产生一系列的小额损失，加到一起就相当于一个非常大的损失。另外，顺势交易系统在遇到横盘行情的时候就会失败，其经常从多头到空头，再反转，直到价格最终走上顺势方向。相应的测试显示：即使趋势计算周期很长，顺势交易的数量也不会低于阈值水平，而所有趋势似乎都会陷入横盘价格形态，进而产生一系列小额损失。

另一种非常受欢迎的顺势交易技巧是破位系统，其与移动平均或指数平滑模式相比具有更大的风险。当在特定时段内以新高价格买入新的多方头寸之时，风险被定义为于同一时期创造新低的价格。因此，买入时的交易风险是最高和最低收盘价之间的差额或期间n内的最高点与最低值之差，即

1.经过调整的风险相关之收益率

交易方法的选择需要在同一时间内进行测试且对收益相关的风险进行调整，例如，如果系统A的年化收益率为15％、年化风险为10％，系统B的收益率为25％、风险为16％，则系统A的收益率将乘以16/10或1.6，如此，调整后的失业率为24％；同时，系统B的情境会稍好一点。如果你对收益率的大小不感兴趣，那么你可以采用信息比率——系统A的比率数值为1.5，系统B的结果是1.56，从而得出正态化的结论。

2.恢复时间

一个从损失中快速恢复的交易计划比一个在最低损失水平下所制订的计划更为理想。程序快速恢复的事实并不会改变其绝对的风险水平（最大跌幅），而是会改变应用标准差所计算的年化波动率或每日负偏差相关的任意统计数据的均值。

3.收益率的稳定性

最常见的收益计算是独立年化收益率的平均值，因此，如果一个交易方案连续5年回调了24％、18％、20％、15％和19％，那么大多数投资者将看到平均收益率为19.2％。另一个同样有效的方法是通过累计收益率（24％、42％、62％、77％和96％）找出直线的斜率，从而使年化收益率为17.9％，因为它反映出收益下滑的轻微趋势。

确定你的系统是否于以往的情境当中表现较好，但在最近的市场上一直处于困境中的系统性方法是通过年化收益率（如果数据少，则使用月度收益率指标）找到相关斜率：如果斜率上升或侧倾，则系统运行良好；如果斜率明显下降，则表明系统运行正在衰减。另外，此种模式不适于当前或不断变化的市场。

4.风险究竟能有多大

本节中所描述的许多风险测量方法均试图显示未来损失的概率。于情理之中，应用VaR模型的方式是最有可能成功的。投资者必须理解所计算的亏损率和实际损失之间的区别。如果单独一个月有1％的概率出现50％的亏损，那么到了第50个月，其会有50％的概率损失50%。因为用于查找统计数据的信息量太少，所以在大多数计算中也存在很大的误差项。如果使用100种范例情境，那么测试结果会有10％的错误概率。测量价值的大小也取决于创建这些价值的市场行情所处的时期，比如在海湾战争期间，还有2007年，原油的风险异常高。而若是前述这些时段不包括在测试之内且假设它们是异常值，那么结果就不会在未来原油交易的过程之中将相关风险反映出来。

23.4.9　你分析的不是市场行情，而是如何赚钱

由于相应风险经常在市场当中重复出现，所以相关的行情趋势和市场冲击情境则会使机构和投资者转移他们的资金。当所有系统同方向运行之时，相应情境不是基本面的反映，而是恐慌。在压力之下，投资者从各种类型的投资中提取资金，从而导致所有趋势都发生反转，相关系数则变为1。

金钱在极度不确定的时期会寻求一个更安全的地方，这被看作是广泛地做空股票、大量地购买债券，其行为必定造成债券价格上涨以及股价下跌的情境。2011年和2012年，短期利率下降为负值，投资者愿意为了获得安全而向政府支付一定的费用——无量化相关性分析或多样化的交易模式将保护相关资本免受价格冲击的影响，而所有市场都将以相同的方式运行，进而保障资金的安全。另外，没有多少分析能够有见地地预见到利率会变为负数。

[1] Jack D.Schwager，A Complete Guide to the Futures Markets(New York：John Wiley & Sons，1984).

[2] John Sweeney，“Maximum Adverse Excursions for Stops，”Technical Analysis of Stocks & Commodities(April 1987).

[3] 由彼得·马丁(Peter Martin)在1987年创设，其出现在彼得·马丁和拜伦·麦肯(Byron McCann)的一部著作当中，The Investor’s Guide to Fidelity Funds(New York：John Wiley & Sons，1989).

[4] Mark Kritzman and Don Rich，“The Mismeasurement of Risk，”Financial Analysts Journal(May/June 2002).整个部分使用的是克里茨曼（Kritzman）和里奇（Rich）的文章当中的素材。

[5] 感谢瑞穗替代投资公司的罗伯特先生在本节中的帮助。

[6] B.B.Mandelbrot，“A Multifractional Walk Down Wall Street，”Scientific American(February 1999).

[7] 根据维基百科统计，兴登堡凶兆模式起源于吉米·米耶卡（Jim Miekka），而这个名称是由肯尼迪·甘米奇（Kennedy Gammage）于后期建议的。