第一编 静电学

·Part I　Electrostatics·

数学分析似乎是人类精神的能力，它注定要来补充生命的短促以及感官的不完善。更为令人吃惊的东西是，在对一切现象的研究中，它遵从同一过程，它用相同的语言解释它们，这就好像表明宇宙计划的简洁性和统一性一样，并且使不可变的秩序更为明显，正是这个永恒的秩序驾驭着整个自然的原因。

——拉格朗日（周兆平译）

法拉第在他的实验室中。

第一章　现象的描述

摩擦起电

27．〕实验Ⅰ ^〔1〕 　使各自并不显示任何电性质的一块玻璃和一块树胶互相摩擦，并使摩擦过的表面保持接触，它们将不显示任何电性质；把它们分开，它们现在就将互相吸引了。

如果有第二块玻璃用第二块树胶摩擦过，然后把它们分开悬挂在前两块玻璃和树胶附近，那就可以观察到：

（1）两块玻璃互相推斥。

（2）每一块玻璃都被每一块树胶所吸引。

（3）两块树胶互相推斥。

这些吸引和推斥的现象叫做“电现象”，而显示电现象的物体被说成是带了电或得到了电荷。

物体可以通过许多其他方式而带电，正如通过摩擦那样。

两块玻璃的电性质是相似的并和两块树胶的电性质是相反的：玻璃吸引树胶所推斥的东西并推斥树胶所吸引的东西。

如果不论以什么方式带了电的一个物体表现得像玻璃一样，就是说，如果它推斥玻璃而吸引树胶，则物体被说成玻璃式地带了电；如果它吸引玻璃而推斥树胶，它就被说成树胶式地带了电。经发现，所有带电的物体不是玻璃式地就是树胶式地带电的。

科学家们所确定的作法是把玻璃式的电叫做正电，而把树胶式的电叫做负电。两种电恰好相反的性质使我们有理由用相反的正负号来标明它们，但是对其中一种而不是对另一种应用正号，却必须认为是一种任意性的约定，正如在数学作图中把向右的距离看成正距离是一种约定一样。

在一个带电的物体和一个不带电的物体之间，观察不到任何力，不论是吸引力还是推斥力。当事先并未带电的物体在任何情况下被观察到受到一个带电物体的作用时，那是因为各物体由于感应而带了电。

感应起电

28．〕实验Ⅱ ^〔2〕 　设把一空心金属容器用一根白色丝线悬挂起来，并设容器的盖子上也附有类似的丝线，从而容器可以打开或关闭而用不着触及它。

图4

设容器起先并未带电。这时，如果有一块带电的玻璃用它的线挂在容器中而不接触容器，而且容器的盖子是盖着的，则容器的外面将被发现是带电的，而且可以证明，容器外面的电不论玻璃挂在内部的什么地方都是相同的 ^〔3〕 。

现在，如果玻璃被从容器中取出而并不接触容器，则玻璃上的电将和它被放入容器中以前的电相同，而容器上的电则将消失。

容器上这种依赖于玻璃在它内部的而且当玻璃被取走时就不复存在的带电，就叫做“感应”起电。

如果玻璃是挂在外面靠近容器处的，也将出现类似的效应；但是在那种情况下，我们将发现一种带电情况，即容器的外面有一部分是玻璃式地带电而其另一部分则是树胶式地带电的。当玻璃位于容器内部时，整个的外表面都是玻璃式地带电而整个的内表面都是树胶式地带电的。

传导起电

29．〕实验Ⅲ　设金属容器已像在上一实验中一样感应起电，设有第二个金属物体用白丝线挂在它附近，并设有一根同样挂着的金属丝被移过来，以致同时接触了带电容器和第二个物体。

现在第二个物体将被发现为玻璃式地带电，而容器的玻璃电则将已经消失了。

带电的状态已经通过金属丝从容器传送到了第二个物体上。这条金属丝叫做电的导体，而第二个物体则被说成通过传导而带了电。

导体和绝缘体

实验Ⅳ　如果用一个玻璃棒、一个树胶棒或古塔波胶棒、或一根白丝线来代替那根金属丝，则不会发生任何电的传送。因此，上述这些物质就叫做电的“非导体”。在电学实验中，非导体被用来支持带电的物体而不把它们的电传走。这时它们就叫做“绝缘体”。

金属是良导体。空气、树胶、古塔波胶、硬橡皮、石蜡等，是良绝缘体。但是我们以后即将看到，一切物质都阻碍电的通过，而一切物质也都允许它通过，尽管在程度上有非常大的差别。这一问题将在我们开始处理电的运动时再来考虑。在目前，我们将只考虑两类物体，即良导体和良绝缘体。

在实验Ⅱ中，一个带电体在金属容器中引起了带电但却和容器是由空气隔开的，而空气是一种不导电的媒质。这样一种媒质，被认为是传递这些电效应而不导电；这种媒质曾被法拉第称为一种“电介媒质”，而在这种媒质中发生着的作用就称为“感应”。

在实验Ⅲ中，带电容器通过金属丝的媒介而在第二个金属物体上引起了带电。让我们假设金属丝被取走了，而带电的玻璃也从容器中取出并拿到了足够远的地方。第二个物体将仍然显示玻璃式的带电，而容器在玻璃被取走以后则将带有树胶式的电。现在，如果我们使金属丝和这两个物体相接触，传导就将沿着金属丝进行，而两个物体上的电就将全都消失；这表明两个物体上所带的电是相等而异号的。

30．〕实验Ⅴ　在实验Ⅱ中已经指明，如果通过和树胶摩擦而带电的一块玻璃被挂在一个绝了缘的金属容器中，则在容器外面观察到的带电情况并不依赖于玻璃的位置。如果现在我们把和玻璃摩擦过的那块树胶也放入同一容器中而不触及容器，那就会发现容器外面没有电了。由此我们得到结论，树胶所带的电是和玻璃所带的电相等而异号的。通过放入以任何方式起电的随便几个物体，就可以证明容器外面所带的电是由一切电荷的代数和所引起的，这时把树胶式的电算作负电。这样我们就有了把若干物体的电效应加起来而不改变它们所带的电的一种实际的方法。

31．〕实验Ⅵ　准备第二个绝了缘的金属容器B，把带了电的那块玻璃放入第一个容器A中，而把带了电的那块树胶放入第二个容器B中。然后通过实验Ⅲ中那种办法用一根金属丝把两个容器接通。这时一切带电的迹象都将消失。

然后，把金属丝取走，并把那块玻璃和那块树胶从各容器中取出而不触及各容器。这时就会发现A是树胶式地带电的而B是玻璃式地带电的。

现在，如果把玻璃和容器A一起放入一个更大的绝了缘的金属容器C中，那就会发现C的外面并不带电。这就证明A所带的电是和那块玻璃所带的电相等而异号的，而且B所带的电也可以同样被证明为和那块树胶所带的电相等而异号。

于是我们就有了一种方法，可以使一个容器带上和一个带电物体所带的电恰好相等而异号的，而并不改变该物体所带的电；而且我们可以用这种办法使任意数目的容器带上任何种类的恰好相等的电量，从而我们就可以把这个电量取作临时性的单位。

32．〕实验Ⅶ　设容器B带有一个正电量，而我们暂时就把该电量取作1。现在把B放入较大的绝了缘的容器C中而不触及C。这就会在C的外面引起一个正电量。现在让B和C的内表面接触上。这时不会观察到外面电量的任何改变。现在如果把B从C中取出而不触及C，并把它带到足够远的地方，那就会发现B完全放了电，而C却带上了一个单位的正电。

于是我们就有了一种把B的电荷传给C的方法。

现在让B带上单位电荷，把它引入已经带了电的C中，使它和C的内表面相接触，然后把它取走。这时就将发现B又完全放了电，而C的电荷加了倍。

如果重复进行这种过程，那就会发现，不论C在事先带了多大的电荷，不论B是通过什么方式带电的，当B首先被C所完全包围然后和C相接触并最后被取走而并不触及C时，B的电荷就会完全转移到C上，而B则完全不带电了。

这一实验指示了一种使一个物体带上任意倍数的单位电荷的方法。当讲到电的数学理论时我们就会发现，这一实验的结果提供了对理论之正确性的一种精确检验 ^〔4〕 。

33．〕在我们进而研究电力的定律以前，让我们列举已经确立了的事实。

通过把任何带电体系放入一个绝了缘的中空导体容器中，我们可以确定放进去的体系的总电量的性质，而体系的不同物体之间并没有任何电的交通。

容器外面的带电情况，可以通过把容器和一个验电器接通来很灵敏地加以检验。

我们可以假设验电器包括一片金箔，挂在一个带正电而另一个带负电的两个物体之间。如果金箔带了电，它就将向和它带有异号电的那个物体偏转。通过加大两个物体所带的电并提高悬挂装置的灵敏性，电箔所带的一个非常小的电量也可以被检测出来。

当我们开始描述静电计和倍加器时，我们就将发现还有更加灵敏的方法来检验带电情况和检验我们的理论的正确性，但是在目前，我们将假设检验过程是通过把中空容器和一个金箔验电器相连来进行的。

这种方法是由法拉第在他那对电现象之规律的很令人佩服的演示中使用了的 ^〔5〕 。

34．〕Ⅰ．一个物体或体系的总的带电保持不变，除非它从其他物体取得电或向其他物体输送电。

在所有的电学实验中都发现物体上的电是改变的，但也永远发现这种改变是由绝缘欠佳所致，而且当绝缘手段改进了时，电的损失就会减少。因此我们可以断言，放在一种完全绝缘的媒质中的一个物体，它的电量将保持完全恒定。

Ⅱ．当一个物体通过传导而使另一个物体带电时，两个物体的总带电量保持不变；这就是说，一个物体损失多少正电或得到多少负电，另一物体就得到多少正电或损失多少负电。

因为，如果两个物体是关闭在中空容器中的，则任何电的变化都不会被观察到。

Ⅲ．当带电是由摩擦引起的或由任何其他已知方式引起的时，同样数量的正电和负电都将被产生。

因为，整个的体系可以在中空容器中被检验，或者说，起电过程可以在容器本身中进行，而不论体系各部分的带电是如何地强烈，金箔验电器所指示的整个体系的电都永远是零。

因此，一个物体所带的电就是一个可以测量的物理量，而两部分或大部分的电就可以合并，其结果正如当两个量代数地相加时所得到的结果一样。因此我们就可以既作为一种性质又作为一种数量来考虑电，并且可以谈到任何带电的物体“带有某一正的或负的电量”。

35．〕当像我们现在已经作了的那样把电归入物理量一类时，我们必须不要过于匆忙地假设它是或不是一种物质，或假设它是或不是一种形式的能量，或假设它属于任一已知的物理量范畴。我们迄今已经证明的不过是它可以如此地产生或消灭，即当一个闭合曲面中的电量增多或减少时，它的增量或减量必然是通过该闭合曲面进来或出去的。

这种情况对物质是成立的，而且是由所谓“水力学连续性方程”来表示的。

这种情况对热是不成立的，因为通过从某种其他形式的能量到热的转化或从热到某种其他形式的能量的转化，热可以在一个闭合曲面中增多或减少，但却并不通过曲面而进入或逸出。

这种情况对一般的能量也不成立，如果我们承认物体的直接超距作用的话。因为闭合曲面外面的一个物体可以和曲面里面的一个物体交换能量。但是，如果一切表观上的超距作用都是中介媒质的部分和部分之间作用的结果，那就可以设想，当媒质各部分的这种作用的本性已被清楚地了解时，在闭合曲面中的能量有所增多或减少的一切事例中，我们都将可能追索出能量通过曲面而进入或逸出的过程。

然而，却有另一种理由使我们可以有把握地断定，作为一个物理量的电，也就是一个物体的总电量，不是像热那样的一种形式的能量。一个带电体系具有一定数量的能量，而且这个能量可以算出，即把体系各部分的电量和另一个叫做各该部分的“电势”的物理量相乘，求和以后再除以2，就得到体系的能量。“电量”和“电势”这两个量，当乘在一起时就得到“能量”这个量。因此电和能就不可能是属于同一范畴的物理量，因为电只是能的一个因子，另一个因子是“电势” ^〔6〕 。

作为这两个因子之乘积的能量，也可以看成另外若干对因子的乘积，例如

力　　　　　　　　　×力起作用的距离。

质量　　　　　　　　×通过一个高度起了作用的重力。

质量　　　　　　　　×速度平方的二分之一。

压强　　　　　　　　×在该压强下进入一个容器的流体的体积。

化学亲合势　　　　　×以参加化合的电化学当量数为其量度的化学变化。

如果我们有一天居然对电势的本性得到了一种明确的力学概念，我们就可以把这种概念和能量概念结合起来，以确定“电”所应归属的物理范畴。

36．〕在有关这一课题的多数学说中，“电”是被当做一种物质来处理的，但是由于存在当互相结合时就互相抵消的两种电，而我们并不能设想两种互相抵消的物质，电就被区分成了“自由电”和“结合电”。

二流体学说

在所谓“二流体学说”中，一切物体在未带电状态下都被假设为带有相等数量的正电和负电。这些数量被认为是如此的巨大，以致任何起电过程都还不曾把物体内的其中一种电完全取走。按照这种学说，起电过程就在于从物体A中取走某一数量P的正电并把它传给物体B，或是从B中取走某一数量N的负电并把它传给A，或是这些过程的某种组合。

结果就将是，A将比剩下来的正电多带P＋N个单位的负电，而那些剩下来的正电则被假设为处于和等量的负电结合在一起的状态。P＋N这个量就叫做“自由电”，而其余那些电则叫做“结合电”、“潜在电”或“固定电”。

在这种学说的多数论述中，两种电都被称为“流体”，因为它们能够从一个物体传送到另一个物体，而且在导电物体中是极其活动的。流体的其他性质，例如惯性、重量和弹性，并不曾由那些只为了数学目的而使用这一学说的人们赋予电流体。但是流体一词的应用，却把包括并非自然哲学家的许多科学界人士在内的一些俗人引入了歧途。他们紧紧抓住了“流体”一词，认为它似乎是他们在学说的论述中所能理解的唯一名词。

我们将看到，课题的数学处理已由一些用“二流体”学说来表示自己的想法的作者们大大发展了。然而，他们的结果完全是由可以被实验所证明的数据推出的，从而这些结果必然是对的，不论我们是否采用二流体学说。因此，数学结果的实验证实并不是支持或反对这一学说之特定内容的任何证据。

二流体学说的引用，使我们可以把A的带负电和B的带正电看成将会导致相同结果的三种不同过程中的任何一种过程的效应。我们曾经假设这是由从A向B传送P个单位的正电并从B向传送N个单位的负电而引起的。但是，假如有P＋N个单位的正电曾经从A传送到B，或是有P＋N个单位的负电曾经从B传送到A，所得到的A上和B上的“自由电”也将和以上相同，但是A中的“结合电”数量在第二种事例中却将比在第一种事例中为少，而在第三种事例中却将比在第一种事例中为多。

因此，按照这一学说，看来似乎不但可以改变一个物体中的自由电的数量，而且也可以改变结合电的数量。但是从来还不曾在带电物体中观察到可以追溯为物体结合电的数量变化的任何现象。因此，不是结合电没有可观察的性质，就是结合电的数量是不能变化的。其中第一种可能性并不会给单纯的数学家带来任何困难；那种数学家除了吸引和推斥的性质以外并不赋予电流体以任何别的性质，因为他干脆设想两种流体会互相抵消，就像+e和-e那样，从而两种流体的结合将是一个真实的数学零。然而，对那些无法应用“流体”一词而不想到一种物质的人们说来，却很难设想两种流体的结合怎么会没有任何性质，以致向一个物体加入或多或少的结合电将不会以任何方式影响它，不会增加它的质量或重量，也不会改变它的某些别的性质。因此有些人就曾经假设，在每一个起电过程中，有数量恰好相等的两种流体沿着相反的方向被传送，从而任一物体中的两种流体的总量永远是保持不变的。利用这种新定律，他们“力图保持面子”，但是他们却忘了，除了使“二流体”学说和事实相协调并防止它预言并不存在的现象以外，是用不着这种定律的。

单流体学说

37．〕在单流体学说中，除了一点以外每一情况都和在二流体学说中相同；那一点就是，不再假设两种物质在一切方面都相等而相反，而是对其中的一种（通常是负流体）赋予了“普通物质”的性质和名称，而另一种则保留了“电流体”的名称。电流体的粒子被假设为按照距离的平方反比定律而互相推斥，并按照同样的定律吸引普通物质的粒子。物质的粒子被假设为互相推斥并吸引电的粒子。

如果一个物体中的电流体的数量很合适，正足以使物体外的一个电流体粒子受到的物体中电流体的推斥力和受到的物体中物质的吸引力大小相同，则物体被说成是“饱和了的”。如果物体中流体的量大于饱和所需要的量，则多出的部分叫做“多余流体”，而物体则被说成是“过带电的”。如果流体量较少，则物体被说成是“欠带电的”，而使物体饱和所需要的那一部分流体有时叫做“所缺流体”。使一克普通物质达到饱和所需要的电的单位数想必是很大的，因为一克金可以打制成面积为一平方米的金箔，而且它在这种形式下可以带有至少60,000个电单位的负电荷。为了使这样带了电的金箔达到饱和，必须传给它这么多的电流体，因此使全饱和所需要的全部电必然大于这个量。两个饱和物体中的物质和电流体之间的吸引力，被假设为比两部分物质之间的推斥力和两部分电流体之间的推斥力都大不了多少。这种残余力被认为可以用来说明万有引力的作用。

也像二流体学说一样，这种学说解释的东西并不太多。然而它却要求我们假设电流体的质量非常小，以致迄今所能得到的正电荷或负电荷都还不曾可觉察地增大或减小一个物体的质量或重量 ^〔7〕 ，而且迄今也还不能提出充分的理由来说明为什么应该假设由电的超额而引起的是玻璃式的带电而不是树胶式的带电。

一些人有时对这一学说提出一种反驳；他们其实应该更好地想一想。人们曾经说，没有和电相结合的物质粒子互相推斥的说法，是和每一个物质粒子都吸引全宇宙中每一个其他粒子这一确立得很好的事实处于直接抵触中的。假若“单流体”学说是正确的，我们就应该看到各个天体互相推斥。

然而很明显，按照这一学说，假如各天体是由没有和电相结合的物质构成的，它们就将处于最高度的带负电的状态并将互相推斥。我们没有理由相信它们是处子这样高度带电的状态或可以保持在这一状态中的。地球以及它们的吸引力曾经被观察过的一切物体，倒是处于不带电状态中的；这就是说，它们含有正常的电荷，而它们之间的唯一作用就是刚刚提到的那种残余力。然而，引用这种残余力的那种牵强方式，却是对本学说的一种有效得多的反驳。

在本书中，我打算在研究的不同阶段按照更多类别的现象来检验不同的学说。从我这方面来说，我指望根据在介于带电体之间的那种空间中出现的情况的研究来对电的本性得到进一步的认识。这就是法拉第在他的《实验研究》中所遵循的研究模式的本质特点，而随着我的论述的进行，我打算用一种连贯的和数学化的形式来显示法拉第、W. 汤姆孙等人所发展出来的结果，以便我们可以觉察到，什么现象是可以用所有的学说来同样好地加以解释的，以及什么现象指示出每一学说的特殊困难。

带电体之间的力的测量

38．〕力可以用各种办法来测量。例如，其中一个物体可以挂在精密天平的一个臂上，而把一些砝码挂在另一个臂上，直到物体当带电时处于平衡为止。然后，另一个物体可以放在离第一个物体为已知距离的地方，这样，当物体带了电时，它们的吸引力或推斥力就可以增大或减小第一个物体的表观重量。必须在另一臂上增加或减去的重量，当用动力学单位表示出来时就是物体之间的力的量度。这种装置是由W. 斯诺欧·哈里斯爵士应用了的，而且也是在W. 汤姆孙爵士的绝对静电计中被采用了的。见第217节。

有时用一个扭秤更加方便。扭秤中有一个水平的臂，用一条细金属丝或细线悬挂着，从而能够以竖直悬线为轴而左右扭动。物体装在臂的一端并沿切线方向受到力的作用，这样就会使臂绕竖直轴转动，并把悬线扭过一个角度。悬线的扭转模量通过观察臂的振动时间来测量，这时臂的惯量矩是已知的，从而根据扭转角和扭转模量就可以推出吸引力或推斥力。扭秤是由密切耳设计了用来测定小物体之间的万有引力的，而且是由卡文迪什应用于这一目的的。库仑在独立于这些学者而工作时重新发明了它，彻底地研究了它的作用，并且成功地应用它来发现了电力和磁力的定律；而且从那时起，扭秤就一直在必须测量小力的研究中被使用了。见第215节。

39．〕让我们假设，利用这些方法中的任一种，我们可以测量两个带电体之间的力。我们将假设，物体的线度比起它们之间的距离来是很小的，从而测量结果将不会因其中任一物体上的电分布的不一致而有很大的变化，而且我们也将假设，两个物体都在空气中挂在离其他物体很远的地方，以免它们会在那些物体上造成感应带电。

这时就发现，如果二物体之间有一个固定的距离，并分别带有e个和e′个我们的临时电量单位的电荷，则它们将以一个正比于e和e′之积的力而互相推斥。如果e和e′中有一个是负的，就是说，如果有一个电荷是玻璃式的而另一个电荷是树胶式的，则力将是吸引力，但是，如果e和e′都是负的，则力又是推斥力了。

我们可以假设第一个物体A带有m个单位的正电和n个单位的负电，这可以设想是像在实验Ⅴ中那样分别放在物体上的。

设第二个物体B带有m′个单位的正电和n′个单位的负电。

于是，A上m个正单位中的每一个单位将以一个力f推斥B上的m′个正单位中的每一个单位，其总效果将等于mm′f。

既然负电的效应是和正电的效应恰好相等而异号的，A上m个正单位中的每一个单位就将以相同的力f吸引B上n′个负单位中的每一个单位，其总效果将等于mn′f。

同理，A上的n个负单位将以一个力nm′f吸引B上的m′个正单位，并将以一个力nn′推斥B上的n′个负单位。

因此，总的推斥力将是（mm′＋nn′）f，而总的吸引力将是（mn′＋m′n）f。合推斥力将是（mm′＋nn′－mn′－nm′）f或（m－n）（m′－n′）f。现在，m－n＝e就是A上电荷的代数值，而m′－n′＝e′就是B上电荷的代数值，从而合推斥力可以写成ee′f，此处的e和e′两个量永远被理解为采取它们的适当正负号。

力随距离的变化

40．〕既经在固定的距离上确定了力定律，我们可以测量以恒定方式带着电的并放在不同距离处的物体之间的力。直接的测量发现，不论是吸引力还是推斥力，力是反比于距离的平方而变化的；因此，如果f是两个单位电荷在单位距离上的推斥力，则在距离r上的推斥力将是fr^-2 ，而e个单位和e′个单位在距离r上的推斥力的普遍表示式就将是fee′r^-2 。

电量的静电单位的定义

41．〕我们一直用了一个完全任意的标准来作为我们的电量单位，那就是在我们的实验刚刚开始时碰巧被起了电的某一块玻璃上所带的电。现在我们能够根据一种确定的原则来选择一个单位，而为了使这一单位可以属于一套普遍的单位制，我们把它定义得可使f等于1。换句话说：

电量的静电单位是一定数量的正电，当把它放在离一个相等的电量为单位距离处时，它就将以单位的力推斥该电量 ^〔8〕 。

这一单位叫做“静电单位”，以区别于以后定义的电磁单位。

现在我们可以把普遍的电力定律写成简单的形式F＝ee′r^-2 ；

或者说，分别带有e个和e′个单位的电荷的两个小物体之间的推斥力，在数值上等于二电荷的乘积除以距离的平方。

电量静电单位的量纲

42．〕如果［Q］是具体的电量静电单位本身，而e、e′是特定电量的数值；如果［L］是长度的单位，而r是距离的数值；如果［F］是力的单位，而F是力的数值，则方程变为F［F］＝ee′r^-2 ［Q² ］［L^-2 ］；由此即得

这一单位叫做电量的“静电单位”。另一些单位可以为了实用的目的并且在电科学的其他部分被应用，但是在静电学的方程中电量是被理解为以静电单位来量度的；这正如在物理天文学中我们应用一个建筑在引力现象上的质量单位一样，那种单位是不同于常用的质量单位的。

电力定律的证明

43．〕库仑用扭秤做的实验，可以被认为已经在一定的近似程度上确立了力定律。然而，这一种实验却由于若干种干扰因素而成为很困难，而且在某种程度上是不确定的。那些干扰因素必须仔细地被找出并加以改正。

首先，两个带电体相对于它们之间的距离来说必须有其可觉察的线度，以便能够带有足以引起可测量的力的电荷。于是，每一个物体的作用，将对另一物体上的电的分布产生一种影响，从而电荷就不能被认为是均匀分布在表面上或集中在重心上的。但是它的影响必须通过很复杂的考察来算出。然而，这一点已由泊松以一种很能干的方式针对两个球的情况做到了，而且它的考察也由W. 汤姆孙爵士在他的《电像理论》中大大地简化了。见第172～175节。

另一个困难起源于装仪器的盒子的壁上的感生电荷的作用。通过用金属来制造仪器的内表面，这种效应可以被弄成确定的和可以测量的。

一个独立的困难起源于各物体的不完全的绝缘；由于这种不完善，电荷会不断地减少。库仑考察了耗散的规律，并且在他的实验中对这一点进行了改正。

对带电导体进行绝缘的方法，以及测量电效应的方法，自库仑时代以来已经大大改进，特别是由W. 汤姆孙爵士大大改进了。但是库仑的力定律的完全准确性，不是通过任何直接的实验和测量（这些可以用作定律的例证）来确立，而是通过实验Ⅶ所描述的那种现象的一种数学考虑来确立的；那种现象就是，如果使一个带电导体B和一个中空的闭合导体C的内表面相接触，然后把它从C中拿出而不再触及C，则不论C的外表面是以什么方式带电，B都会完全放电。利用精密的验电器，很容易证明在这种操作以后没有任何的电荷留在B上，而根据在第74c、74d节中所给出的数学理论，只有当力随距离的平方而反比变化时才能有这种情况，而假如定律是任何另外的形式则B将是带电的。

电　场

44．〕“电场”就是针对电现象来考虑的带电体附近的那一部分空间。它可以被空气或其他物体所占据，或者也可以是所谓的真空，即我们已经用一切能用的手段从那里撤出了每一种物质的那种空间。

如果一个带电体被放在电场的任何部分，它通常就会对其他物体的电产生一种可觉察的干扰。

但是，如果物体很小，而它的电荷也很小，则其他物体的电将不会受到显著的干扰，而物体的位置也可以被认为是由它的质心来确定。这时，作用在这个物体上的力就将正比于它的电荷，而当电荷变号时力也将反向。

设e是物体的电荷，而F是沿一个确定的方向作用在物体上的力，则当e很小时F是正比于e的，或者说F＝Re，式中R依赖于场中其他物体上的电分布。假如电荷e可以弄得等于1而不致干扰其他物体的带电情况，则我们有F＝R。

我们将把R叫做所给场点上的“合电动强度”（resultant electromotive intensity）。当我们想要表达这个量是一个矢量的事实时，我们将用一个德文花体字母 来代表它。

总电动势和电势

45．〕如果带有小电荷e的那个小物体被从一个给定点A沿着给定的路径移动到另一点B，则它在沿途的每一点上当然都会经受到一个力Re，此处R当然是逐点变化的。设电力对物体作的总功是Ee，则E称为沿路径AB的“总电动势”。如果路径形成一个闭合回路而沿回路的总电动势不等于零，则电不能处于平衡而一个电流将会出现。因此，在“静电学”中，沿任一闭合回路的总电动势必然为零；于是，如果A和B是回路上的两个点，则由A、B二点将回路分成的两条路径上的从A到B的总电动势是相同的，而既然其中任一条路径都可以独立于另一条而变化，沿一切路径从A到B的总电动势就都是相同的。

如果B被取为对一切点而言的参照点，则从A到B的总电动势称为A点的“电势”。它只依赖于A的位置。在数学的考察中，B一般取在离各带电体为无限远处。

一个带正电荷的物体倾向于从正电势较大的地方运动到正电势较小或电势为负的地方，而一个带负电荷的物体则倾向于沿相反的方向而运动。

在一个导体上，电是可以相对于导体而自由运动的。因此，如果一个导体的两部分具有不同的电势，正电就将从具有较大电势的部分运动到具有较小电势的部分，只要电势差继续存在就会一直这样运动。因此，一个导体不能处于电平衡，除非它的每一个点都有相同的电势。这个电势叫做“导体的电势”。

等　势　面

46．〕如果在电场中画出的或假设画出一个曲面，使得面上各点的电势都相同，则该曲面叫做一个“等势面”。

一个限制在这种曲面上的带电质点将没有从曲面的一个部分运动到另一个部分的趋势，因为电势在每一点上都是相同的。因此，一个等势面就是一个平衡面或水准面。

等势面上任何一点处的合力都是沿着该面的法线方向的，而力的量值则使得当从面V过渡到面V′时对单位电荷做的功是V－V′。

任何两个具有不同电势的等势面都不可能相交，因为同一个点不能具有多于一个的电势。但是一个等势面却可以和自己相交，而其相交处永远是平衡点或平衡线。

处于电平衡中的一个导体的表面必然是一个等势面。如果导体所带的电在整个表面上都是正的，则当我们从表面向每一边运动时电势都将减小，从而导体将是被一系列电势较低的等势面所包围着的。

但是，如果（由于外在带电体的作用）导体的某些部分带正电而另一些部分带负电，则整个等势面将包括导体表面本身以及一系列别的曲面，它们沿一些曲线而和导体表面相交，那些曲线区分着正电区域和负电区域 ^〔9〕 。这些曲线将是平衡线，从而放在其中一条曲线上的一个带电质点将不会受到沿任何方向的力。

当一个导体的表面有的地方带正电而有的地方带负电时，则除了该导体以外必然还存在什么别的带电体。因为，如果我们允许一个带正电的质点从表面上带正电的区域开始永远沿着作用在它上面的力的方向而运动，则质点所在处的电势将不断减低，直到质点达到了一个电势比第一个导体的电势为低的带负电的曲面，或是一直运动到无限远处。既然无限远处的电势是零，只有当导体的电势为正时后一情况才是可能发生的。

同样，一个带负电的质点，当从表面的带负电的部分运动开去时，必将达到一个带正电的表面，或是一直运动到无限远，而后一情况也只有当导体的电势为负时才能发生。

因此，如果正电荷和负电荷都存在于一个导体上，场中就必然有另外的物体，其电势和导体电势同号而数值较大，而如果场中只有一个任意形状的导体，则它的每一部分所带的电荷都是和导体电势同号的。

没有包含任何带电体的中空导体容器的内表面是完全不带电的。因为，假如该表面的任一部分是带正电的，则沿着该处力的方向而运动一个带正电的质点必须达到一个电势较低的带负电的曲面。但是整个的内表面具有相同的电势。由此可见它不能带有电荷 ^〔10〕 。

放在容器中并和它接通的一个导体，可以看成是由容器的内表面包围着的。因此这样一个导体没有电荷。

力　线

47．〕由一个永远沿着合强度方向运动的点所描绘出来的曲线，叫做“力线”。它和等势面相正交。力线的性质将在下文加以更充分地说明，因为法拉第曾经用他的力线概念来表示了许多电作用的规律；那些力线是在电场中画出的，而且是指示着各点的方向和强度的。

电　张　力

48．〕既然一个导体的表面是一个等势面，合强度就是垂直于表面的，而且在第80节中即将证明它是正比于电的表面密度的。因此，表面上任何一个小面积上的电就将受到一个力的作用，这个力指向导体的外面并正比于合强度和面密度的乘积，也就是正比于合强度的平方。

这个在导体的每一部分上作为张力而向外起作用的力，将被称为“电张力”。它是像普通的机械张力那样用作用在单位面积上的力来量度的。

“张力”一词曾在若干含糊的意义下被电学家们所应用，而且在数学语言中曾被用为“电势”的同义语。但是，经过对这一名词曾被应用的那些事例的仔细检查，我觉得把所谓张力理解为作用在导体表面或其他地方的每平方英寸上的若干磅的拉力将是和它的用法及机械类例更加一致的。我们将看到，法拉第把这一电张力看成不仅存在于带电表面上而且存在于力线的各点上的那种观念，就导致把电作用看成媒质中的张力现象的一种理论。

电　动　势

49．〕当把电势不同的两个导体用一条细导线连接起来时，电沿导线而流动的那种趋势是用两个物体的电势之差来量度的。因此，二导体之间或二点之间的电势差，就叫做二者之间的电动势。

电动势并不是在一切事例中都可以表示成电势差的。然而那些事例在“静电学”中是不予考虑的。当我们遇到非均匀电路、化学作用、磁体的运动、不相等的温度等等问题时，我们将再来考虑那种事例。

导体的电容

50．〕如果一个导体是绝了缘的，而所有周围的导体则都通过接地而弄成了电势为零，而且，若当导体带有电量E时有电势V，则E和V之比叫做导体的“电容”。如果导体被一个导体容器完全包围而不触及该容器，则内部导体上的电荷将和外部导体之内表面上的电荷相等而异号，而且将等于内部导体的电容乘以二导体的电势差。

集　电　器

两个导体的相对表面由一种绝缘媒质的薄层隔开，这样一个体系叫做一个“集电器”。两个导体叫做“极”，而绝缘媒质叫做“电介质”。集电器的电容正比于相对表面的面积而反比于它们之间的薄层的厚度。一个莱顿瓶是一个以玻璃为绝缘媒质的集电器。集电器（accumulator）有时叫做“电容器”（condenser），但是我宁愿用“电容器”一词来专指不是用来储存电荷而是用来增大其面密度的仪器。

各物体有关静电的性质

电通过物体时所受的阻力

51．〕当一个电荷被传送到一个金属物体的任一部分上时，电就会很快地从高电势的地方向低电势的地方转移，直到整个物体的电势变为相同为止。在普通实验所用的那些金属块的事例中，这种过程是在短得无法观察的时间中完成的，但是在很长、很细的导线的事例中，例如在电报所用的那种导线的事例中，由于导线在电荷通过时的阻力，电势是直到一段可觉察的时间以后才会变成均匀的。

对电荷的通过表现出来的阻力，在不同的物质中是非常不同的，正如在第362、364和367节的那些表中可以看到的那样；那些表将在处理“电流”时再来解释。

所有的金属都是良导体，尽管铅的电阻是铜或银的电阻的12倍，铁的电阻是铜的电阻的6倍。而汞的电阻是铜的电阻的60倍。

许多液体是通过电解而导电的。这种导电模式将在第二编中加以考虑。在目前，我们可以把一切含水的液体和一切潮湿物体都看成导体；它们的导电性能比金属的导电性能差得多，但是它们却不能在一段长得可以观察的时间内对一个电荷进行绝缘。电解质的电阻随温度的升高而降低。

另一方面，不论潮湿或干燥，大气压下的气体却是很接近完全的绝缘体；当电张力很小时，我们迄今还没有关于电借助于普通的传导而从气体中通过的证据。带电体的电荷的逐渐损失，在每一个事例中都可以追溯到支撑物的不完善的绝缘，电不是通过支撑物的物质就是沿着它的表面被传走的。因此，当两个带电体挂得相距较近时，如果它们带的是异号的电，它们的电荷就会比带同号的电时保持得较久。因为，当它们带异号的电时，虽然倾向于使电通过它们之间的空气的那种电动势要大得多，但是却没有可觉察的电荷损失会按这种方式而出现。实际的损失是通过支撑物而发生的，而当物体带同号的电时，支撑物中的电动势是最大的。只有当我们预期损失是由电通过物体之间的空气来进行时，结果才会显得反常。一般说来，电在气体中的通过，是借助于破坏性的放电来进行的，而且在电动强度达到某一定值以前是不会开始的。可以存在于在一种电介质中而刚刚不致引起放电的那种电动强度的值，叫做电介质的“电强度”（electric strength）。当压强从大气压减小到大约三毫米汞高的压强时，空气的电强度就会减小 ^〔11〕 。当压强进一步减低时，电强度就迅速地增大，而当抽空进行到迄今所能做到的最高程度时，产生一个四分之一英寸的火花所需要的电动强度就大于在普通压强下的空气中产生一个八英寸的火花所需要的电动强度。

因此，一个真空就是一种电强度很大的绝缘体；所谓真空是指当我们把所能取走的一切东西都取走以后留在容器中的空间。

氢气的电强度比同压下的空气的电强度小得多。

某些种类的气体当冷却时是特别好的绝缘体，而且W. 汤姆孙爵士曾经在密封的玻璃泡中保持电荷达若干年之久。然而，同样的玻璃在低于水的沸点的温度下却会变成一种导体。

古塔波胶、弹性橡皮、硬橡皮、石蜡和树胶，是很好的绝缘体，古塔波胶在75°F下的电阻约为铜的电阻的6×10¹⁹ 倍。

冰、水晶和凝固了的电解质也是绝缘体。

某些液体，例如石油精、松节油和某些油类，也是绝缘体，但性能比最好的固体绝缘体要差。

电　介　质

介电常数

52．〕一切物体，如果它们的绝缘能力使得当它们被放在两个电势不同的导体之间时作用在它们上的电动势并不会立即使电势简化成一个恒定值，则它们被法拉第称为“电介质”。

由迄未发表的卡文迪什的研究工作可知 ^〔12〕 ，在1773年以前，他就已经测量了玻璃板、树胶板、蜂蜡板和虫胶板的电容，而且已经确定了它们的电容和同样大小的空气层的电容之比。

并不知道这些研究结果的法拉第发现，一个集电器的电容，既依赖于各导体本身的尺寸和相对位置也依赖于二导体之间的绝缘媒质的性质。通过用别的绝缘媒质来代替空气作为集电器的电介质而在其他方面并不改变它，他发现，当用空气和其他气体作为绝缘媒质时，集电器的电容基本上保持相同，但是当用虫胶、硫黄、玻璃等等来代替空气时，电容就按一个比值而增大，该比值对不同的物质是不同的。

利用更精细的实验方法，玻耳兹曼成功地观察到了气体的感应电容在不同压强下的变化。

法拉第称之为“比感本领”（specific inductive capacity）的这一性质，也叫做物质的“介电常数”。它被定义为一个集电器当其电介质为所给物质时的电容和电介质为真空时的电容之比。

如果电介质不是一种好的绝缘质，则很难测量它的感应本领，因为集电器不会在足够长的时间内保持一个可以测量的电荷。但是感应本领肯定不是只限于良好绝缘体才有的一种性质，很可能它在一切物体中都是存在的 ^〔13〕 。

电的吸收

53．〕经发现，当一个集电器包括了某些电介质时，就会发生下列现象。

当集电器已经充了一段时间的电并突然放了电然后又绝了缘时，它就变得按原来的正负而重新充电，但充电的程度较小，于是它就可以再一次又一次地重复放电，而这些放电是逐渐减小的。这一现象称为“残余放电现象”。

瞬时放电显现为永远正比于放电时刻的电势差，而二量的比值就是集电器的真实电容。但是，如果放电叉的接触时间长得包括了几次残余放电，则根据这样的放电来算出的集电器的电容将是太大的。

如果充电后保持绝缘，集电器就会表现出通过导电而损失电荷，但是经发现，损失的速率在开始时的比在以后要大得多，从而如果按开始时出现的情况来推断，则电导率的量值将是太大的。例如，当一条海底电缆受到检测时，它的绝缘性能就会显得是随充电的进行而变好的。

当物体的相对两面保持着不同的温度时，就出现一种类似于热传导的热现象。在热的事例中，我们知道现象依赖于由物体本身所吸收的和放出的热。因此，在电现象的事例中，曾经假设电是被物体的各部分吸收和放出的。然而我们在第326节中即将看到，通过假设电介质在某种程度上为不均匀，就可以解释现象而不必引用关于电的吸收的假说。

所谓的“电吸收”现象并不是物质对电的实际吸收；这一点可以通过当一种物质被一个闭合的、绝了缘的金属容器所包围时用任何方式使该物质带电来加以证实。当物质被充电然后被绝缘时，如果使容器瞬时放电然后使之绝缘，则从来不会由于容器内带电物质的电的逐渐耗散而有任何电荷传给容器 ^〔14〕 。

54．〕这一事实被法拉第用一种说法表达了出来；就是说，不可能用一种电来使物质带有一个绝对的和独立的电荷 ^〔15〕 。

事实上，从已经做过的每一个实验的结果来看，在由一个金属容器所包围的一组

物体中，不论各物体之间以什么方式发生电作用，容器外表面上的电荷都是不会改变的。

喏，假如任何一部分电可以被迫进入一个物体而被物体所吸收或变成潜在的电，或者至少是存在于物体中而并不通过感应途径而和一部分相等而异号的电发生关系，或者，假如它在被吸收以后又可以逐渐显现出来并回返其普通的作用方式，我们就将会发现周围容器上的某种电荷的变化。

既然从来没有发现过这种情况，法拉第就得出结论说，不可能把一个绝对电荷传送给物质，而且，任何一部分物质都不能通过任何的状态变化而生出一种或另一种电，也不能使之成为潜在的电。因此他就把感应看成“在电的最初发展及其后继现象中都是一种本质的功能。”他所说的感应（1298）就是电介质的粒子的一种极化状态，每一个粒子都是一边带正电而另一边带负电，每一个粒子所带的正电和负电都永远正好相等。

破坏性放电 ^〔16〕

55．〕如果电介质的任一点上的电动强度逐渐增大，最后就会达到一个极限，那时会出现通过电介质的突然放电，通常会伴随以光和声，以及电介质的暂时的或永久的破坏。

出现这种情况时的电动强度，是我们所说的电介质之电强度的一种量度。它依赖于电介质的品种，而且在浓密空气中比在稀薄空气中为大，在玻璃中比在空气中为大。但是，在每一个事例中，如果电动势被弄得足够大，电介质就会被击穿而它的绝缘能力就会被破坏，于是就会有一个电流通过它。正是由于这种原因，在任何地方引起无限大的电动强度的电荷分布才是不可能存在的。

电　辉

例如，当一个带有尖端的导体带了电时，建筑在它会保持电荷的假说上的理论就会导致这样的结论：当我们向尖端趋近时，电的面密度就会无限地增大，从而在尖端本身那儿，面密度以及还有合电场强度就将是无限大。假若空气或周围的其他电介质具有无限的绝缘能力，这一结果就会真正出现。然而事实却是，尖端附近的合强度一经达到一定的限度，空气的绝缘能力就会垮掉，于是靠近尖端的空气就会变成一种导体。在离尖端有某一距离处，合强度不足以击穿空气的绝缘，于是电流就会被阻断，而电荷就聚集在尖端附近的空气中。

于是尖端就被一些空气粒子 ^〔17〕 所包围，各粒子和尖端本身带有同号的电荷。尖端附近这种带电空气的效应，就在于使尖端本身处的空气免除一部分极大的电动强度，而假如只有导体是带电的，则空气是会受到那种电动强度的作用的。事实上，带电体的表面不再是很尖的了，因为尖端被一团带电的空气包围了起来，空气团的表面而不是固体导体的表面就可以看成带电的外表面。

假如这一部分空气可以保持静止，带电体就将保持它的电荷，如果不是保持在它自身上，至少也是保持在它的邻域中。但是，带电的空气粒子在电力的作用下可以自由运动，它们倾向于离带电体而远去，因为它们是和带电体带有同一种电的。因此，带电的空气粒子就倾向于沿着力线的方向而运动开去，并向周围带异号电的物体靠拢。当它们离开以后，其他未带电的粒子就占据它们在尖端附近的位置，而既然这些粒子不能把过大的电张力从靠近尖端的粒子那儿隔开，一次新的放电就会发生；在此以后，新带了电的粒子又会离开。依此类推，只要物体还带电，事情就继续进行。

这样，就会引起下列的现象：在尖端上和在尖端附近，有一个稳定的电辉，这起源于在尖端和它附近的空气之间的进行的恒稳放电。

带电的空气粒子倾向于沿着相同的公共方向运动开去，于是就引起一种从尖端开始的空气流；这种空气流包括一些带电的粒子，也许还包括一些被带电粒子带走的其他粒子。通过人为地助长这一电流，我们可以增大这个电辉，而通过阻断这个电流，我们也可以阻止电辉的继续出现。 ^〔18〕

尖端附近的电风有时是很迅速的，但它很快就会失去其速度，于是空气和它的带电粒子就会随大气的一般运动而飘荡，并形成一种不可见的电云。当各带电粒子来到一个导电表面例如一面墙的附近时，它们就会在那个表面上感应出一个和它们自己的电荷相反的电荷，于是就被引向墙壁；但是既然电动势是很小的，它们就可能在墙的附近停留很久，而不是一下子就到达壁面并被放电。于是它们就形成一种粘在导体上的带电氛围，其存在有时可以用静电计探测出来。然而，和通常引起刮风的那些依赖于由温度差所导致的密度差的力比起来，大团带电空气和其他物体之间的作用力是极其微弱的，因此，普通的雷电云的运动的任何可观察的部分都很少可能是由电的原因所引起的。

电通过带电粒子的运动而从一个地方移动到另一个地方，这种过程叫做“电运流”或“运流放电”。

因此，电辉是由电在一小部分空气中的持续通过所引起的；在那一部分空气中，电张力很大，从而就使附近的空气粒子带了电并被形成现象之重要部分的电风所吹走。

电辉在稀薄空气中比在浓密空气中更容易形成，而且当尖端带正电时比当它带负电时更容易形成。正电和负电之间的这一差别以及其他差别，值得想发现有关电的本性的某些东西的人们仔细研究。然而这些差别还没有很满意地和任何已有的理论联系起来。

电　　刷

56．〕电刷是一种现象，可以通过使一个钝端或一个小球带电来产生；这时带电物体产生一个电场，场中的电张力随距离的增大而减小，但不像使用尖端时减小得那样快。电刷包括一些相继的放电，当从小球向空气中散开时它们分成许多枝杈，并终止在带电的空气部分中或终止在某一别的导体上。电刷伴随得有一种声音，其音调依赖于相继放电之间的间隔，而且这时不像在电辉事例中那样存在空气流。

电　火　花

57．〕当在两个导体之间的空间中到处都有很大的张力时，就像在两个球间的距离比它们的半径大不了许多时的那一事例中一样，当出现放电时通常是采取火花的形式；通过这种火花，差不多全部的电都会立即被放掉。

在这一事例中，当电介质的任何一部分已经垮掉时，它沿电力方向的前后两侧的部分就会处于更大张力的状态下，于是那些部分也会垮掉，于是放电就直接通过电介质来进行，正如当在一张纸的边沿上弄一个豁口时沿着纸边作用的一个张力就会使纸从豁口开始裂开，而裂缝有时会散向纸上有弱点的地方一样。电火花也同样是从电张力最初克服了电介质的绝缘性能的那一点开始，并沿着表观上不规则的路径前进的，这样它就会把一些弱点（例如漂浮在空气中的尘埃颗粒）包括进来。

所有这些现象都在不同的气体中很不相同，而在不同密度的同一种气体中也很不相同。在某些事例中，出现发光层和黑暗层的有规则的交替，例如如果电通过一个充有很少量气体的管子，人们就会看到一些光辉的圆片沿着管子的轴线按近似相等地间隔横向排列，它们之间由一些黑暗层分开。如果电流强度被加大，一个新的圆片就会开始出现，它和那些旧的圆片将按较紧的顺序排列起来。在由迦西奥先生所描述的一根管子中 ^〔19〕 ，圆片的光在负电一边是发青的，在正电一边是发红的，而在中部地段则是鲜红色的。

这些以及另外一些放电现象是极端重要的。当它们被更好地了解了时，它们很可能在气体及充满空间的媒质的本性方面以及在电的本性方面带来很大的光明。然而，在目前，它们还必须被认为是处于电的数学理论的范围之外的。

电气石的电现象 ^〔20〕

58．〕电气石的以及其他矿物的某些晶体，具有可以称之为“电极性”的一种性质。

假设一个电气石晶体具有均匀的温度，而且表观地看来在表面上并没有带电。现在把它的温度升高，而晶体仍处于绝缘状态。这时就会看到它的一端带正电而另一端带负电。用一个火焰或其他手段把这种表观带电现象从晶体表面上消除，然后，如果再把晶体加热一些，同样的带电现象就又会出现，但是如果晶体被冷却，加热时带负电的一端就会带正电。

这些带电现象是在晶轴的两端观察到的。有些晶体一端呈六面角锥形而另一端呈三面角锥形。在这些晶体中，当晶体被加热时呈六面角锥形的一端就带正电。

W. 汤姆孙爵士假设这些以及其他一些半多面式晶体的每一部分都有确定的电的极性，其强度依赖于温度。当晶体表面扫过一个火焰时，表面上的每一部分都会起电到一定的程度，以致对一切的外部各点来说，正好足以抵消内在极性的影响。于是晶体就没有任何外部的电作用，也没有改变其带电方式的任何倾向。但是如果它被加热或被冷却，每一晶体粒子的内部极化就会改变而不再能被表面上的电所抵消，于是就出现一个合外部作用。

本论著的计划

59．〕在本书中，我打算首先解释普通的电作用理论。这种理论把电作用看成只依赖各带电体和它们的相对位置，而并不考虑可以出现在中间媒质中的任何现象。用这种办法，我们将建立平方反比定律、势论，以及拉普拉斯的和泊松的方程。其次我们将考虑一个带电导体组的用一组方程联系起来的电荷和电势，各方程的系数在我们现有数学方法不能适用的那些事例中可以被假设为由实验来确定，而由这些方程，我们将确定在不同的带电体之间作用着的机械力。

然后我们将考察某些普遍定理；利用这些定理，格林、高斯和汤姆孙曾经指示了求解电分布问题的条件。这些定理的一个结果就是，如果泊松方程被任何一个函数所满足，而且这个函数在每一导体的表面上具有该导体的电势的值，则这个函数就代表每一个点上的体系的实际电势。我们也将导出一种方法来找出可以有精确解的那些问题。

在汤姆孙定理中，体系的总能量用在各带电体之间的整个空间中求的某量的积分表示了出来，也用只在带电表面上求的积分表示了出来。于是这两个表示式的相等就可以物理地加以解说。我们可以把带电体之间物理关系或是设想为中间媒质的状态的结果，或是把它设想为带电体之间一种直接的超距作用的结果。如果我们采用后一种观念，我们就可以确定作用定律，但是我们却绝不能进一步思索作用的原因。另一方面，如果我们采用通过媒质的作用的观念，我们就会被引导着来探索媒质之每一部分中的作用的本性了。

由定理可见，如果我们应该到电介媒质的不同部分中去寻求电能的存身之处，任一小部分媒质中的能量就必将依赖于该处合电动强度的平方乘以一个叫做媒质之比感本领的系数。

然而，当从最普遍的观点来考虑电介质的理论时，一个更好的作法却是把任意点上的电动强度和该点上的媒质的电极化区分开来，因为这些有向量虽然是互相联系着的，但在某些固体物质中却不是沿着相同的方向的。单位体积的媒质电能量的最普遍表示式，就是电动强度和电极化之积乘以二者夹角的余弦的二分之一。在所有的流体媒质中，电动强度和电极化都是同方向的和具有恒定比值的。

如果我们按照这一假说来计算存在于媒质中的总能量，我们就将发现它等于按照直接超距作用假说而求得的由各导体的电荷所引起的能量。因此这两种假说在数学上是等价的。

现在，如果我们根据把所观察到的带电体之间的机械作用看成通过并借助于媒质而进行的那一假说来着手考察媒质的机械状态，我们就会像在一个物体通过绳子的张力或棍子的压力而对另一物体作用以力的那种习见的例子中一样，发现媒质必然处于一种机械胁强的状态之中。

正如法拉第所指出的那样 ^〔21〕 ，这种胁强的本性就在于，一个沿力线方向的张力和一个沿一切垂直于力线的方向的相等压力相结合。这些胁强的量值正比于单位体积的电能量，或者换句话说，正比于合电动强度的平方乘以媒质的比感本领。

这种胁强分布，是唯一可以和观察到的对各带电体的机械作用相一致而且也和观察到的各带电体周围流体电介质的平衡相一致的一种分布 ^〔22〕 。因此，我曾经想到，假设这种胁强状态的实际存在并追索这一假设的推论，是科学程序中的有保障的一步。由于发现电张力一词是在几种含糊不清的意义下被使用的，我曾经力图把它的应用限制在我认为其中某些应用过它的人们所曾设想的那种意义中，也就是用它来指媒质中导致带电体的运动并当不断增大时导致破坏性放电的那种胁强状态。在这种意义下，电张力就和一根绳子中的张力属于同一种类并用相同的方式来量度，而可以禁受某一张力而不能禁受更大张力的电介媒质就可以被说成有一定的强度，其意义正和一根绳子被说成有一定的强度时的意义相同。例如，汤姆孙曾经发现，在出现一个火花之前，常压常温下的空气可以经受住一个每平方英尺9600格令重的电张力。

60．〕根据电作用不是物体之间的直接超距作用而是借助于物体间的媒质来发生的作用的这种假说，我们已经推知这种媒质必然处于一种胁强状态中。我们也确定了胁强的特性，并把它比拟成了可以出现在固体中的那些胁强。沿着力线存在的是张力，而垂直于力线存在的是压力，各力的数值相等，而且每个力都正比于该点的合电动强度的平方。确立了这些结果，我们就作好了准备，可以迈出另外一步并对电介媒质的电极化的本性形成一个概念了。

当一个物体的元体积在相对的两面上获得相等而相反的性质时，它就可以说是被极化了。内部极性的概念可以用永磁体的例子来最好地加以研究，而且将在我们进而处理磁性时再来更详细地加以解释。

电介质的一个元体积的电极化是一种受迫状态；媒质被电动势的作用推入这种状态中，而当电动势取消时这种状态也不复存在。我们可以把它设想为是由我们称之为电位移的东西构成的，而电位移则由电动强度所引起。当电动势作用在一种导电媒质上时，它就在媒质中引起一种电流，但是，如果媒质是不导电的，或者说是一种电介质，电流就不能｛长久地｝流过媒质，而电就只能在媒质内部沿着电动强度的方向发生位移；这种位移的大小依赖于电动强度的量值，从而如果电动强度增大或减小，则电位移将按相同的比例增大或减小。

位移的数量用当位移从零增大到它的实际大小时穿过单位面积的电量来量度。因此，这就是电极化的量度。

电动强度产生电位移的作用和普通机械力产生弹性体之位移的作用之间的类似性是如此的明显，以致我曾经冒昧地把电动强度和对应电位移之比称为媒质的电弹性系数。这个系数在不同的媒质中是不同的，而且反比于每一媒质的比感本领而变化。

电位移的变化显然就构成电流 ^〔23〕 。然而这种电流只有在电位移变化的过程中才能存在，而既然电位移不能超过一个一定的值而不引起破坏性的放电，这种电流也就不能像导体中的电流那样不受限制地沿着相同的方向继续流动。

在电气石和另一些热电晶体中，或许有一种电极化状态存在着；它依赖于温度，但不需要一个外电动强度来引起它。假如一个物体的内部是处于一种电极化的状态中的，它的外表面就将以一种方式逐渐变成带电的，以便在物体外面的所有各点上把内极化的作用中和掉。这种外表面上的电荷不能用任何普通的方法来探测，也不能用普通的使表面电荷放电的方法来消除。因此，物质的内极化将根本无法被发现，除非可以通过温度变化之类的方法来使内极化的数量增大或减小。这时外电荷将不再能够中和内极化的外部效应，从而一种表观电荷就会被观察到，正如在电气石的事例中那样。

如果一个电荷e被均匀地分布在一个球的表面上，则球周围媒质中任一点上的合强度和电荷e除以该点到球心距离的平方成正比。按照我们的理论，这一合强度是和一个沿从球心向外的方向的电位移相伴随的。

如果现在我们画一个半径为r的同心球面，则通过这一球面的全部位移E将正比于合强度和球面积的乘积。但是合强度正比于电荷e而反比于半径的平方，而球面积正比于半径的平方。因此总的位移量E就正比于电荷e而和半径无关。

为了确定电荷e和通过任一球面移动出去的电量E之间的关系，让我们考虑当移动量从E增大到E＋δE时对介于两个同心球面之间的媒质做的功。如果V₁ 和V₂ 分别代表这些球面之内和之外的电势，则引起所增位移的电动势是V₁ －V₂ ，从而在增大移动量时所消耗的功就是（V₁ －V₂ ）δE。

如果我们现在令内球面和带电球的表面相重合并使外球面的半径变为无限大，则V₁ 变成球的电势V而V₂ 变成零，于是在周围媒质中做的总功就是VδE。

但是，根据普通的理论，在增加电荷时作的功是Vδe，而如果像我们所假设的那样，这个功是用来增大了位移，就有δE＝δe，而既然E和e同时变为零，就有E＝e。或者说：

通过和带电球同心的任一球面向外的电位移，等于球上的电荷。

为了确定我们关于电位移的概念，让我们考虑一个集电器，由两个导体平板A和B以及中间夹着的一层电介质C所构成。设W是一根连接A和B的导线，并且让我们假设在电动势的作用下有一个正电量Q从B沿导线传到了A。A上的正电和B上的负电将产生一个从A向B在电介质层中作用着的电动势，而这个电动势将在电介质中引起一个从A向B的电位移。这个电位移的数量，用被迫通过把电介质分成两部分的一个假想截面的电量来量度；这一数量按照我们的理论将恰好是Q。请参阅第75、76、111节。

因此就看到，在一个电量Q沿着导线被电动势从B传送到A从而通过导线的每一截面的同时，同样的电量会由于电位移而通过电介质的每一截面从A运动到B。

电在集电器放电时的移动将是沿相反方向的。在导线中，放电将是Q从A到B，而在电介质中，电位移将消退，从而一个电量Q将通过每一截面而从B运动到A。

因此，充电或放电的每一事例都可以看成一种沿闭合回路的运动，使得在回路的每一截面上都有相同的电量在相同的时间内通过，而且这不仅在传导电路中是如此（这一点是早已公认的），而且在通常认为电被积累在某些地方的那些事例中也是如此。

61．〕于是我们就得到我们所考查的这种理论的一个很惊人的推论，那就是，电的运动像一种不可压缩的流体的运动一样，使得一个假想的固定闭合曲面中的总量永远保持相同。初看起来，这一结果显得和一个事实直接抵触，那就是我们可以给一个导体充电然后把它引入闭合曲面之内。但是我们必须记得，普通的理论并不顾及我们已经考虑了的电介质中的电位移，而是只把它的注意力限制在导体和电介质的分界面的带电现象上的。在带电导体的事例中。让我们假设电荷是正的，于是，如果周围的电介质向各方面延伸到闭合曲面以外，那就会出现电极化，伴随以整个闭合曲面上从内向外的电位移，而在该曲面上计算的位移的面积分就将等于曲面内的导体上的电荷。

于是，当带电导体被移入闭合曲面之内时，立刻就会有一个等于导体电荷的电量从内向外通过该曲面，从而曲面内的总电量就保持不变。

电极化的理论将在第五章中加以更详细的讨论，而且它的一个机械例证将在第334节中被给出，但是这种理论的重要性却只有当我们进入电磁现象的研究时才能得到充分的理解。

62．〕这种理论的特点是：

带电时的能量存在于电介媒质中，不论媒质是固体、液体还是气体，是浓密的还是稀薄的，甚至也可以是所谓的真空，如果它还能传送电作用的话。

任何媒质部分中的能量，是以一种叫做电极化的胁变状态的形式被储存的，电极化的数量依赖于空间中的合电动强度。

作用在一种电介质上的电动势，会引起我们所说的电位移，强度和位移之间的关系在最普遍的情况下属于我们在以后当处理导电问题时即将考虑的那一种，但是在那些最普遍的事例中，位移却和强度同方向，而且在数值上等于强度乘以 此处K是媒质的比感本领。

由电极化引起的每单位电介质体积的能量，等于电场强度和电位移的乘积的一半，如果必要则乘以二者方向之间的夹角的余弦。

在液体电介质中，电极化伴随以沿电感线方向的一种张力，以及沿和电感线相垂直的一切方向的一种相等的压力，单位面积上的张力或压力在数值上等于同一位置上的单位体积中的能量。

我们所设想的可以由电介质体积划分成的任一体积元的表面，必须被设想为带电的，而表面任一点上的面密度则在量值上等于向内计算的通过表面上该点的位移。如果位移是沿正方向的，则面积元的正面将带负电荷而其反面将带正电荷。当相邻的体积元被考虑在内时，这种表面电荷通常将互相抵消，只有在电介质带有内部电荷的地方或在电介质的表面上是例外。

不论电是什么，不论我们怎样理解电的运动，我们称之为电位移的这种现象都是一种电的运动，其意义和电量通过导线的传送是一种运动的那种意义相同；其唯一的不同就是，在电介质中，有一种我们称之为电弹性的力，它反对着电位移而起作用，并当电动势被取消时迫使电荷返回原处；而在导线中，电弹性则一直是退让的，从而阻力就不是依赖于从它的平衡位置上被移动了的总电量，而是依赖于在给定的时间内通过导体的一个截面的电量。

在每一事例中，电的运动都服从和不可压缩流体的运动所服从的条件相同的条件，那就是，在任何时刻，有多少电从一个任意的给定闭合曲面中流出，就有多少电流进该曲面中来。

由此可以推知，每一电流都必然形成一个闭合的回路。这一结果的重要性，当我们研究电磁现象的定律时就会被看到。

既然正如我们已经看到的那样，直接超距作用的理论和借助于媒质的作用的理论在数学上是等同的，实际的现象就既可以用这种又可以用那种理论来加以解释，如果当出现任何困难时就引用适当的假说的话。例如，莫索提曾经根据普通的吸引力学说导出了电介质的数学理论，他所用的方法只是在研究中对一些符号作出了电学的而不是磁学的诠释，而利用那些符号，泊松曾经根据磁流体的学说导出了磁感应的理论。莫索提假设在电介质内部存在一些小的导电单元，它们的相对的表面可以通过感应而带异号的电，但就整体来看却不能失去和获得电，因为它们彼此之间是由一种不导电的媒质绝了缘的。这种电介质理论是和电的定律相协调的，从而可能实际上是对的。如果它是对的，一种电介质的比感本领就可以大于但不能小于真空的比感本领。迄今还没有发现比感本领小于真空比感本领的一种电介质的实例，但是假如发现了这种实例，莫索提的物理学说就必须被放弃，尽管他的公式将仍然准确而只将要求我们改变其系数的正负号。

在物理科学的许多部门中，人们发现一些形式相同的方程可以应用于肯定有着不同本性的一些现象，例如电介质中的电感应，导体中的电传导，以及磁感应。在所有这些事例中，强度和它所引起的效应之间的关系都是用一组种类相同的方程来表示的，因此，当其中某一课题中的一个问题已经解决时，该问题及其解就可以翻译成其他课题的语言，而新形式下的结果将仍然是对的。

第二章　静电的初等数学理论

作为一个数学量的电量的定义

63．〕我们已经看到，带电体的性质是这样的：一个物体上的电荷可以等于另一物体上的电荷或等于两个物体上的电荷之和，而且，如果两个物体带有相等而相反的电荷，则当把它们一起放在一个绝了缘的闭合导电容器中时就对外面的物体没有任何电影响。我们可以把一个带电体描述为带有一定数量的电荷，用e来代表；这样就能够用一种简明而自治的方式来表达所有上述的结果。当带的是正电时，也就是说，按照通常的约定是玻璃式的电时，e将是一个正量。当带的是负电即树胶式的电时，e将是负的，而量-e就既可以诠释为玻璃电的一个负量，又可以诠释为树胶电的一个正量。

把两个相等而异号的电荷e和-e加在一起的效果就是用零来表示的一个无电荷的状态。因此我们可以把一个不带电荷的物体看成虚拟地带有其量值不确定的相等而相反的电荷，并把一个带有电荷的物体看成带有不等量的正电和负电，而这些电荷的代数和就构成所观察到的电荷。然而很显然，看待一个带电体的这种方式完全是人为的，而且可以比拟为把一个物体的速度看成由两个或多个不同的速度合成的那种观念，这些不同速度中的任何一个速度都不是物体的实际速度。

关于电荷密度

三维空间中的分布

64．〕定义　空间一点上的电荷体密度就是以该点为心的一个球中的电量和球的体积在半径无限减小时的极限比值。

我们将用符号ρ来代表这个比值，ρ可以为正或为负。

在一个表面上的分布

理论的和实验的结果都表明，在某些事例中，一个物体的电荷完全是在表面上的。表面任何一点上的密度，如果按上述的方法来定义就将是无限大。因此我们采用一种不同的方法来量度面密度。

定义　一个表面上某一给定点的电荷密度就是以该点为心的一个球中的电荷和该球所包围的表面的面积在半径无限减小时的极限比值。

我们将用符号σ来代表面密度。

把电假设为一种物质性流体或一组粒子的那些作者们在这种情况下不得不假设电在表面上的分布是采取有一定厚度θ的薄层的形式的，薄层中的密度是ρ₀ ，或者说是起源于尽可能靠近的各粒子的那一ρ值。很显然，按照这种理论，就有ρ₀ θ＝σ。按照这一理论，当σ为负时，厚度为θ的某一薄层中是完全没有带正电的粒子而只剩下带负电的粒子的，或者，按照单流体学说就是只剩下“物质”的。

然而却没有任何实验证据表明带电层具有任何厚度，或表明电是一种流体或若干粒子。因此我们宁愿不引用层厚度的符号而只用一个特定的符号来代表面密度。

在一条线上的分布

有时假设电分布在一条线上，即分布在一个我们忽略其粗细的细长物体上，是很方便的。在这种事例中，我们可以把任一点的线密度定义为一个线元上的电荷和该线元长度当线元无限缩短时的极限比值。

如果λ代表线密度，则一条曲线上的总电量是e＝∫λds，式中ds是曲线元。同理，如果σ是面密度，则曲面上的总电量是e＝∬σdS，式中dS是面积元。

如果ρ是空间任一点上的体密度，则某一体积中的总电量是e＝∭ρdxdydz，式中dxdydz是体积元。在每一事例中，积分限是所考虑的曲线、曲面或空间部分的界限。

很显然，e、λ、σ和ρ是一些不同种类的量，每一个量都比前一个量低一次空间量纲。因此，如果l是一条线，则e、lλ、l² σ和l³ ρ将是同一类量，而如果［L］是长度的单位，而［λ］、［σ］、［ρ］是不同种类的密度的单位，则［e］、［Lλ］、［L² σ］和［L³ ρ］将各自代表电量的单位。

电量单位的定义

65．〕设A和B是相距为一个单位的两个点，设使其线度比距离AB小得多的两个物体带上相等的正电量并把它们分别放在A点和B点上，并设电荷恰好使二物体相互推斥的力等于在第6节中量度的那个力的单位。这时每一个物体上的电荷就被说成是电量的单位 ^〔24〕 。

如果B点上物体所带的电荷是负电量的一个单位，既然物体之间的作用应该反向，我们就应该得到等于单位力的一个吸引力。如果A的电荷也是负的，并等于1，则力将是推斥力，并等于1。

既然任何两部分电量之间的作用不受其他部分的存在的影响，A处e单位的电量和B处e′单位的电量之间的推斥力就是ee′，这时AB等于1。参阅第39节。

带电体之间的力的定律

66．〕库仑已用实验证明，线度小于彼此之间的距离的带电体之间的力，和距离的平方成反比。因此，相距为r的带有电量e和e′的两个这样的物体之间的推斥力，就是

我们将在第74c、74d、74e节中证明，这条定律是和观察到的一件事实相容的唯一定律；那事实就是，一个导体，当放在一个闭合中空导体的内部并和它相接触时，将失去其所有的电荷。我们关于距离的平方反比定律之精确性的信念，可以认为是建筑在这一类的实验上而不是建筑在库仑的直接测量结果上的。

两个物体之间的合力

67．〕为了计算两个物体之间的合力，我们可以把其中每一个物体都分成体积元，并考虑第一个物体的每一个体积元中的电量和第二个物体的每一个体积元中的电量之间的推斥力。这样我们就应该得到一系列的力，其个数等于我们把两个物体分成的体积元个数的乘积，而且我们应该按照静力学的法则把这些力的效应合并起来。例如，为了求出沿x方向的分力，我们将必须求出六重积分

的值，式中x、y、z是第一物体中一点的坐标，而该点处的电荷密度是ρ，而且x′、y′、z′和ρ′，是适用于第二物体的各个对应的量，而积分是先在一个物体上然后在另一个物体上计算的。

一点上的合强度

68．〕为了简化数学手续，不考虑一个带电体对另一任意形状的带电体的作用而考虑它对一个无限小物体的作用是方便的；那个无限小的物体带有无限小的电量，并位于电作用所能达到的空间中的任一点上。通过使这一物体上的电荷成为无限小，我们使它对第一个物体上电荷的干扰作用成为不明显的了。

设e是小物体的电荷，设当它位于点（x、y、z）上时作用在它上的力是Re，并设力的方向余弦为l、m、n，这时我们就可以把R叫做点（x、y、z）上合电强度。

如果用X、Y、Z来代表R的分量，就有X＝Rl，Y＝Rm，Z＝Rn。

在谈论一点上的合电强度时，我们不一定是意味着真有任何的力在那儿作用着，而只不过是说，假如把一个带电体放在那儿，它就会受到一个力Re的作用，此处e是物体的电荷 ^〔25〕 。

定义　任意点上的合电强度就是将会作用在一个带有单位正电荷的小物体上的力，假如它被放在该点上而并不扰乱实际的电量分布的话。

这个力不但倾向于推动一个带有电荷的物体，而且倾向于推动物体中的电，使得正电倾向于沿着R的方向而运动，而负电则倾向于沿着相反的方向而运动。因此R这个量也叫做点（x、y、z）上的“电动强度”。

当我们想要表示合强度是一个矢量的事实时，我们将用德文花体字母 来代表它，如果物体是一种电介体，则按照本书所采用的理论，电将在物体内发生位移，使得被迫沿着 的方向而运动并通过垂直于 的固定单位面积的电量是 式中 是电位移， 是合强度，而K是电介质的比感本领。

如果物体是一个导体，则约束状态是不断地退让的，于是一个传导电流就会被产生，并且一直保持下去，只要 还作用在物体上。

电强度的线积分，或沿一个曲线弧的电动势

69．〕沿一条曲线上给定弧AP的电动势，在数值上由电强度对从弧的起点A移动到弧的终点P的一个单位正电荷所将做的功来量度。

如果S是从A量起的弧的长度，而合强度R在曲线的任一点上和沿正方向画出的切线夹一个角ε，则在沿着弧元ds的运动中对单位电荷做的功将是Rcosεds，而总的电动势E将是 式中的积分从弧的起点算到弧的终点。

如果我们利用强度的分量，则表示式变成

如果X、Y和Z恰足以使Xdx＋Ydy＋Zdz是x、y、x的一个函数-V的全微分，则有

式中的积分是按任意的方式从点A算到点P的，不论是沿着所给的曲线还是沿着A和P之间的任何别的曲线计算都可以。

在这种情况下，V是空间中一点的位置的一个标量函数；就是说，当我们知道了点的坐标时，V的值就是确定的。而且这个值不依赖于各坐标轴的位置和方向。参阅第16节。

论点的位置的函数

在以后，当我们把一个量说成点的位置的函数时，我们的意思就是说，对于点的每一个位置，函数都有一个确定的值。我们并不是意味着这个值永远可以用相同的公式针对所有的空间点表示出来，因为它可以在一个给定曲面的一侧用一个公式来表示，而在该曲面的另一侧则用另一个公式来表示。

论势函数

70．〕每当力起源于一些吸引力和推斥力，而它们的强度是到任何一些点的距离的函数时，量Xdx＋Ydy＋Zdz就是一个全微分。因为，如果r₁ 是从点（x，y，z）到其中一个点的距离，而R₁ 是那个推斥力，则有 Y₁ 和Z₁ 的表示式也相似，于是就有X₁ dx＋Y₁ dy＋Z₁ dz＝R₁ dr₁ ；而既然R₁ 只是r₁ 的函数，R₁ dr₁ 就是r₁ 的某一个函数-V₁ 的全微分。

同理，对于从一个距离为r₂ 的中心作用来的别的力R₂ ，也有

X₂ dx＋Y₂ dy＋Z₂ dz＝R₂ dr₂ ＝-dV₂ 。

但是X＝X₁ ＋X₂ ＋…，而Y和Z也按同样方式合成，故有

Xdx＋Ydy＋Zdz＝-dV₁ －dV₂ －…＝-dV。

这个量的积分，在它在无限远处为零的条件下，叫做“势函数”。

这一函数在吸引力理论中的应用，是由拉普拉斯在计算地球的引力时引入的。格林在他的《论数学分析对电学的应用》一文中赋予了它以“势函数”的名称。独立于格林而工作的高斯也用了“势”这个词。克劳修斯和另一些人用“势”这个名词来指当使两个物体或体系互相分开到相距无限远时所做的功。我们将遵循这个词在一些晚近英文著作中的用法，并通过采用W. 汤姆孙爵士所给出的下列定义来避免歧义。

势的定义　一点上的势就是电力将对一个单位正电荷所做的功，如果该电荷被放在该点上而并不扰乱电的分布，并从该点被带到无限远处的话；或者换句话说，就是为了把单位正电荷从无限远处（或从势为零的任何地方）带到所给之点时必须由外力所做的功。

用势来表示的合强度及其分量

71．〕既然沿任意弧AB的总电动势是E_AB ＝V_A －V_B ，如果我们取ds作为AB，就得到分解到ds方向上的强度 于是，通过逐次假设ds平行于各坐标轴，我们就得到

我们将用德文字母 来代表量值为R而分量为X、Y、Z的强度本身。

导体内部各点的势是相同的

72．〕导体就是当它里边的电受到电动势的作用时就允许那些电从物体的一个部分运动到任何其他部分的那种物体。当电处于平衡时，不可能有任何电动强度作用于导体内部。因此在导体所占的全部空间中都有R＝0。由此即得 从而对于导体的每一个点都有V＝C，式中C是一个常量。

既然在导体物质内部的一切点上势都是C，C这个量就叫做“导体的势”。C可以定义成为了把一个单位的电从无限远处带到导体上必须由外力做的功，这时假设电的分布并不被单位正电的存在所扰乱 ^〔26〕 。

在第246节中即将证明，一般说来，当两个不同种类的导体相接触时，一个电动势就通过接触面而从一个导体作用到另一导体，使得当它们处于平衡时后一导体的势就高于前一导体的势。因此，在目前，我们将假设我们的一切导体都是用相同的金属做成的，并假设它们的温度也是相同的。

如果导体A和B的势分别是V_A 和V_B ，沿一条连接A和B的导线的电动势将是V_A －V_B ，其方向为AB；这就是说，正电将倾向于从势较高的导体过渡到另一个导体。

在电的科学中，势和电量的关系正如流体静力学中压强和流体的关系或热力学中温度和热量的关系一样。电、流体和热倾向于从一个地方过渡到另一个地方，如果第一个地方的势、压强或温度比第二个地方的要高的话。一种流体肯定是一种实物，热则同样样肯定地不是实物，因此，虽然我们可以从这种的类比在对电学量之间的形式化关系形成一些清楚的概念方面得到帮助。我们却必须小心，不要让这一或那一类例引导我们设想电是一种像水一样的实物，或是像热一样的骚动状态。

带电体系所引起的势

73．〕设有一单独带点质点，带有一个电量e，设r是点（x′，y′，z′）到该质点的距离，则有

设有任意数目的带点质点，其坐标为（x₁ ，y₁ ，z₁ ）、（x₂ ，y₂ ，z₂ ）等等，而其电荷为e₁ 、e₂ 等等，并设它们到点（x′，y′，z′）的距离为r₁ 、r₂ 等等。则体系在（x′，y′，z′）上的势将是 设一个带电体内一点（x, y, z）上的电荷密度为ρ，则由此物体所引起的势是 式中 积分遍及整个物体。

论平方反比定律的证明

74a．〕　带电体之间的力反比于距离的平方这一事实，可以认为是由库仑用扭秤作的直接实验所确立的。然而，我们从这种实验导出的结果，必须被认为有一个误差，这依赖于每一次实验的或然误差，而且，除非操作者的技巧非常高明，否则用扭秤作的一次实验的或然误差是相当可观的。

力定律的一种准确得多的验证可以从和在第32节中描述的实验（实验Ⅶ）相似的实验推得。

卡文迪什在他迄未发表的关于电的著作中已使定律的证据依赖于这种实验。

他把一个球固定到了一个绝缘支柱上，并利用玻璃棒把两个半球固定到了两个木架上，木架用铰链装在一个轴上，从而把两个木架合在一起时，两个半球就形成和第一个球同心的一个绝了缘的球壳。

然后，借助于一条短导线，可以把球和球壳接通；导线上结着一条丝线，从而导线可以被取走而并不引起仪器的放电。

在球和半球接通的情况下，他用一个莱顿瓶给两个半球充了电（莱顿瓶的势事先用一个静电计来测出），并立即借助于丝线把连接导线拉了出来；他取走了各半球并使它们放了电，然后用一个通草球静电计检验了内球的带电情况。

通草球静电计在当时（1773年）被认为是最精密的验电器，它没有探测到内球带电的任何迹象。

然后卡文迪什就把早先传给各半球的电荷的一个已知部分传给了内球，并再次用他的静电计检测了内球。

于是他发现，内球在最初实验中所带的电荷必然小于整个仪器的电荷的 因为假如它更大一些，它就会被静电计所测出。

然后他计算了内球上的电荷和两个半球上的电荷之比，所根据的假说是推斥力反比于距离的一个乘幂。其幂数稍异于2；他发现，假如这个差数是 内球上就会有一个电荷。等于整个仪器的电荷的 从而是能够被静电计探测出来的。

74b．〕　这种实验近来曾经以一种稍为不同的方式在卡文迪什实验室中被重作。

两个半球被固定在一个绝缘的支柱上，而内球则用硬橡胶环固定在两半球内的适当位置上。利用这种装置，内球的绝缘支架就永远不会受到任何可觉察的电力的作用，从而就永远不会被充电，因此电沿着绝缘体表面而爬行的影响就完全被消除了。

两半球不是在检测内球的势之前被取走，而是向地球放了电。内球上给定电荷对静电计的影响不像两半球被取走时那样大，但是这种缺点却小于一个优点，那就是导体容器对一切外来的电干扰提供了完美的屏障作用。

用来连接内球和外壳的那条短导线固定在一个小的金属圆片上；这个圆片形成外壳上的一个小孔的盖子，使得当导线和盖子用一根丝线被拉起来时，静电计的电极就可以从小孔中伸进去，达到内球上。

静电计就是在第219节中描述的汤姆孙象限静电计。静电计的外壳和一个电极的外壳永远是接地的，而检测电极也接地，直到外壳的电已经放掉时为止。

为了估计外壳上的原始电荷，把一个小的黄铜球放在了离外壳相当远的绝缘支架上。

实验操作如下：

外壳通过和一个莱顿瓶连接而充电。

小球接地，以通过感应使它带一个负电荷，然后使它保持绝缘。

内球和外壳之间的连接导线利用一根丝线被取掉。

然后外壳被放电，并保持接地。

检测电极和地断开，并通过外壳上的小孔和内球接触。

对静电计的任何最小的影响都没有被观察到。

为了检验仪器的灵敏性，外壳的接地被断开，而使小球向地球放电。于是静电计｛它的检测电极一直和内球接触着｝就显示了一个正的偏转D。

黄铜球上的负电荷约为外壳原有电荷的 而当外壳接地时铜球在它上面感应出来的电荷约为铜球电荷的 因此，当铜球接地时，静电计所指示的外壳的势约为原势的

但是，假如推斥力曾经是按r^q-2 而变化的，则由第（58）页上的方程（22）可知内球的势将为外壳的势的-0.1478q倍。

因此，如果±d是可能观察不到的静电计偏转的最大限度，而D是在实验的第二部分中观察到的偏转，则q不能超过 ｛因为 必然小于 现在，即使在一次粗略的实验中D也大于300d，从而q不可能超过

关于实验的理论

74c．〕　设两个单位物质之间的推斥力是距离的一个任意的给定函数，试求一个均匀球壳在任一点上引起的势。

设φ（r）是两个单位之间在距离r上的推斥力，而f（r）满足下列条件：

设球壳的半径为a，而其面密度为σ，则如果用α代表球的总电荷，就有

设b代表一个给定点离球心的距离，而r代表它到球壳上任意给定点的距离。

如果我们用球坐标来确定球壳上的各点，坐标的极点为球壳的中心，而极轴则为画向给定点的直线，就有　　

球壳面积元的质量是　　

而由这一面积元在给定点上引起的势就是　　

此式应该从φ＝0到φ＝2π按φ求积分，于是就有　　

此式应该从θ＝0到θ＝π求积分。

把（3）式微分一下，我们就得到　　

把dθ的值代入（6）式中，就得到　　

此式的积分就是　　

式中r₁ 是r的最大值，它永远等于a＋b，而r₂ 是r的最小值，它在给定点位于球壳之外时是b－a，而在给定点位于球壳之内时是a－b。

如果我们用a代表球壳的总电荷，而用V代表它在给定点引起的电势，则对壳外一点来说有　　

对在球壳本身上的一点来说，有　　 ^〔27〕

而对壳内一点来说则有　　

其次我们必须确定两个同心球壳的势，外壳的半径是a而内壳的半径是b，它们的电荷是α和β。

把外壳的势叫做A而把内壳的势叫做B，则由前面的计算得到

在实验的第一部分中，两个球壳用短导线相接并全都升高到了相同的势，譬如说是V。

今A＝B＝V并在方程（13）和（14）中解出β，我们就求得内壳上的电荷

在卡文迪什的实验中，形成外壳的两个半球被拿到了我们可以认为是无限远的距离处并放了电。这时内壳（或内球）的势就将变成　　

后来在卡文迪什实验室中重作了的那种实验的形式下，外壳保留了原有的位置。但却接了地，因此A＝0。在这种情况下，我们可以把内球的势用V表示出来

74d．〕　现在让我们像卡文迪什那样假设力定律是距离的某一负数幂，和平方反比定律相差不大，从而让我们令　　

于是就有　　 ^〔28〕

如果我们假设q很小，那就可以按指数定理把此展成下式

而如果我们略去含q² 的项，方程（16）和（17）就变成

由此我们就可以利用实验的结果来确定q。

74e．〕　拉普拉斯首先验证了，除了平方反比函数以外，没有任何一个距离的函数能够满足一个均匀球壳对其内部的一个质点并不作用任何力的条件 ^〔29〕 。

如果我们假设方程（15）中的β永远为零，我们就可以应用拉普拉斯的方法来确定f（r）的形式。我们由（15）得到bf（2a）－af（a＋b）＋af（a－b）＝0。对b微分两次并除以a，我们就得到f″（a＋b）＝f″（a－b）。

如果这个方程是普遍成立的，就有f″（r）＝C₀ ，即为一常量。由此即得f′（r）＝C₀ r＋C₁ ；而由（1）即得

然而我们可以注意，尽管卡文迪什关于力随距离某次幂而变的假设可能显得不如拉普拉斯关于力是距离的任意函数的假设那样普遍，但它却是和一件事实能够相容的唯一假设，那事实就是，相似的表面可以充电到具有相似的电性质｛使得它们的力线相似｝。

因为，假如力不是距离的某次幂而是距离的另一个任意函数，两个不同距离上的力的比值将不是距离之比的函数而却将依赖于距离的绝对值，从而就将涉及这些距离和一个绝对固定的距离之比了。

事实上，卡文迪什本人就已指出 ^〔30〕 ，按照他那关于电流体的构造的假说，电的分布不可能在两个几何地相似的导体上是精确相似的，除非电荷正比于体积。因为他假设了电液体的粒子在物体的表面附近是紧紧地挤在一起的，而这就等于假设推斥力的定律不再是平方反比关系 ^〔31〕 ，而是当各粒子一旦挤得非常紧时，它们的推斥力就会开始以大得多的速率随着距离的进一步减小而增大了。

电感的面积分和通过一个曲面的电位移

75．〕　设R是曲面上任一点处的合强度，而ε是R和向着曲面的正面画出的法线之间的夹角，则Rcosε是强度垂直于曲面的法向分量，而如果dS是曲面上的面积元，则由第68节可知，通过dS的电位移将是 既然我们现在暂不考虑除空气以外的任何电介质，就有K＝1。

然而，如果把RcosεdS称为通过面积元dS的“电感”。我们就可以在这一阶段中避免引用关于电位移的理论。这个量在数学物理学中是众所周知的，但是电感一词却是从法拉第那里借来的。电感的面积积分是∬RcosεdS，而由第21节可见，如果X、Y、Z是R的分量，而且这些量在一个被闭合曲面S所包围的域内是连续的。则从内向外计算的电感是 积分遍及于曲面内的全部空间。

由单一力心引起的通过一个闭合曲面的电感

76．〕　设一个电量e被认为放在了一点O上，设r是任意点P到O的距离，则该点上的强度是R＝er^-2 ，并沿OP的方向。

从O开始沿任意方向画一条直线到无限远处。如果O点是在闭合曲面之外的。这条直线就会或是完全不和曲面相交，或是从曲面穿出多少次就也向曲面进入多少次，如果O是在曲面之内的，直线就必须首先从曲面穿出，然后它可以交替地进入和穿出任意次数，而最后一次则是从曲面穿出。

设ε是OP和在OP与曲面相交处画出的外向法线之间的夹角，则在直线穿出的地方cosε将为正，而在直线进入的地方cosε将为负。

现在以O为心画一个半径为1的球面，并使直线OP以O为顶点描绘一个顶角很小的圆锥面。

这个锥面将从球面上切下一个面积元dω，并从闭合曲面上在和OP相交的各个地方切下面积元dS₁ 、dS₂ 等等。

于是，既然其中每一个dS都和锥面在r处以倾角ε相交，就有dS＝±r² secεdω；而且，既然R＝er^-2 ，我们就有RcosεdS＝±edω；当r从曲面穿出时取正号，当进入时取负号。

如果点O位于闭合曲面之外，则正值的数目和负值的数目相等，从而对任一方向r都有∑RcosεdS＝0，从而就有∬RcosεdS＝0，积分遍及整个闭合曲面。

如果点O位于闭合曲面之内，则矢径OP首先从闭合曲面穿出，给出一个正值edω，然后就有相等次数的进入和穿出。因此，在这种情况下，就有∑RcosεdS＝edω。

在整个闭合曲面上计算积分，我们就将把整个的球面包括进来，而该球面的面积是4π，于是就∬RcosεdS＝e∬dω＝4πe。

于是我们就得到结论说，由位于一点O上的一个力心e引起的通过一个闭合曲面的总的外向电感，如果O点位于曲面外面则为零，如果O点位于曲面内部则为4πe。

既然在空气中电位移等于电感除以4π，向外计算的通过一个闭合曲面的电位移就等于曲面内的电量。

推论　也可以推知，如果曲面不是闭合的而是以一个给定的闭合曲线为其边界线的，则通过该曲面的总电感是ωe，此处ω是闭合曲线对O点所张的立体角。因此，这个总电感只依赖于闭合曲线，而以该曲线为边的那个曲面则可以任意变化，如果它不从力心的一侧变到另一侧的话。

论拉普拉斯方程和泊松方程

77．〕　既然由单一力心引起的通过一个闭合曲面的总电感的值只依赖于该力心是否位于曲面之内而不以任何别的方式依赖于它的位置，那么，如果有若干个这种力心e₁ 、e₂ 等等位于曲面之内，而另一些力心e₁ ′、e₂ ′等等位于曲面之外，则我们将有∬RcosεdS＝4πe；此处e是位于闭合曲面内部的一切力心上的电量的代数和，也就是曲面内的总电量，而把树胶电算作负电。

如果电在曲面内部的分布使得密度在任何地方都不是无限大，则我们按照第64节将有4πe＝4π∭ρdxdydz，而由第75节，即得

如果我们取一个体积元dxdydz的表面作为我们的闭合曲面，则通过令这些表示式彼此相等，就得到 而且，如果势V存在，则我们由第71节可得 在密度为零的事例中，这个方程叫做拉普拉斯方程。在更普遍的形式下，这个方程是由泊松给出的。它使我们当知道了每一点上的势时能够确定电的分布。

我们将像在第26节中一样，把 写成-∇² V，而且我们将用文字来表达泊松方程，就是说，电密度乘以4π等于势的浓度。在没有电的地方，势没有浓密，而这就是拉普拉斯方程的诠释。

按照第72节，V在一个导体内部是常量。因此，在一个导体的内部，体密度为零，而所有的电荷必然都位于表面上。

如果我们假设，在电的面分布或线分布中体密度ρ保持有限，而电是以薄层或细线的形式存在的，则通过增大ρ而减小层的深度或线的截面，我们就可以趋近真正面分布或线分布的极限，而在整个过程中都成立的方程在极限下将仍能成立，如果适应着实际的情况来诠释它的话。

一个带电面上的势的变化

78a．〕　势函数必须在第7节的意义上是物理地连续的，除了在两种不同媒质的分界面上以外；在分界面的事例中，正如我们即将在第246节中看到的那样，两种媒质之间可以有一个势差，使得当电处于平衡时一种物质中的一点上的势比另一种媒质中一点上的势高出一个常量C，此量依赖于两种媒质的种类和它们的温度。

但是V对x、y或z的一阶导数可以是不连续的，而由第8节可知，出现这种不连续性的各点必然位于一个曲面上，曲面的方程可以写成　　

这一工面划分了φ为正的区域和φ为负的区域。

设V₁ 代表负域中任一给定点上的势，而V₂ 代表正域中任一给定点上的势，则在曲面φ＝0上的任一给定点（该点可以说属于两个域）上，将有　　

式中C是曲面正侧的物质中的常量超额势（如果有这种超额的话）。

设l、m、n是在曲面任一给定点上向正域画的法线v₂ 的方向余弦。从同一点向负域画的法线v₁ 的方向余弦将是-l、-m、-n。

V沿各法线的变化率是

设在曲面上画出一条任意的线，设从线上一个固定点量起的线的长度是s，则在曲面的每一点上，从而也在此线的每一点上，都有V₂ －V₁ ＝C。把这一方程对s求导数。就得到

而且，既然法线垂直于此线，就有　　

由（3），（4），（5），（6），我们得到

^〔32〕

如果我们考虑一点上的电动强度在越过曲面时的变化，则和曲面正交的那个强度分量可能在曲面上突然变化，但是平行于切面的另外那两个分量却在越过曲面时保持连续。

78b．〕　为了确定曲面的电荷，让我们考虑一个闭合曲面；它部分地位于正域中而部分地位于负域中，因此就包围了不连续性曲面的一个部分。

在这一曲面上求的面积分∬RcosεdS，等于4πe，此处e是位于闭合曲面中的电量。

仿照第21节中的做法。我们就得到

式中的三重积分遍及整个的闭合曲面，而二重积分则遍及不连续性曲面。

按照（7），（8），（9）把这一方程中各项的值代进来，就有

但是根据体密度ρ和面密度σ的定义，应有

因此，比较这些方程的最后项，就得到　　

这个方程叫做面密度为σ的带电面上的V的特性方程。

78c．〕如果V是在一个给定的连续域中到处满足拉普拉斯方程 的一个x、y、z的函数，而且在该域的一个有限的部分中，V到处为常量并等于C，则V必在拉普拉斯方程得到满足的整个域中到处为常量并等于C ^〔33〕 。

如果V并不是在整个域中到处等于C，则设S是包围着V＝C的那一有限部分的曲面。在曲面S上，V＝C。

设v是在曲面S上画出的外向法线。既然S是V＝C的那一连续域的边界面，当我们沿着法线从曲面开始前进时，V的值就开始异于C了。因此，在刚刚离开曲面的地方， 就可以为正或为负，但是不能为零，只除了对从划分正面积和负面积的边界线上画出的法线以外。

但是，如果v′是在曲面上画出的内向法线，则V′＝C而

由此可见，在曲面的每一点上，除了某些边界线以外， 都是一个正的或负的有限量；因此，曲面就在所有各部分都有连续的电分布，除了把带正电的和带负电的面积划分开来的某些边界线以外。

除了在位于曲面S上的某些曲线上的那些点上以外，拉普拉斯方程在该曲面上是并不满足的。因此，在其内部有V＝C的曲面S，就包括了拉普拉斯方程在其中得到满足的那一整个的连续域。

作用在一个带电面上的力

79．〕　作用在一个带电体上的力的三个坐标轴的分量普遍表示式具有下列的形式

而平行于y和z轴的分量B和C的表示式与此类似。

但是，在一个带电面上，ρ是无限大，而且X可以是不连续的，于是我们就不能直接按照这种形式的表示式来计算力。

然而我们已经证明，不连续性只影响垂直于带电面的那个强度分量，另外两个分量则是连续的。

因此，让我们假设x轴在所给之点是垂直于曲面的，并且让我们也假设，至少在我们研究的最初部分中，X并不是真正不连续，而是当x从x₁ 变到x₂ 时X从X₁ 变到X₂ 。如果当x₂ －x₁ 无限减小时我们的计算结果得到力的一个确定的极限值，我们就可以认为它在x₂ ＝x₁ 时是对的，并认为带电面是没有厚度的。

用在第77节中求得的值来代替ρ，就有

把此式对x从x＝x₁ 积分到x＝x₂ ，就得到

这就是平行于yz平面的一个厚度为x₂ －x₁ 的层的A的值。

既然Y和Z是连续的， 就是有限的，而既然X也是有限的，就有

式中C是x＝x₂ 和x＝x₂ 之间 的最大值。

因此，当x₂ －x₁ 无限减小时，这一项必为零，从而

由第78b节得到　　

因此我们可以写出　　

在这儿，dydz是曲面的面积元，σ是面密度，而 是曲面两侧的电动强度的算术平均值。

因此，一个带电面的面积元是受到一个力的作用的；该力垂直于该元的分量等于该面积元所带的电荷乘以电动强度在曲面两侧的算术平均值。

既然电动强度的其他两个分量并不是不连续的，在估算作用在带电面上的力的对应分量时就不会有什么歧义。

现在我们可以假设曲面法线的方向相对于各坐标轴有任意的取向，并写出作用在面积元dS上的力的各分量的普遍表示式了：

一个导体的带电表面

80．〕　我们已经证明（第72节），在电平衡中，在一个导体的全部物质中到处都有X＝Y＝Z＝0，从而V是一个常量。

因此就有 从而ρ就必然在导体的物质中到处为零，或者说导体内部不可能有电。

因此，一种表面上的电分布就是在平衡中的导体上的唯一可能的分布。

只有当物体不是导体时，在物质全体中的一种分布才能可能存在。

既然导体内部的合强度是零，刚好在导体外面的合强度就必然沿法线方向并等于4πσ，它沿着从导体向外的方向而发生作用。

面密度和靠近导体表面处的合强度之间的这种关系叫做“库仑定律”，因为库仑曾经用实验确定了靠近导体表面的一点上的电动强度是垂直于表面并正比于该点的面密度的。数值关系式R＝4πσ是由泊松确立的。

由第79节可知，作用在导体带电表面的一个面积元dS上的力是（因为表面内侧的强度为零）

这个力是沿着导体的外向法线而作用的，不论表面上的电荷是正的还是负的。

以每平方厘米达因计，它的值是 它是作为从导体表面向外的一种张力而起作用的。

81．〕　如果我们现在假设有一个细长的物体被充了电，则通过减小它的横向线度，我们可以达到带电线的概念。

设dS是细长物体的一小段的长度，C是它的周长，而σ是它表面上的面密度，则如果λ是单位长度上的电荷，就有λ＝cσ，而靠近表面处的合电强度将是

如果当λ保持有限时c无限减小，则表面上的强度将无限增大。喏，在每一种电介质中，都存在一个限度，强度不可能超过那个限度而不引起破毁性的放电。因此，有限的电量位于有限长的线段上，就是和自然界中存在的条件不能相容的一种分布。

即使可以找到一种甚至无限大的力也不能在里边促成放电的绝缘体，也还是不能使一个线状的导体带上有限的电量，因为（既然一个有限的电荷可以使势成为无限大）那将要求一个无限大的电动势来把电弄到线状导体上去。

同样可以证明，电量为有限的一个点电荷不能存在于自然界中。然而，在某些事例中，谈论带电的线和点却是方便的，而且我们将假设这些是用带电的导线或小物体来代表，而它们的线度和所关心的主要距离比起来是可以忽略不计的。

既然在给定的势下当导线直径无限减小时存在于给定导线部分上的电量也无限减小，线度相当大的物体上的电分布，当在场内引入很细的金属线时就不会受到显著的影响，例如用来物体之间、物体和地、电机或静电计之间形成电连接的那种金属线就是如此。

论　力　线

82.〕　如果画一条线，使它在沿途任意点上的方向都和该点合强度的方向相重合，则这条线叫做“力线”。在力线沿途的每一部分上，它都是从一个势较高的地方通往势较低的地方。

因此，一条力线不可能回到自己身上来，而是必须有一个起点和一个终点。由第80节可知，一条力线的起点必然是在一个带正电的面上，而一条力线的终点必然是在一个带负电的面上。

力线的起点和终点叫做分别位于带正电和带负电的面上的对应点。

如果力线运动而使其起点在带正电的面上描绘出一条闭合的曲线，则其终点将在带负电的面上描绘出一条对应的曲线，而力线本身则生成一个管状的曲面，叫做电感管。这样的一个曲面叫做一个“管” ^〔34〕 。

既然管状面的任一点上的力都是沿着切面的，那就没有电感通过曲面。因此，如果管内没有包含任何带电的物质，则由第77节可知，通过由管状面和两个端面形成的闭合曲面的总电感为零，而∬RcosεdS在两个端面上的值必然量值相等而符号相反。

如果这些端面是导体的表面，则ε＝0而R＝-4πσ，从而∬RcosεdS变成-4π∬σdS，即变成表面上的电荷乘以4π ^〔35〕 。

因此，在管的起点处被闭合曲线所包围的表面上的正电荷，等于管的终点处被对应的闭合曲线所包围的表面上的负电荷。

电力线的性质可以推出若干重要结果。

一个闭合导电容器的内表面是完全没有电荷的，而且它里边每一点的势都是和导体的势相同的，如果容器内不存在孤立的带电体的话。

因为，既然一条力线必然起于带正电的面而终于带负电的面，而且容器内又没有任何带电体，假若在容器里面存在一条力线，它就必然起于并终于容器本身的内表面上。

但是一条力线的起点上的势必然高于终点上的势，而我们已经证明导体所有各点上的势都是相同的。

因此任何力线都不可能存在于一个中空导电容器内部的空间中，如果容器内放有任何带电体的话。

如果位于闭合中空导电容器中的一个导体被和容器接通，则它的势将变成和容器的势相同，而它的表面则和容器的内表面变成同一个面。因此这个导体就不再有电荷。

如果我们假设任一带电面被分成了基元部分，使得每一部分上的电荷为1，而且，如果以这些面积元为底在力场中画出一些管，则任何其他曲面上的面积分将由该曲面所交截的管数来表示。正是在这种意义上，法拉第用了他的力线观念来不但指示场中任何地方的力的方向而且指示该力的大小。

我们使用了“力线”一词，因为它曾被法拉第和别的人们所使用。然而，严格说来，这些线应该叫做“电感线”。

在普通的事例中，电感线指示每一点上的电动强度的方向和量值，因为强度和电感是方向相同而比值恒定的。然而也存在另外一些事例，那时必须记得这些线主要是表示的电感，而强度则是由等势面来直接表示的，它的方向垂直于等势面，而它的量值反比于相邻等势面的距离。

论比感本领

83a.〕　在以上关于面积分的研究中，我们曾经采用了普通的直接超距作用的观念，而没有照顾到依赖于观察力时所在的电介媒质性质的任何影响。

但是法拉第曾经观察到，由一个给定电动势在以一种电介质为界的导体表面上感应出来的电量，并不是对一切电介质来说都相同。对于多数的固体和液体电介质来说，电量要比对空气和气体来说更大一些。因此这些物体就被说成比他取作标准媒质的空气具有较大的比感本领。

我们可以通过一种说法来把法拉第的学说用一种数学的语言表达出来，就是说，在一种电介媒质中，通过任一曲面的电感就是法向电强度和该媒质之比感本领系数的乘积。如果用K来代表这个系数，则我们在有关面积分的每一部分研究中都必须将X、Y，和Z乘以K，于是泊松方程就变成

^〔36〕

在感应本领为K₁ 和K₂ 的而其中的势为V₁ 和V₂ 的两种媒质的分界面上，特征方程可以写成　　

式中v₁ 、v₂ 是在两种媒质中画出的法线，而σ是分界面上的真实面密度，也就是以电荷的形式实际地出现在分界面上的电量，它只能通过向该处送电或从该处取电来加以改变。

电的表观分布

83b.〕如果我们从实际的势分布开始，并根据K到处等于1的假说来从这种分布推出体密度ρ′和面密度σ′，我们就可以把ρ′叫做表观体密度而把σ′叫做表观面密度，因为这样定义的一种电分布将能够根据一条假说来说明实际的势分布，其假说就是，在第66节中给出的那种电力定律不需要由于电介质的不同性质而作任何的变动。

一个给定域内的表观电荷可以在没有电通过域的边界面的情况下增多或减少。因此我们必须把它和满足连续性方程的真实电荷区分开来。

在K在其中连续变化的不均匀电介质中，如果ρ′是表观体密度，就有

把此式和上面的（1）式相比较，我们就得到

在变化的感应本领用K来表示的电介质中，真实电分布将在每一点产生势，和用ρ′来代表的表观电分布在感应本领到处等于l的电介质中产生的势相同。

表观面电荷σ′是利用特征方程　　

由表面附近的电力推出的。

如果一种任意形状的固体电介质是一种完全的绝缘质，而且它的表面没有接受任何电荷，则不论有什么电力作用在它上面，它的真实电分布也保持为零。

由此可见

面密度σ′就是在固体电介质表面上由感应所引起的表观电分布。当感应力被取消时它就完全消失。但是如果在感应力的作用过程中表观电荷通过使一个火焰掠过表面而被从表面上放掉，则当感应力被取消时就将出现和σ′相反的真实电荷 ^〔37〕 。

第二章附录

方程 就是通过任一闭合曲面的电位移等于曲面内的电荷的4π倍这一条件的表示。如果我们把这一原理应用在各面垂直于坐标轴的一个长方体上，第一个方程就可立即得出，而如果我们把它用在包围着一部分带电表面的一个柱面上，第二个方程也可立即得出。

如果提前应用一次下一章中的结果，我们也可以直接从法拉第的比感本领定义得出这些方程。让我们考虑由两个无限大平行平板构成的电容器这一事例。设V₁ 、V₂ 分别是两个平板的势，d是它们之间的距离，于是，如果K是分隔二板的电介质的比感本领，就有

由第84节可知，体系的能量Q等于 或者，如果F是二板之间任一点上的电动强度，就有

如果我们认为能量是存在于电介质中的，则单位体积中将有Q/Ad个单位的能量，于是单位体积的能量就等于KF² /8π。当场是均匀的时这一结果将是对的，因此，如果Q代表任意电场中的能量，就有

让我们假设，场中任意点上的势增加了一个小量δV，此处δV是x、y、z的任意函数，这时能量的改变量δQ就由下式给出 由格林定理，此式 式中dv₁ 和dv₂ 分别代表从第一种画到第二种和从第二种画到第一种媒质中的曲面法线的线段元。

但是由（第85， 86节），就有δQ＝∑（eδV）＝∬σδVdS＋∭ρδVdxdydz，而既然δV是任意的，我们就必然得到 这就是正文中那些方程。

在法拉第的实验中，火焰可以看成一个接地的导体，电介质的效应可以用它表面上的一种表观电分布来代表；这种作用在导电火焰上的表观电分布将吸引异号的电，而这些异号的电将分布在电介质的表面上，并把同号的电通过火焰送到地上去。于是在电介质的表面上就会出现真实的电分布并把表观电分布的效应掩盖起来；当感应力被取消时，表观电荷就将消失，但是真实电荷将留下来，而且将不再受到表观电荷的掩蔽。

第三章　论导体组中的电功和电能

84.〕　论为了按给定方式向一个带电体系充电而必须由外界作用力所做的功。

按照势的定义（第70节），把一个电量δe从无限远处（或任何势为零处）带到体系内势为V的任一给定部分上时所做的功是Vδe。

这种操作的效应就在于把体系中给定部分上的电荷增大δe，因此，如果起初电荷是e，则操作以后电荷将变为e＋δe。

因此，我们可以把使一个体系的电荷发生一种改变时所做的功表示成一个积分

式中的求和（∑）遍及于带电体系的所有各部分。

由第73节中势的表示式可见，一个给定点上的势可以看成若干部分之和，其中每一部分都是由体系电荷的对应部分所引起的势。

因此，如果V是由我们可以称之为∑（e）的一个电荷系在一个给定点上引起的势，而V′是由我们可以称之为∑（e′）的另一个电荷系在同一点上引起的势，则由同时存在的两个电荷系在同一点上引起的势将是V＋V′。

因此，如果电荷系中的每一个电荷都按n比1的比例发生了变化，则体系中任一给定点上的势也将按n比1的比例发生变化。

因此，让我们假设使体系带电的操作是按下述方式进行的。设体系在起初并不带电，且其势为零，并设体系的不同部分同时被充电，每一部分的充电速率都正比于它的末电荷。

于是，如果e是体系的任一部分的末电荷，而V是末势，那么，如果在操作的任一阶段上电荷是ne，则势将是nV，从而我们可以通过假设n从0连续地增大到1来表示这一充电过程。

当n从n增大为n＋δn时，体系中任何一个末电荷为e而末势为V的部分都将接受一个电荷的增量eδn；这时它的势是nV，因此在这一操作中所做的功就是eVnδn。

由此可见，使体系带电时所作的总功就是　　

或者说是体系不同部分的电荷和它们各自的势的乘积的一半。

这就是按上述方式使一个体系带电时必须由外界作用力所做的功，但是，既然体系是一个保守系，用任何其他手续把体系纳入相同的状态时所要求的功必然是相同的。

因此我们可以把　　

叫做体系的电能，它是用体系不同部分的电荷和势表示出来的。

85a.〕　其次让我们假设，体系通过一个过程从状态（e, V）过渡到状态（e′, V′），而在该过程中，不同的电荷都按各自正比于其总增量e′－e的速率而同时增大。

如果在任一时刻体系的一个给定部分的电荷是e＋n（e′－e），其势就将是V＋e（V′－V），从而在使电荷改变这样一个部分时所做的功就将是 因此，如果我们用W′来代表体系在状态（e′, V′）中的能量，就有

但是

把这些值代入方程（4）中，我们就得到　　

因此，如果我们在同一个固定的带电导体组中考虑两个不同的带电状态，则第一状态中的各电荷和第二状态中各导体对应部分的势的乘积之和，等于第二状态中各电荷和第一状态中各导体的势的乘积之和。

在电的初等理论中，这一结果对应于解析理论中的格林定理。通过适当选择体系的初状态和末状态，我们可以推出一些有用的结果。

85b.〕　由（4）和（5）式，我们可以求出能量增量的另一个表示式，即用势的增量来表示它，　　

如果各增量为无限小，我们就可以把（4）和（6）写成

而如果我们用W_e 和W_v 来分别代表用导体组的电荷和势表出的W的表示式，并用A_r 、e_r 和V_r 来代表组中一个特定的导体、它的电荷和它的势，就有

86.〕在任意一个固定的导体组中，如果有我们可以用A_i 来代表它的任何一个导体是在初状态和末状态中都没有电荷的，则这个导体的e_i ＝0而e_i ′＝0，于是依赖于A_i 的项就在方程（5）的两端都不出现。

如果另一个导体，例如A_k ，在导体组的两个状态中都有零势，则V_k ＝0而V_k ′＝0，于是依赖于A_k 的项也在方程（5）的两端都不出现。

因此，如果除了两个导体A_r 和A_s 以外所有的导体都或是绝了缘的并没有电荷的，或是接了地的，则方程（5）将简化为下式　　

如果在初状态中有e_r ＝1和e_s ＝0，而在末状态中有 和 则方程（10）变为　　

或者说，如果传到A_r 上的单位电荷把绝了缘的A_s 升高到一个势V，则传给A_s 的单位电荷将把绝了缘的A_r 升高到相同的势V，如果组中每一个其他导体都或是绝了缘且没有电荷的，或是接了地从而其势为零的话。

这是我们在电学中遇到的第一个倒易关系式的例子。这样的倒易关系式出现在科学的每一分支中，而且常常使我们能够从已经解出的较简单问题的解推出新问题的解。

例如，电荷为1的一个导体球外面一点上的势是r^-1 ，此处r是从球心量起的距离，而根据这一事实，我们就可以得出结论说，如果电荷为1的一个小物体被放在离一个不带电导体球的中心为r的地方，它就将把该球升高到一个势r^-1 。

其次让我们假设，在初状态，有V_r ＝1和V_s ＝0，而在末状态，有 和 则方程（10）变成　　

或者说，如果当A_r 升高到单位势时将在接了地的A_s 上感应出一个电荷e，则当把A_s 升高到单位势时将在接了地的A_r 上感应出相同的电荷e。

第三，让我们假设，在初状态，有V_r ＝1和e_s ＝0，而在末状态，有 和 则在这种情况下方程变为　　

由此可见，如果当A_s 不带电荷时把A_r 充电到单位势的操作将把A_s 升高到势V，那么，如果使A_r 保持零势，则传给A_s 的一个单位电荷将在A_r 上感应出一个数值等于V的负电荷。

在所有的这些事例中，我们都可以假设另外的导体中有一些导体是绝了缘的和不带电荷的，而其余的导体则是接了地的。

第三个事例是格林定理的一种简单形式。作为它的应用的一个例子，让我们假设已经确定了由传给导体组中一个给定导体A_s 的一个单位电荷在势为零的导体中不同元部分上感应出来的电荷分布。

设η_r 是这种情况下的A_r 上的电荷。于是，如果我们假设A_s 不带电荷，而其他各导体则各自升高到不同的势，则A_s 的势将是　　

于是，如果我们确定了由放在一个中空导电容器中任一给定点上的单位电荷在势为零的该容器任意给定点上感应出来的面密度，如果我们也知道形状和大小都和容器内表面相同的一个曲面上每一点的势值，我们就可以推出曲面内部其位置和该单位电荷相对应的一点的势。

因此，如果在一个闭合曲面的所有各点上势为已知，则曲面内部任一点的势也可以是确定的，如果内部并无带电体的话；曲面外部任一点的势也可以是确定的，如果外部并无带电体的话。

导体组的理论

87.〕　设A₁ , A₂ , …, A_n 是形状任意的n个导体，设e₁ , e₂ , …, e_n 是它们的电荷，而V₁ , V₂ …, V_n 是它们的势。

让我们假设，把各导体隔开的电介质保持相同，而且它在所要考虑的操作中并不变为带电。

我们在第84节中已经证明，各一导体的势是n个电荷的线性齐次函数。

由此可见，既然体系的电能是每一导体的势和电荷的乘积之和的一半，电能就必然是n个电荷的二次齐次函数，其形式是

下标e表明W要表示成各电荷的一个函数。当W不带下标时，它就代表的是表示式（3），式中既出现电荷也出现势。

由这一表示式，我们可以推出组中每一导体的势。因为，既然势被定义为把单位电荷从零势处带到给定势处时所必须做的功，而且这个功是用于增加W的，我们只要把W_e 对所给导体的电荷求导数，就能得出它的势了。于是我们就得到

这是一组n个线性方程，它们用n个电荷表示了n个势。

系数p_rs 等等叫做势系数。每一个系数有两个下标，其中第一个对应于电荷的下标，而第二个则对应于势的下标。

两个下标相同的系数p_rr 代表当A_r 的电荷为1而所有其他导体的电荷都为零时A_r 的势。这种系数共有n个，每个导体有一个。

两个下标不相同的系数p_rs 代表当A_r 接受到单位电荷而除A_r 以外其他导体的电荷都为零时A_s 的势。

我们在第86节中已经证明p_rs ＝p_sr ，但是我们可以通过考虑到

来更加简短地证明它。

因此，具有两个不同下标的不同系数的数目就是 每一对导体有一个。

通过把方程组对e₁ 、e₂ 等等求解，我们就得用各个势来表示各电荷的n个方程

在这一事例中，我们也有q_rs ＝q_sr ，因为

把各电荷的值代入电能的表示式

中，我们就得到一个用势来表示的能量表示式

两个下标相同的一个系数叫做它所属于的那个导体的“电容”。

定义　一个导体的电容就是当它自己的势是1而所有其他导体的势都是0时的它的电荷。

当没有进一步的限定时，这就是导体电容的确切定义。但是，有时用一种不同的方式来指定某些或所有其他导体的条件是方便的，例如可以假设其中某些导体的电荷为零，而我们在这种条件下就可以把导体的电容定义为当它的势为1时的它的电荷。

其他的系数叫做感应系数。其中任何一个，例如q_rs 就表示当A_s 升高到单位势而除A_s 以外其他导体的势都为零时的A_r 的电荷。

势系数和电容系数的数学计算通常是困难的。我们在以后即将证明它们永远具有确定的值，而且在某些事例中我们将计算这些值。我们也将说明它们可以怎样用实验来测定。

当谈到一个导体的电容而不提及同一导体组中任何其他导体的形状和位置时，就应该把电容诠释为当没有任何其他导体或带电体位于离所考虑的导体为有限距离时的该导体的电容。

当我们只是在处理电容和感应系数时，有时把它们写成［A. P］的形式是方便的；这一符号被理解为代表当P被升高到单位势｛而所有别的导体都处于零势｝时A上的电荷。

同理，［（A＋B）.（P＋Q）］将代表当P和Q都升高到势1时A＋B上的电荷，而且显而易见，既然

［（A＋B）.（P＋Q）］＝［A. P］＋［A. Q］＋［B. P］＋［B. Q］＝［（P＋Q）.（A＋B）］，

各个组合符号就可以通过相加和相乘来互相结合，就好像它们是一些数量的符号一样。

符号［A. A］表示当A的势为1时的A上的电荷，也就是说，它代表的是A的电容。

同样，［（A＋B）.（A＋Q）］代表当A和Q被升高到势1而除A和Q外所有导体的势都为零时A和B上的电荷之和。

它可以分解成［A. A］＋［A. B］＋［A. Q］＋［B. Q］。

势系数不能用这种办法来处理。感应系数代表电荷，而这些电荷是可以相加的；但是势系数代表势，而如果A的势是V₁ ，B的势是V₂ ，则二势之和V₁ ＋V₂ 并没有和现象有关的任何物理意义，尽管V₁ －V₂ 代表从A到B的电动势。

两个导体之间的感应系数可以用各导体的电容和两个导体共同的电容表出来，例如：

各系数的量纲

88.〕　既然一个电荷e在距离r处的势是 一个电荷的量纲就是势的量纲乘上一个长度。

因此，电容系数和感应系数就和长度具有相同的量纲，从而其中每一个系数就都可以用一段直线来代表，该直线的长度并不依赖于我们所用的单位制。

同理，任一势系数都可以表示为一段直线的倒数。

论各系数所必须满足的某些条件

89a.〕　首先，既然一个体系的电能在本质上是一个正量，它作为电荷的二次函数或势的二次函数的那种表示式必须是正的，不论给予电荷或势的是什么值，是正值还是负值。

现在，n个变数的二次齐次式将永远为正的条件共有n个，而且可以写成

这n个条件是保证W_e 为必正的充要条件 ^〔38〕 。

但是，既然在方程（16）中我们可以按任何次序来排列导体，用属于n个导体之任何组合的那些系数对称地排成的每一个行列式也必须是正的，而这些组合的数目是2ⁿ －1。

然而，这样求得的条件中只有n个条件可能是独立的。

电容系数和感应系数也满足同样形式的条件。

89b.〕　所有的势系数都是正的，但是任一系数P_rs 都不大于P_rr 或P_ss 。

因为，设把一个单位电荷传给A_r ，而其他各导体都不带电。一组等势面将会形成。其中一个等势面将是A_r 的表面，其势为p_rr 。如果A_s 被放入在A_r 中挖出的一个空腔中从而完全被A_r 所包围，则A_s 的势也将是p_rr 。

然而，如果A_s 是在A_r 外面的，则它的势将介于p_rr 和零之间。

因为，试考虑从带电导体A_r 出发的力线。电荷是用从导体出发的和终止在导体上的力线数之差来量度的。因此，如果导体不带电荷，则到达导体的力线数必然等于从它出发的力线数。到达导体的那些力线来自势较大的地方，而从导体出发的那些力线则通往势较小的地方。因此，一个不带电荷的导体的势必然介于场中的最高势和最低势之间，从而最高势和最低势就不能属于任何一个不带电荷的导体。

因此，最高势必然是p_rr ，即带电导体A_r 的势；最低势必然是无限远处的空间的势，那就是零；而所有其他的势，例如p_rs ，则必然介于p_rr 和零之间。

如果A_s 完全包围了A_t ，则p_rs ＝p_rt 。

89c.〕　任何感应系数都不是正的，而属于单独一个导体的各感应系数之和在数值上不大于该导体的永远为正的电容系数。

因为，设A_r 被保持于单位势，而所有别的导体都被保持于零势，则A_r 上的电荷是q_rr ，而任一其他导体A_s 上的电荷是q_rs 。

从A_r 出发的力线数是q_rr 。在这些力线中，有的终止在别的导体上，有的可能通往无限远，但是没有任何力线可以经过任何别的导体之间或是从那些别的导体出发而通往无限远，因为它们的势都是零。

任何力线都不可能从任何别的导体例如A_s 出发，因为场的任何部分都不会比A_s 具有更低的势。如果A_s 是由某一个导体的闭合表面和A_r 隔开的，则q_rs 为零。如果A_s 不是这样被隔开的，则q_rs 是一个负量。

如果其中一个导体A_t 完全包围了A_r ，则从A_r 出发的所有力线都落在A_t 上和A_t 里面的导体上，从而这些导体对A_r 而言的感应系数之和就和q_rr 相等而异号。但是，如果A_r 并没有被一个导体所包围，则这些感应系数q_rs 等等之和将小于q_rr 。

我们已经借助于电学的考虑而独立地证明了这两条定理。我们让学数学的人们去考虑其中一条是不是另一条的数学推论。

89d.〕　当场中只有一个导体时，它对自己而言的势系数就是它的电容的倒数。

没有外力时的电的质心，叫做导体的电心。如果导体对一个几何中心是对称的，这个中心就是电心。如果导体的线度和所考虑的距离相比是很小的，则电心的位置可以通过猜测来足够近似地加以估计。

离电心的距离为c处的势，必然介于 和 之间 ^〔39〕 ，式中e是电荷，而a是物体表面的任何部分到电心的最大距离。

因为，如果电荷被集中在电心两侧相距为a的两个点上，第一个表示式就是二点连线上的一点处的势，而第二个表示式就是垂直于该连线的直线上一点处的势。对半径为a的球中的一切别的分布来说，势都介于这两个值之间。

如果场中有两个导体，它们的相互势系数就是 此处c′和电心间距c的差值不能超过 而a和b是各导体表面上任一部分到各该导体的电心的最大距离。

89e.〕　如果一个新导体被带入场中，则其他各导体中任一导体对自己而言的势系数都会减小。

因为，设新导体B被假设为一个非导体｛和空气具有相同的比感本领｝，而且它的任何部分都不带电，则当其中一个导体A₁ 接受到一个电荷e₁ 时，组中各导体上的电分布都将受到B的干扰；既然B的任何部分都还没有带电，体系的电能就简单地是

现在让B变成一个导体。电将从势高的地方流向势低的地方，而在这样做时将使体系的电能减小，从而 这个量将减小。

但是e₁ 是保持不变的，因此p₁₁ 必须减小。

同理，如果由于把另一个物体b放在和B接触处而使B增大，p₁₁ 就将进一步减小。

因为，让我们首先假设在B和b之间没有电的交通，新物体b的引入就将减小p₁₁ 。现在设在B和b之间开放交通。如果有任何的电在它们之间流过，那就是从高势的地方流向低势的地方的，从而正如我们已经证明的那样，p₁₁ 就会进一步减小。

由此可见，由物体B引起的p₁₁ 的减量，大于其表面可以包入B中的任何导体所将引起的减量，而小于其表面可以包围B的任何导体所将引起的减量。

我们在第十一章中即将证明，直径为b的一个球放在远大于b的距离r处，将使p₁₁ 减小一个近似等于 的量 ^〔40〕 。

由此可见，如果B具有任意的形状，而b是它的最大直径，则p₁₁ 值的减量必小于

因此，如果B的最大直径小得在和B离A₁ 的距离相比之下可以略去数量级为 的量，我们就可以把当只有A₁ 存在于场中时它的电容的倒数看成p₁₁ 的一个足够好的近似值。

90a.〕因此，让我们假设A₁ 自己存在于场中时的电容是K₁ ，而A₂ 在相应情况下的电容是K₂ ，并设A₁ 和A₂ 之间的平均距离是r，此处r比A₁ 和A₂ 的最大直径要大得多，于是我们就可以写出 。由此即得q₁₁ ＝K₁ （1－K₁ K₂ r^-2 ）^-1 , q₁₂ ＝-K₁ K₂ r^-1 （1－K₁ K₂ r^-2 ）^-1 , q₂₂ ＝K₂ （1－K₁ K₂ r^-2 ）^-1 。在这些系数中，q₁₁ 和q₂₂ 是当A₁ 和A₂ 并非各自都距任何其他导体为无限远而是被带到彼此相距为r处时的电容。

90b.〕　当两个导体被放得彼此相距很近，以致它们的相互感应系数很大时，这种组合物就叫做一个“电容器”。

设A和B是电容器的两个导体或两个极。

设L是A的电容，N是B的电容，而M是相互感应系数。（我们必须记得M在本质上是负的，从而L＋M和M＋N的数值是小于L和N的。）

让我们假设a和b是和第一个电容相距为R处的另一个电容器的极，而R比其中每一个电容器的线度都大得多，此外并假设电容器ab当单独存在时的电容系数和感应系数是l、n、m。让我们计算其中一个电容器对另一个电容器的系数的影响。

设D＝LN－M² ，和d＝ln－m² ；则每一个电容器当单独存在时的势系数是P_AA ＝D^-1 N, p_aa ＝d^-1 n, P_AB ＝-D^-1 M, p_ab ＝-d^-1 m, p_BB ＝D^-1 L, p_bb ＝d^-1 l。当两个电容器相距为R时，这些系数的值将不会有多大的变化。

任何两个相距为R的电容器的势系数是R^-1 ，于是就有

p_Aa ＝p_Ab ＝p_Ba ＝p_Bb ＝R^-1 。

因此，势的方程是

V_A ＝D^-1 Ne_A －D^-1 Me_B ＋R^-1 e_a ＋R^-1 e_b ,

V_B ＝-D^-1 Me_A ＋D^-1 Le_B ＋R^-1 e_a ＋R^-1 e_b ,

V_a ＝R^-1 e_A ＋R^-1 e_B ＋d^-1 ne_a -d^-1 me_b ,

V_b ＝R^-1 e_A ＋R^-1 e_B －d^-1 me_a ＋d^-1 le_b ,

对电荷求解这些方程，我们就得到

式中L′、M′、N′是当第二个电容器被带到场中时L、M、N所变成的量。

如果只有一个导体a被带入场中，则有m＝n＝0，而

如果只有两个简单的导体A和a，则M＝N＝m＝n＝0，从而 这些表示式和在第90a节中求出的表示式相一致。

L＋2M＋N这个量就是当它的电极的势为1时电容器的总电荷。它不能超过电容器最大直径的一半 ^〔41〕 。

L＋M是当两个电极都处于势1时第一个电极上的电荷，而M＋N是那时第二个电极上的电荷。这些量必然各自为正，而且小于电容器自己的电容。因此，必须对一个电容器的各电容系数作出的改正，是比相等电容的一个简单电容器的系数小得多的。

在估计离其他电容器相当远的形状不规则的电容器的电容时，这一类的近似往往是很有用的。

91.〕　当其尺寸和导体间的距离相比是很小的一个圆乎乎的导体A₃ 被带入场中时，A₁ 和A₂ 的势系数将增大，如果A₃ 是在以直线A₁ A₂ 为直径的一个球的内部的话；势系数将减小，如果A₃ 是在该球的外面的话。

因为，如果A₁ 接受到一个单位正电荷，则A₃ 上将出现一种电分布，即有+e位于离A1最远的一边而有-e位于离A₁ 最近的一边。由A₃ 上面的这一分布在A₂ 上引起的势将是正的或负的，全看是+e还是-e离A₂ 最近而定，而如果A₃ 的形状不是很细长的，这就将取决于角A₁ A₃ A₂ 是钝角还是锐角，从而就取决于A₃ 是位于以A₁ A₂ 为直径画出的球的里面还是外面。

如果A₃ 是长形的，那就很容易看到：如果它的最长轴是放在通过A₁ 、A₃ 、A₂ 各点所画之圆的切线方向上，它就可能增大A₂ 的势，即使它是完全位于球外的；如果它的最长轴是放在球的半径的方向上，则它可能减小A₂ 的势，即使它是完全位于球内的。但是这种叙述只是想对在仪器的给定排列下所应预料的现象作出一种粗略的估计而已。

92.〕　如果一个新导体A₃ 被引入场中，则已在场中的所有各导体的电容都会增大，而任一对导体之间的感应系数的数值则会减小。

让我们假设A₁ 的势是1而所有其他导体的势都为零。既然新导体上的电荷是负的，它就将在每一个其他导体上感应出一个正电荷，从而就将增大A₁ 上的正电荷而减小每一个其他导体上的负电荷。

电力在移动一组绝缘的带电导体时所做的功

93a.〕　既然各导体是绝了缘的，它们的电荷在移动中就保持不变。设它们在移动之前的势是V₁ ，V₂ ，…，V_n ，而在移动之后的势是 …， 电能在移动之前是 而在移动之后是

电力在移动的期间所做的功是初能量W比末能量W′多出的数量，或者说是

这一表示式给出一个绝缘导体组在大的或小的任何位移中所做的功。

为了求出倾向于引起特定种类位移的力，设φ是一个变量，它的变化对应于该种位移，并设Φ对应的电力，当它倾向于增大φ时力算作正的，于是就有Φdφ＝-dW_e ， 式中W_e 代表作为各电荷之二次函数的电能表示式。

93b.〕　现在证明

我们有体系能量的三种不同的表示式。一种是n个电荷和n个势的确定函数 另一种是 式中r和s可以相同或不同，而rs和sr都应包括在和式中。

这是n个电荷和各个确定着位形的变量的一个函数。设φ是其中的一个变量。第三种是 式中和式的求法同上。这是n个势和各个确定着位形的变量的一个函数，而φ就是其中的一个变量。

既然W＝W_e ＝W_v ，就有W_e ＋W_v －2W＝0。

现在让n个电荷、n个势和φ以任何自洽的方式发生变化，于是必有

喏，n个电荷、n个势和φ并不完全是互相独立的，因为事实上只有其中的n＋1个可以是独立的。但是我们已经证明 因此第一个和式恒等于零，而由此即得（尽管我们还不曾证明它） 而最后就得到

电力在各势保持恒定的一个导体组移动时所做的功

93c.〕　由上式可知，力 而如果导体组是在所有的势都保持恒定的条件下被移动的，则电力所做的功是∫Φdφ＝∫dW_v ＝W_v ′－W_v ；或者说，在这一事例中，电力所做的功等于电能的增量。

于是，在这里，我们同时有一个能量的增量和体系所作的一定数量的功。因此体系必有某种外界能源例如一个伏打电池向它供应能量，以保持各势在移动过程中不变。

因此，电池所做的功就是体系所做的功和能量增量之和，而既然二者相等，电池所做的功就是导体组在移动中所做的功的两倍。

论相似带电体系的比较

94.〕　设两个带电体系在几何意义上是相似的，使得两个体系中对应线段的长度是成L和L′之比，如果隔开各导体的电介质在两个体系中也相同，则各个感应系数和电容系数也将成L和L′之比。因为，如果我们考虑两个体系的对应部分A和A′，并假设A上的电量是e，A′上的电量是e′，则由这种电荷在对应点B和B′引起的势V和V′将是

和

但是AB和A′B′之比等于L和L′之比，因此我们必有e:e′∷LV:L′V′。

但是，如果电介质的感应本领在两个体系中是不同的，在第一个体系中是K而在第二个体系中是K′，那么，如果第一体系中任一点上的势和第二体系中对应点上的势成V和V′之比，而且对应部分上的电荷成e和e′之比，则我们将有e:e′∷LVK:L′V′K′。

利用这种比例式，我们可以求出二体系之对应部分的总电荷。这两个体系首先是几何地相似的，其次是包含着一些电介媒质，它们在对应点上的比感本领成K和K′之比，而第三是经过适当的充电，使得对应点上的势成V和V′之比。

由此可见，如果q是第一体系中的任何一个电容系数或感应系数，而q′是第二体系中的对应系数，则q:q′∷LK:L′K′；而如果p和p′代表二体系中的对应势系数，则

如果第一体系中的一个物体被移动，而第二体系中的对应物体得到一个相似的位移，则这些位移成L和L′之比；而如果作用在两个物体上的力成F和F′之比，则在二体系中所做的功将成FL和F′L′之比。

但是，总电能等于各带电体的电荷和势的乘积之和的一半，因此，在相似的体系中，如果W和W′分别是两个体系中的总电能，则W:W′∷eV:e′V′，而且两个体系在相似位移之后的能量差也将成相同的比例。由此可见，既然FL正比于位移过程中所作的电功，就有FL:F′L′∷eV:e′V′。

把这些比例式结合起来，我们就发现第一体系中作用在任一物体上的力和第二体系中作用在对应物体上的力之比，是F:F′∷V² K:V′² K′，或 第一个比例式表明，在相似的体系中，力正比于电动势的平方和电介质的感应本领，而和体系的实际尺寸无关。

因此，放在感应本领比空气的感应本领要大的一种液体中的两个导体，当充电到给定的势时将互相吸引，比在空气中充电到同样的势时吸引得更加强烈。

第二个比例式表明，如果每一物体上的电荷都已给定，则力正比于电荷的平方而反比于距离的平方，也反比于媒质的感应本领。

由此可见，如果带有给定电荷的两个导体被放在感应本领比空气的感应本领要大的一种液体中，则它们将互相吸引，比它们被空气所包围并充有相同的电量时吸引得要微弱一些 ^〔42〕 。

第四章　普遍定理

95a.〕　在第二章中，我们曾经计算了势函数并考察了它的一些性质，所根据的假说是，在带电体之间存在着一种直接的超距作用，而这就是物体各带电部分之间的那些直接作用的合作用。

如果把这种方法叫做考察的正方法，则逆方法将是假设势是由和我们已经确立的那些性质相同的性质表征着的一个函数，而来考察这个函数的形式。

在正方法中，势是通过积分过程而从电分布算出的，并且是被发现满足某些微分方程的。在逆方法中，各微分方程被假设为已经给定，而我们则必须求出势和电分布。

只有在电分布已经给定的问题中正方法才可以用。当我们必须求出导体上的电分布时，我们就必须利用逆方法。

现在我们必须证明逆方法在每一事例中都导致一种确定的结果，并确立某些从泊松偏微分方程 推出的结果。

由这一方程所表达的数学概念，是和由定积分 所表达的数学概念种类不同的。

在微分方程中，我们表达的是，V在任一点的邻域中的二阶导数之和。是以某种方式和该点的密度联系着的，而并没有表达该点的V值和离该点为有限距离的任一点上的ρ值之间的任何关系。

另一方面，在定积分中，ρ存在之点（x′，y′，z′）和V存在之点（x，y，z）之间的距离是用r来代表的，而且在被积分式中是明确地照顾到了的。

因此积分就是质点间超距作用理论的一种适当的数学表示，而微分方程则是媒质相邻各部分之间发生作用的那种理论的适当表示。

我们已经看到，积分的结果满足微分方程。现在我们必须证明，它是该方程的唯一满足某些条件的解。

我们将用这种办法不但确立两种表示之间的数学等价性，并且为我们从直接超距作用理论过渡到媒质相邻部分之间的作用理论做好思想准备。

95b.〕　本章所考虑的这些定理，和在某一有限空间域中求出的某些体积分的性质有关，而那种空间域我们可以称之为电场。

这些积分的元量，即积分号下的表示式，不是其方向和量值在场中逐点变化的某个矢量的平方就是一个矢量和另一矢量在它的方向上的分量的乘积。

在一个矢量可以在空间中分布的那些不同方式中，有两种是特别重要的。

第一种方式是，矢量可以表示成一个叫做“势”的标量函数的空间改变量〔第17节〕。

这样的一种分布可以叫做一种“无旋分布”。力定律各自为距离的给定函数的一些力心的任意组合所引起之吸引力或推斥力的合力，就是无旋地分布着的。

第二种分布方式是，敛度〔第25节〕在每一点都为零。这样一种分布可以做一种“管状分布”。一种不可压缩流体的速度就是按管状的方式分布的。

我们说过，有心力引起合力的无旋分布。当这种有心力是按照距离的平方反比规律而变化时，如果各力心位于场外，则场内的分布既是无旋的又是管状的。

我们说过，不可压缩流体的运动是管状的。当这种运动起源于依赖于距离的力心或表面压力对起初处于静止的无摩擦流体的作用时，速度的分布既是管状的又是无旋的。

当我们必须确定一种同时是无旋的和管状的分布时，我们将称它为一种“拉普拉斯分布”，因为拉普拉斯曾经指出了这种分布的一些最重要的性质。

我们即将看到，本章所考虑这些体积分，是电场的能量的表示式。在从格林定理开始的第一组定理中。能量是用电动强度来表示的，而电动强度就是在一切电平衡的事例中都无旋地分布着的一个矢量。即将证明，如果表面势已经给定，则在一切无旋分布中同时又是管状的那个分布具有最小能量；而从此又可推知，只可能有一种拉普拉斯分布和表面势相容。

在包括汤姆孙定理在内的第二组定理中，能量是用电位移来表示的，而电位移则是一个有着管状分布的矢量。可以证明，如果表面电荷已经给定，则在一切管状分布中具有最小能量的那种分布就也是无旋的；而从此又可推知，只可能有一种拉普拉斯分布和已给的表面电荷相容。

所有这些定理的演证都是按相同的方式进行的。为了避免重复，在按直角坐标来计算面积分的步骤的每一事例中，我们都利用第21节中的定理三 ^〔43〕 ，那里很全面地给出了体积分和对应的面积分之间的关系。因此，我们所要作的，只是在该定理中把X、Y、Z代成特定的定理所依赖的那个矢量的分量而已。

在本书的第一版中，每一条定理的叙述中都夹杂着许多不同的条件，目的是要显示定理的普遍性以及它可以适用的那些事例的多样性，但是那却倾向于使读者在心中把所假设的东西和要证明的东西混为一谈。

在现在这一版中，每一条定理都是首先用一种如果是特殊却也是更明确的方式叙述出来的，而然后才证明该定理可以有多大程度的普遍性。

我们一直是用符号V来代表势的，而且每当我们只是处理的静电学时，我们就将继续这样做。然而在这一章中，以及在下卷的那些电势出现在电磁考察中的各编中，我们却将用φ来作为电势的一个专用符号。

格林定理

96a.〕　下述重要定理是由乔治·格林在他的《关于数学对电和磁的应用的文章》中给出的。

定理和由一个闭合曲面s所包围的空间有关。我们可以把这个有限的空间叫做“场”。设v是从曲面s向场中画出的一条法线，并设l、m、n是这条法线的方向余弦，则

将是当沿v前进时函数Ψ的变化率。 的值被理解为是在表面本身上取的，那里的v＝0。

让我们也像在第26和77节中那样写出　　

而当有两个函数Ψ和Φ时，让我们写出　　

不熟悉四元数方法的读者如果愿意，可以把∇² 和S. ∇ψ∇Φ看成不过是在以上二式中和它们相等的那些量的一种约定的简写；而且，由于我们在后文中将应用笛卡儿坐标，也就用不着记得这些表示式的四元数诠释。然而，我们使用这些写法而不是用一个任意选出的单独字母来代表这些表示式，其原因就是，在四元数的语言中，它们全面地代表着和它们相等的那些量。算符∇作用在标量函数Ψ上，就给出该函数的空间改变量，而-S. ∇Ψ∇Φ一式就是两个空间改变量的乘积的标量部分，或者说是其中一个空间改变量乘以另一个空间改变量在它方向上的分量而得到的乘积。 在四元数理论中通常写成S. U_v ∇Ψ，此处U_v 是沿法线方向的一个单位矢量。看来在这儿使用这个符号并无多大好处，但是当我们开始处理各向异性的媒质时，我们就会发现使用这个符号的好处了。

格林定理的叙述

设Ψ和Ψ是x、y、z的两个函数，它们本身和它们的一阶导数都在以闭合曲面s为边界的非循环域s中是有限的和连续的，于是就有

式中的二重积分是展布在整个闭合曲面s上的，而三重积分则遍及由该曲面所包围的整个场s。

为了证明这一定理，在第21节的定理三中写出

于是就有　　

以及　　

但是由定理三， 或者，由（6）和（7），就有

既然在此式的右端Ψ和Φ可以互换，它们在左端也就可以互换，于是我们就得到由方程（4）给出的格林定理的完全证明。

96b.〕其次我们必须证明，当其中一个函数例如是一个多值函数时，格林定理也成立，如果该函数的一阶导数是单值的而且在非循环域Ψ中并不变为无限大的话。

既然∇Ψ和∇Φ是单值的，（4）式的右端就是单值的。但是既然Ψ是多值的，左端的任一项例如Ψ∇2Φ就是多值的。然而，如果我们在域s中的一个点A上选定Ψ的许多值中的一个，例如Ψ₀ ，则Ψ在任何其他点P上的值也将是确定的。因为，既然所选定的Ψ值在域中是连续的，Ψ在P上的值就必然是从A上的值Ψ。开始沿着从A到P的任何路径通过连续变化而达到的那个值。假如在P点的值对于A、P之间的两条路径是不同的，则这两条路径之间必然包围了一条闭合曲线，而Ψ的导数在那条曲线上变为无限大 ^〔44〕 。喏，这是和预设的条件相矛盾的，因为，既然各导数在域s中不会变成无限大，闭合曲线就必然完全位于域外，而既然域是非循环的，域内的两条路径就不可能包围域外的任何东西。

因此，如果Ψ₀ 被取作Ψ在点A上的值，则Ψ在P上的值是确定的。

假如曾经选定Ψ的任何别的值例如Ψ₀ ＋nk来作为A点上的值，则P点上的值将是Ψ＋nk。但是，方程（4）的左端却将和以前相同，因为，这种改变将使左端增大一个量

而根据第21节中的定理三，这个量是零。

96c.〕　如果域s是双连通的或三连通的，我们就可以通过用屏障来把它的每一条回路都隔断而把它简化成非循环域。｛这时我们就可以对一个域应用定理，该域以s的表面和屏障的正面及负面为其边界面。｝

设s₁ 是其中一个屏障，而K₁ 是对应的循环常数，也就是在沿正方向绕回路巡行一周时的Ψ的增量。既然域s是位于屏障两侧的，s₁ 的每一个面积元就都将在面积分中出现两次。

如果我们假设法线v₁ 是向着ds₁ 的正面画的，而v′₁ 是向着反面画的，则有 和Ψ′₁ ＝Ψ₁ ＋（k₁ ），于是，既然dv就是正曲面之内向法线上的元线段，面积分中来自ds₁ 的元量就将是 由此可见，如果域s是多连通的，则方程（4）的第一项必须写成

式中dv是边界面上内向法线的元线段，而且式中的第一个面积分应该是在边界面上计算的，而其他的面积分则是在不同的屏障上计算的，屏障的每一个面积元只取一次，其法线沿着回路的正方向画出。

定理在多连通域事例中的这种修订，是由亥姆霍兹首先证明其为必要的 ^〔45〕 ，并且是由汤姆孙首先应用于该定理的 ^〔46〕 。

96d.〕　现在让我们和格林一起假设，其中一个函数例如Φ并不满足它自己及其一阶导数在所给域中不会变成无限大的条件，而是在域中的一点P上而且只在P上变成无限大，而且在和P很靠近的地方Φ的值是Φ＋e/r，式中Φ0是一个有限而连续的量，而r是到P点的距离 ^〔47〕 。如果Φ是由集中在P点上的一个电量以及在所考虑域中到处都不会变成无限大的任何一种电荷体密度的分布所引起的势，情况就会是这样的。

现在让我们假设以a为半径以P点为心画一个很小的球。于是，既然在这个球的外面和曲面s里面的那个域中Φ并不显示任何奇异性，我们就可以把格林定理应用在该域上，只要记得在计算面积分时应该把小球面考虑在内。

在计算体积分时，我们必须从起源于整个域的体积分中减去起源于小球的体积分。

现在，适用于球的体积分∭Φ∇² Ψdxdydz不可能在数值上大于（∇² Ψ）_g ∭Φdxdydz，或 式中写在任何量旁的下标g表明取该量在球内的最大数值。

因此这个体积分具有α² 的数量级，从而当α渐减而最后变为零时体积分是可以忽略的。

另一个球积分∭Ψ∇² Φdxdydz将被假设为在小球面和曲面s之间的域中进行计算，从而积分域并不包含Ψ在它那里变为无限大的那个点。

球上的面积分 不可能在数值上大于

现在，由第21节的定理就有 因为这里的dv是从球面向外量度的；而且此式不可能在数值上大于 而且Φ_g 在球面上近似地等于 从而 不可能在数值上大于 从而它具有α² 的数量级，而且当α趋于零时是可以忽略的。

但是方程另一端的在球面上计算的面积分 却并不变为零，因为 dv从球面向外量度，而且，如果Ψ₀ 是Ψ在P点上的值，就有

因此，在这一事例中，方程（4）就变为

^〔48〕

97a.〕　我们可以像格林那样利用这一定理来确定一种分布的面密度，那种分布将引起一种势，使得势的值在一个给定的闭合曲面的内外都是给定的；这样就可以得到格林定理在这一事例中的一个例证。这些势值必须在曲面上互相重合，而且在曲面内部有∇² Ψ＝0，而在曲面外部则有∇² Ψ′＝0，式中Ψ和Ψ′代表曲面内和曲面外的势。

格林是从正过程开始的，就是说，给定了面密度σ的分布，一个内部点P上和一个外部点P′上的势是通过计算积分　　

来得出的，式中的r和r′分别从P点和P′点量起。

现在令Φ＝1/r，然后对曲面内部的空间应用格林定理。记得在整个积分限内有∇² Φ＝0和∇² Ψ＝0，我们就得到　　 ^〔49〕

式中Ψ_P 是Ψ在P点上的值。

另外，如果我们把定理应用到曲面s和在无限远α处包围该曲面的另一曲面之间的空间中，则属于后一曲面的那一部分面积分将具有1/α的数量级而可以忽略，从而我们就得到　　

现在，在曲面上有Ψ＝Ψ′，而既然法线v和v′是向相反的方向画的，又有

由此可见，当把方程（10）和（11）相加时，左端就互相抵消，而我们就有

97b.〕　格林也证明了，如果势Ψ在一个闭合曲面s的每一点上的值是任意给定了的，则曲面内部或外部任一点上的势可以确定，如果在曲面内部或外部有∇² Ψ＝0的话。

为了证明这一点，他假设函数Φ在P点附近的值近似地是1/r，在曲面s上的值是零，而在曲面内部的每一点上有∇² Φ＝0。

至于这样一个函数必然存在，格林是从一种物理考虑来证明的；就是说，如果s是一个接地的导电表面，并有一个单位电荷放在P点，则s内的势必然满足上述条件。因为，既然s是接地的，s上每一点的势必然是零；而既然势起源于P点上的电和在s上感应出来的电，在曲面内部的每一点上就有∇² Φ＝0。

对这一事例应用格林定理，我们就得到　　

此处面积分中的Ψ就是面积元ds上的势的给定值；而且，如果σP是由P点上的单位电量在s上感应出来的电的面密度，就有　　

从而我们就可以把方程（13）写成　　 ^〔50〕

式中σ是由P点上等于1的电荷在ds上感应出来的电荷面密度。

因此，如果对P点的一个具体位置来说曲面每一点上的σ值为已知，我们就可以通过普通的求积分来计算P点的势，这时假设曲面每一点上的势已经给定，而曲面内部的势则满足条件∇² Φ＝0。

我们在以后即将证明，如果我们已经求得了一个满足这些条件的函数Ψ，则它是唯一满足这些条件的函数。

格林函数

98.〕　设使一个闭合曲面s保持于零势。设P和Q是位于曲面s的正面上的两个点（我们可以把内面或外面设为正面），并设把一个带有单位电荷的小物体放在P点上；Q点的势将包括两部分，其中一部分是由P点上的电荷的直接作用引起的，而另一部分则是由该电荷在s上感应出来的那些电的作用引起的。后一部分势叫做“格林函数”，并用G_pq 来代表。

这个量是P、Q二点的位置的函数，其函数形式依赖于曲面s。它已经针对s是一个球的事例和少数几个其他事例被算出。它代表由P点上的单位电荷在s上感应出来的电荷在Q点引起的势。

任意点Q上的实际势起源于P点的电荷和s上的感生电荷；此势是1/r_pq ＋G_pq ，式中r_pq 代表P和Q之间的距离。

在曲面s上，以及在s的负表面的每一点上，势都为零，因此就有

式中下标a表示取的是曲面s上的一个点A而不是Q。

设 代表由P在曲面s的一点A′感应出来的面密度，于是，既然G_pq 是由表面分布在Q上引起的势，那就有　　

式中ds′是A′点处的一个面积元，而积分则遍及整个曲面s。

但是，假如曾把一个单位电荷放在Q上，我们由方程（1）就应有

式中σ_qa 是由Q感应出来的电在A点的密度，ds是一个面积元，而r_aa′ 是A和A′之间的距离。把1/r_qa′ 的这个值代入G_pq 的表示式中，我们就得到

既然这个表示式当把p改成q而把q改成p时并不改变，我们就发现

这是我们在第86节中已经证明其为必要的一个结果，但是我们现在看到它也可以由计算格林函数的数学手续来推出。

如果我们假设一种完全任意的电分布，并在场中放上一个带有单位电荷的点，如果零势曲面把该点和所设的分布完全分隔了开来，那么，如果我们把这个曲面取作s，并把这个点取作P，则对和P点位于曲面的同侧的任一点来说，格林函数就将是所设的分布在曲面的另一侧引起的势。利用这种办法，我们可以构想出任意多的事例，使得格林函数可以针对P点的一个特定位置来算出。当曲面的形式已经给定而P点的位置为任意时，这一函数形式的寻求就是一个困难得多的问题，尽管我们已经证明这在数学上是可能的。

让我们假设问题已经解决，而P是取在曲面的内部的。这时，对于一切外部的点来说，表面分布的势都和P点的势相等而异号。因此表面分布就是心压式的（centrobaric） ^〔51〕 ，而它对一切外部点的作用和放在P点上的一个单位电荷的作用相同。

99a.〕　如果我们在格林定理中令φ＝Φ，就得到

如果Ψ是由一种电分布引的势，而该分布在空间中有体密度ρ，在表面为s₁ 、s₂ 等等而势为Ψ₁ 、Ψ₂ 等等的一些导体上有面密度σ₁ 、σ₂ 等等，则有

式中dv是从导体向外画的，而且　　

式中e₁ 是曲面s₁ 上的电荷。

将（16）式除以-8π，我们就得到

第一项是由面分布引起的体系的电能，而第二项是由场中的电分布引起的电能，如果这样一种分布存在的话。

因此，等式的右端就表示体系的全部电能 ^〔52〕 ，此处势 是x、y、z的给定函数。

由于常常要用到这个体积分，我们将用一个简写符号W_Ψ 来代表它，于是就有

如果仅有的电荷就是各导体表面上的那些电荷，则ρ＝0，而方程（20）左端的第二项不复存在。

正如在第84节中一样，能量表示式的第一项用各导体的电荷和势表示了带电体系的能量，我们将用W来代表这一能量表示式。

99b.〕　设 是x、y、z的一个函数，满足一个条件，即它在一个闭合曲面s上的值 在曲面的每一点上都是一个给定的量。在不在曲面s上的各点上，Ψ的值是完全任意的。

让我们也写出　　

积分遍及曲面内的整个空间，于是我们就将证明，如果 是 的一种特定形式，它满足表面条件而且在曲面内的每一点上也满足拉普拉斯方程　　

则对应于 的W值W₁ 将小于对应于在曲面内的任一点上和Ψ₁ 不相同的任意函数的W值。

因为，设 在曲面上和 相重合，但并不是在曲面内部的每一点上都和 相重合，而且让我们写出　　

于是 就是在曲面的每一点上都为零的一个函数。

对Ψ而言的W值显然是

由格林定理，最后一项可以写成　　

体积分等于零，因为在曲面内部有 面积分也等于零，因为在曲面上有 因此方程（25）就简化成了　　

喏，作为三个平方项之和，W₂ 的被积分式不可能有负值，于是积分本身只能大于或等于零。由此可见，如果W₂ 不为零，它就必须是正的，从而W就大于W₁ 。但是，如果W₂ 为零，它的每一个被积元量就必须为零，从而在曲面内部的每一点上都有

从而 在曲面内部必为常量。但是在曲面上有 从而在曲面内部的每一点上也有 ，从而 因此，如果W不大于W₁ ，则 必然在曲面内部的每一点上恒等于

由此可知， 是在曲面上变为 而在曲面内部的每一点上满足拉普拉斯方程的一个唯一的x、y、z的函数。

因为，如果这些条件是被任何其他函数 所满足的，则W₃ 必然小于任何别的W值。但是我们已经证明W₁ 小于任何别的值，从而它也小于W₃ 。因此任何不同于 的函数都不能满足条件。

我们将发现最有用处的事例就是，场是由一个外表面s和任意多个内表面s₁ 、s₂ 等等所限定的，而且条件是， 将在s上为零，在s₁ 上为 在s₂ 上为 等等，此处 等等对各自的曲面为常量，正如在各势为给定的导体组中那样。

在所有满足这些条件的 函数中，在场中每一点上都满足 的那个函数将给出 的最小值。

汤姆孙定理　引理

100a.〕　设 是x、y、z的一个任意函数，在闭合曲面s内部为有限和连续，而且在某些闭合曲面s₁ ，s₂ ，…，s_p ，等等上各自有常量值 等等。

设u、v、w是x、y、z的函数，而我们可以把它们看成一个满足管状条件

的矢量 的分量；另外，让我们在定理三中令　　

于是我们就作为这些代入的结果而得到

面积分遍及于各个不同的曲面，体积分遍及于整个场，而l_p 、m_p 、n_p 是s_p 上向场中画的法线的方向余弦。现在，体积分由于u、v、w的管状条件而等于零，而各个面积分在下列各事例中等于零：

（1）当在曲面的每一点上有Ψ＝0时。

（2）当在曲面的每一点上有lu＋mv＋nw＝0时。

（3）当曲面完全由满足（1）和（2）的一些部分构成时。

（4）当Ψ在每一个闭合曲面上为常数，并有∬（lu＋mv＋nw）ds＝0时。

因此，在这四种事例中，体积分就是

100b.〕　现在考虑由一个闭合的外表面s和一些闭合的内表面s₁ 、s₂ 等等所限定的场。

设 是x、y、z的一个函数，在场中为有限和连续并满足拉普拉斯方程

而且， 在各曲面s₁ 、s₂ 等等上有恒定的但不是已知的值 等等，而在外表面s上则为零。

任一导电表面例如s₁ 上的电荷，由面积分　　

给出，法线v₁ 是从曲面s₁ 向电场中画出的。

100c.〕　现在设f、g、h是x、y、z的函数，而我们可以把它们看成一个矢量 的分量，该矢量只满足这样的条件：在场中每一点上，必须满足管状条件

而在任一闭合的内表面例如s₁ 上，则面积分　　

式中l₁ 、m₁ 、n₁ 是从曲面s₁ 向外画入场中的法线v₁ 的法线的方向余弦，而e₁ 则是方程（33）中那同一个量，这事实上就是以s₁ 为其表面的那个导体上的电荷。

我们必须考虑在s之内和s₁ 等等之外的整个场中计算的体积分

并把它和　　

相比较，式中的积分限是相同的。

让我们写出

以及　　

于是，既然

就有　　

现在，首先，u、v、w满足管状条件，因为由方程（38）就有

而根据方程（34）和（32）所表示的那些条件，（41）右端的两部分都等于零。

其次，面积分为

但是由（35）可知右端第一项是e₁ ，而由（33）可知第二项是-e₁ ，于是就有

因此，既然ψ是常量，第100a节中的第四个条件就得到满足，从而方程（40）的最后一项就是零，于是方程简化为　　

现在，既然积分 中的被积分式是三个平方项之和u2＋v2＋w2，积分就必须为正或为零。如果在场中任一点上u、v、w并不各自等于零，积分 就必将有一个正值，从而 就必然大于 只有在每一点上u＝v＝w＝0各值才满足条件。

由此可见，如果在每一点上有　　

则　　

而和这些f、g、h值相对应的W 则小于和任何不同于这些值的f、g、h值相对应的值。

因此，当每一个导体上的电荷已经给定时，确定场中每一点上的位移和势的问题就有一个而且只有一个解。

在它的一种更普遍的形式下，这条定理是由W.汤姆孙爵士给出的 ^〔53〕 。我们在以下将指明它可以有些什么样的推广。

100d.〕　这条定理可以修改如下：假设矢量 不是在场中每一点上满足管状条件而是满足　　

式中ρ是一个有限的量，它在场中每一点上的值已经给定，可以为正或为负，可以是连续的，然而它在一个有限域中的体积分却是有限的。

我们也可以假设，在场中的某些曲面上，有

式中l、m、n和l′、m′、n′是从曲面上的一点向着位移分别为f、g、h和f′、g′、h′的域中画出的法线的方向余弦，而σ是在曲面的一切点上给定的一个量，它在一个有限曲面上的面积分是有限的。

100e.〕　我们也可以改变边界曲面上的条件，即假设在这些曲面的每一点上有

式中σ是在每一点上给出的。

（在起初的叙述中，我们只假设了σ的积分值在每一个曲面上是给定的。在这里，我们假设σ的值在每一个面积元上是给定的；这种假设和在原有假设中把每一个面积元看成一个分离的曲面时意义相同。）

这些修订全都不会影响定理的成立，如果我们记得Ψ必须满足对应的条件，即满足

普遍条件　　

和表面条件　　

的话。

因为，如果像以前那样仍有 则u、v、w将满足普遍的管状条件 和表面条件lu＋mv＋nw＋l′u′＋m′v′＋n′w′＝0，而且在外表面上有lu＋mv＋nw＝0，由此我们就像从前那样得到 以及W ＝W_Ψ ＋W 。

因此，和从前一样，已经证明W 是当W ＝0时的唯一的极小值，这就意味着u² ＋v² ＋w² 到处为零，从而就有

101a.〕在这些定理的叙述中，我们一直只考虑了那样一种电学理论，它认为带电体系的性质依赖于各导体的形状和相对位置，并依赖于它们的电荷，但是我们却不曾照顾各导体之间的电介媒质的本性。

例如，按照这种理论，在一个导体的面密度和刚好在它外边的电动强度之间，存在着一种不变的关系，就像在库仑定律R＝4πσ中表达出来的那样。

但是这只有在我们可以取为空气的标准媒质中才是对的。在其他媒质中，关系是不同的，正如卡文迪什在实验上证明了（尽管没有发表）而后又由法拉第独立地重新发现了的那样。

为了全面地表示现象，我们发现有必要考虑两个矢量，它们之间的关系在不同的媒质中是不同的。其中一个矢量是电动强度，而另一个就是电位移。电动强度是通过形式不变的方程而和势联系着的，电位移是通过形式不变的方程而和电的分布联系着的，但是电动强度和电位移之间的关系却依赖于电介媒质的本性，而且必须用一些方程来表示，那些方程的最普遍的形式是还没有充分确定的，而且是只能通过有关电介质的实验来确定的。

101b.〕　电动强度是一个矢量，在第68节中定义为作用在一个小电量e上的机械力并除以e，我们将用字母P、Q、R来代表它的分量，而用 代表矢量本身。

在静电学中， 的线积分永远和积分路径无关，或者换句话说， 是一个势函数的空间改变量。因此就有 或者更简练地用四元数语言表示就是

101c.〕　沿任一方向的电位移，在第60节中定义为通过一个小面积A而运动过去的电量并除以A，而A的平面垂直于所考虑的方向。我们将用字母f、g、h来代表电位移的直角分量，而用 来代表矢量本身。

任意点上的体密度，由方程 来确定，或者，在四元数语言中就是

一个带电曲面的任一点上的面密度，由方程σ＝lf＋mg＋nh＋l′f′＋m′g′＋n′h′来确定，式中f、g、h是曲面一侧的电位移分量，从该侧画起的法线的方向余弦是l、m、n；f′、g′、h′和l′、m′、n′是曲面另一侧的电位移分量和法线的方向余弦。

这一点，在四元数中用方程 来表示，式中U_v 、U_v′ 是曲面两侧的单位法线，而字母S表明应取乘积的标量部分。

当曲面是一个导体的表面时，v就是向外画的法线，而既然这时f′、g′、h′和 都为零，方程就简化为σ＝lf＋mg＋nh＝－S.U_v 。

因此导体上的总电荷就是

101d.〕　正如在第84节中已经证明的那样，体系的电能是各电荷和相应之势的乘积的一半。用W代表这个能量，就有

式中的体积分应该遍及整个电场，而面积分则遍及各导体的表面。

在第21节的定理三中写出X＝Ψf, Y＝Ψg, Z＝Ψh，我们发现，如果l、m、n是从曲面向场中画出的法线的方向余弦，就有

将这个值作为面积分代入W中，我们就得到

或　　

101e.〕　现在我们来看 和 之间的关系。

电量的单位通常是参照在空气中做的实验来定义的。现在我们由玻尔兹曼的实验得知，空气的电介常数比真空的略小，而且是随密度而变的。因此，严格说来，关于电学量的一切测量结果都应该换算到标准压强和标准温度下的空气中的情况，或是更加科学化地换算到真空中的情况，正如在空气中测量的折射率需要一种类似的改正那样。在这两种事例中，改正量都很小，只有在极端精确的测量中才能觉察到。

在标准媒质中，有 或者说4πf＝P, 4πg＝Q, 4πh＝R。

在电介常数为K的各向同性的媒质中，有

4πf＝KP, 4πg＝KQ, 4πh＝KR。

然而也有某些媒质，其中玻璃被研究得最为仔细；在这些媒质， 和 之间的关系更加复杂，而且包括一个或两个量的时间变化率，从而那种关系必将具有下列形式

我们暂时不打算讨论这种更普遍的关系，而是将只讨论 是 的一个线性的矢量函数的情况。

这样一种关系的最普遍形式可以写成 式中的φ在目前的考察中永远代表一个线性的矢量函数。因此， 的各分量是E的各分量的齐次线性函数，并且可以写成

4πf＝K_xx P＋K_xy Q＋K_xz R,

4πg＝K_yx P＋K_yy Q＋K_yz R,

4πh＝K_zx P＋K_zy Q＋K_zz R；

式中每一个系数K的第一个下标指示位移的方向，而第二个下标指示电动强度的方向。

最普遍形式的线性矢量函数包括九个独立的系数。当具有一对相同下标的系数彼此相等时，函数就被说成是自共轭的。

如果我们用 来表示 就得到 或P＝4π（k_xx f＋k_yx g＋k_zx h），Q＝4π（k_xy f＋k_yy g＋k_zy h），R＝4π（k_xz f＋k_yz g＋k_zz h）。

101f.〕　其分量为P、Q、R的电动强度在单位体积的媒质中引起分量为df、dg、dh的位移时所做的功是dW＝Pdf＋Qdg＋Rdh。

既然处于电位移状态｛在稳定状态｝下的一种电介质是一个保守体系，W就必然是f、g、h的函数，而既然f、g、h可以独立地变化，我们就有 由此即得

但是 就是g在P的表示式中的系数，而 就是f在Q的表示式中的系数。

因此，如果一种电介质是一个保守体系（而我们知道它是这样的，因为它可以无限期地保持它的能量），则k_xy ＝k_yx ，而φ^-1 是一个自共轭的函数。

由此可以推知，φ也是自共轭的，从而K_xy ＝K_yx 。

101g.〕　因此，能量的表示式可以写成两种形式中的任何一种：

或W ＝2π∭［k_xx f² ＋k_yy g² ＋k_zz h² ＋2k_yz gh＋2k_zx hf＋2k_xy fg］dxdydz,

此处W的下标指示用它来把W表示出来的那个矢量。当没有下标时，能量就被理解为是用两个矢量表示出来。

于是我们就总共有了电场能量的六种不同的表示式。其中三种涉及导体表面上的电荷和势，这已在第87节中给出了。

另外三种是在整个电场中计算的体积分，而且涉及电动强度的或电位移的或它们二者的各个分量。

因此，前三种属于超距作用理论，而后三种则属于借助于中间媒质而发生作用的理论。

后三种W表示式可以写成　　

101h.〕　为了把格林定理推广到一种不均匀的各向异性媒质中，我们只需在第21节的定理三中写出　　

于是，如果l、m、n是曲面的外向法线的方向余弦（并记得各系数的下标次序可以随意变动），我们就得到

利用四元数的符号，结果就可以更简洁地写成

一个导体之电容的上下限

102a.〕　一个导体或一个导体组的电容，曾经定义在当升高到势1时该导体或导体组上的电荷，这时场中所有其他的导体都应处于零势。

确定电容之上下限的下述方法是J. W. 斯特鲁特勋爵在一篇题为《论共振理论》的论文中提出的（J. W. Strutt, Phil. Trans. 1871.），参阅第306节。

设s₁ 是我们要确定其电容的那一导体或导体组的表面，而s₀ 是所有其他导体的表面。设s₁ 的势是Ψ₁ 而s₀ 的势是Ψ₀ 。设s₁ 的电荷是e₁ 。设s₀ 的电荷是-e₁ 。

于是，如果s₁ 的电容是q，则　　

而如果W是体系在其实际电分布下的能量，则　　

从而　　

先求电容值的上限：假设一个任意的势函数，它在s₁ 上的值是1而在s₀ 上的值是零，并计算在整个场中求的体积分　　

于是，既然我们已经证明（第99b节）W不能大于W_Ψ ，电容q就不能大于2W_Ψ 。

再求电容值的下限：假设任意一组函数f、g、h满足方程　　

并使得　　

试计算在整个场中求的体积分　　

这时，既然我们已经证明（第100c节）W不能大于W ，电容q就不能小于

求得满足管状条件的一组函数f、g、h的最简单方法，就是在曲面s₁ 上和s₀ 上各设一种电分布，其电荷之和为零，然后计算由这种分布引起的势，以及体系在这种安排下的电能。

于是，如果我们令 这些f、g、h就将满足管状条件。

但是，在这一事例中，我们可以确定W 而不必经过计算体积分的过程，因为，既然这种解在场中的一切点上都使∇² Ψ＝0，我们就可以在面积分

的形式下得出W ，式中第一个积分在曲面s₁ 上求而第二个积分在曲面s₀ 上求。

如果曲面s₀ 是在离s₁ 无限远的地方，则s₀ 上的势为零，而第二项也就不复存在。

102b.〕　当各导体的势为给定时，它们的电分布问题的解的一种近似值可用下法得出：

设s₁ 是其势保持为1的一个导体或导体组的表面，并设s₀ 是所有其他导体的表面，其中包括包围着所有各导体的那一中空导体，但是后一导体在某些事例中可以在离其他导体无限远的地方。

开始时先从s₁ 到s₀ 画一组直线或曲线。

沿着其中每一条线，假设Ψ是分布得在s₁ 上等于1而在s₀ 上等于0。于是，如果P是其中一条线上的一个点｛s₁ 和s₀ 就是这条线和各曲面的交点｝，我们就可以取 作为初阶近似。

于是我们就将得到Ψ的一种初阶近似，满足在s₁ 上等于l而在s₀ 上等于0的条件。

按Ψ₁ 算出的W 将大于W。

其次，作为对力线的一种二阶近似，让我们假设

分量为f、g、h的矢量是垂直于Ψ等于常量的曲面的。让我们确定能使f、g、h满足管状条件的p。这时我们就得到

如果我们从s₁ 到s₀ 画一条线，使它的方向到处到垂直于Ψ₁ 等于常量的曲面，并且用s来代表从s₀ 量起的这条线的长度，就有

式中R是合强度并等于 于是就有

从而方程（11）就变成　　

由此即得　　

积分是沿s计算的线积分。

其次让我们假设，沿着曲线s，有

于是就有　　

积分永远理解为沿着曲线s计算。

常数C由一个条件来确定，那就是在s₁ 上有Ψ₂ ＝1，当也有Ψ₁ ＝1时。于是

这就给出Ψ的一个二阶近似，而且这种手续可以重复进行。

通过计算W 、W 、W 等等而得出的结果，给出一些交替地大于和小于真实电容并不断接近真实电容的电容值。

上述手续涉及曲线s的形式计算和沿这一曲线的积分计算，这些运算通常对实用目的来说是太困难的。

然而在某些事例中我们却可以用更简单的方法来求得一种近似。

102c.〕作为这种方法的一种例示，让我们应用此法来求出两个曲面之间的电场中的等势面和电感线的逐阶近似，该二曲面是近似地而不是绝对地平面的和平行的，其中一个平面的势为零，而另一个的势则为1。

设在两个曲面中，其势为零的那个曲面的方法是　　

而其势为1的那个曲面的方程是　　

a和b是x和y的给定函数，其中b永远大于a。a和b对x和y的一阶导数是一些小量，我们可以忽略它们的二次以上的乘幂或乘积。

我们在开始时将假设电感线平行于z轴，在这种情况下就有

因此，沿着每一条个别的电感线，h都是常量，从而

当z＝6时，ψ₁ ＝1，因此　　

从而　　

这就给出势的一阶近似，并指示了一系列等势面，而沿着平行于z轴的方向测量的各等势面之间的间隔是相等的。

为了得到电感线的一种二阶近似，让我们假设各电感线到处垂直于由方程（24）给出的那些等势面。

这就和下列条件相等价：　　

式中λ应该适当确定，使得在场中的每一点上有　　

并且使得沿着从曲面a到曲面b的任何电感线计算的线积分

都等于-1。

让我们假设　　

并忽略A、B、C的乘幂和乘积，而且在我们的这一工作阶段中也忽略a和b的一阶导数的乘幂和乘积。

于是管状条件就给出　　

式中　　

如果我们不是沿着新电感线而是沿着平行于z轴的旧电感线计算线积分，第二个条件就会给出　　

由此即得　　

以及

于是我们就发现，作为电位移分量的二阶近似，有

而作为势的二阶近似，则有

如果σ_a 和σ_b 分别是曲面a和b上的面密度而Ψ_a 和Ψ_b 是它们的势，则

^〔54〕

第五章　两个带电体系之间的机械作用

103.〕　设E₁ 和E₂ 是两个带电体系，我们想要研究它们之间的相互作用。设E₁ 中的电分布由坐标为x₁ 、y₁ 、z₁ 的体积元的体密度ρ₁ 来确定。设ρ₂ 是E₂ 中坐标为x₂ 、y₂ 、z₂ 的体积元的体密度。

于是，由于E₂ 体积元的推斥而作用在E₁ 体积元上的力的x分量将是

式中r² ＝（x₁ －x₂ ）² ＋（y₁ 一y₂ ）² ＋（z₁ －z₂ ）² ，而且，如果A代表由于E₂ 的存在而作用在A₁ 上的全部力的x分量，则有

式中对x₁ 、y₁ 、z₁ 的积分是在E₁ 所占据的整个域中求的，而对x₂ 、y₂ 、z₂ 的积分是在E₂ 所占据的整个域中求的。

然而，既然除了在体系E₁ 中以外ρ₁ 等于零而除了在体系E₂ 中以外ρ₂ 等于零，如果把积分限扩大，积分的值也不会改变，因此我们可以假设每一个积分限都是±∞。

这一表示式是一种理论在数学符号形式下的忠实翻译，那种理论假设电力在物体之间直接超距地起作用，而对中间的媒质则不予任何注意。

如果我们现在用方程　　

来定义由于E₂ 的存在而在一点x₁ 、y₁ 、z₁ 上引起的势Ψ₂ ，则Ψ₂ 在无限远处将为零，并将到处满足方程　　

现在我们可以把A表示成一个三重积分了　　

在这里，势Ψ₂ 被假设为在场中每一点上都有一个有限值，而A则是用这个势以及E₁ 中的电分布ρ₁ 表示出来，而没有明显地提到第二个体系E₂ 中的电分布。

现在，设用方程　　

来定义由第一个体系引起的表示成x、y、z的函数的势Ψ₁ ，则Ψ₁ 将在无限远处为零，并将到处满足方程　　

现在我们可以从A中消去ρ₁ 并得到　　

在此式中，力是只用两个势来表示的。

104.〕　在迄今考虑过的一切积分计算中，指定什么积分限都是无关紧要的，如果积分限包括了整个体系E₁ 的话。在下文中，我们将假设E₁ 和E₂ 安排得合适，以致某一个闭合曲面s将包含整个的E₁ 而不包含E₂ 的任何部分。

让我们写出　　

于是在s之内就有　　　　ρ₂ ＝0, ρ＝ρ₁ ,

而在s之外就有　　

现在，　　

就代表由体系本身中的电所引起的作用在体系E₁ 上的沿x方向的合力。但是，按照直接作用理论这个力必为零，因为任一质点P对另一质点Q的作用是和Q对P的作用相等而异号的，而既然这两个作用的分量都出现在积分中，它们就将相互抵消。

因此我们可以写出　　

式中Ψ是由两个体系所引起的势，而现在的积分计算则限制在闭合曲面s之内的空间中，该曲面包含着整个体系E₁ 而不包含E₂ 。

105.〕　如果E₂ 对E₁ 的作用不是通过直接的超距作用来进行，而是借助于从E₂ 扩展到E₁ 的一种媒质中的胁强分布来进行的，那就很显然，如果我们知道把E₁ 从E₂ 完全隔开的任何一个闭合曲面s上每一点处的胁强，我们就将能够确定E₂ 对E₁ 的机械作用。因为，如果作用在E₁ 上的力不能由通过s的胁强来完全地说明，那就必然存在s外面的某些东西和s里边的某些东西之间的直接作用。

由此可见，如果可能借助于中间媒质中的一种胁强分布来说明E₂ 对E₁ 的作用，那就必然能够把这种作用表示成在把E₂ 和E₁ 完全隔开的任何一个曲面上计算的面积分的形式。

由此，让我们想法把　　

表示成一个面积分的形式。

由第21节中的定理三，我们可以做到这一点，如果我们可以确定x、y、z，使得

分别考虑各项，就看到

同理　　

因此，如果我们写出

就有　　

积分在s内的整个空间中计算。利用第21节的定理三来变换体积分，就有

式中ds是包含整个E₁ 而完全不包含E₂ 的任一闭合曲面上的面积元，而l、m、n是从ds向外画的法线的方向余弦。

关于沿y方向和z方向作用在E₁ 上的分力，我们同样得到

如果体系E₂ 对E₁ 的作用确实是通过直接的超距作用来进行而不需任何媒质介入的，我们就必须把p_xx 等等这些量看成只是某些符号表示式的简写，而并没有任何物理意义。

但是，如果我们假设E₂ 和E₁ 之间的相互作用是借助于它们之间的媒质中的胁强来实现的，那么，既然方程（16）、（17）、（18）给出一个合力的力量，而该合力起源于其六个分量为p_xx 等等的胁强在曲面s外面的作用，我们就必须认为p_xx 等等是确实存在于媒质中的一种胁强的分量了。

106.〕　为了得到关于这一胁强之本性的一种更清楚的看法，让我们改变曲面s的一部分的形状，使得ds可以成为一个等势面的一部分。（曲面的这种变化是允许的，如果我们并不因此而排出E₁ 的任何部分或包入E₂ 的任何部分的话。）

设v是ds上向外画的法线。

设 是沿v方向的电动强度的量值，则有

由此可见，胁强的六个分量就是

如果a、b、c是作用在ds的单位面积上的力的分量，则有

由此可见，ds外面的媒质部分作用在ds里边的媒质部分上的力，是垂直于面积元而指向外面的，而它在每单位面积上的值是

其次让我们假设面积元ds和与它相交的等势面相垂直，在这种情况下就有

现在

将（19）乘以 并从（20）中减去此式，就得到

因此，ds上单位面积的张力的分量是

因此，如果面积元ds和等势面相正交，则作用在它上面的力和该曲面相垂直，而其单位面积上的数值是和前一事例中的数值相同的，但是力的方向却不同，因为它是一个压力而不是一个张力。

这样我们就完全确定了媒质中任一给定点上的胁强的类型。

一点上的电动强度的方向，是胁强的一个主轴，而这一方向上的胁强是一种张力，其数值是　　

式中R是电动强度。

和这一方向相垂直的任一方向也是胁强的一个主轴，而沿着这样一个轴的胁强是一个压强，其数值也是p。

这样定义的胁强并不属于最普遍的类型，因为它有两个主胁强是相等的，而第三个则具有相同的值而正负号相反。

这些条件使确定胁强的独立普量数从六减少到三，从而它是由电动力的三个分量 来完全确定的。

六个胁强分量之间的三个关系式是

107.〕　现在让我们看看，当把一个有限的电量收集在一个有限的曲面上，使得体密度在曲面上变为无限大时，我们所求得的结果是否需要修订。

在这一事例中，正如我们已经在第78a、78b节中证明过的那样，电动强度的分量在曲面上是不连续的。因此胁强的分量也将在曲面上不连续。

设l、m、n是ds上的法线的方向余弦。设P、Q、R是画了法线的那一侧的电动强度的分量，而P′、Q′、R′是它们在另一侧的值。

于是，由第78a和78b节可知，如果σ是面密度，就有

设a是由两侧的胁强所引起的作用在曲面之单位面积上的合力的x分量，就有

由此可见，假设了任一点上的胁强由方程（14）来给出，我们就发现，作用在单位体积 ^〔55〕 的带电曲面上的沿x方向的合力，等于面密度乘以曲面两侧电动强度之x分量的算术平均值。

这就是我们在第79节中用基本上相同的手续求得的同一结果。

因此，周围媒质中的胁强的假说，在有限电量收集在有限曲面上的事例中是可以应用的。

作用在一个面积元上的合力，通常是通过考虑其线度远小于曲面之曲率半径的一部分曲面而从超距作用理论推出的 ^〔56〕 。

在这一部分曲面的中点上的法线上取一点P，它到曲面的距离远小于这一部分曲面的线度。由这一小部分曲面引起的这一点上的电动强度，将和曲面是一个无限大平面时的电动强度近似地相同，就是说近似地等于2πσ并沿着从曲面画起的法线方向。对于刚刚位于曲面另一侧的一点P′，强度将相同，但方向相反。

现在考虑由曲面的其他部分和离面积元为有限距离的其他带电体所引起的那一部分电动强度。既然点P和点P′是彼此无限接近的，由有限距离处的电所引起的电动强度分量对这两点来说就将是相同的。

设P₀ 是由有限距离处的电在A或A′上引起的电动强度的x分量，则对A来说，x分量的总值将是P＝P₀ ＋2πσl，而对A′来说则是P′＝P₀ －2πσl。由此即得

现在，作用在一个面积元上的合机械力必然完全起源于有限距离处的电的作用，因为面积元对它自己的作用必然有零合力。由此可见，单位面积上的这一力的x分量必然是

108.〕　如果我们（像在方程（2）中那样）通过假设为给定的电分布来定义势，则由任一对带电质点之间的作用和反作用相等而反向这一事实可知，由一个体系对它自己的作用所引起的力的x分量必为零，而且我们可以把这个分量写成

但是，如果我们把Ψ定义成x、y、z的那样一个函数，它在闭合曲面s外面的各点上满足方程∇² Ψ＝0而且在无限远处为零，则在s所包括的任一空间域中计算的体积分为零这件事就会显得是需要证明的。

一种证明方法是建筑在一条定理（第100c节）上的；那定理就是，如果∇² Ψ在每一点上已经给定，而且在无限远处Ψ＝0，则Ψ在每一点上的值是确定的，并等于

式中r是Ψ的浓度被给定为＝∇² Ψ的那一体积元dxdydz和需要计算其Ψ′的那一点x′、y′、z′之间的距离。

这就把定理简化成了我们由Ψ的第一种定义推出的结论。

但是，当我们把Ψ看成x、y、z的原始函数而认为其他函数都由它导出时，把（26）简化成一个形如　　

的面积分就是更妥当的；而且，如果我们假设曲面S到处都和包围了∇² Ψ不等于零的所有各点的曲面s有一个很大的距离a，我们就知道Ψ在数值上不可能大于e/a，此处是4πe的体积分；我们也知道，p_xx 、p_xy 、p_xz 各量没有一个可以大于p即R² /8π或e² /8πa² 。因此，在半径很大并等于a的一个球面上计算的面积分就不能大于e² /2a² ，而当a无限增大时，面积分必然终于变为零。

但是这个面积分等于体积分（26），而不论S所包围的空间的大小如何，只要S包围了每一个∇² Ψ异于零的点，这个体积分的值就是相同的。因此，既然当a为无限大时积分为零，当积分限由任何包围了一切∇² Ψ异于零的点的任何曲面来确定时，积分必将也等于零。

109.〕　本章所考虑的胁强分布，恰恰就是法拉第在研究通过电介质而发生的感应时被引导到的那种分布。他用下列的说法概括了它：

“（1297）可以设想成沿两个界限性的带电导体表面之间的一些线作用着的直接感应力，是由一种侧向的或横向的力所伴随着的，这种侧向力和这些代表线之间的一种膨胀或推斥相等价（1224）；或者说，沿着电感应的方向而存在于电介质粒子之间的吸引力，是由一种沿着横方向的推斥力或发散力所伴随着的。

（1298）感应显现为各粒子的一种极化状态，它们是被保持作用的带电体纳入到这种状态之中的；各质点上出现正的和负的端点或部分，这些正负部分彼此之间对引起感应的曲面或质点来说是对称地分布着的。这种状态必然是一种受迫状态，因为它只能由力来引起和保持，而当力被取消时它就又回到正常的或安静的状态。它只能由相同部分的电在一些绝缘体中继续建立，因为只有绝缘体才能承受这种粒子状态。

这是我们通过数学考察而得出的那些结论的一种精确的论述。在媒质中的每一点上，都存在那样一个胁强状态，使得沿着力线有一个张力而沿一切垂直于力线的方向有一个压力，张力和压力数值相等，而且都和该点的合力平方成正比。

“电张力”一词曾由不同的作者在不同的意义下加以应用。我将永远用它来代表沿着力线的张力，而正如我们已经看到的那样，这种张力是逐点变化的，而且永远正比于该点的合力的平方。

110.〕　在空气或松节油之类的流体电介质中也存在这样一种胁强状态；初看起来，这一假说似乎和已经确立的原理相抵触，那原理就是，在流体中，压强在一切方向上都是相等的。但是，在从关于流体各部分的活动和平衡的考虑推出这条原理时，曾经不言而喻地认为流体中不存在我们在这儿假设为沿着力线进行的那样作用。我们所研究的这种胁强状态，是和流体的活动及平衡完全不矛盾的，因为我们已经看到，如果流体的任何部分都不带电荷，它就不会从它表面上的胁强受到任何合力的作用，不论那些胁强多么强。只有当一部分流体带了电时，它的平衡才会被它表面上的胁强所打乱，而我们知道在这种情况下流体确实倾向于发生运动。由此可见，所设的胁强状态并不是和流体电介质的平衡相矛盾的。

在第四章第99a节中研究了的W这个量，可以诠释为由于胁强的分布而出现在媒质中的能量。由该章的那些定理可以看到，满足在该章中给出的那些条件的胁强分布，也使W有一个绝对最小值。喏，当在任何一个位形下能量有极小值时，那个位形就是一个平衡位形，而且平衡是稳定的。因此，当受到带电体的感应作用时，电介质就将自动采取一种按我们所描述过的方式而分布的胁强状态 ^〔57〕 。

必须认真地记住，我们只在媒质作用的理论中迈出了一步。我们曾经假设媒质处于一种胁强状态中，但是我们却没有用任何方式来说明这种胁强，也没有解释它是怎样被保持的。然而，在我看来，迈出的这一步却似乎是很重要的一步，因为它利用媒质各相邻部分的作用来解释了以前被认为只能用超距作用来加以解释的那些现象。

111.〕　我没有能够迈出下一步，那就是用力学的考虑来说明电介质中的这些胁强。因此我现在就让理论停止在这个地方，而只说出电介质中感应现象的其他部分是什么。

Ⅰ．电位移　当感应通过电介质而被传送时，首先就沿着电感的方向出现电的位移。例如，在内壳带正电而外壳带负电的一个莱顿瓶中，正电在玻璃材料中的位移方向是从内向外的。

这种位移的任何增加，都在增加过程中相当于正电从内向外的一个电流，而位移的任何减小都相当于一个方向相反的电流。

通过固定在电介质中的一个曲面上任一面积而移动过去的总电量，由一个量来量度，而那个量已经作为电感在该面积上的面积分乘以K/4π来考察过（第75节），此处K是电介质的比感本领。

Ⅱ．电介质粒子的表面电荷　设想有或大或小的任何一部分电介质由一个闭合曲面（想象地）而和其他部分划分开，于是我们就必须假设，在这个曲面的每一元部分上，都有一个电荷，由向内计算的电荷通过这一面积元的总移移动量来量度。

在内壳带正电的莱顿瓶的事例中，任何一部分玻璃都将是内侧带正电而外侧带负电的。如果这一部分完全位于玻璃内部，则它的表面电荷将被和它接触着的各部分上的异号电荷所中和；但是如果它是和不能在本身中保持感应状态的导体相接触的，表面电荷就不会被中和而是形成通常被称为“导体的电荷”的那种表观电荷。

因此，在旧理论中被称为“导体的电荷”的那种导体和周围电介质之分界面上的电荷，在感应理论中必须被称为周围电介质的表面电荷。

按照这种理论，所有的电荷都是电介质极化的残余效应。极化在物质内部到处存在，但是它在内部却由于带相反电荷的部分互相靠紧而被中和，因此只有在电介质的表面上电荷的效应才会显示出来。

理论可以完全说明第77节中的定理，即通过一个闭合曲面的总电感等于曲面内部的总电量乘以4π。因为，我们所说的通过曲面的电感，简单的就是电位移乘以4π，而外向的总电位移必然等于曲面内部的总电荷。

理论也能说明传给物质以一个“绝对电荷”的不可能性。因为，电介质的每一个粒子都在相对的两面带有相等而异号的电荷，或者也不妨说。这些电荷只是我们可以称之为“电极化”的单独一种现象的表现。

当这样被极化了时，一种电介媒质是电能的所在之处，而单位体积媒质中的能量在数值上等于作用在单位面积上的电张力，二者都等于电位移和合电动强度之乘积的一半，或者说 式中p是电张力， 是电位移， 是电动强度，而K是比感本领。

如果媒质不是一种完全的绝缘质，则我们称之为电极化的那种约束状态将不断地消退，媒质会对电动强度屈服，电胁强会松弛，而约束状态的势能将转化为热。极化状态的衰减速度依赖于媒质的本性。在某些品种的玻璃中，要过若干天或若干年极化才会衰减到原值的一半。在铜中，同样的变化会在不到百万分之一秒内完成。

我们曾经假设，媒质在被极化后就被放置不顾了。在叫做电流的现象中，电在媒质中的不断通过倾向于恢复极化状态，其速率和媒质的导电性允许其衰减的速率相同。于是，保持电流的外界作用物就永远会在恢复媒质的不断衰退的极化时做功，而这种极化的势能则不断地转化为热，于是为保持电流而消耗的能量的最终效果就是逐渐地提高导体的温度，直到通过传导和辐射而损失的热和电流在相同时间内产生的热一样多时为止。

第六章　论平衡点和平衡线

112.〕　如果电场中任何一点上的合力为零，该点就叫做一个“平衡点”。

如果某一条线上的每一点都是平衡点，该线就叫做一条“平衡线”。

一点为平衡点的条件就是在该点上有 因此，在这样一个点上，势对坐标的变化来说就有一个极大值或极小值，或为驻定。然而，只有在一个带正电或负电的点上，或是在由一个带正电或负电的曲面所包围的整个有限空间中，势才能有一个极大值或极小值。因此，如果有一个平衡点出现在场的一个不带电的部分中，势就必然是驻定的，而不是一个极大值或极小值。

事实上，极大值或极小值的条件就是 必须全为负或全为正，如果它们取有限值的话。

现在，在一个不存在电荷的点上，由拉普拉斯方程可知三个量的和为零，从而这一条件是不能满足的。

我们将不考虑力的各分量同时为零的那一事例的数学分析上的条件，而是利用等势面来给出一个普遍的证明。

如果在任一点P上存在V的真极大值，则在P点邻域中的一切其他点上，V的值都小于它在P点上的值。于是P就将被一系列闭合的等势面所包围，每一个等势面都在前一个等势面的外面，而且在其中任一等势面的一切点上，电力都将是指向外面的。但是我们在第76节中已经证明，在任何闭合曲面上计算的电动强度的面积分，就给出该曲面内的总电荷乘以4π。喏，在这一事例中，力是到处指向外面的，从而面积分必然为正，因此在曲面内部就有一个正电荷，而且，既然我们可以把曲面画得离P要多近就多近，那就是说在P点上有一个正电荷。

同样，我们也可以证明，如果V在P点有一个极小值，则P是带负电的。

其次，设P是一个无电荷域中的一个平衡点，让我们围绕着P画一个半径很小的球，这时，正如我们已经看到的那样，这个球面上的势不能到处都大于或都小于在P点的势。因此它必然在球面的某些部分上较大而在其他部分上较小。曲面上的这些部分是以一些线为边界的，在那些线上势等于P点上的势。沿着从P点画到其势小于P点之势的点画出的线，电力是从P点开始的；而沿着从P点到势较大的点画出的线，力是指向P点的。因此P点对某些位移来说是一个稳定平衡点，而对另一些位移来说则是不稳平衡点。

113.〕　为了确定平衡点或平衡线的数目，让我们考虑其上的势等于一个给定量C的那个曲面或那些曲面。让我们把其中的势小于C的那些区域叫做负域，而把其中的势大于C的那些域叫做正域。设V₀ 是电场中最低的势而V₁ 是电场中最高的势。如果我们令C＝V₀ ，则负域将只包括那些具有最低势的点或导体，而这些点或导体必然是带负电的。正域包括空间的其余部分，而既然它包围着负域，它就是回绕的。参阅第18节。

如果我们现在增大C的值，负域就将扩大，而且新的负域也将在带负电的物体周围形成。对于这样形成的每一个负域，周围的正域都将要求一个回绕度。

当不同的负域扩大时，其中两个或多个可以在一个点上或一条线上相遇。如果有n＋1个负域相遇，周围的正域就失去n个回绕度，而各负域相遇的点或线就是一个n阶的平衡点或平衡线。

当C变得等于V₁ 时，正域就只剩了具有最高势的那个点或导体，从而也就失去了它的一切回绕性。因此，如果按照它的阶次把每一个平衡点或平衡线算作1、2或n，则这样由现在所考虑的点或线得出的那个数目将比带负电物体的数目小一。

也有另一些平衡点或平衡线出现在各正域变成互相分离而负域获得回绕性的那种地方。按照它们的阶数来计算的它们的数目，比带正电物体的数目小一。

如果当它是两个或多个正域相遇之处时我们就把一个平衡点或平衡线叫做正的，而当它是一些负域相遇之处时把它叫做负的，那么，如果共有p个物体是带正电的和n个物体是带负电的，则正平衡点及正平衡线的阶数之和就是p－1，而负平衡点及负平衡线的阶数之和则是n－1。在无限远处包围着带电体系的那个曲面应该被看成一个物体，它的电荷和体系的电荷之和相等而异号。

但是，除了由不同域的连接而引起的这些数目确定的平衡点和平衡线以外，还可以有另外的一些平衡点或平衡线，关于这些，我们只能断定它们的数目必须是偶数。因为，如果当一个负域扩大时它会和自己相遇，它就会变成一个循球域，而且，通过重复地和自己相遇，它可以获得任意多个循环度，其中每一个循环度都对应于循环性出现处的那个平衡点或平衡线。当负域不断扩大直到它充满了整个空间时，它就会失去其所曾得到的每一个循环度而变成非循环的。因此，就有一组平衡点或平衡线，在它们那里循环性是被失去的，而且它们的数目正等于循环性在那里被获得的那些平衡点及平衡线的数目。

如果带电体或带电导体的形状是任意的，我们就只能断定这些增加的点或线的数目是偶数。但是，如果它们是带电的点或球形导体，则用这种办法得到的数目不能超过（n－1）（n－2），此处n是物体的个数 ^〔58〕 。

114.〕　靠近任一点P处的势可以展成级数V＝V₀ ＋H₁ ＋H₂ ＋…；式中H₁ 、H₂ 等等是x、y、z的齐次函数，其次数分别为1、2等等。

既然V的一阶导数在一个平衡点上为零，就有H₁ ＝0，如果P是一个平衡点的话。

设H_n 是最先不等于零的那个函数，则在P点附近我们可以略去比H_n 2次数更高的一切函数。

现在，H_n ＝0就是一个n阶圆锥面的方程，而这个锥面就是和P点处的等势面最密接的那个锥面。

因此就看到，经过P点的等势面在该点有一个圆锥点，也就是它和一个2阶的或n阶的锥面相切。这个锥面和以其顶点为心的一个球面的交线，叫做“节线”（nodal line）。

如果P点并不位于一条平衡线上，则节线不和自己相交，而是由n条或较少闭合曲线所构成。

如果有些节线交点并不位于球面的正对面点上，则P点是三条或更多条平衡线的交点。因为经过P点的等势面必然沿每条平衡线和自己相交。

115.〕　如果同一个等势面有n页相交，它们各自的交角必然等于π/n。

因为，设把交线的切线取作z轴，就有d² V/dz² ＝0。另外，设x轴是其中一页的一条切线，则又有d² V/dx² ＝0。根据拉普拉斯方程，由此即得d² V/dy＝0，或者说y轴是另一页的一条切线。

这里的考虑假设了H₂ 是有限的。如果H₂ 为零，设把交线的切线取作z轴，并令x＝rcosθ而y＝rsinθ，那么，既然 或 则写成r的升幂级数，比一方程的解就是

V＝V₀ ＋A₁ rcos（θ＋α₁ ）＋A₂ r² cos（2θ＋α₂ ）＋…＋A_n rⁿ cos（nθ＋α_n ）。

在一个平衡点上，A₁ 等于零。如果第一个不为零的项是含rⁿ 的项，则有

V－V₀ ＝A_n rⁿ cos（nθ＋α_n ）＋r的更高次幂。

这个方程表明，等势面V＝V₀ 的n个页相交，每一交角为π/n。这一定理是由兰金（Rankine）给出的 ^〔59〕 。

只有在某些条件下，一条平衡线才会在空间中存在，但是每当导体的面密度在一部分上是正的而在另一部分上是负的时，导体表面上却必然存在一条平衡线。

为了使导体可以在它表面的不同部分上带有异号的电荷，场中必须有些地方的势高于导体的而另一些地方的势则低于导体的势。

让我们从两个带正电的而势也相同的导体开始。在二物体之间将存在一个平衡点。让第一个物体的势逐渐降低。平衡点就将向它趋近，并在过程的某一阶段和它表面上的一点相重合。在过程的下一阶段中，和第一物体具有相同的势的第二物体周围的等势面将和第二物体的表面相正交，其交线就是一条平衡线。在扫过了导体的整个表面以后，这条闭合曲线将重新收缩成一点；然后这个平衡点就将在第一物体的另一侧越走越远，而且当两个物体的电荷成为相等而异号时这个点将运动到无限远处。

鄂伦肖定理

116.〕　放在一个电力场中的一个带电体不可能处于稳定平衡。

首先，让我们假设可运动物体A上的电和周围物体组B上的电都是固定在这些物体上的。

设V是由于周围物体B的作用而在可动物体A的任一点上引起的势，设e是可动物体A上此点周围的一小部分所带的电。于是A对B而言的势能就将是M＝∑（Ve），式中的和式遍及于A上一切带电的部分。

设a、b、c是A上任一带点部分相对于固定在A中并和x、y、z各轴相平行的坐标轴而言的坐标。设这些坐标轴的原点绝对坐标是ξ、η、ζ。

让我们暂时假设A受到约束，只能平行于自身而运动，于是点（a, b, c）的绝对坐标就将是x＝ξ＋a, y＝η＋b, z＝ζ＋c。

现在物体A对B而言的势可以写成若干项之和 ^〔60〕 ，在其中每一项中V都是用a、b、c和ξ、η、ζ表示出来的，从而这些项的总和就是a、b、c的函数和ξ、η、ζ的函数；前三个坐标对物体的每一点来说都是常量，而后三个坐标则当物体运动时是变化的。

既然拉普拉斯方程是被其中每一项所满足的，它也就是被各项之和所满足的，或者说 现在设令A发生一个小位移，使得dξ＝ldr, dη＝mdr, dζ＝ndr；并设dM是A相对于周围体系B而言的势的增量。

如果这个增量是正的，则要增大r就必须做功，从而就有一个倾向于使r减小并使A恢复其从前的位置的力R＝dM/dr，从而对这种位移来说平衡就将是稳定的。另一方面，如果增量是负的，力就将倾向于使r增大，从而平衡就将是非稳的。

现在考虑一个以原点为心而以r为半径的小球；它是如此之小，使得当固定在物体上点位于球内时，运动物体A的任何部分都不能和外部体系B的任何部分相重合。这时，既然在球内有∇² M＝0，在球面上求的面积分 就等于零。

由此可见，如果在球面的任何部分上dM/dr是正的。则必然有些其他部分，在那里dM/dr是负的，而如果物体A沿着dM/dr的方向而被移动，它就将倾向于离开原有位置而运动，从而它的平衡就必然是非稳的。

因此，即使当被约束得只能平行于自身而运动时，物体也是非稳的，而毋庸赘言，当它完全自由时当然更是非稳的了。

现在让我们假设物体A是一个导体。我们可以把这种情况当做一个物体组的平衡事例来处理，即把可运动的电看成体系的一些部分。于是我们就可以论证说，既然当通过电的固定而被剥夺了那么多的自由度时体系都是非稳的，那就毋庸赘言，当这种自由度被还给它时，它当然更是非稳的了。

但是我们也可以用更加特殊的方式来考虑这一事例，例如：

第一，设电被固定在A中，并让A平行于自身而移动一个小距离dr。由这种原因而引起的A的势的增量已经考虑过了。

其次，让电在A中运动到它的平衡位置上，这种平衡永远是稳定的。在这种运动过程中，势肯定会减少一个量，我们可以称之为Cdr。

因此，当电可以自由运动时，势的总增量就将是 而倾向于使A回到它的原位置的就将是 式中C永远是正的。

喏，我们已经证明过dM/dr对r的某些方向而言是负的，因此当电可以自由运动时，沿这些方向的非稳性就将增大。

第七章　简单事例中的等势面和电感线的形状

117.〕　我们已经看到，导体表面上电的分布的确定，可以弄成依赖于拉普拉斯方程 的解；此处V是x、y和z的一个函数，它永远是有限的和连续的，在无限远处为零，而且在每一个导体的表面上有一个给定的恒定值。

通常并不能用已知的数学方法来求解这一方程以使任意给出的条件能够得到满足，但是却很容易写出任意多个能够满足方程的函数V的表示式，并在每一事例中确定出函数V将是真正解的那些导电表面的形状。

因此，看起来我们很自然地应该称之为逆问题的这种当势的表示式已经给定时要确定导体形状的问题，是比当导体形状已经给定时要确定势的正问题更加容易对付的。

事实上，我们已知其解的每一个电学问题，都是通过这种逆过程来得出的。因此，对电学家来说大为重要的就是要知道用这种办法已经得到了一些什么结果，因为他可以指望用来求解一个新问题的唯一方法就是把问题归结成某些事例之一，在那些事例中已经通过逆过程构造了一个类似的问题。

关于结果的历史知识可以通过两种方式来起作用。如果我们被要求设计一种仪器来进行更精确的电学测量，我们就可以选择那样一些带电表面的形状，它们对应于我们已知其精确解的那些事例。另一方面，如果我们被要求估计形状给定的一些物体的带电情况，我们就可以从等势面的形状和所给物体形状相近的某一事例开始，然后我们可以利用尝试的办法来改动问题，直到它和所给的情况更近似地对应。这种方法从数学观点看来显然是很不完善的。但这却是我们所具备的唯一方法，而且，如果不许我们选择自己的条件，我们就只能对电分布进行一种近似的计算。因此，看来我们所需要的，就是在我们所能收集和记住的尽可能多的不同事例中关于等势面和电感线之形状的知识。在某几类事例中，例如在和球有关的那些事例中，存在一些我们可以利用的已知的数学方法。在另一些事例中，我们就不能不用一种更粗浅的方法，那就是在纸上实际地画出一些尝试性的图形，并从中选用和我们所需要的图形相差最小的一种。

我认为，即使在精确解为已知的那些事例中，这后一种方法也可能是有某种用处的，因为我发现，关于等势面形状的一种直观知识，常常导致数学求解方法的一种正确选择。

因此我曾经画了若干幅等势面族和电感线族的图，以便学生可以熟悉这些线的形状。可以用来画这种图的方法，将在第123节中进行说明。

118.〕　在本书末尾的图版1中，我们有两个点周围的等势面的横截面，该二点带有同号电荷，其大小为20和5之比。

在这里，每一个点电荷都被一系列等势面所包围，当逐渐变小时，它们就变得越来越接近于球形，尽管其中任何一个也不是准确的球面。如果各自包围一个点的两个曲面被

用来代表两个近似球形而并不完全是球形的导体的表面，而且假设这两个物体被充以4比1的同号电荷，则此图将代表它们的等势面，如果我们擦掉画在两个物体内部的所有那些等势面的话。由图可见，两个物体之间的作用和两个带有相同电荷的点之间的作用相同；这两个点并不位于两个物体轴线的确切中点上，而是各自比中点离另一物体更远一些。

同一个图也使我们能够看到其中一个卵形面上将有什么样的电分布；这种卵形面一头大一头小，而且包围着两个中心。如果带有25个单位的电而且不受外界影响，这样一个物体将在小端具有最大的面密度，在大端具有较小的面密度，而且在离小端比离大端更近的一个圆周上有最小的面密度 ^〔61〕 。

存在一个等势面，在图中用虚线来代表，它包括两个圈线，在锥面点P处相遇。这个点是一个平衡点，从而具有这种表面形状的一个物体上的面密度在该点将为零。

在这一事例中，力线形成两个分离的组，由一个六次曲面互相分开；该曲面用虚线来代表；它通过平衡点，而且和双曲面的一页有点相像。

这个图也可以被看成代表两个有重物质球的力线和等势面，二球的质量成4比1之比 ^〔62〕 。

119.〕　在图版2中我们又有两个点，所带的电荷成20与5之比，但是一个是正电荷而另一个是负电荷。在这一事例中，有一个等势面，也就是对应于零势的那个面，是一个球面。这个等势面在图中用虚线圆Q来代表。这个球面的重要性，当我们进行到电像的理论时就将被看到。

我们由此图可以看出，如果两个圆乎乎的物体带有异号电荷，它们就将像两个点那样地互相吸引；那两个点和它们带的电荷相同，但是放得比两个物体的中点更靠近一些。

这儿又有用虚线表示的一个等势面是有两个圈线的，里边一个圈包围着电荷为5的点而外边一个圈包围着两个物体，这两个圈线在锥面点P相遇，那是一个平衡点。

如果一个导体的表面具有外面圈线的形状，也就是说，如果它是一个圆乎乎的像苹果似的物体，在一端有一个圆锥形的凹陷，那么，如果这个导体是带电的，我们就将能够确定它的任一点的面密度。凹陷底上的面密度为零。

在这个曲面的周围，我们有另外一些曲面；它们也有一个圆顶的凹陷，这种凹陷越变越平，并且终于在经过用M来表示的一点的那个等势面上完全消失。

在这一事例中，力线形成两组，由经过平衡点的那个曲面所隔开。

如果我们考虑中轴上B点外面的一些点，我们就会发现合力越来越小，直到在P点上变为零。然后它就变号，并在M点上达到极大值，然后它又继续减小。

然而这个极大值只是一个相对于轴上其他各点而言的极大值，因为，如果我们考虑一个经过M点而垂直于中轴的面，则相对于该面上的邻近各点来说，M是一个极小力的点。

120.〕　图版3表示电荷为10并位于力场中的一个点所引起的等势面和电感线，力场在放入点电荷以前在方向和量值上是到处均匀的 ^〔63〕 。

等势面各自都有一个渐近平面。其中用虚线代表的一个有一个锥面点，并有一个围绕A点的圈线。这一等势面下面的那些等势面只有一页，并在轴附近有一个凹陷。上面的那些有一个围绕着A的闭合部分，和另外在轴附近稍有凹陷的一页。

如果我们把A下面的一个曲面看成一个导体的表面，并把A下面很远处的另一曲面看成具有另一个势的另一个导体的表面，则这两个导体之间的那一套曲线和曲面将指示电力的分布。如果下面一个导体离A很远，它的表面就将很接近于平面，于是我们在这儿就得到两个全都近似地是平面并相互平行的表面上的电分布的解，不过上面的一个表面在中点附近有一处突起。其重要性或大或小，随所选定的是哪个等势面而定。

121.〕　图版4表示由三个点A、B、C所引起的等势面和电感线；其中A带有15个单位的正电荷，B带有12个单位的负电荷。而C带有20个单位的正电荷。这些点放在一条直线上，使得AB＝9, BC＝16, AC＝25。

在这一事例中，势为零的曲面是两个球，它们的中心是A和C，而半径是15和20。这两个球相交于一个圆，它和纸面在D点及D′点相正交，使得B成为此圆之心，而圆的半径为12。这个圆是一条平衡线的例子，因为合力在这条线上的每一点上为零。

如果我们假设以A为心的球是带有3个单位的正电的导体，并受到C处20个单位的正电的影响，则这一事例的情况将由本图来表示，如果我们略去球A内部所有的线的话。在小圆DD′下面那一部分球面将在C的影响下带负电。球的所有其余的部分将带正电，而小圆DD′的本身则将是一条无电荷的线。

我们也可以认为本图是表示的一个球的情况，该球以C为心，带有8个单位的正电，并受到放在A点的15个单位的正电的影响。

这个图也可以被看成表示一个导体的情况，该导体的表面由相遇于DD′的两个球的较大的部分构成，并带有23个单位的正电。

我们将回到这一个图，把它看成汤姆孙的“电像理论”的一个例证。参阅第168节。

122.〕　这些图应该作为法拉第关于“力线”和“带电体的力”等等的说法的例示来加以研究。

“力”这个词代表两个物质体之间的作用的一个特定的方面；通过这种作用，各物体的运动将变成和没有这种作用时的运动有所不同。当同时考虑两个物体时，这整个的现象就叫做“强制作用”（stress），并且可以被描述成从一个物体到另一个物体的动量传递。当我们把自己的注意力集中到二物体中的第一个物体上时，我们将把加在这个物体上的强制作用叫做“主动力”，或简单地叫做对该物体作用的力。而且它是用该物体在单位时间内接受到的动量来量度的。

两个带电体之间的机械作用是一种强制作用，而对其中一个物体的作用则是一个力。作用在一个小的带电体上的力正比于它自己的电荷，而单位电荷的力就叫做力的“强度”。

“感应”一词被法拉第用来代表各带电体的电荷之间的联系方式；每一个单位的正电荷都用一条线来和一个单位的负电荷互相连接，那条线的方向在流体电介质中在线的每一部分都和电强度相重合。这样一条线常常被称为一条“力线”，但更准确地做法是称它为一条“电感线”。

现在，按照法拉第的概念，一个物体中的电量是用从它发出的力线的数目或者说电感线的数目来量度的。这些力线必然终止在什么地方，或是终止在附近的物体上，或是终止在房间的墙壁和天花板上，或是终止在地上，或是终止在一些天体上，而不管终止在什么地方，那里总会存在一个电量，和力线所由出发的那一物体部分上的电量恰好相等而异号。通过仔细观察这些图，可以看到情况正是如此的。因此，在法拉第的观点和旧理论的数学结果之间并没有任何矛盾，而相反的却是，力线的概念给这些结果带来了很大的澄清，而且它似乎可以提供一种手段，用来通过一种连续的过程而从旧理论的多少有些死板的观念上升到一些可以有很大的扩充余地的想法，这就可以为通过进一步的研究来增加我们的知识留下余地。

123.〕　这些图是按下述方式画成的。

首先，试考虑单独一个力心即一个电荷为e的小带电体的事例。在距离为r处，势是V＝e/r；因此，如果我们令r＝e/v，我们就将求得r，即势为V的那个球面的半径。如果我们现在令V取1、2、3等等的值，并画出对应的球面，我们就会得到一系列等势面，其对应的势是用各自然数来量度的。这些球在通过其公共球心的一个平面上的截面将是一些圆，我们可以用代表其势的那个数来标明其中每一个圆。在图5的右半，用一些虚线半圆来代表了这些等势面。

如果还有另一个力心，我们就可以按相同的方式画出属于它的那些等势面，而如果我们现在想要找出由两个力心共同引起的各等势面的形状，我们就必须记得：如果V₁ 是由一个心引起的势而V₂ 是由另一个心引起的势，则由两个心引起的势将是V₁ ＋V₂ ＝V。因此，既然在属于两个系列的各等势面的每一个交点上我们既知道V₁ 又知道V₂ ，我们也就知道V的值。因此，如果我们画一个曲面通过所有V值相同的各交点，这个曲面就将和所有这些交点上的等势面相重合，而如果原来那些等势面系列画得足够密，新曲面就可以在任何需要的精确度下被画出。由电荷相等而异号的两个点所引起的等势面，在图5中的右半用实线表示了出来。

这种方法可以应用来画任何等势面系列，如果势是二势之和，而对于二势我们已经画出了等势面的话。

由单独一个力心引起的力线是从该心辐射而出的一些直线。如果我们愿意利用这些线来在任何点既指示力的方向又指示力的强度，我们就必须那样地画这些线，使它们在各等势面上标出一些部分，而在各该部分上计算的电感的面积分具有确定的值。这样做的最好办法就是假设我们的平面图是一个空间图的截面，那个空间图通过把平面图绕着经过力心的一条轴线旋转一周来形成。这时，任何从力心辐射而出并和轴线成θ角的直线都将描绘一个锥面，而电感通过任一曲面上由此锥面在轴线正向一侧截割下来的部分上的面积分就是2πe（1－cosθ）。

图5

如果我们进一步假设这个曲面是以它和两个平面的交线为边界，那两个平面都经过轴线而且彼此的夹角使得该角的弧等于半径的一半，则通过这样限定的一个曲面的电感将是 而

如果我们现在给Φ指定一系列值1, 2, 3, …，我们就将得到一系列θ值；而如果e是一个整数，则对应的力线包括轴线在内的数目将等于e。

这样我们就有了一种画力线的方法，使得任何力心的电荷用从力心发出的力线数目来表示，而通过用上述办法截割出来的任一曲面的电感则用通过该曲面的力线数目来量度。图5左半的虚线表示两个带电点中每一点所引起的力线。那两个点的电荷分别是10和－10。

如果在图中的轴线上有两个力心，我们就可以针对每一条对应于Φ₁ 值和Φ₂ 值的轴线画出力线，然后，通过这些线的Φ₁ ＋Φ₂ 具有相同值的那些交点画出曲线，我们就可以得出由两个力心所引起的力线，而且，利用同样的办法，我们也可以把对同一轴线对称分布的任何两组力线结合起来。图5左半的实线，就表示同时起作用的两个带电点所引起的力线。

在用这种方法画出了等势面和力线以后，就可以通过观察这两组曲线是否到处正交以及相邻等势面的间距和相邻力线的间距之比是否等于到轴线的平均距离的一半和所用的长度单位之比，来检验作图的精确性。

在任何这种有限大小的体系的事例中，任何指数为Φ的力线都有一条通过体系电心（第89d节）的渐近线，而其对轴线而言的斜角为1－2Φ/e，如果Φ小于e的话。指数大于Φ的力线是有限的线。如果e为零，力线就都是有限的。

和一个平行于轴线的均匀力场相对应的力线是一些平行于轴线的线，到轴线的距离是一个算术级数的平方根。

当我们讲到共轭函数时 ^〔64〕 ，我们将给出二维空间中的等势面和力线的理论。

第八章　简单的带电事例

两个平行平面

124.〕　首先我们将考虑两个无限大的平行平面的导电表面，它们相距为c，分别保持于势A和势B。

很显然，在这一事例中，势V将是到平面A的距离z的函数，而且在A、B之间任一平面的一切点上都将是相同的，除了在带电表面的边沿附近以外，而根据假设，那些边沿部分是离所考虑的点无限地远的。

由此可见，拉普拉斯方程变成 其积分是V＝C₁ ＋C₂ z；而既然当z＝0时V＝A而当z＝c时V＝B，就有

对于二平面之间的一切点来说，合强度都垂直于平面，其量值是

在导体本身的物质中，R＝0。因此，第一个平面上的电分布就有一个面密度σ，此处

在势为B的另一个表面上，面密度σ′将和σ相等而异号，从而

其次让我们考虑第一个表面上面积为S的一个部分，它被选得没有任何地方是靠近曲面的边沿的。

这一块表面上的电量是e₁ ＝Sσ，而由第79节，作用在每一单位电量上的力是 于是作用在面积S上并把它吸向另一个平面的总力就是

这里的吸引力是用面积S、两个表面的势差（A－B）和表面之间的距离c表示出来的。用面积S上的电荷e₁ 表示出来的吸引力是

在这一事例中，力线是垂直于平面的。设通过用一组力线把面积S投影到表面B上而得到的对应面积为S′，则由S上的和S′上的电分布所引起的电能是

这些表示式中的第一个，是电能的普遍表示式（第84节）。

第二个表示式用面积、距离和势差来表示了能量。

第三个表示式用合力R和包括在S、S′之间的体积Sc来表示了能量，而且表明了单位体积中的能量是p，此外8πp＝R² 。

两块平面间的吸引力是pS，或者换句话说，存在一个在每单位面积上等于p的电张力（或者说是负压强）。

第四个表示式用电荷表示了能量。

第五个表示式表明，电能等于当两个表面平行于自己而运动到一起而保持其电荷不变时电力所做的功。

为了用势差来表示电荷，我们有

系数q代表由等于1的势差所引起的电荷。这个系数叫做表面S由于它相对于对面表面的位置而具有的“电容”。

现在让我们假设两个表面之间的媒质不再是空气而是比感本领为K的某种别的电介质，这时由给定势差所引起的电荷就将是当电介质为空气时的电荷的K倍，或者说 总能量将是 表面间的力将是

由此可见，各具给定之势的两个表面之间的力正比于电介质的比感本领K，但是带有给定电量的两个表面之间的力却反比于K。

两个同心球面

125.〕　设半径为a和b（b较大）的两个同心球面分别被保持在势A和势B，则很显然，势V是到球心的距离r的函数。在这一事例中，拉普拉斯方程变为

这一方程的解是V＝C₁ ＋C₂ r^-1 ；而当r＝a时V＝A且当r＝b时V＝B的条件就在二球面之间的空间中给出

如果σ₁ 、σ₂ 是一个半径为a的实心球和一个半径为b的空心球的相对表面上的面密度，就有

如果e₁ 、e₂ 是这些表面上的总电荷，就有

因此，被包围的球的电容就是

如果外壳的外表面也是球形的，而且其半径为c，那么，如果附近没有其他导体，则外表面上的电荷是e₃ ＝Bc，由此可见，内球上的总电荷是 而外壳上的电荷则是

如果我们令b＝∞，我们就有一个无限空间中的球的事例。这样一个球的电容是a,或者说在数值上等于它的半径。

内球的单位面积上的电张力是 这个张力在一个半球上的合力是πa² p＝F，它垂直于半球的底面，而且如果合力被作用在半球的圆形边界线上的一种表面张力所平衡，而作用在单位长度上的表面张力为T，则有F＝2πaT。

由此即得

如果一个肥皂泡被充电到势A，如果它的半径是a，则其电荷将是Aa，而面密度将是

刚刚在表面之外的地方的合强度将是4πσ，而在肥皂泡里边则强度为零，于是由第79节可知，作用在表面的单位面积上的力将是2πσ² ，方向向外。由此可见，电荷将使泡内的压强减少一个量2πσ² ，或者说减少一个量

但是可以证明，如果T₀ 是液膜作用在单位长度的线上的张力，则阻止肥皂泡破裂所需要的泡内压强将是2T₀ /a。如果当泡内外的空气压强相同时电力适足以使泡保持平衡，就有A² ＝16πaT₀ 。

两个无限长的同轴圆柱面

126.〕　设一个导电圆柱的外表面的半径为a，而和此圆柱同轴的一个中空圆柱的内表面的半径为b。设它们的势分别是A和B。于是，既然势V是离轴线的距离r的函数，拉普拉斯方程就变为 由此即得V＝C₁ ＋C₂ logr,

既然当r＝a时V＝A而当r＝b时V＝B，就有

如果σ₁ 、σ₂ 是内、外表面上的面密度，则

如果e₁ 和e₂ 是二柱面上相隔l处两个垂直截面之间的一段上的电荷，则

因此，长度为l的一段内柱的电容就是

如果二柱面之间的空间是由一种比感本领为K的电介质而不是由空气所占据的，则长度为l的一段内柱的电容是

无限长柱上我们所考虑的这一段上的电分布的能量是

图6

127.〕　设有两个无限长的中空圆柱形导体A和B，如图6所示，它们的公共轴是x轴，一个在原点的正侧面，一个在原点的负侧，中间由原点附近的坐标上的一个小区间所隔开。

设把长度为2l的一个圆柱C放得使它的中点位于原点正侧距离为x处，并使它插入两个中空圆柱中。

设位于正侧的中空圆柱的势为A，位于负侧的那个的势为B，而中间圆柱的势为C。让我们用α代表C的单位长度对A而言的电容，而用β代表对B而言的同样的量。

如果有相当长的内柱进入每一个中空圆柱中，则各圆柱位于原点附近各固定点处的那些部分上的面密度以及离内柱端点为给定的小距离的各点处的那些部分上的面密度都不会受到x值的影响。在中空圆柱的端点附近，以及在内部圆柱的端点附近，将存在一些迄今还无法计算的电分布，但是原点附近的分布却不会由于内柱的运动而有所改变，如果内部的两端不会达到原点附近的话。因此内柱两端的分布就将随着它一起运动，从而运动的唯一效应就将只是内柱上分布和无限长柱上的分布相似的那些部分的长度的增减而已。

因此，只要它依赖于x，体系的总能量就将是 不依赖于x的项，而既然能量是用势来表示的，则由第93b节可知，平行于柱轴的合力将是

如果柱A和柱B具有相等的截面，则α＝β，从而

由此可见，存在一个作用在内柱上的恒定的力，倾向于把它拉入其势和内住的势相差最大的那个外柱中去。

如果C的数值很大而A＋B则较小，力就近似地是X＝α（B－A）C；于是两个柱的势差就可以测出，如果我们能够测量X的话。这种测量的精确度将由于内柱势C的升高而增大。

这一原理在一种修订的形式下已被用于汤姆孙的象限静电计中，见第126页。

同样三个圆柱的装置可以通过连接B和C而用作电容的测量仪器。如果A的势为零而B和C的势为V，则A上的电量将是E₃ ＝（q₁₃ ＋α（l＋x））V；式中q₁₃ 是依赖于圆柱两端的电分布但不依赖于x的一个量，于是，通过把C向右移动以使x变成x＋ζ，柱C的电容就将增大一个确定的量αζ。式中 而a和b是对面的两个柱面的半径。

第九章　球谐函数

128.〕　球谐函数的数学理论曾被当做若干专著的主题。

有关这一课题的最完备的著作，E.海恩博士的《球谐函数手册》（Handbuch der Kugel functionen）现在（1878）已经出了两卷本的第二版，而F. 诺依曼博士也发表了他的《关于球谐函数理论的论著》（Beiträge zur Theorie der Kugel functionen, Leipzig, Teubner, 1878）。汤姆孙和泰特的《自然哲学》中对这一课题的处理在第二版（1879）中得到了颇大的改进，而陶德洪特先生的《关于拉普拉斯函数、拉梅函数和贝塞耳函数的初等论著》（Elementary Treatise on laplace's Functions, Lamé's Functions, and Bessel Functions）以及弗勒尔斯先生的《关于球谐函数及其有关问题的初等论著》（Elementary Treatise on Spherical Harmonics and subject connected with them）已经使得没有必要在一部关于电的书中在这一课题的纯数学的发展方面花费太多的篇幅了。

然而我却保留了用它的极点来对球谐函数作出的确定。

论势在那里变为无限大的奇点

129a.〕　如果一个电荷A₀ 均匀地分布在中心坐标为（a, b, c）的一个球面上，则由第125节可知，球外任一点（x, y, z）上的势是　　

式中　　

由于V的表示式不依赖于球的半径，这个表示式的形式就将是相同的，如果我们假设半径为无限小的话。表示式的物理诠释将是，电荷A₀ 是放在一个无限小的球的表面上的，这个小球近似地和一个数学点相同。我们已经证明（第55和81节）电的面密度有一个极限，从而在物理上是不可能把一个有限的电荷放在半径小于某值的一个球上的。

不过，既然方程（1）表示的是势在一个球周围的空间中的一种可能的分布，我们为了数学的目的就可以把它看成是由集中在数学点（a, b, c）上的一个电荷A₀ 所引起的，而且我们可以把这个点叫做一个零阶的奇点。

还有另外一些种类的奇点，它们的性质我们不久就会研究。但是，在那样作以前，我们必须定义某些表示式，而我们即将发现，在处理空间中的方向以及球上和各该方向相对应的那些点时，这些表示式是有用的。

129b.〕　一个轴就是空间中的任何一个确定的方向。我们可以假设它是由在球面的一点上画出的一个记号来定义的。该点就是从球心沿轴的方向画出的半径和球面相交的那个点。这个点叫做轴的“极点”。因此一个轴只有一个而不是两个极点。

如果μ是轴h和任一矢量r之间的夹角的余弦，而且　　

则p是r分解在轴h方向上的分量。

不同的轴用不同的下标来区分，而两个轴之间夹角的余弦用λ_mn 来代表，此处的m和n就是标明各轴的下标。

对方向余弦为L、M、N的一个轴h求导数，表示为

由这些定义显然可得　　

如果我们现在假设由位于原点上的一个任意阶次的奇点在点（x, y, z）上引起的势是Af（x, y, z），那么，如果这样一个点是位于轴h的端点上的，则（x, y, z）上的势将是Af［（x－Lh），（y－Mh），（z－Nh）］，而如果除了A变号以外在一切方面都相同的一个点被放在原点上，则由这一对点所引起的势将是V＝Af［（x－Lh），（y－Mh），（z－Nh）］－Af（x, y, z）， 含h² 的项。

如果我们现在无限制地减小h而增大A，使它们的乘积保持有限并等于A′，则这一对点的势的终极值将是　　

如果f（x, y, z）满足拉普拉斯方程，则由于这一方程是线性的，作为各自满足方程的两个函数之差的V′也必满足该方程。

129c.〕　现在，由一个零阶奇点引起的势　　

满足拉普拉斯方程，因此，由这一函数通过对任意数目的轴逐次求导数而得到的每一个函数也必满足方程。

取两个零阶点，具有相等而异号的电荷-A₀ 和A₀ ，把第一个点放在原点上而把第二个点放在轴h₁ 的端点上，然后令h₁ 的值无限减小而令A₀ 的值无限增大，但使乘积A₀ h₁ 永远保持等于A₁ ；这样就可以构成一个一阶的点。这一手续的最后结果，即当两个点互相重合时，就是一个矩为A₁ 而轴为h₁ 的一阶的点。因此，一个一阶的点是一个双重点。

它的势是　　

通过把一个矩为一A₁ 的一阶点放在原点上，把另一个矩为A₁ 的一阶点放在轴h₂ 的端点上，然后减小h₂ 而增大A₁ ，使得　　

我们就得到一个二阶的点，其势是　　

我们可以把一个二阶的点叫做一个四重点，因为它是通过使四个零阶点互相趋近来构成的。它有两个轴h₁ 及h₂ 和一个矩A₂ 。这些轴的方向和这个矩的量值就完全地定义了点的本性。

通过相对于n个轴逐次求导数，我们就得到由一个n阶点引起的势。它将是三个因子的乘积，一个常量，若干余弦的一个数组合和r^-（n＋1） 。为了以后即将说明的理由，将常量的数值适当调整，使得当一切轴都和矢量相重合时矩的系数为r^-（n＋1） 是方便的。因此，当我们对h_n 求导数时就要除以n。

按照这种办法我们就得到一个特定势的确定数值，我们称这种势为-（n＋1）阶的“体谐函数”，即　　

如果这个量被乘上一个常量，它仍然是由某一个n阶点引起的势。

129d.〕　运算（13）的结果具有下列形式　　

式中Y_n 是r和n个轴之间的n个夹角余弦μ₁ , …, μ_n 和每两个轴之间的 个夹角余弦λ₁₂ 等等的函数。

如果我们认为r的方向和n个轴的方向是由球面上的点来确定的，我们就可以把Y_n 看成在该面上逐点变化的一个量，也就是各轴的n个极点和矢量的极点之间的距离的一个函数。因此我们把Y_n 称为n阶的“面谐函数”。

130a.〕　其次我们必须证明，和每一个n阶面谐函数相对应的，不仅有一个-（n＋1）阶的体谐函数，而且还有一个n阶的体谐函数，或者说　　

是满足拉普拉斯方程的。

因为，　　

由此即得　　

现在，既然V_n 是x、y、z的一个-（n＋1）次的齐次函数，就有

因此，方程（16）右端的前两项互相抵消，而既然V_n 满足拉普拉斯方程，第三项就是零，因此H_n 也满足拉普拉斯方程，从而它就是一个n阶的体谐函数。

这是普遍的电反演定理的一个特例，该定理断定，如果F（x, y, z）是x、y、z的一个满足拉普拉斯方程的函数，则存在另一个函数 也满足拉普拉斯方程。见第162节。

130b.〕　面谐函数Y_n 有2n个任意变数，因为它是由它在球面上的n个极点的位置来确定的，而每一个极点则是由两个坐标来确定的。

由此可见，V_n 和H_n 也都包含2n个任意变数。然而，这些量中的每一个量当乘以一个常数时都将满足拉普拉斯方程。

为了证明AH_n 是可以满足拉普拉斯方程的最普遍n次齐次有理函数，我们注意到普遍的n次齐次有理函数K共包含 项。但是∇² K是一个n－2次的齐次函数，从而共包含 项，而∇² K＝0这个条件就要求其中每一项必须等于零。因此，在满足拉普拉斯方程的n次齐次函数的最普遍形式中，在函数K的 项的各系数之间就存在 个方程，还剩下2n＋1个独立常数。但是，当H_n 被乘以一个常数时，它就满足所要求的条件并有2n＋1个任意常数。因此它就是最普遍的形式。

131a.〕　现在我们能够构成一种势的分布，使它本身及其一阶导数在任一点上都不变为无限大了。

函数V_n ＝Y_n r^-（n＋1） 满足在无限远处为零的条件，但却在原点上变为无限大。

函数H_n ＝Y_n rⁿ 在离原点为有限距离处是有限的和连续的，但在无限远处不为零。

但是，如果我们令aⁿ Y_n r^-（n＋1） 等于以原点为心以a为半径的一个球的外面各点上的势，而令a^-（n＋1） Y_n rⁿ 等于球内各点上的势，并且假设在球的本身上分布着一种电的面密度，使得　　

则关于由一个如此带电的球壳所引起的势的一切条件都将得到满足。

因此，势在到处都是有限的和连续的，而且在无限远处为零；它的一阶导数除了在带电球面上以外到处都有限而连续，在球面上则满足

而且拉普拉斯方程在球面各点和球外各点都是得到满足的。

因此，这确实是满足条件的一种势分布，而由第100c节可知，它就是能够满足这些条件的唯一的分布。

131b.〕　半径为a而面密度由方程　　

给出的一个球所引起的势，在球外各点和对应的n阶奇点所引起的势相等同。

现在让我们假设，在球外，有一个我们可称之为E的带电体系，而Ψ是这个体系所引起的势，让我们来针对奇点求出E（Φ_e ）的值。这就是依赖于外部体系对奇点的作用的那一部分电能。

如果A₀ 是一个零阶奇点的电荷，则所谈的势能是　　

如果存在两个这样的奇点，一个负点位于原点而一个数值相等的正点位于轴h₁ 的端点上，则势能将是 而且，当A₀ 无限增大而h₁ 无限减小但保持A₀ h₁ ＝A₁ 时，一阶点的势能值就将是　　

同理，对于一个n阶点，势能将是　　 ^〔65〕

131c.〕　如果我们假设外部体系的电荷是由一些部分构成的，其中任一部分用dE来代表，而n阶奇点的电荷则是由一些部分de构成的，那就有

但是，如果V_n 是由奇点引起的势，就有　　

从而由E对e的作用所引起的势能就是

最后一个表示式就是由e对E的作用所引起的势能。

同理，如果σds是球壳的一个面积元上的电荷，则由于球壳在外部体系E上引起的势是V_n ，我们应有　　

最后一个表示式包括一个在球的表面上计算的和式。把它和W_n 的第一个表示式相等起来，我们就有　　

如果我们记得4πσa² ＝（2n＋1）Y_n 和A_n ＝aⁿ ，此 式就变为

这个方程把按半径为a的球上各面积元来计算ΨY_n ds的面积分的过程，简化成了对谐函数的n个轴求Ψ的导数并在球心上取微分系数的值的过程，如果Ψ在球内各点满足拉普拉斯方程而Y_n 是一个n阶的面谐函数的话。

132.〕　现在让我们假设Ψ是一个正m阶的体谐函数，其形式是

在球面上，r＝α而Ψ＝Y_n ，从而方程（29）在这一事例中变为

式中微分系数的值应在球心上取。

当n小于m时，求导数的结果是x、y、z的一个m－n次的齐次式，它在球心上的值是零。如果n等于m，求导数的结果就是一个常数，它的值我们将在第134节中加以确定。如果进一步求导数，结果就是零。由此可见，只要m和n不相等，面积分 就等于零。

我们用来得到这一结果的那些步骤，全都是纯数学性的，因为，尽管我们利用了电能之类的具有物理意义的术语，但是每一个这种术语却不是被看成一个有待研究的物理现象，而是被看成一个确定的数学表示式，一个数学家同样有权应用这些术语，正如他有权应用他可能觉得有用的任何别的数学函数一样，而当一个物理学家必须进行数学计算时，如果各计算步骤可以有一种物理诠释，他就会理解得更加清楚。

133.〕　现在我们将确定面谐函数Y_n 作为球面上一点P相对于该函数之n个极点的位置的函数形式。

我们有　　

等等。

因此，Y_n 的每一项都包括一些余弦的乘积，其中带有一个下标的μ是P和不同极点之间的夹角余弦，而带有两个下标的λ则是极点之间的夹角余弦。

既然每一个轴都是通过n次微分中的一次而被引入的，该轴的符号就必然在每一项的余弦下标中出现一次，而且只出现一次。

因此，如果任一项中包含s个具有双下标的余弦，那就必然包含n－2s个具有单下标的余弦。

设把一切包含着s个具有双下标的余弦的乘积之和简写为∑（μ^n－2s λ^s ）。

在每一个乘积中，所有的下标都出现一次，而且没有任何下标会重复出现。

如果我们愿意表明一个特定的下标m只出现在μ中或只出现在λ中，我们就把它作为一个一标写在μ旁或λ旁。例如，方程

就表示，整套的乘积可以分成两部分；在其中一部分中；下标m出现在变动点P的方向余弦中，而在另一部分中m则出现在各极点之间的夹角余弦中。

现在让我们假设，对于一个特定的n值，有

式中的各个A是一些常数。我们可以把级数简写成

式中的S表明一个连加式，在连加时所取的是包括零在内的一切大于 的s值。

为了得出负n阶的和n阶的对应体谐函数，我们用r^-（n＋1） 去乘，并得到

此处正如在方程（3）中一样，曾令rμ＝p。

如果把V_n 对一个新轴h_m 求导数，我们就得到-（n＋1）V_n＋1 ，从而就有

如果想求得包含s个具有双下标的余弦的各项，我们必须在最后一项中令s减小1，于是就得到

现在，两类乘积在别的方面并无区别，只不过下标m在一类乘积中出现在p中而在另一类乘积中出现在λ中。因此它们的系数必然相同，而既然应该能够通过在V_n 的表示式中把n换成n＋1并乘以n＋1来得到相同的结果，我们就得到下列的方程

如果我们令s＝0，就得到

因此，既然A_1.0 ＝1，就有　　

而我们由此就得系数的普遍值　　

而最后就得到面谐函数的三角函数表示式

^〔66〕

这一表示式借助于P点到不同极点的距离的余弦以及各极点彼此之间的距离的余弦来给出了球面的任一点P上的面谐函数的值。

很容易看出，如果其中任何一个极点被移到球面上正对面的那个点，谐函数的值就会变号。因为涉及这个极点的下标的任何一个余弦都会变号，而在谐函数的每一项中，极点的下标都出现一次并只出现一次。

因此，如果两个或任何偶数个极点被移到正对面的点上，函数的值就并不改变。

西耳外斯特教授曾经证明（Phil. Mag., Oct. 1876），当面谐函数已经给定时，寻求和各轴相重合的直线的问题有一个解并只有一个解，尽管正如我们所看到的那样，沿着这些轴所取的正向各自可以有两种选择。

134.〕　现在我们能够确定当两个面谐函数的阶次相同时面积分 的值了，尽管二函数各轴的方向通常是不同的。

为此目的，我们必须写出体谐函数Y_m r^m 并对Y_n 的n个轴中的每一个轴求导数。

Y_m r^m 的任一形如r^m μ^m－2s λ^s 的项都可以写成 把此式对Y_n 的n个轴逐次求导数，我们就发现，当其中s个轴求r^2s 的导数时，我们就会引入s个p_m 和一个数字因子2s（2s－2）…2，或者说是2^s s!。当继续对其次的s个轴线求导数时，各个p_m 就变成λ_m ，但是没有数字因子被引入；当对其余的n－2s个轴求导数时，各个p_m 就变成各个λ_mn ，从而结果就是

因此，我们由方程（31）就得到　　

而由方程（43）就有　　

于是，完成微分计算并记得m＝n，我们就得到

135a.〕　如果我们假设其中一个面谐函数Y_m 的所有各轴都互相重合，从而Y_m 变成我们以后将定义的m阶带谐函数，用符号P_m 来代表，则两个面谐函数之积的面积分表示式（46）将采取一种引人注意的形式。

在这一事例中，所有形如λ_nm 的余弦都可以写成μ_n ，此处μ_n 代表P_m 的公共轴和Y_n 的一个轴之间的夹角的余弦。形如λ_mm 的余弦将变成等于1，因此我们必须把 代成s个符号的组合数，其中每一符号都由n个下标中的两个下标来互相区别，任何下标都不重复出现。于是就得到　　 ^〔67〕

P_m 各轴的其余n－2s个下标的排列数是（n－2s）!于是就有

因此，当Y_m 的所有各轴互相重合时，方程（46）就变成

式中Y_n（m） 表示Yn在极点P_m 上的值。

我们可以按下列较短的手续得出相同的结果。

设取一个直角坐标系，使z轴和P_m 的轴相重合，并把Y_n rⁿ 展成x、y、z的n次齐次函数。

在极点P_m 上，x＝y＝0而z＝r，从而如果Czⁿ 是不包括x和y的项，则C是Y_n 在极点P_m 上的值。

在这一事例中，方程（31）变成

当m等于n时，求Czⁿ 的导数的结果是n!C，而其他各项的导数为零。于是就有 C是Y_n 在极点P_m 上的值。

135b.〕　这一结果是球谐函数理论中一种很重要的结果，因为它表明了怎样确定表示着一个量的值的一系列球谐函数，那个量在一个球面的每一点上具有任意指定的有限而连续的值。

因为，设F是那个量的值，而ds是球面上一点Q处的面积元，于是，如果我们把Fds乘以极点为同一球面上P点的那个带谐函数P_n 并在球面上求积分，则结果可以看成P点位置的一个函数，因为它是依赖于P点的位置的。

但是，因为以Q点为极点的带谐函数在P点上的值等于以P点为极点的带谐函数在Q点上的值，所以我们可以假设，对于每一个面积元，都能构造一个以Q点为极点而以Fds为其系数的带谐函数。

于是我们就可以有一套互相叠加的带谐函数，它们的极点位于球面上F有值的每一点上。既然其中每一个都是一个n阶面谐函数的倍数，它们的和式也是一个球谐（不一定是带谐）函数的倍数。

因此，看成P点的函数的面积分∬FP_n ds就是一个面谐函数Y_n 的倍数，于是

也就是属于用来表示F的那一系列面谐函数的那个特定的n阶面谐函数，如果F可以这样被表示的话。

因为，如果F可以表示成F＝A₀ Y₀ ＋A₁ Y₁ ＋…＋A_n Y_m ＋…那么，如果我们乘上Pnds并在整个球面上求面积分，则所有包括不同阶次的谐函数之积的各项都将为零，只剩下 由此可见，F的唯一可能的球谐函数表示式就是

共轭谐函数

136.〕　我们已经看到，阶次不同的两个谐函数之积的面积分永远是零。但是，即使两个谐函数是阶次相同的，它们的乘积的面积分也可以是零。这时两个谐函数就被说成是互相共轭的。两个同阶谐函数互相共轭的条件，通过在方程（46）中令各项为零来表示。

如果其中一个是带谐函数，则共轭条件是另一个谐函数在带谐函数的极点上的值必须为零。

如果我们从一个给定的n阶谐函数开始，则为了使第二个谐函数可以和它共轭，那个谐函数的2n个变数必须满足一个条件式。

如果第三个谐函数应该和这两个谐函数都共轭，它的2n个变数就必须满足两个条件式。如果我们继续构造一些谐函数，使每一个都和以前的谐函数的共轭，则每个谐函数所满足的条件式的数目将等于已经存在的谐函数的数目，因此，第（2n＋1）个谐函数就将通过2n个变数来满足2n个条件式，从而就将是完全确定的。

一个n阶面谐函数的任何倍数AY_n ，可以表示成任何一组2n＋1个同阶谐函数的倍数之和，因为2n＋1个共轭谐函数的系数，是其数目等于Y_n 的2n个系数和A的一组可以选择的量。

为了求出任一共轭谐函数例如 的系数，可以假设 乘以 并在球上求面积分，所有包括相互共轭的谐函数之积的项都将为零，只剩下

这是一个确定着A_σ 的方程。

由此可见，如果我假设一组2n＋1个共轭谐函数已经给定，则每一个别的n阶谐函数都可以用它们表示出来，而且只有一种表示方式。

137.〕　我们已经看到，如果一组完备的2n＋1个全都互相共轭的n阶谐函数已经给定，则任一个其他的同阶谐函数可以用这些谐函数表示出来。在这样2n＋1个谐函数的组中，共有2n（2n＋1）个变数由n（2n＋1）个方程联系着，因此就有n（2n＋1）个变数可以认为是任意的。

我们可以就像汤姆孙和泰特所建议的那样把一组函数选作共轭谐函数组；在这组函数中，每一个谐函数的n个极点都是这样分布的：有j个极点和x轴的极点相重合，k个极点和y轴的极点相重合，而l（＝n－j－k）个极点和z轴的极点相重合。于是，当n＋1个l＝0的分布和n个l＝1的分布已经给定时，所有别的谐函数就都可以用这些谐函数表示出来。

实际上被一切数学家（包括汤姆孙和泰特）所采用了的是那样一个函数组，即其中有n－σ个极点被放得和可以叫做“球的正极”的一个点相重合，其余的σ个极点当σ为奇数时等距地被放在赤道上，而当σ为偶数时则等距地被放在赤道的一半上。

在这一事例中，μ₁ , μ₂ , …, μ_σ 中的每一个都等于cosθ，我们将用μ来代表它。如果我们也用v来代表sinθ，则μ_n－σ＋1 , …, μ_n 具有vcos（φ－β）的形式，此处β是其中一个极点在赤道上的方位角。

另外，如果p和q都小于σ，则λ_pq 的值也是1；如果p和q中有一个大于σ而另一个小于σ，则λ_pq 为零；当p和q都大于σ时，λ_pq 的值是cosπ/α，此处s是一个小于σ的整数。

138.〕　当所有的极点都和球的极点相重合时，σ＝0，而函数就叫做一个带谐函数。由于带谐函数是有很大重要性的，我们将给它保留一个符号，即P_n 。

我们可以由三角函数表示式（43）或是更直接地通过求导数来得出带谐函数的值，于是就有　　

式中p必须取从零到不超过 的最大整数的每一个整数值。

有时把P_n 表示成cosθ和sinθ或我们所写的μ和v的齐次函数是方便的，这时

在有关这一课题的数学著作中已经证明，P_n （μ）就是 的展式中h_n 项的系数｛而且也等于

带谐函数平方的面积分是　　

由此即得　　

139.〕　如果我们把一个带谐函数简单地看成μ的函数而并不和球面进行任何的联系，它就可以被称为一个勒让德系数。

如果我们把带谐函数看成存在于一个球面上，球面上的各点用坐标θ和φ来确定，并假设带谐函数的极点位于一点（θ′, φ′）上，则带谐函数在（θ, φ）点上的值将是四个角θ′、φ′θ、φ的函数，而因为它是（θ, φ）和（θ′, φ′）之间的连接弧的余弦μ的函数，如果将θ和θ′互换并把φ和φ′互换，它的值就不会改变。这样表示的带谐函数曾被称为“勒让德系数”。汤姆孙和泰特称之为“双轴谐函数”。

任何x、y、z的能够满足拉普拉斯方程的齐次函数可以叫做一个“体谐函数”，而一个体谐函数在一个以原点为心的球面上的值就可以叫做一个“面谐函数”。在本书中，我们曾借助于一个面谐函数的n个极点来定义它，从而它只有2n个变数。具有2n＋1个变数的更广义的面谐函数就是更狭义的面谐函数乘以一个任意常数。当用θ和φ表示出来时，更普遍的面谐函数叫做“拉普拉斯系数”。

140a.〕　为了得到对称体系的其他谐函数，我们必须对σ个轴求导数，各该轴位于xy平面上，彼此之间的夹角等于π/α。这可以最方便地借助于在汤姆孙和泰特的《自然哲学》第一卷第148页｛或第二版的第185页｝上定义了的虚数坐标来做到。

如果我们写出ζ＝x＋iy, η＝x－iy, 式中i表示 如果一个轴和x轴成α的角，

则当σ为奇数时，对σ个轴求导数的运算可以写成

此式等于　　

如果σ是偶数，我们就能证明求导数的运算可以写成

于是，如果 我们就可以利用 来把对σ个轴求导数的运算表示出来。这些当然是实数运算，从而是可以不用虚数符号来表示的，例如

我们也将写出　　 和

于是 和 就代表对n个轴求导数的运算，其中n－σ个轴和z轴相重合，而其余的σ个轴则在xy平面上互成相等的角，这里当y轴和其中一个轴相重合时用 而当y轴平分二轴之间的夹角时用

两个σ型的n个阶田谐函数现在可以写成

写出μ＝cosθ, v＝sinθ, ρ² ＝z² ＋y² , r² ＝ζη＋z² , 从而z＝μr, ρ＝vr, x＝cosφ, y＝sinφ，我们就有　　　

在这里我们可以写出　　

我们现在只需对z求导数了，这一点我们可作得或是得出含r和z的结果，或是得出作为z和ρ除以r的某次幂的一个齐次函数的结果

^〔68〕

或　　

如果我们写出

以及　　

就有　　

从而这两个函数只差一个常数因子。

现在我们可以利用 和 来写出两个σ型的n阶田谐函数表示式了，

^〔69〕

我们必须注意，当σ＝0时sinσφ＝0而cosσφ＝1。

对于包括从1到n的每一个σ值，都有一对田谐函数，但是当σ＝0时却有 而 带谐函数。因此，正如应该有的那样，n阶谐函数的总数就是2n＋1。

140b.〕　本书所采用的Y是我们当对n个轴求r^-1 的导数并除以n!时所得到的值。它是四个因子的乘积，即σφ的正弦或余弦、v^σ 、μ（或μ和v）的一个函数和一个数字系数。

第二和第三部分的乘积，也就是依赖于θ的那一部分，曾经利用三种不同的符号表示出来，它们只在数字因子方面有所不同。当把它表示成v^σ 和一个μ的降幂级数的乘积时，既然第一项是μ^n－σ ，它就是我们仿照汤姆孙和泰特用 来代表的那个函数。

海恩（《球谐函数手册》，§47）用 来代表的那个函数，被称为“eine zugeordnete Function erster Art”，按照陶德洪特的翻译，即“第一类缔合函数”，它是通过下列方程来和 相联系的：　　

从μ^n－σ 开始的μ的降幂级数，曾被海恩表示成 而被陶德洪特写成

这个级数也可以写成另外两种形式

在最后一种形式中，级数是通过对μ求带谐函数的导数而得出的；这种形式似乎引导弗勒尔斯采用了 这个符号，他是这样定义它的：

当同一个量被表示成μ和v的齐次函数并除以μ^n－σ v^σ 的系数时，它就是我们已经定义为 的那个函数。

140c.〕　对称体系的谐函数曾由汤姆孙和泰特按照各函数在其上变为零的球面曲线的形式来进行分类。

带谐函数在球面上任一点的值是极距离的余弦的函数；如果令它等于零，就得到一个n次方程，该方程的所有各根都介于-1和＋1之间，从而就对应于球面纬线的n条平行线。

由这些平行线划分而成的环带交替地为正或为负，球极周围的圆永远为正。

因此带谐函数就适于用来表示一个函数，该函数在球面纬线的某些平行线上或在空间的某些圆锥面上变为零。

对称体系的其他谐函数是成对出现的，一个函数包括σφ的余弦，而另一个则包括其正弦。因此它们在球面的σ条子午线上和n－σ条纬线平行线上变为零，于是球面变被划分成2σ（n－σ－1）个正四边形或田字格，另外还有极点处的4σ个三角形。因此，在关于球面上由经纬线分成的正四边形或田字格的研究中，这些函数是有用的。

它们全都称为田谐函数，只有最后一对除外。最后一对函数只在n条子午线上为零，这些子午线把球面分成2n瓣。因此这一对函数称为“瓣谐函数”。

141.〕　其次我们必须求出任何田谐函数的平方在球面上的面积分，我们可以用第134节中的方法来做到这一点。我们通过用rⁿ 来乘面谐函数 而把它化成一个体谐函数，把这一体谐函数对它自己的n个轴求导数然后取x＝y＝z＝0，并且将结果乘以

按照我们的符号，这些运算由下式来表示：

把体谐函数写成z和ζ及η的齐次函数的形式，即

我们发现，当对z求导数时，除了第一项以外所有的项都不复存在，而且还引入一个因子（n－σ）!。

逐次对ζ和η求导数，我们就也将消除这些变数并引入一个因子-ziσ!，因此最后的结果就是　　

我们将用符号［n, σ］来代表这一方程的右端。

这一表示式对于包括1到n的一切σ值都是对的，但是却不存在和σ＝0相对应的包含sinσφ的谐函数。

同理我们可以证明　　

对包括从1到n的σ值都成立。

当σ＝0时，谐函数变成带谐函数，从而　　

这个结果可以通过在方程（50）中令Y_n ＝P_n 并记得带谐函数在其极点上的值是1来直接得出。

142a.〕　现在我们可以应用第136节的方法来确定球面一点位置的任意一个函数的展式中任一给定田谐面函数的导数。因为，设F是任意函数，并设 是这一函数的对称组面谐函数展式中 的系数，那就有

式中［n, σ］是在方程（80）中给出的那个面积分的值的简写。

142b.〕　设Ψ是一个任意函数，满足拉普拉斯方程，并在离一点O为a的一段距离之内没有奇值，而这个O点就可以取作坐标原点。把这样一个函数展成以O为原点的一些正阶的体谐函数的级数永远是可能的。

这样做的一个办法就是以O为心画一个球，其半径小于a，然后把球面上的势的值展成面谐函数的级数。把每一个这种谐函数乘以幂次等于面谐函数之阶次的r/a的乘幂，我们就得到一些体谐函数，而所给的函数就是这些体谐函数之和。

但是，一个更方便的而且不涉及积分计算的方法就是对各个对称组谐函数的各轴求导数。

例如，让我们假设在Ψ的展式中有一项的形式是

如果我们对Ψ并对它的展式进行下一运算 并在求导数以后令x、y、z等于零，则除了包含 的一项以外展式中的所有各项都为零。

借助于对各实轴求导数的算符来把作用在Ψ上的算符表示出来，我们就得到

由此方程，我们就可以借助于Ψ在原点上的对x、y、z的各个微分系数来确定级数中任一谐函数的系数。

143.〕　由方程（50）可见，永远可能把一个谐函数表示成极点分布在球面上的一系列同阶带谐函数之和。然而，这一函数组的简化却似乎大非易易，然而，为了直观地显示球谐函数的一些特点，我曾经计算了第三阶和第四阶的带谐函数，并且按照已经描述过的函数相加的方法来针对一些谐函数画出了球面上的等势线，各该函数就是两个带谐函数之和。见本书末尾的图版6到图版9。

图版6表示两个三阶带谐函数之差，该二函数的轴在纸面上成120°之角，而这个差就是σ＝1的第二种类型的谐函数，其轴垂直于纸面。

在图版7中，谐函数仍是三阶的，但它却是轴线互成90°角的两个带谐函数之和，而所得结果并不是任何类型的对称体系。节线之一是一个大圆，但是和大圆相交的另外两条节线却不是圆。

图版8代表轴线互成直角的两个四阶带谐函数之差。结果是n＝4、σ＝2的一个田谐函数。

图版9代表同样两个带谐函数之和。结果可以提供有关一种更普遍的四阶谐函数的一些概念。在这种类型中，球面上的节线包括互不相交的六条卵形线。谐函数在卵形线内部为正，而在位于卵形线外的那一部分六连通的球面上则为负。

所有这些图都是球面的正交投影。

我也在图版5中画了一个经过球轴的平面截面，以显示按照一阶球函数的值而带电的一个球面所引起的等势面和力线。

在球内，等势面是一些等距的平面，而力线是一些平行于轴线的直线，各直线到轴线的距离是自然数的平方根。球外那些线可以看成将能代表由地球的磁性所引起的情况，假如磁性是按最简单的形式分布的话。

144a.〕　现在我们能够确定受到势已给定的电力作用的一个球形导体上的电分布了。

按照已经给出的方法，我们把所给电力的势Ψ展成原点在球心上的一些正阶次的体谐函数的级数。

设A_n rⁿ Y_n 是其中一个体谐函数，则由于势在导体球内部是均匀的，就必有起源于球面上电分布的一项-A_n rⁿ Y_n , 于是，在4πσ的展式中必有一项4πσ_n ＝（2n＋1）a^n－1 A_n Y_n ，用这种办法，我们就能确定面密度展式中除了零阶以外的一切阶次的谐函数的系数。和零阶相对应的系数依赖于的电荷e，并由4πσ₀ ＝a^－2 e来给出。

球的势是

144b.〕　其次让我们假设，球位于一些接地的导体附近，而格林函数G已经针对球所在的域中任何两点的坐标x、y、z和x′、y′、z′被确定了。

如果球上的面电荷被表示成球谐函数的一个级数，则由球上的这一电荷在球外引起的电现象，和由全都位于原点上的一系列假想的奇点所引起的电现象相等同；其中第一个奇点是单独一个点，所带的电荷等于球的电荷，而其他的奇点是不同阶的多重点，它们和表示面密度的那些谐函数相对应。

设格林函数用G_pp′ 来代表，此处p指示坐标为x、y、z的点而p′指示坐标为x′、y′、z′的点。

如果有一个电荷A₀ 放在p′点，则当把x′、y′、z′看成常数时G_pp′ 就变成x、y、z的一个函数；而由A₀ 在周围物体上感应出来的那些电所引起的势就是　　

假如电荷A₀ 不是放在p′点而是均匀分布在一个以p′为心、以a为半径的球上，Ψ在球外各点上的值还将是相同的。

如果球上的电荷不是均匀分布的，设它的面密度被表示成球谐函数的一个级数（因为这永远可能），就有　　

由这种分布的任何一项例如　　

所引起的势，对球内的点来说是 而对球外的点来说是

喏，由第129c和129d节中的方程（13）和（14）可知，后一表示式等于 或者说，由球上的电荷引起的球外的势，是和由某一个多重点所引起的势相等价的，该多重点的轴是h₁ , …, h_n 而其矩是A_n aⁿ 。

由此可见，周围各导体上的电分布以及由这种分布所引起的势，和将由这样一个多重点所引起的电分布及势相同。

因此，周围物体上的感生电在p点即（x, y, z）点上引起的势就是

式中d上的撇号表示导数是对x′、y′、z′求的。这些坐标在事后应被弄成等于球心的坐标。

假设Y_n 分解成它的2n＋1个对称组分量是方便的。设 是其中一个分量，就有　　

这里用不着再写上指示出现在谐函数中的是sinσφ或cosσφ的角注s或c。

现在我们可以写出由电感生电引起的势Ψ的完备表示式了：

但是，势在球内是常量，或者说　　

现在对这一表示式进行运算 这里的微分是对x、y、z进行的，而n₁ 和σ₁ 的值独立于n和σ的值。（7）式中的一切项，除了含 的一项以外都为零，从而我们就得到

于是我们就得到一组方程，其中每一方程的左端都包含着我们所要确定各系数之一。右端第一项包含A₀ ，即球的电荷，而且我们把这一项看做主项。暂时忽略其他各项，我们就作为初级近似而得到　　

如果从球心到周围最近的导体的最短距离用b来代表，就有

因此，如果和球的半径a相比b是很大的，则其他球谐函数的系数比A₀ 小得多。因此，——，将和 有相同的数量级。

因此我们在初级近似下就可以忽略那些项，而在二级近似下则可以把在初级近似下得到的系数值代到这些项中去，依此类推，直到我们达到了所要求的近似程度为止。

近似球形的导体上的电分布

145a.〕　设导体表面的方程是　　

式中F是r的方向即φ的一个函数，而且是在研究中可以忽略其平方项的一个量。

设F被展成面谐函数的级数的形式　　

在这些项中，第一项依赖于平均半径超过a的数量。因此，如果我们假设a就是平均半径，也就是说，假设a近似地是体积等于所给导体的体积的一个球的平径，则系数f₀ 将等于零。

第二项，即系数为f₁ 的一项，依赖于导体质心离原点的距离（假设导体具有均匀的密度）。因此如果我们取该质心作为原点，则系数f₁ 也将等于零。

在开始时，我们将假设导体有一个电荷A₀ 而且没有外来的电力作用在它上面。因此，导体外面的势必将形式如下：　　

式中各面谐函数并不被假设为和F的展式中那些面谐函数属于相同的类型。

在导体的表面上，势就是导体的势，即等于常量a。

因此，把r的乘幂按a和F展开并略去F的二次及更高次项，我们就有a＝A₀

既然各系数A₁ 等等显然比A₀ 小得多，我们在开始时就可以忽略这些系数和F的乘积。

于是，如果我们把F换成它的球谐函数展式中的第一项，并使包含同阶谐函数的各项等于零，就得到　　

由这些方程可见，各个Y′必然和各个Y属于相同的类型，从而就和它们相等同，从而就有A₁ ＝0和A_n ＝A₀ aⁿ f_n 。

为了确定表面上任一点的密度，我们近似地有一个方程

式中v是法线而ε是法线和半径之间的夹角。既然在这一研究中我们假设F及其对θ和φ的第一阶微分系数都很小，那就有

将r的乘幂按a和F展开并略去F和A_n 的乘积，我们就得到

把F按球谐函数展开并令A_n 等于已经求得的那些值，我们就得到

由此可见，如果表面和一个球面相差一薄层，该层的厚度按照n阶球谐函数而变，则任意二点面密度之差和面密度之和的比值，将是该二点处半径之差和半径之和的比值的n－1倍。

145b.〕　如果近似球形的导体（1）受到外来电力的作用，设由这些力引起的势U被展成以导体的体积中心为原点的正阶球谐函数的级数

式中Y上的撇号表明这个谐函数不一定和F展式中的同阶谐函数属于相同的类型。

假如导体确切地是球形的，由它的面电荷在导体外面一点上引起的势就将是

设由面电荷引起的实际势为V＋W，此处

带着双撇的谐函数和出现在F或U中的不相同，而且各系数G很小，因为F很小。

必须满足的条件是，当r＝a（1＋F）时， 即等于导体的势。

把r的乘幂按a和F展开，当和A或B相乘时保留F的一次项，但忽略它和小量C的乘积，我们就得到

为了定出系数C，我们必须完成上式第一行中所表示的乘法并把结果表示成球谐函数的级数。这个级数经过变号，将是导体表面上的W的级数。

n阶和m阶的两个球谐函数的乘积，是x/r、y/r和z/r的一个n＋m次的有理函数，从而可以展成阶次不超过n＋m的球谐函数的一个级数。因此，如果F可以按阶次不超过m的球谐函数展开，而由外力引起的势可以按阶次不超过n的球谐函数展开，则由面电荷所引起的势将只包含阶次不超过m＋n的球谐函数。

然后面密度就可以利用近似方程来由势求出，　　

145c.〕　包围在一个近似球形的近似同心的导体电容器中的一个近似球形的导体。

设导体表面的方程是　　

式中　　

设容器内表面的方程是　　

式中　　

而各个f和各个g都远小于1, 是σ型的n阶面谐函数。

设导体的势是α而容器的势是β。设把导体和容器之间任一点上的势按球谐函数展开，例如　　

于是我们就必须确定各系数h和k，以使当r＝a（1＋F）时Ψ＝α而当r＝b（1＋G）时Ψ＝β。

由以前的讨论显然可知，除了h₀ 和k₀ 以外，所有的h和k都将是小量，它们和F的乘积可以忽略。因此我们可以写出

因此我们就有　　

由此我们就得到k₀ ，即内部导体的电荷

而关于n阶谐函数的系数，就有

这里我们必须记得，各系数 是属于相同的阶次和相同的类型的。

内部导体的面密度由下列方程给出：

式中

146.〕　作为带谐函数之应用的一个例子，让我们来考察两个球形导体上的电的平衡。

设a和b是二球的半径，而c是它们中心之间的距离。为了简单起见，我们也将写出a＝cx和b＝cy，从而x和y就是小于1的数字。

设取二球的连心线作为带谐函数的轴，并设属于每一个球的带函数的极点就是离另一个球最近的那个点。

设r是任意点离第一球的球心的距离，而s是同一点离第二球的球心的距离。

设第一球的面密度σ₁ 由下列方程给出，

于是A就是该球的电荷，而A₁ 等等就是带谐函数P₁ 等等的系数。

由这一电荷分布所引起的势，对球内各点来说可以表示为

而对球外各点来说可以表示为

同样，如果第二球上的面电荷由下列方程给出，

则在此球之内和之外由这一电荷所引起的势可以表示成下列形式的方程

式中的几个谐函数是联系在第二个球上的。

各球的电荷分别是A和B。

第一球内每一点的势是常量，并等于该球的势α，从而在第一球的内部就有

同理，如果第二个球的势是β，则对该球内部各点有　　

对于两个球外面的各点，势是Ψ，而　　

在轴上，在二球心之间，有　　

于是，对r求导数而在求导数以后令r＝0，并且记得每一个带谐函数在极点上都等于1，我们就得到　　

式中在求导数以后应令s等于c。

如果我们完成微分计算并写出a/c＝x和b/c＝y，这些方程就变成

通过对第二个球进行对应的运算，我们得到

为了确定两个球的势α和β，我们有方程（7）和（8），现在我们可以把它们写成

因此，如果只注意系数A₁ 到A_m 和B₁ 到B_n ，我们就有m＋n个方程，而由这些方程就可以解出这些量，把它们用两个球的电荷A和B表示出来。然后，把这些系数的值代入（14）和（15）中，我们就可以用二球的电荷把它们的势表示出来

这些运算可以用行列式的形式来表示，但是从计算的目的来看，更方便的是按下述方式来进行。

根据方程（13）把A₁ , …, A_n 的值代入（12）中，我们就得到

通过把A₁ 等等的近似值代入这些方程的右端并重复上述过程以求得更进一步的近似，我们可以按照x和y的乘积的升幂式把对这些系数的逼近进行到任意的程度。如果我们写出　　

就得到

在以下的运算中，把这些系数用a、b、c表示出来并按照这三个量的幂次来排列各项是更加方便的。这将使对c求导数更容易些。于是我们就得到

各个r和s的值，可以通过分别在各个q和p中将a和b互换来写出。

现在如果我们在下列形式下按照这些系数来计算两个球的势，

则l、m、n是电势系数（第87节），其中

或者，按a、b、c展开，就有

l的值可以通过在n中把a和b互换来求得。

根据第87节，体系的势能是　　

而根据第93a节，二球之间的推斥力是

任一球上任一点处的面密度，由方程（1）和（4）而通过各系数A_n 和B_n 来给出。

第十章　共焦二次曲面 ^〔70〕

147．〕　设一个共焦族的普遍方程是　　

式中λ是一个变化的参数。我们将用λ的下标来区分二次曲面的品种，即用λ₁ 表示双页双曲面，用λ₂ 表示单页双曲面，而用λ₃ 表示椭球面。各量a，λ₂ ，b，λ₂ ，c，λ₃ 是按数值递增的次序排列的。a这个量是为了形式对称才被引入的，但是在我们的结果中我们将永远假设a＝0。

考虑一下参数各为λ₁ 、λ₂ 、λ₃ 的三个曲面，我们就发现，通过在它们的方程之间消去变数，它们的交点上的x₂ 的值满足方程

y² 和z² 的值可以通过把a、b、c互相轮换来得出。

把这个方程对λ₁ 求导数，我们就得到　　

如果ds₁ 是夹在曲面λ₁ 和λ₁ ＋dλ₁ 之间的λ₂ 和λ₃ 的交线的截距长度，则有

这个分式的分母，就是曲面λ₁ 的各个半轴的平方乘积。

如果我们令　　

并令a＝0，就有　　

很容易看到，D₂ 和D₃ 就是λ₁ 的中央部分的半轴，该部分和通过给定点的直径相共轭，而且，D₃ 平行于ds₂ 而D₂ 平行于ds₃ 。

如果我们也把三个参数λ₁ 、λ₂ 、λ₃ 代成它们通过下列方程而由三个函数α、β、γ来定义的值，　　

则有　　

148．〕　现在，设V是任一点α、β、γ上的势，则沿ds₁ 的合力是

既然ds₁ 、ds₂ 和ds₃ 是互相垂直的，面积元ds₂ ds₃ 上的面积分就是

现在考虑介于各曲面α、β、γ和α＋dα、β＋dβ、γ＋dγ之间的体积元。共有八个这样的体积元，每一空间卦限中有一个。

我们已经得出力的法向分量（向内测量）在由曲面β和β＋dβ、γ和γ＋dγ从曲面α上截下的面积元上的面积分 ^〔71〕 。

曲面α＋dα的对应面积元上的面积分将是 因为D₁ 是不依赖于α的。体积元的两个对面表面上的面积分将是

同样，另外两对表面上的面积分将是

这六个表面包围了一个体积元，其体积是 而且，如果体积元中的体密度是ρ，则我们由第77节得到，这一体积元表面的总的面积分加上它里面的电量乘以4π，应等于零，或者除以dαdβdγ就有

这就是椭球坐标下的拉普拉斯方程的泊松推广形式。

如果ρ＝0，第四项就不存在，而方程就和拉普拉斯方程相等价。

关于这一方程的普遍讨论，读者可以参阅已经（在前面的小注中）提到的拉梅的著作。

149．〕　为了确定α、β、γ各量，我们可以通过引用辅助角θ、φ、 来把它们写成普通的椭圆积分的形式，此处　　

如果令b＝kc和k² ＋h′² ＝1，我们就可以把k和k′叫做共焦族的两个互补模数，而且我们得到　　

这是一个第一类的椭圆积分，我们可以按照通常的符号把它写成F（k,θ）。

同样我们得到　　

式中F（k′）是关于模数k′的完备函数，

在这里，α被表示成角θ的一个函数，从而它是参数λ₁ 的函数；β是φ的从而是λ₂ 的函数；γ是 的从而是λ₃ 的函数。

但是这些角和这些参数可以看成α、β、γ的函数。这些反函数及其有关函数的性质，在拉梅的有关著作中进行了说明。

很容易看到，既然各函数是各辅助角的周期函数，它们也将是a、β、γ这些量的周期函数：λ₁ 和λ₃ 的周期是4F（k），而λ₂ 的周期是2F（k′）。

特　殊　解

150．〕　如果V是α、β或γ的线性函数，方程就是满足的。因此我们就可以从方程推出同族中保持在给定的势的任何两个共焦曲面上的电分布，以及二曲面之间任一点上的势。

双页双曲面

当α为常数时，对应的曲面是双页双曲面。让我们把α的符号取为和所考虑的一页上的x的符号相同。这样我们就可以每次考虑其中的一页。

设α₁ 、α₂ 是和两个单独页相对应的α值，这两页可以属于相同的或不同的双曲面。另外又设V₁ 、V₂ 是这两页被给予的势。于是，如果我们令

条件就会在两个曲面上和它们之间的全部空间中得到满足。如果我们令V在曲面α₁ 的外侧空间中等于常量并等于V₁ ，而在曲面α₂ 的外侧空间中等于V₂ ，我们就将得到这一特殊事例的完备解。

在某一页的任一点上，合力是

或

如果p₁ 是从中心到任一点的切面的垂直距离，而p₁ 是曲面的半轴的乘积，则有p₁ D₂ D₃ ＝P₁ 。

由此我们得到　　

或者说，曲面上任一点上的力，垂直于从中心到切面的垂线。

面密度σ可由下列方程求出：　　

方程为x＝d的一个平面从双曲面的一页上切割下一个部分，这一部分曲面上的总电量是　　

从而整个无限大的一页上的电量就是无限大。

曲面的一些极限形式是：

（1）当α＝F（k）时，曲面就是xz平面上位于方程为

的双曲线正支的正侧的那一部分平面。

（2）当α＝0时，曲面是yz平面。

（3）当α＝-F（k）时，曲面是xz平面上位于同一双曲线负支的负侧的那一部分平面。

单页双曲面

令β等于常数，我们就得到单页双曲面的方程。因此，形成电场之边界面的那两个曲面必然属于两个不同的双曲面。其他方面的考察和在双页双曲面的事例中相同，从而当势差给定时，曲面上任一点处的密度将正比于从中心到切面的垂直距离，而无限大页上的总电量将是无限大。

极限形式

（1）当β＝0时，曲面就是xz平面上介于双曲线之间的那一部分平面，该双曲线的方程已在前面写出，即（24）。

（2）当β＝F（k′）时，曲面就是xy平面上于方程为

的椭圆外面的那一部分平面。

椭　球　面

对于任一给定的椭球面，γ是常数。如果两个椭球面γ₁ 和γ₂ 被保持在势V₁ 和V₂ ，则在二者之间的空间中的任一点γ上，我们有　　

任一点上的面密度是　　

式中p₃ 是从中心到切面的垂直距离，而P₃ 是半轴的乘积。

每一曲面上的总电荷由下式给出，　　

从而是有限的。

当γ＝F（k）时，椭球的表面在一切方向上都在无限远处。

如果令V₂ ＝0而γ₂ ＝F（k），我们就得到位于一个无限广阔的场中的保持在势V的一个椭球面上的总电量，　　

椭球面的极限形式出现在γ＝0时，其时曲面是xy平面位于一个椭圆内的那一部分平面，该椭圆的方程已在前面写出，即（25）。

方程为（25）而离心率为k的椭圆形平板的每一面上的面密度是

而其电荷是　　

特　例

151．〕　如果c保持不变，而b从而还有k则无限地减小而终于变为零，曲面族就会变化如下：

双页双曲线的实轴和其中一个虚轴都无限减小，而曲面最后就和相交于z轴的两个平面相重合。

量α变为和θ相等同，而第一族曲面退化成的那一族子午面的方程就是

至于β这个量，如果采用在第（152）页上由（7）式给出的定义，我们就会在积分的下限处被引导到积分的无限大值。为了避免这一点，我们在这一特例中把β定义为下列积分的值，

如果我们现在令λ₂ ＝csinφ，则β变成 即

于是　　

从而　　

如果我们把指数式 叫做β的双曲余弦并写成coshβ，而且把 叫做β的双曲正弦并写成sinhβ，而且如果我们按相同的方式应用一些在特点上和其他那些简单三角函数相类似的函数，则λ₂ ＝csechβ，而单页双曲线族的方程则是

量γ简化成了Ψ，从而λ₃ ＝csecγ，而椭球族的方程就是

这是一些绕共轭轴的旋转图形。这一类椭球叫做“行星椭球”。

无限场中一个保持在势V的行星椭球上的电量是　　

式中csecγ是赤道半径，而ctanγ是极向半径。

如果γ＝0，图形就是半径为c的圆盘，而且

152．〕　第二个事例　设b＝c，则k＝1而k′＝0，

而双页旋转双曲面的方程变为　　

量β被简化为φ，而每一个单页双曲面则退化为一对交于x轴的平面，其方程是

这是一族子午面，而β即其经度。

在第152页的（7）式中定义的量γ，在此事例中在积分下限处变为无限大。为了避免这一点，让我们把它定义为下列积分的值，

如果令λ₃ ＝csec ，我们就得到 由此即得λ₃ ＝ccothγ，而椭球族的方程就是　　

这些以短轴为其旋转轴的椭球叫做“卵形椭球”。

在这一事例中，由（29）式即得，无限场中一个保持在势V的卵形椭球上的电量是

式中csec ₀ 是极向半径。

如果我们用A代表极向半径而用B代表赤道半径，则刚刚求得的结果变成

如果和极向半径相比赤道半径是很小的，就像在圆头导线的事例中那样，则有

当b和c都变为零而它们之比则保持有限时，曲面族就变成两个共焦锥面族和半径反比于γ的一个球面族。

如果b和c之比是零或一，曲面族就变成一个子午面族、一个共轴正锥面族和一个半径反比于γ的同心球面族。这就是普通的球极坐标系。

柱　面

153．〕　当c为无限大时曲面是柱面，其母线平行于z轴，一族柱面是双曲柱面，也就是由双页双曲线所生成的柱面。既然当c为无限大时k为零，从而θ＝α，可见这一族柱面的方程是　　

另一族是椭圆柱面，而既然当k＝0时β变成 或λ₂ ＝bcoshβ，这一族柱面的方程就是　　

这两族曲面在本书末尾的图版10中表示了出来。

共焦抛物面

154．〕　如果我们在普遍方程中把坐标原点移到x轴上离曲面族中心的距离为t的一点，并把x、λ、b和c分别改写成t＋x、t＋λ、t＋b和t＋c，然后使t无限增大，则我们在极限情况下得到一族抛物面，其焦点位于x＝b和x＝c二点，就是说，方程是

如果第一个椭圆抛物物面族的变动参数是λ，双曲抛物面族的变动参数是μ，而第二个椭圆抛物面族的变动参数是v，则我们有按数值递增的次序排列的λ、b、μ、c、v，而且

为了避免积分（7）中的无限大值，抛物面族中的对应积分是在不同的积分限之间计算的。

我们在这一事例中写出

由此即得

当b＝c时，我们有绕x轴的旋转抛物面的事例，而且｛见附注｝

β为常数的曲面是一些通过轴的平面，β就是这样一个平面和通过轴的一个固定平面之间的夹角。

α为常数的曲面是一些共焦抛物面。当α＝-∞时，抛物面退化成一条以原点为端点的直线。

我们也可以利用以焦点为原点而以抛物面的轴为θ轴的球极坐标γ、θ和φ来给出α、β、γ的值，

我们可以把势等于α的事例和带体谐函数rⁱ Q_i 相比较。二者都满足拉普拉斯方程，而且都是x、y、z的齐次函数，但是在从抛物面导出的事例中在轴上有一种不连续性｛因为当把θ改写成θ＋2π时α是改变的｝。

无限场中一个带电抛物面（包括在一个方向上为无限的直线事例）上的面密度，反比于离焦点的距离的平方根，或者，在直线的事例中是反比于离端点的距离的平方根 ^〔72〕 。

第十一章　电像和电反演的理论

155.〕　我们已经证明，当一个导体球受到一种已知的电分布的影响时，球表面上的电分布是可以用球谐函数的方法来确定的。

为此目的，我们需要把被影响体系的势展成以球心为原点的一些正阶体谐函数的级数，然后我们求出一些负阶体谐函数的一个对应的级数，它表示由球上的电所引起的势。

通过这种很有威力的分析方法的应用，泊松确定了在给定的电体系影响下的一个球的带电情况，而且他也解决了确定互相影响下的两个导体球上的电分布这一更困难的问题。这些研究曾由普兰纳等人详细进行，他们证实了泊松的精确性。

当把这种方法应用于受到单独一个带电点的影响的一个球这一最基本的事例时，我们要求把由带电点引起的势展成体谐函数的级数，并定出表示着由球上的电在球外空间中引起的势的第二个体谐函数级数。

看来任何一个数学家都不曾注意到，这第二个级数表示着由一个想象的带电点所引起的势；那个想象的点绝不像一个带电质点那样有其物理的存在，但它却可以叫做一个电像，因为表面对外界一点的作用，是和球面被取走时即将由该想象的带电点所起的作用相同的。

这种发现似乎是直到W. 汤姆孙爵士才作出的，他曾经把这种发现发展成一种求解电学问题的很有威力的方法，而同时又能用初等几何的形式表示出来。

他的原始研究见《剑桥和都柏林数学期刊》（Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 1848）；那些研究是用普通的超距吸引力的理论表示出来的，而并没有用到势和第四章中各定理的那种方法，尽管那些研究也许是利用这些方法来发现的。然而，只要能够把问题弄得更清楚易懂，我就不想遵循原作者的方法而将不受限制地应用势和等势面的概念。

电像理论

156.〕　设图7中的A和B代表无限大的均匀电介媒质中的两个点。设A和B的电荷分别是e₁ 和e₂ 。设P是空间中的任意点，它到A和B的距离分别是r₁ 和r₂ 。于是P点处的势就是　　

图7

这种电分布所引起的等势面，当e₁ 和e₂ 同号时由（本卷末尾的）图一来表示，当e₁ 和e₂ 异号时由图二来表示。我们现在必须考虑V＝0的曲面，这是等势面族中唯一的球面。当e₁ 和e₂ 同号时，这个曲面完全位于无限远处。但是当e₁ 和e₂ 异号时，却存在一个位于有限距离处的平面或球面，而面上各点的势为零。

这一曲面的方程是　　

它的中心位于AB延线上的一点C，使得 而且球的半径是

A、B二点是相对于这一球面而言的反演点。这就是说，它们位于同一半径上，而半径就是它们到球心的距离的比例中项。

既然这个球面位于零势，如果我们假设它由金属薄片制成并已接地，则球外或球内任一点的势都不会改变，而任何地方的电作用将仍然只是由两个带电点A和B引起的。

如果我们现在使金属壳保持接地而把B点取走，则球内的势将到处变为零，而球外的势则仍和以前一样。因为球面将仍然有相同的势，而外部带电情况也没有任何改变。

由此可见，如果一个带电点A被放在一个势为零的球形导体外面，则球外一切点上的电作用将是由点A和球内另一点B所共同引起的那种作用；这个点B就可以叫做A的电像。

同样我们也可以证明，如果B被放在球壳里边，则球内的电作用｛可以看成｝是由B和它的电像A所共同引起的。

157.〕　电像的定义　一个电像就是一个或一组位于一个曲面一侧的带电点，它在曲面的另一侧将和曲面上实际上带的电引起相同电作用。

在光学中，一个镜面或一个透镜一侧的一个或一组点，如果存在时将发射和实际存在于镜面或透镜的另一侧的光线，就叫做一个虚像。

电像对应于光学中的虚像，因为它是和曲面另一侧的空间有关的。电像并不是在位置上或只在焦点的近似特性上和光学中的虚像相对应的。

不存在实电像，也就是不存在将在带电曲面的同侧引起和带电曲面的效应相等价的效应的那种想象的带电点。

因为，如果任一空间域中的势等于由同一域中的某种电分布所引起的势，它就必然真是由那种电分布所引起的。事实上，任一点上的电｛密度｝，可以通过泊松方程的应用而从该点附近的势求出。

设a是球的半径。设f是带电点A到球心C的距离。设e是该点的电荷。于是此点的像就位于此球的同一半径上的一点B，到球心的距离是 而像的电荷是

我们已经证明，这个像将在球的另一面和球面上的实际电荷引起相同的效应。其次我们将确定这种电荷在球面任一点P处的面密度；为此目的，我们将利用第80节中的库仑定理，就是说，如果R是一个导体表面上的合力，而σ是面密度，则R＝4πσ，R是由表面向外测量的。

我们可以把R看成两个力的合力，其中一个是沿AP作用的推斥力 而另一个是沿PB作用的吸引力

把这些力分解在AC和CP方向上，我们就发现，推斥力的分力是 沿AC， 沿CP。

吸引力的分力是 沿AC， 沿CP。

而 从而吸引力的分力可以写成 沿AC， 沿CP。

吸引力和推斥力沿AC的分力是相等而反号的，从而合力是完全沿着半径AC的方向的 ^〔73〕 。这只不过肯定了我们已经证明的结论，就是说，球面是一个等势面，从而是一个到处和合力相垂直的曲面。

沿着CP，也就是沿着向A所在的一侧画去的曲面的法线测量的合力是

如果A是取在球内的，f就小于a，而我们就应该向内测量R。因此，对于这一事例就有　　

在一切事例中，我们都可以写出　　

式中AD、Ad是任一条过A的直线和球面相交而成的线段，而且它们的乘积在一切事例中都应取为正。

158.〕　利用第80节中的库仑定理，由此即得P点处的面密度，

球面任一点上的电密度反比于该点到A点距离的三次方。

这一表面分布的效应，和A点的效应一起，应该在A点所在的曲面一侧引起由A点上的e和B点上的电像 所引起的效应，而在曲面的另一侧则势到处为零。因此，表面分布本身的效应就应该在A点一侧引起和B点上的电像 的势相同的势，而在另一侧则引起和A点上的e的势相反的势。

球面上的总电荷显然是 因为它和B点上的电像等价。

因此我们就已经得到了关于一个球面上电分布的作用的下列各定理，该球上的面密度反比于离开球外或球内一点A的距离的立方。

设面密度由方程　　

给出，式中C是某一常量，则由方程（6）得到　　

这一表面分布在和A由此表面隔开的任一点上的作用，等于集中在A点上的一个电量-e或 的作用。

它在和A位于曲面同侧的任一点上的作用，等于集中在A的像点B上的一个电量 的作用。

球面上的总电量，如果A在球内则等于第一个电量，如果A在球外则等于第二个电量。

这些命题都是由W. 汤姆孙爵士在他参照球形导体上的电分布所作的原始几何研究中确立的，读者应参考他的原著。

159.〕　如果把一个已知其电分布的体系放在一个半径为a的导体球附近，该球通过接地而保持其势为零，则球上由体系之各部分所引起的电荷将互相叠加。

设A₁ 、A₂ 等等是体系中的带电点，f₁ 、f₂ 等等是各点到球心的距离，e₁ 、e₂ 等等是它们的电荷，则这些点的像B₁ 、B₂ 等等将和各点本身位于相同的半径上，到球心的距离将是 等等，而它们的电荷将是 等等。

球面电荷在球外引起的势，将和像体系B₁ 、B₂ 等等所将引起的势相同。因此这个体系就叫做体系A₁ 、A₂ 等等的电像。

如果球不是保持在零势而是保持在一个势V，我们就必须在它的外表面上叠加上一个具有均匀面密度 的电分布。这种分布在球外各点的效应，将等于集中在球心上的一个电量V_a 的效应，而在球内的各点上则势将简单地增加一个值V。

由外部各影响点A₁ 、A₂ 等等的体系在球上引起的总电荷是

由此就可以计算电荷E或势V，当其中另一个已经给定时。

当带电体系位于球面之内时，球面上的感生电荷将和施感电荷相等而反号，正如我们在以前已经在任意闭合曲面的情况下对其内部各点证明了的那样。

^〔74〕 160.〕　当位于离球心距离f大于球的半径a处的一个带电点和在带电点及球上电荷影响下的球面上的电分布之间发生相互作用时，作用能量是

V是球的势，而E是球的电荷。

因此，由第92节可知，带电点和球之间的推斥力是

由此可见，点和球之间的力在下列各事例中永远是一个吸引力：（1）当球不被绝缘时。（2）当球不带电荷时。（3）当带电点离球面很近时。

为了使力可以是推斥性的，球的势必须为正并大于 而球的电荷必须和e同号并大于

在平衡点上，平衡是非稳定的；当物体相距较近时力是吸引力，当它们相距较远时力是推斥力。

当带电点位于球面之内时，作用在带电点上的力永远指向远离球心的方向，并等于

当带电点位于球外时，球上离该点最近的一点处的面密度是

球上离带电点最远的一点处的面密度是

当球的电荷E介于 和 之间时，靠近带电点处的电将是负的，而远离带电点处的电将是正的。球面上带正电的部分和带负电的部分之间有一条圆形的分界线，而这条线将是一条平衡线。

如果　　

和球相交于一条平衡线的那个等势面就是一个球面，其球心是带电点，其半径是

属于这种事例的力线和等势面，在本卷末尾的图四中给出。

无限大平面导体表面上的像

161.〕　如果第156节中的两个带电点A和B是带的相等而反号的电荷，零势面就将是一个平面，面上的每一点都和A、B等距。

图8

因此，如果A是一个电荷为e的带电点，而AD是到平面的垂线，延长AD到B，使得DB＝AD，并在B点放一个等于-e的电荷，则这个位于B的电荷将是A的像，并将在平面的A所在的一侧各点上产生一种效应，等于平面上的实际电荷所产生的效应。因为，A侧由A和B引起的势，满足除在A点外到处有 ² V＝0和在平面上V＝0的条件，而只有一种形式的V能够满足这些条件。

为了确定平面上P点处的合力，我们注意到它是由两个力合成的；两个力都等于 一个沿着AP的方向，另一个沿着PB的方向。因此这些力的合力就沿着平行于AB的方向，并等于 因此，从平面向A所在的空间中量度的合力R就是

而P点处的密度就是　　

论电反演

162.〕　电像法直接导致一种变换法；利用这种变换法，可以从我们已知其解的任一电学问题导出任意多的其他问题和它们的解。

我们已经看到，位于离半径为R的球的球心为距离r处的一个点，它的像位于同一半径的r′处，使得rr′＝R² 。因此，一组点、一组线或一组面的像，就是通过在纯几何学中被称为反演法，并由恰斯耳斯、萨耳芒以及别的数学家们描述了的方法来从原体系得出的。

如果A和B是两个点，A′和B′是它们的像，O是反演中心，而R是反演半径，则有OA. OA′＝R² ＝OB. OB′。由此可见，三角形OAB和OB′A′是相似的，且有AB∶A′B′∶OA∶OB′∶∶OA.OB∶R² 。

图9

如果一个电量e被放在A，则它在B的势将是

如果e′被放在A′，则它在B′的势是

在电像理论中有e∶e′∶∶OA∶R∶∶R∶OA′。由此即得

或者说，A点的电在B点上引起的势和A点的电像在B的像点上引起的势之比，等于R和OB之比。

既然比值只依赖于OB而不依赖于OA，任何带电体系在B点引起的势和体系之像在B′点引起的势之比就都等于R和OB之比。

如果r是任一点A到中心的距离，r′是A′到中心的距离，e是A所带的电，e′是A′所带的电，而且如果L、S、K是A点上的线段元、面积元和体积元，L′、S′、K′是它们在A′点的像，而λ、σ、ρ、λ′、σ′、ρ′是这两个点上对应的线密度、面密度和质量体积，V是由原体系在A点引起的势，V′是由反演体系在A′点引起的势，则有

^〔75〕

如果原体系中有一个曲面是一个导体的表面，从而具有常量势P，则在变换后的体系中，该曲面的像将具有势 但是通过在反演中心O上放一个等于-RR的电量，变换后的曲面的势就被简化为零。

由此可见，当一个导体在空间中被绝了缘并充电到势P时，如果我们知道了该导体上的电分布，我们就可以通过反演来求出另一导体上的电分布，该另一导体是第一个导体的像，处于放在反演中心上的一个电荷等于-PR的带电点的影响之下，并且被接了地。

163.〕　下列的几何定理在研究反演事例时是有用的。

当反演以后，每一个球都变成另一个球，除非它通过反演中心，那时它就变成一个平面。

如果两个球的球心离反演中心的距离是a和a′，它们的半径是α和α′，而且，如果我们把一个球相对于反演中心的强度定义为该球在通过反演中心的一条直线上截取的两条线段的乘积，则第一个球的强度等于a² －α² ，而第二个球的强度等于a′² －α′² ，在这一事例中，我们有　　

或者说，第一个和第二个球到中心的距离之比等于它们的半径之比，也等于反演球的强度和第一个球的强度之比，或等于第二个球的强度和反演球的强度之比。

反演中心对一个球而言的像，就是另一个球的球心的反演点。

在反演后的曲面是一个平面和一个球面的事例中，从反演中心到平面的垂直距离和反演半径之比，等于反演半径和球的直径之比。

每一个圆都反演成另一个圆，除非它通过反演中心，那时它就变成一条直线。

两个曲面或两条曲线在相交处的夹角不因反演而变。

任何一个通过一个点及其对一个球而言的像点的圆都和该球相正交。

由此可见，任何通过一点并和一球正交的圆也将通过该点的像点。

164.〕　我们可以利用反演法来从不受任何其他物体影响的已绝缘球上的均匀分布推出另一个受到一个带电点影响的已绝缘球上的电分布。

如果带电点位于A，就取该点为反演中心。如果A离半径为α的球心的距离是a，则反演图形将是一个球，其半径为a′，其中心距离为f′，此处

其中一个球的心，对应于另一球的心对A而言的反演点，或者说，如果C是第一个球的心而B是它的反演点，则C′就是反演点而B′是第二个球的心。

现在设把一个电量e′传给第二个球，并设它不受外界影响。这个电量将均匀地分布在球上，其面密度为　　

它在球外任何一点的作用，将和放在第二个球心B′上的一个电荷e′的作用相同。

在球面上和球面内，势是　　

即一个常量。

现在让我们对这一体系进行反演。球心B′在反演体系中变成反演点B，而位于B′的电荷e′变成位于B的 而且在和B点由曲面隔开的任何点上，势是由位于B的这一电荷引起的。

在反演体系中，球面上任一点或和B位于同侧的任一点上的势是

如果现在我们在这一体系上叠加一个位于A的电荷e，此处

则球面上的势以及和B位于同侧的一切点上的势将简化为零。在和A位于同侧的一切点上，势将是由位于A的一个电荷e和位于B的一个电荷 所引起的。

但是　　

正如我们在前面求得的B上的像电荷那样。

为了求出第一个球上任意点处的面密度，我们有　　

把σ′代成用属于第一个球的那些量表示的值，我们就得到和第158节中的值相同的值　　

论相继电像的有限系列

165.〕　如果两个导电平面相交于一个角，而该角等于两倍直角的一个分数，则将存在一个有限的电像系列，而该系列将完全地确定电分布。

因为，设AOB是垂直于二导电平面之交线的一个截面，设交角为 并设P是一个带电点。那么，如果我们以O为心以OP为半径画一个圆，并从OB开始找出作为P对两个平面而言的相继电像的各点，我们就将得到作为P对OB而言的像的Q₁ 、作为Q₁ 对OA而言的像的P₂ 、作为P₂ 对OB而言的像的Q₃ 、作为Q₃ 对OA而言的像的P₃ ，作为P₃ 对OB而言的像的Q₂ ，余类推。

如果我们从P对OA而言的像开始，我们将按照相反的顺序而得到同样的点Q₂ 、P₃ 、Q₃ 、P₂ 、Q₁ 等等，如果AOB是二直角的分数的话。

因为，带电点和每隔一个的像点P₂ 、P₃ 是按照等于2AOB的角度间隔而排列在圆周上的，而中间的各点Q₁ 、Q₂ 、Q₃ 是按照相同大小的间隔排列的。因此，如果2AOB是2π的一个分数，就将存在有限个像，而其中没有一个会落在角AOB中。然而，如果AOB不是π的分数，那就不可能作为有限系列带电点的结果来表示实际的带电情况。

图10

如果 就将有几个负像Q₁ 、Q₂ 等等，每一个都和P相等而反号，并有n－1个正像P₂ 、P₃ 等等，每一个都等于P，而符号也相同。

符号相同的相继二像之间的角度是 如果我们把其中一个导电平面看成一个对称面，我们就将发现带电点和正像及负像是对该平面对称排列的，使得对于每一个正像都有一个负像和它位于相同的法线上，并位于平面两侧的相同距离处。

如果我们现在相对于任何一点对这一体系进行反演，两个平面就变成两个球，或变成以 角相交的一个球和一个平面，而P的反演点P′则位于这个角内。

相继的像点位于通过P′点并和两个球都正交的圆上。

为了找出各像点的位置，我们可以利用一条原理，即一个点和它对一个球而言的像是位于球的同一条半径上的。我们可以从P′开始画出像点位于其上并交替通过两个球心的弦。

为了求出必须指定给每一个像的电荷，在交线圆上任取一点，于是每一个像的电荷就正比于它到此点的距离，而其符号的正负则取决于它是属于第一个或第二个序列。

166.〕　这样我们就求得了一种情况下的像点分布，即当任何空间以一个导体为边界时的情况，该导体包括相交于 角的两个球，保持在零位，并受到一个带电点的影响。

我们可以利用反演来推出由以 角相交的两个球截体构成的一个导体的事例，该导体被充电到单位势，并放在自由空间中。

为此目的，我们把二平面体系相对于P点进行反演并改变各电像的符号。起先各像点所在的那个圆现在变成了通过球心的直线。

图11

如果图10代表通过连心线AB的一个截面，而D、D′是交线圆和纸面相交的点，则为了找出相继的像，可以先画出第一个圆的半径DA，然后再画DC、DE等等，它们和DA成角 等等。它们和连心线的交点A、C、E等等将是各正像的位置，而每一个像的电荷将由它到D的距离来表示。这些像中的最后一个将位于第二个圆的圆心上。

为了找出各个负像，作DQ、DR等等，和连心线成角 等等。这些线和连心线的交点将给出各负像的位置，而每个像的电荷将由它到D的距离来表示｛因为如果E和Q是对球A而言的反演点，则角ADE和角AQD相等｝。

其中任一球上任一点处的面密度，是由这一系列像所引起的面密度之和。例如，球心为A的球上任一点S处的面密度是

式中A、B、C等等是正像系列。

当S在交线圆上时，面密度为零。

为了求出其中一个球截体上的总电荷，我们可以求由每一个像在该截体上引起的电感的面积分。

位于A点而电荷为DA的像在球心为A的截体上引起的总电荷是

式中O是交线圆的圆心。

同样，位于B点的像在同一截体上引起的电荷是 余类推，OB之类从O向左测量的线段取负值。

由此即得，球心为A的截体上的总电荷是

167.〕　电像法可以应用于由平面或球面所限定的任何空间，如果这些边界面都相交于二直角的分数角的话。

为了这样一组球面可以存在，图形的每一个立体角都必须是三面体角，它的两个角是直角，而第三个角或是直角或是二直角的分数。

由此可知，像数为有限的事例是：

（1）单独一个球面或平面。

（2）两个平面、一个球面和一个球面或两个球面相交于

（3）这些面以及可以是平面或球面的第三个面和它们相正交。

（4）这些面和第四个平面或球面，它和前两个面相正交，而和第三个面交于角 在这四个面中至少有一个必须是球面。

我们已经分析了第一个和第二个事例。在第一个事例中，我们有单独一个像。在第二个事例中，我们有2n－1个像，沿着一个圆排列成两个系列，该圆通过影响点并和两个面相正交。在第三个事例中，除了这些像和影响点以外，我们还有它们对第三个面而言的像，也就是说，除了影响点，共有4n－1个像。

在第四个事例中，我们首先画一个和前两个面相正交的圆并确定圆上的几个负像和n－1个正像的位置和电荷，然后，通过包括影响点在内的2n个点中的每一个点，我们画一个圆和第三个及第四个面相正交并确定圆上的两系列像，每系列有n′个像。用这种办法，除了影响点以外，我们将得到2nn′－1个正像和2nn′个负像。这4nn′个点是属于一条旋轮线的两组曲率线的那些圆的交点。

如果其中每一点都带有应有的电量，则其势为零的曲面将包括n＋n′个球面；它们形成两个系列，其中第一个系列中的相继球面相交于角 而第二个系列中的相继球面相交于角 而第一个系列中的每一个球面都和第二个系列中的每一个球面互相正交。

两个正交球的事例。见本卷书末图四

168.〕　设图12中的A和B是互相正交于一个圆的两个球的球心，该圆通过D和D′，直线DD′和连心线相交于C。于是C就是A对球B而言的像，也是B对球A而言的像。如果AD＝α，BD＝β，则 而如果我们在A、B、C上分别放上等于α、β和 的电量，则两个球都将是势等于1的等势面。

图12

因此，我们可以根据这一体系导出下列各事例中的电分布：

（1）在由二球的较大截体形成的导体PDQD′上，它的势是1，而它的电荷是 因此，这个量就量度了这样一个图形在不受其他物体的感应作用时的电容。

球心为A的球上任一点P处的密度，以及球心为B的球上任一点Q处的密度，分别是 和 在交线圆上，密度为零。

如果其中一个球比另一个球大得多，小球顶点上的密度最后就将是大球顶点上的密度的三倍。

（2）在由二球的较小截体形成的透镜体P′DQ′D′上，设电量 并在单位势下受到A点和B点上的电量α和β的影响，则任何点的密度将由相同的公式来表示。

（3）在带有电量α的缺月体DPD′P′上，设受到B点和C点上的电量β和 的作用，则它也是在单位势下处于平衡的。

（4）在带有电量β并受到A和C的影响的另一个缺月体QDP′D′上。

我们也可以确定下列各内表面上的电分布：

受到圆DD′的圆心上的内部带电点C的影响的透镜形的空腔。

受到凹面中心上的一个点的影响的缺月形空腔。

受到三个点A、B、C的影响的由二球的较大截体形成的空腔。

但是，我们不想直接算出这些事例的解，而却将利用电像原理来确定由放在O上并带有单位电荷的一个点在导体PDQD′之外表面上的一点P处感应出来的电密度。

令OA＝a，OB＝b，OP＝r，BP＝p，AD＝α，BD＝β，

相对于以C为心以1为半径的一个球来对体系进行反演。

两个球将仍然是互相正交的球，球心在A和B并有相同的半径。如果我们用带撇的字母来代表对应于反演体系的各量，就有

如果在反演体系中曲面的势是1，则P′点处的密度是

如果在原体系中P点处的密度是σ，则 而势是 通过在O点放一个等于1的电荷，原曲面上的势将变为零，而P点处的密度将是

此式给出由位于O点的一个电荷在其中一个球截体上引起的电分布。另一个球截体上的分布可以通过交换a和b、α和β并把p换成q或AQ来得出。

为了求出由O点上的带电点在导体上感应出来的总电荷，让我们研究反演体系。

在反演体系中，我们在A′有电荷α′，在B′有电荷β′，在A′B′上的一点C′有一个负电荷 使得A′C′∶C′B∶∶α′² ∶β′² 。

如果OA′＝a′，OB＝b′，OC′＝c′，我们就得到

对这一体系进行反演，各电荷就变成 由此可见，由O点上的一个单位负电荷在导体上引起总电荷就是

三个正交球上的电分布

169.〕　设各球的半径为α、β、γ，则

设图13中的PQR是从ABC到对边的垂线的垂足，并设O是三条垂线的交点。

于是，P就是B对球γ而言的像，也是C对球β而言的像。同样，O就是P对球α而言的像。

设把电荷α、β和γ放在A、B和C各点上。

于是，应该放在P点上的电荷就是 同样也有 从而把O看成P的像，O点上的电荷就是

图13

用同样的办法，我们可以找出一组像来在电的方面和相互正交的处于势1的四个球面相等价。

如果第四个球的半径是δ而且我们令它的球心上的电荷也等于δ，则任何两个球例如α和β的连心线和它们交面的交点上的电荷将是 任意三个球心ABC的平面和球心D上之垂线的交点上的电荷是 而四条垂线的交点上的电荷是

相互正交的四个球，势为零，受到一个单位带电点的作用

170.〕　设四个球为A、B、C、D，而带电点为O。画四个球A₁ 、B₁ 、C₁ 、D₁ ，使得其中任何一个例如A₁ 通过O并和另外三个球即B、C、D相正交。再画六个球（ab）、（ac）、（ad）、（bc）、（bd）、（cd），使得其中每一个都通过O并通过两个原有球的交线圆。

三个球B₁ 、C₁ 、D₁ 除O点外还交于另外一点。设把此点叫做A′，并设B′、C′、D′分别是C₁ 、D₁ 、A₁ ，D₁ 、A₁ 、B₁ ，以及A₁ 、B₁ 、C₁ 的交点。这些球中的任意两个，例如A₁ 、B₁ ，将和六球之-（cd）相交于一点（a′b′），共有六个这样的点。

其中任何一个球例如A₁ 将和六球中的三球（ab）、（ac）、（ad）相交于一点a′。共有四个这样的点。最后，六个球（ab）、（ac）、（ad）、（cd）、（db）、（bc）除O点以外还将相交于另一个点S。

如果我们现在相对于一个以O为心以1为半径的球来对体系进行反演，四个球A、B、C、D就将反演为球，而其他的十个球则将变成平面。在各个交点中，前四个A′、B′、C′、D′将变成球心，而其他各点则将对应于以上所述的十一个点。这十五个点就形成O对四个球而言的像。

在作为O对球A而言的像的A′点上，我们必须放上一个等于O的像的电荷，即 此处α是球A的半径，而a是它的球心到O点的距离。按照同样的办法，我们必须在B′、C′、D′放上适当的电荷。

其他十一个点上的电荷可以通过在上节的表示式中把α、β、γ、δ换成α′、β′、γ′、δ′并把有关每一点的结果乘以到O点的距离来求得，此处

［在第169、170节中讨论的各事例可以处理如下：取三个互相正交的坐标平面，让我们在一组八个点 上放上电荷±e，在有1个或3个负坐标的点上放负电荷。于是显然可见，各坐标面的势为零。现在让我们相对于任何一点来进行反演，于是我们就得到受到一个带电点作用的三个正交球。如果我们相对于其中一个带电点来进行反演，我们就得到由相互正交而半径为α、β、γ的三个球形成的自由带电导体事例的解。

如果在上述一组带电点上再增加上它们对原点为心的一个球而言的像，我们就看到，除了三个坐标平面以外，球面也形成零势面的一个部分。］

不相交的两个球

171.〕　当空间由两个不相交的球面所限定时，这一空间中一个影响点的相继像就形成两个无限系列，其中任一个像都不会位于二球面之间，从而是满足电像法的适用性条件的。

图14

任何两个不相交的球都可以通过取它们的两个公共反演点之一来作为反演点而反演成两个同心球。

因此我们将从两个未绝缘的同心球面的事例开始，它们受到放在它们之间的一个影响点P的感应作用。

设第一个球的半径为b，第二个球的半径为be^w ，而影响点到球心的距离为r＝be^u 。

于是所有的相继像就都将和影响点位于同一条半径上。

设图14中的Q₀ 是P对第一球而言的像，P₁ 是Q₀ 对第二球而言的像，Q₁ 是P₁ 对第一球而言的像，依此类推。于是就有OP_s . OQ_s ＝b² ， 同样也有OQ₀ ＝be^-u ， 等等。

由此即得

如果P点的电荷用P来代表，P_s 点的电荷用P_s 来代表，则

其次，设 是P对第二球而言的像， 是 对第一球而言的像，依此类推，则有

在这些像中，所有的P都是正的而所有的Q都是负的；所有的P′和Q都属于第一个球，而所有的P和Q′都属于第二个球。

第一个球内的各像形成两个收敛的系列，其和是

因此这就是第一个球或内球上的电量。第二个球外面的各像形成两个发散的系列，但是由每一系列在球面上引起的面积分却是零。因此，外球上的电量就是

如果用OA、OB和OP把这些表示式的值表示出来，我们就发现

如果我们假设各球的半径变为无限大，我们就得到放在二平行板A和B之间的一个点的事例。在这一事例中，这些表示式变为

172.〕　为了从这一事例过渡到不相交的两个任意球的事例，我们首先找出两个公共反演点O和O′，而通过这两个点的一切圆都和两个球相正交。于是，如果我们相对于其中一个点来对体系进行反演，两个球就变成第一个事例中那样的同心球。

如果我们取图15中的O点作为反演中心，则此点将位于图14中两个球面之间的某个地方。

图15

在第171节中，我们求解了一个带电点位于具有零势的两个同心球之间的事例。因此，通过对于O点来对这一事例进行反演，我们将导出由附近一个带电点在一内一外两个球面导体上感应出来的分布。在第173节中即将指明，可以怎样应用如此求得的结果来找出只有相互作用的球形带电导体上的分布。

图14中各相继像点位于其上的那个半径OAPB，在图15中变成通过O和O′的圆上的一段弧，而O′P和OP之比等于Ce^u ，此处C是一个数字量。

如果我们令 就有 u＋α＝θ ^〔76〕 。P的一切相继像点都将位于圆弧O′APBO上。

P对A而言的像是Q₀ ，此处

Q₀ 对B而言的像是P₁ ，此处

同理

同样，如果P对B、A、B等等而言的相继像是 等等，就有

为了求出任一像P_s 的电荷，我们注意到，在反演的图形（14）上，它的电荷是 在原图形（15）中，我们必须用OP_s 来乘这个值。因此，在偶极图中因为P＝P／OP，所以P_s 上的电荷是

如果我们令 并把ξ叫做P点的参数，我们就可以写出 或者说，任何像的电荷都正比于它的参数。

如果我们利用曲线坐标θ和φ，使得 式中2k是距离OO′，则有 ^〔77〕

既然每个像的电荷正比于它的参数ξ，而且是按照它采取P的或Q的形式而为正或负的，我们就得到 ^〔78〕

现在我们已经得出了两个无限系列的像的位置和电荷。其次我们就必须通过求出球A内具有Q和P′形式的所有各像之和来定出球A上的总电荷。我们可以写出

同样，B上总的感生电荷就是

173.〕　我们将应用这些结果来确定两个球的电容系数和感应系数，二球的半径是a和b，其球心距离是c。

设A的势是1而B的势是0。于是，放在球A中心上的一个电荷α的各个相继像就将是实际的电分布。所有的像都将位于二球的极点和球心之间的轴线上，而且也可以看到，在第172节中所确定的四组像中，只有第三组和第四组存在于这一事例中。

如果我们令 就有

球A中心的Q值和φ值是θ＝2α，φ＝0。因此，在方程中我们必须把P代成a或 把θ代成2α，而把φ代成零，这时要记得P本身就形成A的电荷的一部分。于是，关于A的电容系数，我们就得到 关于A对B或B对的感应系数，就有

按照同样的方式，我们可以假设B的势是1而A的势是0，这样就可以定出q_bb 。按照现在的符号，我们将得到

为了按二球的半径a和b以及它们的球心距离c来计算这些系数，我们注意到，如果 就可以写出 而且我们可以利用sinh（α＋β）＝sinhαcoshβ＋coshαsinhβ，cosh（α＋β）＝coshαcoshβ＋sinhαsinhβ。

利用这种手续或利用在W. 汤姆孙爵士的论文中论述了的那种相继电像的直接计算，我们就得到

174.〕　于是我们就有下列的方程来确定当分别充电到势为V_a 和V_b 时两个球上的电荷E_a 和E_b ，E_a ＝V_a q_aa ＋V_b q_ab , E_b ＝V_a q_ab ＋V_b q_bb 。

如果我们令 p_aa ＝q_bb D′, p_ab ＝-q_ab D′, p_bb ＝q_aa D′，从而 则利用电荷来确定势的方程是V_a ＝p_aa E_a ＋p_ab E_b , V_b ＝p_ab E_a ＋p_bb E_b ，式中p_aa 、p_ab 和p_bb 是电势系数。

由第85节可知，体系的总能量是

因此，由第92、93节可知，二球之间的推斥力是 式中c是球心之间的距离。

在推斥力的这两个表示式中，第一个即利用二球的势及其电容系数和感应系数之变化率来表示力的表示式最便于计算。

因此我们必须对c微分各个q，这些量是表示成k、α、β和ω的函数的，而且在微分时应该假设a和b为常量。我们由方程 得到

由此就有　　

威廉·汤姆孙爵士曾经计算了半径相同而距离小于各球之直径的两个球之间的力，对于更大的距离来说，是不必用到多于两个或三个的相继电像的。

各个q对c的微分系数的级数表示式，很容易通过直接的微分计算来求得

两个相互接触的球上的电分布

175.〕　如果我们假设处于单位势的两个球是没受任何点的影响的，那么，如果相对于接触点来对体系进行反演，我们就将得到离反演点为 和 并在该点的一个单位正电荷的作用下带了电的两个平面。

这时将有一系列正像，每个都等于1，到原点的距离是 此处s可取从-∞到+∞的任意整数值。

也将存在一系列负像，每一个都等于-1，沿a的方向计算的到原点的距离是

当这一体系被反演回去而成为互相接触的两个球时，对应于各个正像我们将有一系列负像，它们到接触点的距离被表示成 式中s对球A为正数而对球B为负数。当各球的势为1时，每一个像的电荷在数值上等于它到接触点的距离，而且永远是负的。

也将有一系列正像和两个平面的负像相对应，沿着向a球的球心的方向来量度，各正像到接触点的距离可以写成

当s为零或正整数时，像位于球A内。当s为负整数时，像位于球B内。

每一个像的电荷在数值上等于它到原点的距离，而且永远是正的。

因此，球A的总电荷就是

这些级数的每一个都是无限大，但是如果我们把它们合并成

的形式，级数就会变成收敛的。

用同样办法，我们得到球B的电荷

E_a 的表示式显然等于 这一事例中的结果就是在这种形式下由泊松给出的。

也可以证明（Legendre, Traité des Fonctions Elliptiques, ii. 438）上述E_a 的级数等于 式中γ＝. 57712…，而 Ψ的值已由高斯制了表（Werke, Band iii. pp. 161～162）。

如果暂时用x代表b÷（a＋b），关于电荷E_a 和E_b 之差我们就得到

当二球相等时，在单位势下，每一球的电荷就是

当球A比球B小得多时，A上的电荷就近似地是 或

B上的电荷和A被取走时近似地相同，或者说E_b ＝b。

每一个球的平均密度通过用表面积去除电荷来求得。这样我们就得到

因此，如果使一个很小的球和一个很大的球接触到一起，则小球上的平均密度等于大球上的平均密度乘以 或1.644936。

反演法对球形碗事例的应用

176.〕　W. 汤姆孙爵士的电像法的威力的一个最惊人的例示，是由他对以一个小圆为界的一部分球面上的电分布的研究提供出来的。这种研究的结果被报道给了M. 刘维（但未加证明），并于1847年在他的《学报》（Journal）上发表了。完备的研究见重印的汤姆孙的《电学论文集》（Electrical Papers，文XV）。我不知道有任何别的数学家曾经给出任何曲面之有限部分上的电分布问题的解。

因为我是想论述方法而不是验证计算，我将不再详细介绍几何情况和积分算法，而只请读者们参阅汤姆孙的著作。

椭球上的电分布

177.〕　已经用一种众所周知的方法证明 ^〔79〕 ，由两个相似的同样取向的同心椭球所限定的一个椭球壳的吸引力是这样的：在壳内任何点上，没有合吸引力。如果我们假设壳的厚度无限地减小而它的密度则增大，我们在最后就得到面密度按从中心到切面的垂直距离而变的观念，而且，既然面密度对椭球内任一点的合吸引力为零，如果电是这样分布在表面上的，它就是处于平衡的。

由此可见，在一个没受外界干扰的椭球上，任一点的面密度都将正比于从中心到该点切面的垂直距离。

圆盘上的电分布

通过令椭球的两个轴相等并令第三个轴趋于零，我们就得到圆盘的事例，并得到当充电到势V而不受外来影响时这样一个圆盘的任意点P上的面密度的一个表示式。如果σ是圆盘一面的面密度而KPL是通P点的一个弦，则有

电反演原理的应用

178.〕　取任意一点Q作为反演中心，并设R是反演球的半径，则圆盘的平面将变成通过Q点的一个球面，而圆盘本身则变成球面上以一个圆周为界的一部分。我们将把这一部分曲面叫做碗。

如果S′是充电到势V′而未受外界影响的圆盘，则其电像S将是势为零并在一个放在Q点的电量V′R的影响下而带电的一部分球面。

因此我们已经利用反演手续求得了势为零的并受到放在球或平面的延伸部分的一个带电点影响的碗或平面圆盘的电分布问题的一种解。

放在球面之空余部分上的一个带电点的影响

利用已经给出的原理和反演几何学而求得的解形式如下：

如果C是球形碗S的中心或极点，而a是从C到碗边上任一点的距离，那么，如果有一个电量q被放在球面延伸部分的一点Q上，而且S被保持在零势，则碗的任一点P上的密度σ将是 式中CQ、CP和QP是C、Q和P各点的连线。

很可注意的是这个表示式不依赖于碗作为其一部分的那个球面的半径。因此它可以不加改动地应用于平面圆盘的事例。

任意多个带电点的影响

现在让我们把球看做分成了两部分，其中我们已经定出其电分布的那一部分，我们将称之为碗，而其余的部分，或球的空余部分，则是要放影响点的地方。

如有任意数目的影响点被放在球的空余部分上，它们在碗的任一点上感应出来的电可以通对每一个影响点所分别感应出来的密度求和来得出。

179.〕　设球面的其余部分是均匀带电的，其面密度为ρ，则碗的任意点上的密度可以通在这样带电的曲面上求普通的积分来得出。

这样我们就将得到一种事例的解；在那种事例中，碗处于零势并在密度为ρ的刚性带电的球面其余部分的影响下带了电。

现在，设整个体系被绝缘并放在一个直径为f的球内，并设该球均匀而刚性地带了电，其面电荷为ρ′。

在这个球内，将不会有合力，从而碗上的电分布就不会改变，但是球内各点的势却将增大一个量V，此处V＝2πρ′f。因此现在碗上每一点的势都将是V。

现在让我们假设这个球与碗作为一部分的那个球是同心的，而且二球的半径只相差一个无限小的量。

现在我们就有一个事例，即碗保持在势V，并受到表面密度为ρ＋ρ′的刚性带电的球面其余部分的影响。

180.〕　我们现在只要假设ρ＋ρ′＝0，就得到碗保持在势V而未受外界影响的事例。

如果σ是当碗处于零势并受到带电密度为ρ的球面其余部分的影响时的一个表面上给定点处的密度，则当碗被保持在势V时，我们就必须在碗的外表面上把密度增加一个ρ′，即增加上所假设的外围球上的密度。

这种研究的结果就是，如果f是球的直径，a是作为碗口半径的弦，而r是作为从P到碗极点之距离的弦，则碗的内表面上的面密度是 而碗的外表面上同一点处的面密度是

在这种结果的计算中，没有用到比在球面的一个部分上求普通积分更深奥的任何运算。为了补全关于球形碗的带电的理论，我们只需要关于球面的反演的几何学。

181.〕　设要找出由放在并不位于球面延伸部分的一点Q上的一个电量q在未绝缘碗的任一点上感应出来的面密度。

相对于Q点来对碗进行反演，设反演半径为R。碗S将反演为它的像S′，而点P将以P′为它的像。我们现在必须确定P′点上的密度σ′，这时碗S′保持在势V′，使得q＝V′R，而且不受任何外力的影响。

原碗的一点P上的密度σ是 这个碗是保持在零势并受到放在Q点的一个电量q的影响的。

图16

这一手续的结果如下：

设图16代表通过球心O、碗的极点C和影响点Q的一个截面。D是一个点，在反演图形中和碗沿的空余极点相对应；这个点可以通过下述作图来找出。

通过Q点画弦EQE′和FQF′，于是，如果我们假设反演球的半径是一条弦由Q点分成的两个线段的比例中项，则E′F′将是EF的像。平分弧F′CE′于D′，使得F′D′＝D′E′，并作D′QD交球面于D，则D就是所求的点。另外，通过球心O和Q作HOQH′交球面于H和H′。于是，如果P是碗上的任一点，则在由完整球面和Q点隔开的一侧，由放在Q点的电量q在P点上感应出来的面密度是

式中a代表从碗的极点C画到碗的边沿的弦 ^〔80〕 。

在和Q相近的一侧，面密度是

第十一章附录

互相影响的两个球上的电分布，曾经吸引了许多数学家的注意。用定积分表示出来的最初的解，是由泊松在两篇最有威力和最引人入胜的论文中给出，见Mem. de l' Institut, 1811, (1) p. 1, (2)p. 163. 除了在正文中提到的以外，下列各作者以及另一些人都考虑过这个问题。Plana, Mem. di Torino 7, p. 71, 16, p. 57; Cayley, Phil. Mag. (4), 18, pp. 119, 193; Kirchhoff, Crelle, 59, p. 89, Wied. Ann. 27, p. 673; Mascart, C. R. 98, p. 222, 1884。

给出二球上的电荷的两个级数，曾由基尔霍夫写成最简练的形式。它们也很容易推导如下。

设以A、B为心的两个球的半径是a、b，它们的势分别是U、V，那么，假如二球并不互相影响，则其电效应将和放在二球心上的两个电荷aU、bV的效应相同。当球心距离c为有限时，这种电分布就不会使球上各点的势为常量；例如A上的电荷将改变B球的势。如果我们想要使这个势保持不变，我们就必须找出A对B而言的像并在那儿放一个电荷，然而这个电荷将改变A的势，从而我们又必须找出这个像的像，依此类推。于是我们就将得出一个无限系列的像，而这些像可以很方便地分成四组α、β、γ、δ。前两组是由球心A上的电荷引起的，α包括位于球A内的那些像，而β包括位于球B内的那些像。另外两组γ和δ是由球心B上的电荷引起的；γ包括位于B内的而δ包括位于球A内的那些像。设P_n 、f_n 代表第一组中第n个像的电荷和到A的距离， 代表第二组中第n个像的电荷和到B的距离，我们就有各相继电像之间的关系式如下

由各式消去 和 我们就得到　　

但是 从而 或者写成 但是由（1）可知 从而就有 或者，如果令 我们就得到

我们由各方程的对称性就能看出，如果令 就将得到关于P′_n 或P_n 的同样的递推公式。

由递推公式可见 式中a和1/a是方程 的根。我们将假设a是小于1的那个根，于是就有 而由这一系列像在球上引起的电荷就是

为了确定A和B，我们有方程 ^〔81〕 （第164节）由此即得 由此即得A′/B′＝-a² ，以及 因此，如果E₁ 和E₂ 是二球上的电荷，而且如果E₁ ＝q₁₁ U＋q₁₂ V, E₂ ＝q₁₂ U＋q₂₂ V；则有

式中

这就是由泊松和基尔霍夫给出的那些级数。

既然 ^〔82〕 就有

现在 而且∑aⁿ sin（2nlogα＋2logξ）t＝ 从而就得到 这就是关于这些表示式的泊松积分。

第十二章　二维空间中的共轭函数理论

182.〕　电平衡问题已经解出的那些独立的事例是为数很少的。球谐函数法曾被应用于球形导体，而电像法和反演法在它们可以应用的事例中是更强有力的。就我所知，二次曲面的事例是当力线并非平面曲线时人们已知其等势面和力线的唯一事例。

但是，在电平衡理论中，以及在电流的传导理论中，却存在一类重要的问题，即我们只要考虑二维空间的那种问题。

例如，如果在所考虑的整个那一部分电场中以及在它以外的一段相当距离之内，一切导体的表面都是由平行于z轴的直线的运动所生成的，而且这种情况不再存在的那一部分场离所考虑的一部分场很远，以致远方场的电作用可以忽略不计，则电将沿着每一条母线而均匀分布，从而如果我们考虑由相距为一单位的两个垂直于z轴的平面所限定的一部分场，势和电分布就将只是x和y的函数。

如果ρdxdy代表一个体积元中的电量，该体积元的底是dxdy而其高为1，而σds代表一个面积元上的电荷，该面积元的底是线段元ds而其高为1，则泊松方程可以写成

当不存在自由电荷时，此式就简化成拉普拉斯方程

普遍的电平衡问题可以叙述如下：

给定一个由闭合曲线C₁ 、C₂ 等等限定的二维连续空间，试求一个函数V的形式，使它在这些边界线上的值分别为V₁ 、V₂ 等等，且对每一边界线来说为常量，而在空间中，V则可以是有限的、连续的和单值的，而且是可以满足拉普拉斯方程的。

即使是这个问题，我也不知道有人给出过任何普遍的解，但是在第190节中给出的一种变换法却对这一事例是适用的，而且是比适用于三维问题的任何已知方法都更加有力的。

这种变换法依赖于二变数共轭函数的性质。

共轭函数的定义

183.〕　两个量α和β称为x和y的共轭函数，如果 是 的函数。由这一定义可以推出　　

由此可见，两个函数都满足拉普拉斯方程，另外还有

如果x和y是直角坐标，而且ds₁ 是曲线β＝常数在曲线（α）和（α＋dα）之间的段落，而ds₂ 是α在（β）和（β＋dβ）之间的段落，则有　　

而各曲线是互相正交的。

如果我们假设势V＝V₀ ＋kα，式中k是某一常量，则V将满足拉普拉斯方程，而各曲线（α）就将是一些等势线。各曲线（β）将是一些力线，而在xy平面上的投影是曲线AB的一段单位长度的柱面上的面积分就将是k（β_B －β_A ），此处β_A 和β_B 是β在曲线二端点上的值。

如果在平面上画出一系列曲线来和按算术级数变化的α值相对应，并画出另一系列曲线来和具有相同公共差值的β值相对应，则这两组曲线将到处正交；而且，如果公共差值足够小，平面被分成的面积元最终就将是一些小方块，它们的边在场的不同部分将有不同的方向和大小，即反比于R。

如果两条或更多条等势线（α）是在它们之间围出一个连续空间的闭合曲线，我们就可以把这些曲线看成其势分别为V₀ ＋kα₁ 、V₀ ＋kα₂ 等等的一些导体的表面。其中任一表面上在力线（β₁ ）和（β₂ ）之间的电量，将是

因此，两个导体之间的等势线的数目，就指示它们之间的势差，而从一个导体出发的力线的数目，就将指示导体上的电量。

其次我们就必须叙述几条有关共轭函数的最重要的定理，而在证明这些定理时我们或是利用包含着微分系数的方程组（1），或是利用涉及虚数符号的原始定义。

184.〕　定理一　如果x′和y′是对x和y而言的共轭函数，而x″和y″也是对x和y而言的共轭函数，则x′＋x″和y′＋y″也将是对x和y而言的共轭函数。

因为， 而 故有 又因 和 故有 或者说x′＋x″和y′＋y″是对x和y而言的共轭函数。

作为二给定函数之和的一个函数的图解表示法

设x和y的一个函数（α）在xy平面上用一系列曲线表示了出来，其中每一条曲线对应于一个α值，而各条曲线所对应的值有一个公共差值δ。

设x和y的任一另外的函数（β）按同样的办法用一系列曲线表示了出来，各曲线对应于一系列和各α值有着同样公共差值的β值。

于是，为了用同样方式把函数（α＋β）表示出来，我们必须画一系列曲线通过（α）曲线和（β）曲线的交点，从（α）和（β）的交点到（α＋δ）（β－δ）的交点，然后到（α＋2δ）和（β－2δ）的交点，余类推。在其中每一个交点上，函数将有相同的值，即（α＋β）。下一条曲线必须画得通过（α）和（β＋δ）的交点、（α＋β）和（β）的交点、（α＋2δ）和（β－δ）的交点，等等。属于这条曲线的函数值将是（α＋β＋δ）。

按照这种办法，当（α）的曲线系列和（β）的曲线系列已经画出时，（α＋β）的系列就可以被画出。这三组曲线可以分别画在透明的纸上，而当把第一组和第二组适当地重叠起来时，第三组曲线就可以画出。

用这种相加的办法来对共轭函数进行组合，我们就能毫不困难地画出许多有趣事例的图形，如果我们知道怎样画它们所由组成的更简单事例的图形的话。然而我们却有一种更加有力得多的变换解的方法，这依赖于下述的定理。

185.〕　定理二　如果x″和y″是对变数x′和y′而言的共轭函数，而x′和y′是对x和y而言的共轭函数，则x″和y″将是对x和y而言的共轭函数。

因为 而且 而这就是x″和y″应为x和y的共轭函数的条件。

这一点也可以根据共轭函数的原始定义来证明。因为 是 的函数，而 是 的函数。由此就知道 是 的函数。

同样我们也可以证明，如果x′和y′是x和y的共轭函数，则x和y是x′和y′的共轭函数。

这一定理可以图解地诠释如下：

设把x′和y′看成直角坐标，并设在纸上画出了按算术级数取值的x″和y″的曲线。这样就有两组曲线把纸面分成小的方块。设纸上还有一些等距的水平线和竖直线，上面标有对应的x′值和y′值。

其次，设用另一张纸，在上面画出x和y作为直角坐标，并画出x′和y′的两组曲线，每一条曲线上都标有对应的x′值或y′值。这一个曲线坐标系将和第一张纸上的直角坐标系x′、y′一点一点地互相对应。

因此，如果我们在第一张纸上的x″曲线上取任意数目的点，并注意这些点上的x′值和y′值，然后在第二张纸上标出对应的点，我们就将找到变换后的x″曲线上的若干个点。如果我们在第一张纸上对x″的和y″的曲线全都这么做，我们就将在第二张纸上得出形式不同的x″曲线和y″曲线，这些曲线具有相同的把纸面分成小方块的性质。

186.〕　定理三　如果V是x′和y′的任一函数，而x′和y′是x和y的共轭函数，则 式中两端的积分限相同。

因为， 而且

把最后二式相加并记得共轭函数的定义（1），我们就得到

由此就有

如果V是一个势，则由泊松方程得到 从而我们可以把结果写成 或者说，如果一个体系的坐标是另一体系的坐标的共轭函数，则二体系的对应部分上的电量是相同的。

关于共轭函数的其他定理

187.〕　定理四　如果x₁ 和y₁ ，以及x₂ y₂ 是x和y的共轭函数，并有X＝x₁ x₂ －y₁ y₂ ，和Y＝x₁ y₂ ＋x₂ y₁ ，则X和Y将是x和y的共轭函数。因为

定理五　如果φ是方程 的一个解，并有 和 则R和 将是x和y的共轭函数。因为R和 是 和 的共轭函数，而这些又是x和y的共轭函数。

例一——反演

188.〕　作为普遍的变换法的一个例子，让我们采取二维空间中的反演这一事例。

如果O是空间中的一个固定点，而OA是一个固定方向，而且r＝OP＝ae^e 而θ＝AOP，

此外并设x、y是P对O而言的直角坐标，

于是ρ和θ就是x和y的共轭函数。

如果ρ′＝nρ而θ′＝nθ，则ρ′和θ′将是ρ和θ的共轭函数。在n＝-1的事例中，我们有　　

这就是普通的反演再加上图形从OA开始的180°转动。

二维空间中的反演

在这一事例中，如果r和r′代表对应点到O的距离，e和e′代表物体的总电量，S和S′代表面积元，V和V′代表体积元，σ和σ′代表面密度，ρ和ρ′代表体密度，φ和φ′代表对应的势，则有　　

例二——二维空间中的电像

189.〕　设A是一个处于零势的半径AQ＝b的圆的中心，而E是一个位于A的电荷，则任一点P上的势是　　

图17

而如果此圆是一个中空导体圆柱的截面，则任意点Q上的面密度是

相对于一个点O来对这一体系进行反演，令AO＝mb，和a² ＝（m² －1）b² ；则圆反演为它自己，而我们在A′有一个等于A点电荷的电荷，此处

Q′点的密度是 而圆内任一点P′上的势是

这和一个势相等价，该势起源于A′点的一个电荷E和O点的一个电荷-E，后一电荷是A′对圆而言的像。因此O点上的想象电荷就和A′点上的电荷相等而反号。

如果P′点是用它的相对于圆心的极坐标来确定的，而且我们令ρ＝logr－logb，和ρ₀ ＝logAA′－logb，

就有　　　　

而点（ρ,θ）上的势就是

这就是由放在点（ρ₀ ,0）上的一个电荷E所引起的势，其条件是当ρ＝0时φ＝0。

在这一事例中，ρ和θ就是方程（5）中的共轭函数：ρ就是一点的矢径和圆的半径之比的对数，而θ是一个角。

圆心是这一坐标系中的唯一奇点，而沿一条闭合曲线的线积分 是零或2π，全看闭合曲线是不包围或包围圆心而定。

例三——这一事例的诺依曼变换 ^〔83〕

190.〕　现在设α和β是x和y的任意共轭函数，使得（α）曲线是由一个体系引起的等势线而（β）曲线是力线；该体系包括放在原点上的每单位长度上为二分之一单位的电荷，和在离原点有一定距离处按任意方式放置的一个带电体系。

让我们假设，势为α₀ 的那条曲线是一条闭合曲线，而且除了原点处的二分之一单位的电荷以外带电体系的任何部分都不在曲线之内。

于是这一曲线和原点之间的一切（α）线都将是围绕原点的闭合曲线，而所有的（β）线都将相交于原点并和（α）线相正交。

曲线（α₀ ）内任一点的坐标将取决于该点的α值和β值，而如果该点沿着正方向在其中一条（α）线上运动，则每运动一周β值就将增加2π。

如果现在我们假设曲线（α₀ ）是一个任意形状的中空导体的内表面，并假设该导体在线密度为E的一条以原点为其投影的直线电荷的影响下保持于零势，我们就可以把外部带电体系排除于考虑之外，而关于曲线（α₀ ）内任一点的势就有　　

而关于曲线α₀ 上任意和β₁ 及β₂ 相对应的二点之间的部分上的电量则有

如果利用这种办法或任意别的办法而当电荷放在取为原点的一个给定点上时确定了给定截面上一条曲线上的势分布，我们就可以利用普遍的变换法来过渡到电荷放在任意别的点上的事例。

设电荷所在点的α值和β值是α₁ 和β₂ 则在方程（11）中把ρ代成α－α₀ ，把ρ₀ 代成α₁ －α₀ （在表面α＝α₀ 上二者都等于零），并把θ代成β－β₁ ，我们就得到坐标为α和β的任一点上的势

这一势的表示式当α＝α₀ 时变为零，而且在曲线α₀ 内除（α₀ ,β₀ ）点以外的任何点上都为有限和连续；在（α₀ ,β₀ ）点上，第二项变为无限大，而在该点的邻域中，这一项趋于-2Elogr′，此处r′是到该点的距离。

因此我们就得到了一种手段，当位于任一其他点上的电荷的问题的解为已知时，可以导出位于一条闭合曲线内的任一点上的一个电荷的格林问题的解。

放在一点（α₁ ,β₁ ）上的一个电荷E在曲线α₀ 上介于β和β＋dβ二点之间的线段元上感应出来的电荷，按照第183节的符号就是 式中ds是向内测量的，而且在微分以后要令α等于α₀ 。

由第183节的（4）式，此式变为 （α＝α₀ ）；

即　　

由这一表示式，当闭合曲线的每一点上的势已经作为β的函数而被给出，而在闭合曲线内又不存在电荷时，我们就可以求出闭合曲线内任一点（α₁ ,β₁ ）上的势。

因为，由第86节可知，由于使闭合曲线上的一段dβ保持在势V而在（α₁ ，β₁ ）上引起的那一部分势是nV，此处n是由（α₁ ,β₁ ）上的一个单位电荷在dβ上感应出来的电荷。因此，如果V是在闭合曲线的一点上作为β的函数而定义的势，而φ是闭合曲线之内的点（α₁ ,β₁ ）上的势，而且该曲线内又不存在电荷，则有

例四——两个平面相交而形成的导体的棱线附近的电分布

191.〕　在导体有一个无限平面y＝0沿y的负方向伸向无限远处并带有面密度为σ₀ 的电荷的事例中，我们求得离平面的距离为y处的势是V＝C－4πσ₀ y，式中C是势在导体本身上的值。

在平面上取一条直线作为极轴并变换到极坐标，我们就得到势的表示式V＝C－4πσ₀ ae_ρ sinθ，而在宽为一单位而沿着极轴测量的长为ae^ρ 的一个长方形上，电量就是E＝σ₀ ae^ρ 。

其次让我们令ρ＝nρ′而θ＝nθ′，则由于ρ′和θ′是与ρ和θ共轭的，方程V＝C－4πσ₀ ae^nρ′ sinnθ′，E＝σ₀ ae^nρ′ 就表示势和电的一种可能的分布。

如果我们把ae^ρ′ 改写成r，则r将是离轴的距离；我们也可以不用0′而用θ来代表角度。于是我们就将得到 每当nθ等于π或π的倍数时，V就将等于C。

设棱线是导体的一个凸角，其二平面的夹角是α，则电介质的角是2π－α，因此当θ＝2π－α时点就是在导体的另一个面上的。因此我们必须令n（2π－α）＝π，或

于是就有

在离棱线任一距离r处，面密度是

当角为一凸角时，α小于π，从而面密度就随离棱线距离r的某一负数幂而变，从而在棱线本身上密度就变为无限大，尽管从棱线计算到任何有限距离处的总电荷永远是有限的。

例如，当α＝0时棱角就是无限尖锐的，像一个数学平面的边沿那样。在这一事例中，密度和离棱线的距离的平方根成反比。

当 时，棱角有如一个等边三棱镜的角，而密度则和距离的 次幂成反比。

当 时，棱角是一个直角，而密度则和距离的立方根成反比。

当 时，棱角有如一个正六角柱的角，而密度则和距离的四次方根成反比。当α＝π时，棱线不存在，而密度则为常量。

当 时，棱角有如六角柱外面的角，而密度则和离棱线的距离的平方根成正比。

当 时，棱角是一个反向直角，而密度正比于离棱线的距离。

当 时，棱角是60°的反向角，而密度正比于离棱线距离平方。

事实上，在密度在任一点上变为无限大的一切事例中，都在该点有向电介质中的放电，正如在第55节中解释过的那样。

例五——椭圆和双曲线。图版10

192.〕　我们看到，如果　　

则x₁ 和y₁ 将是φ和 的共轭函数。

另外，如果　　

则x₂ 和y₂ 将是φ和 的共轭函数。由此可知，如果

则x和y也将是φ和 的共轭函数。

在这一事例中，φ为常数的各点位于一个椭圆上，椭圆的轴是e^φ ＋e^-φ 和e^φ －e^-φ 。

为常数的各点位于双曲线上，其轴为2cos 和2sin 。

在x轴上，在x＝-1和x＝+1之间，有　　

在x轴上，在上述界限外面的两侧，我们有

因此，如果φ是势函数而 是流函数，我们就有这样的事例：电在-1和+1二点间的空间中从x轴的正侧流向负侧，x轴上这个界限以外的部分是不允许电通过的。

在这一事例中，既然y轴是一条流线，我们可以假设它也是不允许电荷越过的。

我们也可以把各椭圆看成等势面的截线，那些等势面由一个宽度为2的无限长的导体片所引起，导体的每单位长度上带有二分之一个单位的电荷。｛这里包括导体片的两个表面上带的电荷。｝

如果我们令 为势函数而φ为流函数，事例就变成这样：在一个无限大的平面上切除了宽度为2的一条，剩下的部分一边充电到势π而另一边则保持为零势。

这些事例可以看成在第十章中处理了的二次曲面的特例。各曲线的形式在图十中给出。

例六——图版11

193.〕　其次让我们把x′和y′看成x和y的函数，此处

这时x′和y′也将是第192节中的φ和 的共轭轭函数。

由相对于这些新坐标作出的图十的变换而得到的曲线，在图十一中给出。

如果x′和y′是直角坐标，则第一个图中的x轴的那些性质在第二个图中将属于一系列平行于x′轴的直线y′＝bn′π，式中n′是一个任意整数。

这些线上的正x′值将和大于1的x值相对应，而正如我们已经看到的那样，对于这些值有　　

同一些线上的负x′值将和小于1的x值相对应，而我们已经看到，对于这些值有

第一个图中的y的轴的那些性质，在第二个图中将属于一系列平行于x′轴的直线，它们的方程是　　

沿着这些线， 的值在一切正的和负的点上都是 而且

［φ和 为常数的那些曲线，可按方程

直接画出。既然图形按y′值的区间πb而重复出现，只要在其中一个区间中画出曲线也就够了。

现在，按照是φ还是 随着y′而变号，将有两种事例。让我们假设φ是这样变号的。这时 为常数的任何曲线都将对x′轴为对称，并在负侧的某点上和该轴正交。如果我们从这个φ＝0的点开始来逐渐增大φ，曲线就将渐渐弯曲，从起初和x′轴正交而在大的φ值处终于变得和该轴平行。x′轴的正值部分是曲线组的一个轴，就是说， 在那儿为零，而且当 时 因此，在0到 的范围内， 有常数值的那些线就形成一组包围着正x′轴的曲线。

φ有常数值的那些曲线和 曲线组相正交，φ值的范围是从+∞到-∞。对于在x轴的上方画出的任一条φ曲线来说，φ值都是正的，在负x′轴的部分其值为零；而对于在x′轴的下方画出的任何曲线来说，φ值是负的。

我们已经看到 组是对x′轴为对称的；设PQR是任意一条曲线，和该组正交而在直线 上的端点为P和R，Q点位于x′轴上。这时，曲线PQR是对x′轴为对称的，但是，如果沿PQ的φ值是c，则沿QR的φ值将是-c。这种φ值的不连续性，将在第195节所要讨论的事例中用一种电分布来加以说明。

如果我们其次假设不是φ而是 随y′而变号，则φ值的范围是从0到∞。当φ＝0时我们有x′轴的负值方面，而当φ＝∞时我们有无限远处的一条垂直于x′轴的线。在这二者之间，沿着和 组正交的任一曲线PQR，φ的值在整条曲线上都是常数，并且是正的。

现在，任何的 值在它的等值线越过负x′轴的地方都会经历一次突然的变化，它的符号将在该处改变。这种不连续性的意义将在第197节中给出。

我们已经说明其画法的那些线，已经画在图十一中，如果我们只看那张图的三分之二，而把最上部的三分之一去掉的话。］

194.〕　如果我们把φ看成势函数而把 看成流函数，我们就可以认为事例是这样的：一个宽度为πb的无限长的金属片，有一个不导电的开口从原点向正方向无限延伸，从而把长片的正向部分分成两个分离的通道。我们可以假设这个开口是金属片上的一条狭缝。

如果让一个电流沿着一个通道流走并沿着另一个通道返回，电流的出入点都在原点的正向一方的无限远处，则势和电流的分布将分别由函数φ和 给出。

另一方面，如果我们令 为势函数而φ为流函数，则事例将是这样的：一个电流通过一个长片而沿着y′的普遍方向流动，长片上有若干条平行于x′的不导电的开口，从y′轴向负方向延伸到无限远处。

195.〕　我们也可以把结果应用于两个重要的静电事例。

（1）设把一个平面片状的导体，以一条直线为边而在其他方向则无限延伸，放在xz平面上原点的正侧，并设有两个无限大的导电平面和它平行地放着，在两侧各离开一个距离 这时，如果 是势函数，则它的值在中间导体上是零，而在两侧导体上则是

让我们考虑中间导体的一个部分上的电量，该部分在z方向上延伸到一个距离1并从原点延伸到x′＝a。

这一长条的从x′₁ 延伸到x′₂ 的那一部分上的电量是

因此，从原点到x′＝a，中间平板的一面上的电量就是

如果a比b大得多，此量就变成　　

由此可见，以一个直棱为界的平面上的电量，大于以它在离边界有一距离的同一面密度而均匀带电时的电量，而且等于它向实际边界以外延伸一个宽度bln2并具有相同的均匀面密度时的电量。

这种想象的均匀分布在图十一中用虚直线表出。竖直的线代表力线，而水平的线代表等势面，所根据的假说是，在沿各方向延伸到无限远处的两个平面上，密度都是均匀的。

196.〕　电容器有时是这样做成的：一块平板放在两块平行平板的正中间，而那块平板在各个方向上都比中间的一块延伸得远得多。如果中间平板的边界线的曲率半径比平板间的距离大得多，我们就可以把边界线近似地看成直线，并这样来计算电容器的电容：假设中间平板沿着边界线延伸出去了宽度均匀的一条，并假设延伸了的平板上的面宽度和不靠延边界处的面密度相同。

于是，如果S是该板的实际面积，L是它的周长而B是二大板之间的距离，我们就有

而增加的长条的宽度就是　　

从而延伸面积是　　

中间平板的一面的电容是　　

平板厚度的改正

既然中间平板通常有一个和板间距离相比是不可忽略的厚度，我们就可以通过假设中间平板的截面和曲线 ＝ ′相对应，来对这一事例的事实得到一种更好的表示。

在离边沿有一定距离处，平板将具有近似均匀的厚度β＝2b ′，但是在靠近边沿处则厚度将是渐变的。

平板的实际边沿的位置，通过令y′＝0来求得，由此即得

这一边沿上的φ值是零，而在x′＝α的一点上（α/b很大），它近似地是

因此，总起来看，板上的电量就和下述情况下的电量相同：板面积增加了宽度为

的一条，而面密度则假设为到处都和离边沿有一定距离处的面密度相同。

靠近边沿处的面密度

板上任一点处的面密度是

当x′增大时，括号中的量很快地趋于1，因此，在离边沿的距离等于条宽α的几倍的地方，实际的密度约比标准密度大了标准密度的 倍。

同样我们也能计算无限平面上的密度，　　

当x′＝0时，密度是标准密度的 倍。

在正方向上n倍条宽的地方，密度约比标准密度小了标准密度的 倍。

在负方向上n倍条宽的地方，密度约为标准密度的 倍。

这些结果指示了当把这种方法应用于有限广延的平板或在离边沿不远处有些不规则性的平板时可以指望得到的准确度。在一个无限系列的等距排列的相似平板，而各板的势交替地是+V和-V的事例中，同样的分布也将存在。在这一事例中，我们必须取板间的距离等于B。

197.〕　（2）我们即将考虑的第二个事例，就是一系列无限多个平行于x′z而距离为B＝πb的平面的事例，各平面都被y′z平面所截断，从而它们只向这一平面的负侧延伸过去。

让我们考虑φ等于常数的那些曲线。

当y′＝nπb时，也就是在每一平面的延伸部分上，我们有

当 时，也就是中间位置上，则有　　

因此，当φ很大时，φ为常数的曲线就是一种振动曲线，它离y′轴的平均距离近似地是　　

而在这条线的两侧，振幅是　　

当φ很大时，此式变为be^-2φ ，从而曲线趋近于一条平行于y′轴而在正值一侧离该轴一个距离a的直线。

如果我们假设一个平面x′＝a被保持于恒定的势，而那一系列平行平面被保持于一个不同的势，则由于bφ＝a＋bln2，平面上的感生电的面密度将等于由平行于它本身的一个平面所感应出来的面密度，该平面的势等于那一系列平面的势，但是它的距离却比那些平面的边沿的距离大bln2。

如果B是那一系列平面中二平面间的距离，则B＝πb，于是增加的距离就是

198.〕　其次让我们考虑包括在两个等势面之间的空间，其中一个等势面包括一列平行波，而另一个对应于大φ值的等势面则可以看成近似的平面。

如果D是这些振动从峰点到谷点的深度，则我们求得的对应φ值是

波峰上的x′值是　　

由此可见 ^〔84〕 ，如果A是从波峰到对面平面的距离，则由平面和波形面组成的体系的电容和两个相距为A＋α′的平面的电容相同，此处　　

199.〕　如果在一个导体上作出单独一条这种形状的沟槽，而其余部分的表面则是平面，而且另一个导体是位于距离A处的一个平面，则一个导体相对于另一导体的电容将减小。这一减量将小于由n条并列的这种沟槽所引起的减量的 因为后一事例中导体之间的平均电力将比前一事例中的为小，从而每一沟槽表面上的感应作用都将由于有相邻的沟槽而减小。

如果L是沟长，B是沟宽而D是沟深，则对面平面的一个面积为S的部分的电容将是

如果A比B或α′大得多，则由（28）可知改正量变成　　

而对于一条无限深的缝来说，令D＝∞，改正量就是　　

为了求得一系列平行平面上的面密度，我们必有当φ＝0时 我们得到

离系列平板的边沿有一距离A的平板上的平均密度是 因此，在离其中一板的边沿的距离等于na处，面密度是这一平均密度的 倍。

200.〕　其次让我们试图从这些结果推出由第197节中的图绕y′＝-R的轴线旋转而成的图形｛一个平面前面的一系列同轴圆柱｝中的电分布。在这一事例中，泊松方程的形式将是　　

让我们假设V＝φ，即等于在第193节中给出的那个函数，然后由这一方程来确定ρ的值。我们知道前两项等于零，从而就有　　

如果我们假设除了已经研究过的面密度以外空间中还按照刚刚叙述的规律存在着一种电分布，则势的分布将由图十一中的那些曲线来表示。

现在，由这个图可以看出， 除了在边界附近以外通常是很小的，因此新的分布可以用平板边沿附近的某种面电荷的分布来近似地表示。

因此，如果我们在界限y′＝0和 之间以及从x′＝-∞到x′＝+∞计算积分∬ρdx′dy′，我们就将求出由曲率引起的平板一面的总的附加电荷。

既然 我们就有

对y′求积分，我们就得到

这就是我们必须假设在其中一个圆柱的单位周长的边沿附近分布在空间中的总电量的一半。既然密度只有在板的边沿附近才是明显的，我们就可以假设所有的电都集中在板的表面上而不会显著地改变它对对面表面的作用，而且在计算该表面和柱面之间的吸引力时，我们可以假设这种电是属于柱面的。

假如不曾有曲率，则单位长度板的正表面上的表面电荷将是

因此，如果我们把前面这一整个的分布加在它上面，这一电荷就必须乘上一个因子 才能给出正面的总电荷 ^〔85〕 。

在一个半径为R的圆盘放在两个相距为B的两个无限大平行平板的正中间的事例中 ^〔86〕 我们得到圆盘的电容为　　

汤姆孙保护环的理论

201.〕　在W. 汤姆孙爵士的某些静电计中，一个大平面被保持于一个势，而在离这个表面的距离为A处放了一个半径为R的平面圆盘，它被具有半径R′的并和圆盘同心的一个圆孔的大平板所围绕，这个大平板叫做保护环。圆盘和平板保持在零势。

圆盘和保护环之间的间隔可以看成一条无限深的圆形沟槽，宽度R′－R用B来代表。

由大盘上的单位势在圆盘上引起的电荷，如果密度均匀就将是

在一条宽度为B而长度为L＝2πR的无限深的直沟的一边，电荷可以通过从大盘出发而终止在沟一边的力线数目来估计。因此，参照第197节和小注，我们看到电荷将是 即 因为在这一事例中Φ＝1，φ＝0，从而b＝A＋a′。

但是，既然沟不是直的而是有一个曲率半径R，结果就应该乘上因子 ^〔87〕

因此，圆盘上的总电荷就是

a′的值不可能大于 近似地。

如果B和A或R相比是很小的，这一表示式就将给出关于由单位势差在圆盘上引起的电荷的一种足够好的近似。A和R之比可以有任意的值，但是大盘的半径和保护环的半径必须比R大出A的若干倍。

例七——图十二

202.〕　在他的关于非连续流体运动的论文中 ^〔88〕 ，亥姆霍兹曾经指出了若干公式的应用；在那些公式中，坐标被表示成了势及其共轭函数的函数。

其中一个公式可以应用于这一事例：一个有限大小的带电板被放得和一个接地的无限大平面相平行。

既然x₁ ＝Aφ和y₁ ＝Aφ以及x₂ ＝Ae_φ cos 和y₂ ＝Ae^φ sin ，都是φ和 的共轭函数，通过把x₁ 和x₂ 相加以及把y₁ 和y₂ 相加而得到的函数就也将是共轭的，由此可见，如果x＝Aφ十Ae^φ cos ，y＝A ＋Ae^φ sin ，则x和y将对φ和 为共轭，而φ和 将对x和y为共轭。

现在设x和y是直角坐标，并设k 是势函数，这时kφ就将和k 相共轭，k是任意常数。

让我们令 ＝π，于是就有y＝Aπ，x＝A（φ－e^φ ）。

如果φ从-∞变到0，然后从0变到+∞，由x从-∞变到-A，然后从-A变到-∞。由此可见， ＝π的那个等势面就是在离原点的距离为b＝πA处平行于xz平面并从x＝-∞伸展到x＝-A的一个平面。

让我们考虑这个平面的一部分，从x＝-（A＋a）伸展到x＝-A并从z＝0伸展到z＝c；让我们假设它到xz平面的距离是y＝b＝Aπ，而它的势是V＝k ＝kπ。

所考虑的这一部分平面上的电荷，通过确定它的边界上的φ值来求出。

因此我们必须由方程x＝-（A＋a）＝A（φ－e^φ ）来确定φ；φ将有一个负值φ₁ 和一个正值φ₂ ，在平面的边沿x＝-A上，φ＝0。

由此可见，平面的一面所带的电荷是-ckφ₁ ÷4π，而其另一面上的电荷是ckφ₂ ÷4π。

这两个电荷都是正的，它们的和是

如果我们假设a比A大得多，就有

如果略去φ₁ 中的指数项，我们就将发现负表面上的电荷大于当面密度为均匀并等于离边界有一距离处的密度时的电荷，二者之差等于宽度为 并具有均匀面密度的一条面积上的电荷。

所考虑的这一部分平面的总电容是

总电荷是CV，指向方程为y＝0而势为 ＝0的无限平面的吸引力是

等势线和力线在图版12中给出。

例八——平行导线栅的理论。图版13

203.〕　在许多电学仪器中，常用一个导线栅来保护仪器的某些部分，使之不会由于感应而带电，我们知道，如果一个导体被一个和它本身具有相同的势的金属容器所完全包围，则容器外面的任何带电体都不会在导体表面上感应出任何的电荷。然而，当完全被金属包围起来时，一个导体就不能被看到，因此在某些事例中就要在容器上开一个小口，并用细导线的栅网把它盖住。让我们考察一下这个栅在减弱电感应方面的效应。我们将假设栅是由在同一平面内等距排列的一系列平行导线构成的，导线的直径比它们之间的距离小得多，而一边的带电体的最近部分和另一边的被保护的导体之间的距离，则颇大于相邻导线之间的距离。

204.〕　设一条无限长的直导线在每单位长度上带有电量λ，则离此导线轴线的距离为r处的势是　　

我们可以参照一条轴线来用极坐标表示此式，该轴线离导线的距离是1；在这种事例中，我们可以令　　

而且，如果我们假设参照轴也带有线密度为λ′的电荷，我们就会得到

如果我们现在令　　

则由共轭函数的理论可知，

式中x和y是直角坐标，这就将是由一系列无限多条导线所引起的势的值，那些导线在xz平面上平行于z轴，通过x轴上x等于a的倍数的各点，并平行于和y轴相垂直的平面。

其中每一条导线都带有线密度为λ的电荷。

含λ′的项表示一种带电情况，即在y方向上引起一个常力 的情况。

当λ′＝0时，等势面和力线的形式在图版13中给出。导线附近的等势面近似地是柱面，因此我们可以认为即使当各导线是直径有限（但比导线间的距离小得多）的圆柱时，解仍然是近似成立的。

离导线较远处的等势面将越来越变得近似于和栅的平面相平行的平面。

如果在方程中令y＝b₁ ＝一个比a大得多的量，我们就近似地得到

如果其次令y＝-b₂ ，而b₂ 是一个比a大得多的正量，我们就近似地得到

如果c是栅上导线的半径，而c比α小得多，我们就可以假设导线本身和在离z轴距离为c的地方和xz平面相交的等势面重合，而由此求出栅本身的势。因此，为了求出栅的势，我们令x＝c而y＝0，由此即得　　

205.〕　现在我们已经得到一些表示式，表示着由一个导线栅和两个平面导电表面所构成的体系的电状态，这时导线的直径比它们之间的距离小得多，两个平面位于导线栅的两侧，到栅的距离比导线间的距离大得多。

第一个平面上的面密度σ₁ 由方程（6）得出，　　

第二个平面上的面密度σ₂ 由方程（7）得出，　　

如果写出　　

并由（6）、（7）、（8）、（9）、（10）各式消去c、λ和λ′，我们就得到

当导线是无限地细时，a就变成无限大，从而以它为分母的各项就不复存在，从而事例就变成两个平行平面而中间没放导线栅的情况。

如果栅是和其中一个平面接通的，例如是和第一个平面接通的，则V＝V₁ ，从而σ₁ 的方程的右端就变成V₁ －V₂ 。由此可见，放上栅时在第一个平面上感应出来的密度σ₁ 和把栅取走而第二个平面保持相同的势时所将感应出来的密度之比，等于1比

假如我们曾经假设栅是和第二个表面相接通的，我们也将得到有关栅在减弱第一个表面对第二个表面的电影响方面同样大小的效应。这是显而易见的，因为b₁ 和b₂ 按相同的方式出现在表示式中。这也是第88节中的定理的一个直接的结果。

一个带电平面隔着导线栅对另一个带电平面发生的感应作用，和把导线栅取走并把二平面间的距离从b₁ ＋b₂ 增大到 时的感应作用相同。

如果两个平面保持在零势，而栅被充电到一个给定的势，则栅上的电量和即将在面积相同并放在相同位置的一个平面上感应出来的电量之比，将是b₁ b₂ ∶b₁ b₂ ＋a（b₁ ＋b₂ ）。

这种考察只有当b₁ 和b₂ 比a大得多而a比c大得多时才是近似成立的。量a是一个可以有任意大小的线度。当c无限减小时它就变成无限大。

如果我们假设 栅上导线之间就没有空隙，从而就将没有感应作用透过它。因此，对于这种事例应有α＝0。然而公式（11）在这一事例中却给出 这显然是错误的，因为感应绝不能因有栅而变号。然而，在由柱状导线构成的栅的事例中，却很容易进行到更高的近似程度。我将只指出这种手续的步骤。

近似方法

206.〕　既然导线是柱状的，既然每一根导线上的电分布对平行于y的直径来说是对称的，势的正确展式就有下列形式：　　

式中r是离其中一条导线之轴线的距离，而θ是r和y之间的夹角；而且，既然导线是导体，当令r等于半径时V就必须是常量，从而每一个θ的倍角余弦的系数必须变为零。

为了方便，让我们采用新坐标ξ、η等等，使得

并令　　

于是，如果我们令　　

则通过给予各个A系数以适当的值，我们就可以表示作为η和cosξ的函数而除了当η＋β＝0和cosξ＝1时以外不会变成无限大的任意势。

当β＝0时，用ρ和θ表示出的F的展式是 ^〔89〕 ，

对于β的有限值，F的展式是

在栅和两个导电平面的事例中，设二平面的方程为η＝β₁ 和η＝-β₂ ，而栅的方程为β＝0，这时就有栅的两个无限系列的像。第一个系列将包括栅本身和位于两侧带有相等而同号的电荷的无限多个像。这些想象的圆柱的轴，位于方程为

的平面上，n是一个整数。

第二个系列将包括无限多个像，它们的系数A₀ 、A₂ 、A₄ 等和栅本身的同样系数相等而反号，而A₁ 、A₃ 等等则相等而同号。这些像的轴位于方程为

的平面上，n是一个整数。

这种像的任何一个无限系列所引起的势，将取决于像的数目是奇数或偶数。因此由一个无限系列引起的势是不确定的。但是如果我们给它加上一个函数Bη＋C，则问题的条件将足以确定电分布。

我们首先可以借助于各系数A₀ 、A₁ 等等以及B和C来确定两个导电平面的势V₁ 和V₂ ，然后我们必须确定这些平面的任一点上的面密度σ₁ 和σ₂ 。σ₁ 和σ₂ 的平均值由下式给出：　　

然后我们必须把由栅本身及一切像所引起的势按ρ和θ的倍角余弦展开，并在结果上加上Bρcosθ＋C。于是，不依赖于θ的各项就给出栅的势V，而令θ的每一倍角余弦的系数等于零，就得出各待定系数之间的一个方程。

用这种办法，就可以求出许多方程，适足以消去所有这些系数，而剩下两个方程用以按照V₁ 、V₂ 和V来确定σ₁ 和σ₂ 。

这两个方程的形式将是：

受到栅的保护的一个平面的感生电量，当另一平面保持在一个给定的势差时将和平面不是位于距离b₁ ＋b₂ 处而是位于距离 处时的感生电荷相同。

α和γ的值近似地如下：

^〔90〕

第十三章　静电仪器

关于静电仪器

我们当前必须考虑的仪器可以分成下列几类：（1）用来引起带电并增强带电的起电机。（2）按已知比例增加电量的倍加器。（3）用来测量电势和电荷的静电计。（4）用来储存大电荷的集电器｛电容器｝。

起　电　机

207.〕　在普通的起电机中，一个玻璃板或玻璃圆筒被转动起来，使它和一个皮革表面相摩擦，皮革上散布着一种锌汞齐。玻璃的表面会变得带正电，而皮革表面则变得带负电。当带电的玻璃表面运动着远离皮革的负电时，它就获得一个高的正势。然后它就来到一组尖端附近，那些尖端和起电机上的导体相连。玻璃上的正电在尖端上感应出一种负电，尖端越尖和它们离玻璃越近，感应的负电就越多。

当机器正常工作时，在玻璃和尖端之间将通过空气而放电，玻璃失去它的一部分正电荷，这些电荷传递到尖端上，并由此而传递到起电机上绝了缘的主要导体上，或传递到和它相连的任何其他物体上。于是，正在向皮革接近过去的那一部分玻璃就比同时正在离开皮革的那一部分玻璃带的电要少一些，于是皮革以及和它相连的导体就会变成带负电的了。

正在离开皮革的那种高度带正电的玻璃表面，将比正在靠近皮革的部分地放了电的表面受到皮革上负电的更大吸引力。因此电力就起了反抗用来使机器转动的那个力的作用。因此，转动机器时所做的功就大于普通的摩擦力和其他阻力所消耗的功，而这一超额功就被用来产生一种带电状态，其能量和这一超额功相等价。

克服摩擦力时所做的功立即转变成互相摩擦的物体中的热量。电能可以或是转变成机械能量，或是转变成热。

如果机器并不储存机械能，则所有的能量都将转变为热，而由摩擦而生的热和由电作用而生的热之间的唯一不同就在于，前者是在互相摩擦的表面上产生的，而后者则可以在远处的导体中产生 ^〔91〕 。

我们已经看到，玻璃表面上的电荷是受到皮革的吸引的。如果这种吸引力足够强，在玻璃和皮革之间而不是在玻璃和集电尖端之间就会出现放电。为了避免这种事，就在皮革上加了一些绸子条儿。它们变成带负电的而附着在玻璃上，并从而减小皮革附近的势。

因此，当玻璃离开皮革时，势就增加得更慢一些，从而在任一点上就有较小吸引力把玻璃上的电荷吸向皮革，因此向皮革直接放电的危险也就较小。

在某些起电机中，运动部分是用硬橡胶作成而不是用玻璃做成的，而摩擦物则是用羊毛或兽皮做成的。这时摩擦物就会带正电而主要导体则带负电。

伏打的起电盘

208.〕　起电盘包括一个贴在金属板上的用树胶或硬橡胶作的板，和一个同样大小的金属板。其中一个板的背面，可以用螺丝装上一个绝缘柄。硬橡胶板上有一个金属针，当橡胶板和金属板相接触时，这个针就把金属板和橡胶板的金属背壳相接通。

通过把它和羊毛或猫皮摩擦，橡胶板上就会带了负电。然后利用绝缘柄把金属板移到橡胶板附近。橡胶板和金属板之间并没有直接的放电，但是金属板的势却通过感应而变成了负的，从而当它来到和金属针相距某一距离处时，就会有一个火花跳过，而如果这时把金属板拿到远处，它就会被发现带有一个正电荷，这个电荷可以移到一个导体上去。橡胶板背后的金属壳被发现带有一个负电荷，和金属板的电荷相等而反号。

在应用这种仪器来给一个电容器或集电器充电时，其中一个板放在一个接了地的导体上，而另一个板首先放在该板上面，然后被拿走并作用在电容器的电板上，然后再放在第一个板上，如此重复进行。如果橡胶板是固定的，则电容器将被充以正电。如果金属板是固定的，则电容器被充以负电。

手在分开两个板时所做的功，永远大于当两板靠拢时电力所做的功，因此对电容器充电时的操作就涉及功的耗费。其中一部分功用充了电的电容器的能量来说明，一部分功被用来产生了火花的响声和热，而其余的部分则用来克服了对运动的其他阻力。

关于用机械功来起电的机器

209.〕　在普通的摩擦起电机中，克服摩擦而做的功远远大于增大带电所做的功。因此，可以完全用反抗电力所作的机械功来产生带电的任何装置就是具有科学重要性的，即使没有实用价值的话。第一个这一类的起电机，似乎就是尼科耳孙的“转动倍加器”；在1788年的《哲学会报》（Philosophical Transactions）上，它被描写成“通过转动一个曲柄来产生两个电状态而不用摩擦或接地的一种仪器”。

210.〕　正是利用一个转动倍加器，伏打做到了从电堆的电得到能够影响他的静电计的电。利用相同原理的仪器也由瓦尔莱 ^〔92〕 和W. 汤姆孙爵士独立地发明过。

这些仪器主要由一些不同形状的绝了缘的导体所构成，其中有些导体是固定的，而其他导体则是活动的。活动的导体叫做“携带器”，而固定的导体则可以称为“感应器”、“接受器”和“再生器”。感应器和接受器被做得合适，以致携带器在转动到某些地方时会几乎完全地被一个导电体包围起来。由于感应器和接受器不能真正完全地包围携带器而同时又不必用一种可动部件的复杂装置就可以允许携带器自由地出入，若没有一对再生器，这种仪器就在理论上是不完善的；这些再生器将把携带器从接受器中出来时所保留着的微小电量储存起来。

然而，我们可以暂时认为携带器当在感应器和接受器之内时是被它们完全包围的，在这种情况下理论就会大为简化。

我们将假设机器包括两个感应器A和C，两个接受器B和D，以及两个携带器F和G。

假设感应器A带有正电而其势为A，并假设携带器F位于A内并有势F。于是，如果Q是A和F之间的感应系数（取作正的），则携器上的电量将是Q（F－A）。

如果携带器当在感应器内时被接了地，则F＝0，而携带器上的电荷将是-QA，即一个负量。设携带器被移过去，以致它进入了接受器B内，并设这时它碰到一个弹簧，从而和B相接通。于是，正如在第32节中所证明的那样，携带器就将完全放电，并把它的全部负电荷传给接受器B。

携带器随后就将移入感应器C中，我们将假设C是带负电的。当位于C内时携带器又被接地并从而获得一个正电荷，而它就把这个正电荷带走并把它传给接受器D，如此类推。

这样，如果感应器的势永远保持不变，接受器B和D就会一次一次地得到电荷，而携带器每转一周，它们得到的电荷都相同，于是每一周就在接受器中产生一个相等的电量增量。

但是，通过使感应器A和接受器相接通，并使感应器C和接受器B相接通，各感应器的势就将不断地增高，而在每一周中传给接受器的电量也将不断地增大。

例如，设A和D的势是U而B和C的势是V，那么，既然当携带器位于A内时因接地而有零势，它的电荷就＝-QU。携带器带着这个电荷进入B内并把它传给B。如果B和C的电容是B，则它们的势将从V变到

如果另一个携带器同时把一个电荷-QV从C带到D，这就会使A和D的势从U变到

如果Q′是携带器和C之间的感应系数而A是A和D的电容的话。因此，如果U_n 和V_n 是在n个“半周”之后两个感应器的势，而U_n＋1 和V_n＋1 是在n＋1个半周以后的势，则有

如果写出 和 我们就得到

由此即得

由这些方程可以看出，pU＋qV这个量是不断减小的，从而不论起初的带电状态如何，各携带器最后都将带有相反的电荷，使得A和B的势成q和-p之比。

另一方面，pU－qV这个量却不断增大，从而不论起初pU比pV大或小多么一点点，这一差值都将在每一周中按几何级数的比例而增大，直到电动势大得可以克服仪器的绝缘时为止。

这一类仪器可以用于各式各样的目的：

用来在高势下产生一种丰富的供电，就如利用瓦尔莱先生的大机器所作的那样。

用来调节一个电容的电荷，正如在汤姆孙的静电计的事例中一样；那个电容的电荷可以通过一个很小的这种机器的几次转动来加大或减小，那个机器叫做“补电器”。

用于成倍地增大小的势差。感应器起初可能只充电到极小的势，例如由一个温差电偶引起的势；然后，通过机器的转动，势差可以一倍倍地增大到可以用一个普通的静电计来加以测量。通过用实验来测定机器每转一周使势差增大的比例，原先用来使感应器充电的那个电动势就可以根据转数和最后的带电情况推导出来。

在大多数这种仪器中，携带器是通过一个轴的转动而弄得绕一条轴线而转动并达到适当的相对于感应器的位置的。电的连接借助于弹簧来达成，弹簧装得使携带器在适当的时刻和它们接触。

211.〕　然而W. 汤姆孙爵士 ^〔93〕 却制造了一个用来倍加电荷的机器，机器中的携带器是一些水滴，从一个放在导体中但不和它相接触的未绝缘的容器中滴到一个绝了缘的接受器中。这样，接受器就不断地得到电，其符号和感应器的电的符号相反。如果感应器是带正电的，接受器就将接受到一个不断增大的负电荷。

借助于一个漏斗，可以使水从接受器中逸出；漏斗的出口几乎被接受器的金属所包围。因此，从出口滴下的水滴是几乎不带电的。另一组结构相同感应器和接受器被安装得使一组中的感应器和另一组中的接受器相接通。于是接受器电荷的增加率就不再是常量，而是随着时间而按几何级数增加的，两个接受器的电荷具有相反的符号。这种增大继续进行，直到下落的水滴由于电的作用而偏离了它们的路程，以致落到接受器的外边，甚至打中了感应器时为止。

在这种装置中，电的能量是从下落水滴的能量中得来的。

212.〕　另一些利用电感应原理的起电机也曾经被造出，其中最可注意的就是霍耳兹的起电机。这种起电机中的携带器是一块涂了虫胶的玻璃板，而其感应器是几块硬纸板。在转动携带器玻璃板的两侧有两块玻璃板，以防止在仪器各部分之间打火花。人们发现这种起电机是很有效的，而且不会受到大气状态的太大的影响。所用的原理和转动倍加器以及按同样的想法发展出来的那些仪器的原理相同，但是既然携带器是一个绝缘板而感应器是一些不完善的导体，它的动作的全面解释就比在携带器是形状已知的良导体并在确定的地点充电和放电的那种事例中更困难了 ^〔94〕 。

213.〕　在上述这些起电机中，每当携带器接触到一个势不相同的导体时就会出现火花。

现在，我们已经证明，每当发生这种事时就会有能量的损失，从而用在转动机器方面的功并不是以一种可用的方式而全部转化为电能，而是有一部分被消耗在产生电火花的声音和热方面的。

因此我曾想到，有必要说明可以怎样制造一种并无这种效率损耗的起电机。我不想说这是一种起电机的有用形式；这只是一种例子，说明可以把在热机中被称为再生器的那种设计应用在起电机中以防止功的损失的那种方法。

在图18中，设A、B、C、A′、B′、C′代表一些中空的固定导体，排列得使携带器P可以逐个地通过它们的内部。其中A、A′和B、B′当携带器通过它们的中点时将把携带器几乎完全包围起来，而C和C′却不会包围得那么多。

图18

我们将假设A、B、C和一个电容很大并处于势V的莱顿瓶相接，而A′、B′、C′则和另一个处于势-V的莱顿瓶相接。

P是其中一个携带器，沿圆周从A转向C′等等并沿途和一些弹簧相接触，其中弹簧a和a′分别接在A和A′上，而e、e′则接地。

让我们假设，当携带器位于A的中点上时，P和A之间的感应系数是-A。P在这一位置上的电容大于A，因为它并不是被接受器A所完全包围的。设此电容为A＋a。

于是，设P的势是U而A的势是V，则P上的电荷将是（A＋a）U－AV。

现在，设P当位于接受器A的中点上时和弹簧a相接触，则P的势是V，即和A的势相同，从而它的电荷就是aV。

如果现在P脱离开弹簧a，则它将把电荷aV带走。当P离开A时，它的势就会减低，而且当它开始受到带负电的C′的影响时，它的势还会进一步减低。

如果当P来到C′内时它对C′的感应系数是-C′而它的电容是C′＋c′，如果U是P的势，则P上的电荷是（C′＋c′）U＋C′V′＝aV。如果C′V′＝aV，则在这一点上P的势U将减小到零。

设P在这一点上和接地的弹簧e′相接触。既然P的势等于弹簧的势，在接触时就不会有火花。

通过它来使携带器能够接地而不致发生火花的这个导体C′，就对应于热机中称为再生器的那种设计。因此我们将称之为“再生器”。

其次让P继续运动，仍然和接地弹簧相接触，直到它运动到势为V的感应器B的中部为止。如果-B是P和B在这种位置上的感应系数，既然U＝0，P上的电荷就是-BV。

当P从接地弹簧离开时，它会把它的电荷带走。当它从带正电的感应器B中出来而转向带负电的接受器A′，它的势将变得越来越负。在A′的中点上，假若它保持了自己的电荷，它的势就将是 而且，如果BV大于a′V′，则这个势的数值将大于V′的数值。由此可见，在P到达A′的中点以前，将有某一点，而P在该点上的势是-V′。在这一点上，让它和负电接受器的弹簧a′相接触。这时不会有火花，因为两个物体是处于相同的势的。让P继续运动到A′的中点，仍然和弹簧接触着，从而和A′处于相同的势。在这一运动过程中，它向A′传送一个负电荷。在A′的中点上它离开弹簧并把一个电荷-a′V′带向带正电的再生器C，在那里，它的势被降低到零，而且它将和接地弹簧e相接触。然后它就沿着弹簧滑入带负电的感应器B′中，在运动期间它获得一个正电荷B′V′，而这个正电荷最后被它传送给带正电的接受器A，于是动作循环就完成了。

在这一循环中，正电接受器曾经损失了一个电荷aV而得到了一个电荷B′V′。因此，总的正电增益就是B′V′－aV。同理，总的负电增益是BV－a′V′。

通过使各导体在绝缘允许的情况下尽可能和携带器的表面靠近一些，B和B′可以弄成很大；而通过使接受器当携带器位于它们内部时尽可能完全地包围它，a和a′可以弄成很小。于是两个莱顿瓶的电荷在每一转中都将增大。

再生器所应满足的条件是C′V′＝aV，和CV＝a′V′

既然a和a′很小，再生器就既不能太大也不能离携带器太近。

关于静电计和验电器

214.〕　一个静电计就是可以用来测量电荷或电势的一种仪器。可以用来指示电荷或势差的存在但不能提供数值结果的仪器，叫做验电器。

如果足够灵敏，一个验电器就可以用于电学的测量，如果我们能够把测量结果弄得依赖于电的不存在的话。例如，如果我们有两个带电体A和B，我们就可以利用在第一章中描述了的方法来确定哪一个物体带有较大的电荷。设用一个绝缘柄把物体A带入一个绝了缘的闭合容器C的内部。把C接地，然后再使它绝缘。这时C的外面就不会带电。现在把A取走而把B放进C中来，并用一个验电器来检验C的带电情况。如果B的电荷等于A的电荷，C就不会带电，但是如果B的电荷较大或较小，就会出现和B的电荷种类相同或相反的电。

所要观察的是某种现象的不存在，这种方法就叫做零点法。它所要求的只是一种能够指示现象之存在的仪器。

在另一类记录现象的仪器中，仪器可以保证对所记录量的相同值永远显示相同的指示，但是仪器刻度的读数却并不和量的值成正比，而且这些读数和对应值之间的关系是未知的，除了一方面是另一方面的某一连续函数以外，若干种静电计依赖于仪器中同样带电的部件之间的推斥力；这些静电计就属于上述这一类仪器。这种仪器的用处在于记录现象，而不是量度现象。得到的不是所要测量的量的真实值，而是一系列的数字；这些数字在事后可以用来确定那些真实值，当仪器的刻度被适当研究并登记了以后。

在更高的一类仪器中，刻度读数正比于所要测量的量，因此量的完全测量所要求的，只是关于一个系数的知识，把刻度读数乘以这个系数，就得到量的真实值。

制造得本身就包含着确定量的真实值的手段的那种仪器，叫做“绝对仪器”。

库仑的扭秤

215.〕　库仑用以确定其电学基本定律的许多实验，是通过测量两个带电小球之间的力来作出的；其中一个小球是固定的，而另一个小球则在两个力下保持平衡，那就是小球间的力和一个玻璃丝或金属丝的扭转弹性力，见第38节。

扭秤包括一个用虫胶制成的水平横杆，用细金属丝或玻璃丝悬挂着，它的一端上有一个平滑地镀了金的小通草球。悬丝的上端固定在一个臂的竖直轴上，那个臂可以沿着一个刻了度的水平圆周而运动，这样就可以使悬丝的上端绕它自己的轴扭转任意的度数。

整个的这套仪器封在一个外壳里。另一个小球适当地安装在一个绝缘杆上，它可以被充电并通过一个小孔被放入外壳中，而且弄得它的中心位于悬挂小球所描绘的水平圆周的一个定点上。悬挂小球的位置通过刻在仪器之柱状玻璃外壳上的一个刻度圆来确定。

现在假设两个球都带了电，而悬挂小球在一个已知位置上处于平衡，以致扭杆和通过固定小球中心的半径成一个θ角。于是球心间的距离就是 此处a是扭杆的半径，而且，如果F是球间的力，则力对扭轴而言的矩是

使两个球完全放电，设扭杆现在是在和通过固定小球中心的半径成φ角的位置上处于平衡。于是，电力使扭杆转过的角度必为θ－φ，而且，如果M是悬丝的扭转弹性力矩，则我们有方程 由此可见，如果我们能够确定M，我们就能够确定F，这就是二球相距 时的实际的力。

为了求出扭力矩M，设I是扭臂的惯量矩而T是扭臂在扭转弹性的作用下往返振动两次所需的时间，则有

在所有的静电计中，最重要的是要知道我们正在测量的是什么力。作用在悬挂小球上的力，一部分来自固定小球的直接作用，但也有一部分来自外壳壁上的电荷，如果有这种电荷的话。

如果外壳是用玻璃做成的，则除了在各点进行很困难的测量以外就不可能确定其表面的带电情况。然而，如果外壳是用金属做成的，或是在小球和玻璃外壳之间放一个几乎完全把仪器包围起来的金属壳来作为屏蔽，则金属屏的内表面上的带电情况将完全依赖于小球的带电情况，而玻璃外壳的带电情况则将对小球毫无影响。

为了用一个我们可以计算其中的一切效应的例子来说明这一点，让我们假设外壳是一个半径为b的球，而扭臂运动的中心和球心相重合，其半径为a；另外假设两个球的电荷是E₁ 和E₂ ，它们的位置之间的角度是θ，固定小球到中心的距离是a₁ ，而二球之间的距离是r。

暂时忽略感应对小球上电分布的影响，两球之间的力将是一个推斥力 而这个力对通过中心的竖直轴而言的矩将是

由外壳的球形表面所引起的E₁ 的像，是同一半径上距中心为 处的一个点，其电荷是 而E₁ 和这个像之间的吸引力对悬轴而言的矩是

如果球形外壳的半径b比a和各球到中心的距离a₁ 大得多，我们就可以忽略分母上的第二项和第三项。令使扭杆发生转动的两个力矩彼此相等，我们就得到

测量电势的静电计

216.〕　在所有的静电计中，活动的部分都是一个带电体，而它的势和周围某些固定部分的势不同，当像在库仑方法中那样所用的是一个带有某一电荷的绝了缘的物体时，电荷是测量的直接对象。然而我们可以利用导线把库仑静电计中的小球和一些不同的导体连接起来。于是球上的电荷就将依赖于这些导体的势的值，并依赖于仪器外壳的势的值。每一小球上的势将近似地等于它的半径乘以它的势比仪器外壳的势高出的值，如果球的半径比球间的距离和到外壳壁面或外壳开口的距离小得多的话。

然而库仑形式的仪器，由于当势差很小时二球在适当距离处的力也很小，所以是不太适宜用于这样一种测量的。一种更方便的形式是“吸引盘静电计”的形式。依据这一原理的最初一些静电计是由W. 斯诺·哈里斯爵士制造的 ^〔95〕 。从那时起，这些静电计已由W. 汤姆孙爵士在理论上和构造上作出了很大的改进 ^〔96〕 。

当势不相同的两个圆盘面对面地放在很小距离处时，在相向的面上就会出现近似均匀的电荷，而在背面则几乎没有电荷，如果附近没有别的导体或带电体的话。正盘上的电荷将近似地正比于它的面积，正比于盘间的势差而反比于盘间的距离。因此，通过把盘做得很大而把盘间的距离弄得很小，一个小的势差就可以引起一个可以测出的吸引力。

关于这样摆放的两个圆盘上的电分布的数学理论，已在第202节中给出，但是不可能把仪器外壳做得很大以致我们可以假设圆盘是在无限大的空间中被绝缘的，这种形式下的仪器的指示就是不容易进行数值上的解说的。

217.〕　在被吸圆盘上增加一个保护环，这就是W. 汤姆孙爵士对这种仪器作出的主要改进之一。

图19

现在不是把其中一个圆盘整个地悬挂起来并测定作用在它上面的力，而是从圆盘上分出一个中心部分来形成被吸引的圆盘，而形成剩余部分的外围环则保持固定。这样，力就是只在分布得最规律的圆盘部分上被测量的，而边沿附近电的不够均匀则不重要，因为那是出现在保护环上而不是出现在圆盘的悬挂部分上。

除此以外，通过把保护环和一个包围着被吸引盘的背面及其一切悬挂装置的金属外壳相连接，盘背面的带电就被弄得不可能了，因为它成了一个到处有相同的势的闭合中空导体的内表面的一部分。

因此，汤姆孙的“绝对静电计”基本上就是由两个势不相同的圆盘构成的；其中一个圆盘做得有一部分可以在电力作用下发生运动，而且该部分没有任何地方靠近整个盘的边沿。为了明确我们的想法，我们可以假设被吸引的圆盘和保护环是在上面的。固定的圆盘是水平的，装在一个绝缘柱上，绝缘柱可以通过一个测微螺旋来得到一种可以测量的竖直运动。保护环至少要和固定圆盘一样大，它的下表面真正是平面并平行于固定的圆盘。在保护环上竖立一个精密天平，天平上挂着一个轻的可以活动的圆盘，它几乎填满保护环上的圆孔而不和孔的边沿相摩擦。悬挂圆盘的下表面必须是真正的平面，而且我们必须有办法知道它的平面何时与保护环的下表面相重合而形成仅仅由圆盘和保护环之间的窄缝隔断的单独一个平面。

为此目的，下面的圆盘被推上去，直到和保护环接触上为止；然后让悬挂的圆盘停止在下面的圆盘上。从而它的下表面就和保护环的下表面位于同一平面上。然后它的相对于保护环的位置就借助于一组基准标记来加以确定。为此目的，W. 汤姆孙爵士通常是用一根附属在可动部件上的黑头发。这根头发在一种白釉背景上的两个黑点的正前方移上或移下，并且这根头发和这两个黑点都利用一个平凸透镜来进行观察，透镜上平的一面靠近眼睛。如果通过透镜看到的头发是直的，而且恰好位于两个黑点的正中间，它就算是处于正视位置，而这就表明它随之而动的那个悬挂圆盘在高度方面是处于适当位置的。悬挂圆盘的水平性可以通过比较任何物体的一部分在该盘上表面上的反射和同一物体的其余部分在保护环上表面上的反射来进行检验。

然后调节天平，使得当把一个已知砝码放在悬挂圆盘的中心时，该盘就在它的正视位置上处于平衡，这时通过把仪器的每一部分都用金属连接起来而保证仪器不带电。一个金属外壳被放在保护环的上方，把天平和悬挂盘都笼罩在内，但是留出足够的开口来观察基准标记。

保护环、外壳和悬挂圆盘都是互相接通的，但它们和仪器的其他部分却是绝缘的。

现在假设要测量两个导体的势差。将两个导体用导线分别和上下圆盘连接起来，将砝码从悬挂圆盘上拿开，并借助于测微螺旋把下面的圆盘向上推进，直到电吸引力把悬挂圆盘拉到它的正视位置时为止。这时我们就知道，圆盘之间的吸引力等于当时把圆盘带到正视位置的那个重力。

如果W是那个砝码的数值，而g是重力强度，则重力是W_g ；而且，如果A是悬挂圆盘的面积，D是圆盘之间的距离，而V是圆盘之间的势差，则有 ^〔97〕

或

如果悬挂盘是圆形的，且半径为R，而且保护环的圆孔的半径是R′，则有

以及

218.〕　既然在确定和D＝0相对应的测微螺旋读数时总有某些不准确性，而且当D很小时悬挂盘的位置方面的任何误差都是至关重要的，W. 汤姆孙爵士就宁愿把他的所有测量结果都弄成取决于电动势V之差。例如，如果V和V′是两个势而D和D′是对应的距离，则有

例如，为了测量一个伽瓦尼电池的电动势，使用了两个静电计。

借助于一个在必要时用补电器保持为充电的电容器，主静电计的下盘被保持于一个恒定的势。这一点，通过把主静电计的下盘和一个辅静电计的下盘接通来加以检验；辅静电计的悬挂盘是接地的。既然辅静电计的盘间距离和把它的悬挂盘置于正视位置时所需的力都是恒定的，如果我们提高电容器的势，直至辅静电计达到它的正视位置时为止，我们就知道，主静电计下盘的势比地球的势大一个常量，我们可以把这个常量叫做V。

如果我们现在把电池的正极接地，把主静电计的悬挂盘和负极接通，则盘间的势差将是V＋v，如果v是电池的电动势的话。设D是这一情况下的测微螺旋读数，而D′是当悬挂盘接地时的读数，则有

用这种办法，一个小的电动势v就可以用一个静电计来测量，这时静电计的二盘之间有一可以很方便地加以测量的距离。当距离太小时，绝对距离的很小变化就会引起力的很大变化，因为力是和距离的平方成反比的。因此，绝对距离的任何误差都会在结果中引起很大的误差，除非距离比测微螺旋的误差范围大得多。

各盘表面的不规则性和它们之间的间隔的不规则性，其影响是和距离的立方及更高次方成反比的，而且，不论一个摺绉表面是什么形状，它的那些突起点总是正好达到一个平面，而在比摺绉宽度大得多的距离处的电效应，和在突起点平面后面某一距离处的一个平面的电效应相同。参阅第197、198节。

借助于经过辅静电计检验的辅助电荷，就可以保证一个适当的盘间距离。

辅静电计可以结构比较简单，可以没有按绝对量值来测定吸引力的设备，因为所要求的无非是保证一种恒定的带电而已。这样一个静电计可以叫做一个计量静电计。

除了所要测量的电量还应用一个辅助电量，这种方法叫做量电学的“异势差势”，以别于“同势差法”；在后一方法中，全部的效应都是由所要测量的带电情况引起的。

在某些形式的吸引盘静电计中，被吸引的盘子被放在一个臂的一端，该臂连接在一条通过它的重心并用弹簧保持拉紧的铂丝上。臂的另一端系有发丝；通过改变盘间的距离来把电吸引力调节到一个常量值，可以把发丝调到一个正视位置。在这些静电计中，这个力通常并不是按绝对量值被定出，而只要知道它是常量，如果铂丝的扭转弹性并不改变的话。

整个的仪器放在一个莱顿瓶中，该瓶的内表面和吸引盘及保护环相连接。另一个盘用一个测微螺旋来调节，而且是接地之后又和要测其电势的那个导体相连接的。读数之差乘以一个对每一静电计都须单独测定的常量，就给出所要测量的势。

219.〕　已经描述过的这些静电计不是自动的，而是每观测一次都要求调节一个测微螺旋，或是要求观测者进行某种别的动作。因此这些静电计都不适于用作必须自己活动到适当位置的自动记录静电计。这一条件是用“汤姆孙象限静电计”来满足的。

这种仪器所根据的原理可以解释如下：

A和B是两个固定的导体，他们的势可以相同或不同。C是一个处于高势的活动导体，被放得有一部分正对着A的表面而另一部分则正对着B的表面，而且当C运动时这两个部分之间的比例就会改变。

为此目的，最方便的办法就是使C可以绕着一个轴运动，而把A的和B的以及C的对面表面作成绕同一轴线的旋转曲面的一些部分。

这样，C的表面和A的或B的对面表面之间的距离就永远保持相同，而C沿正方向的运动就只会增大对着B的面积和减小对着A的面积。

如果A的势和B的势相等，就不会有促使C从A向B运动的力。但是如果C的势和B的势相差较大而和A的势相差较小，则C将倾向于运动以增大它面对B的面积。

通过仪器的适当装配，这个力可以弄得在一定的界限内在C的不同位置上接近相同，因此，如果C是用一根扭丝悬挂着的，它的偏转就将近似地正比于A和B间的势差乘以C的势和A、B的平均势之差。

用一个附有补电器的电容器，C被保持在一个高势并用一个计量静电计来加以检验，而A和B则接在须要测量其势差的那两个导体上。C的势越高，仪器的灵敏度就越大。和所要测量的带电情况无关的这种C的带电情况，使静电计成为属于异势差类型的了。

我们可以把第93、127节中所给出的关于导体组的普遍理论应用在这种静电计上。

用A、B、C分别代表三个导体的势，设a、b、c分别是它们的电容，p是B和C之间的感应系数，q是C和A之间的感应系数，而r是A和B之间的感应系数。所有这些系数通常都随C的位置而变，而且，如果C安装得合适，使得在一定的运动界限之内A的和B的边沿并不和C的边沿离得很近，我们就可以确定这些系数的形式。如果θ代表C从向B偏转的角度，则A对着C的那一部分面积当θ增大时就将减小。由此可见，如果A被保持于势1而B和C被保持于势0，则A上的电荷将是a＝a₀ －αθ，式中a₀ 和α是常量而a是A的电容。

如果A和B是对称的，则B的电容是b＝b₀ ＋αθ。

C的电容不因运动而变，因这运动的唯一效应就是使C的不同部分对准A和B之间的间隙。由此得到c＝-c₀ 。

当B升到单位势时在C上感应出来的电是p＝p₀ －αθ。

A和C间的感应系数是q＝q₀ ＋αθ。

A和B间的感应系数不因C的运动而变，仍保持为r＝r₀ 。

因此，体系的电能是 而如果 是使θ增大的力矩，则有

或 ^〔98〕

在现在考虑的这种汤姆孙象限静电计中，导体A和B作成被完全分成四个象限的一个圆盒的形状，各象限分别被绝缘，但是用导线把对角的象限连接起来，即A和A′连接，B和B′连接。

导体C被悬挂得可以绕竖直轴旋转，它可以是张在一些半径端点的两个对角的90°的弧。在平衡位置上，这两个弧应该部分地位于A中而部分地位于B中，而各个支持着的半径应该近似地位于中空盒子的四个象限的中间平面上，以便盒子的分割线和C的边沿及支持半径可以互相离得尽可能地远。

图20

形成仪器外壳的是一个莱顿瓶的内表面；通过和该表面相接，导体C被永远保持于一个高势。B接地，而A和要测其势的物体相接。

如果物体的势是零而且仪器已经调好，那就不应该有使C运动的力；但是如果A的势和C的势同号，则C将在一个近似均匀的力下从A向B运动，于是悬挂装置就受到扭转，直到出现了相等的力并达成了平衡时为止。在一定的界限之内，C的偏转将和乘积 成正比。通过增高C的势，仪器的灵敏度可以提高，而且，当 的值很小时，偏转将近似地正比于（A－B）C。

关于电势的测量

220.〕　为了按照绝对量值来测定一个大的势差，我们可以利用吸引盘静电计并把吸引力和一个砝码的效应相比较。如果我们同时也用象限静电计来测量相同那些导体之间的势差，我们就将定出象限静电计的刻度的某些读数的绝对值，而利用这种方法，我们就可以按照悬挂部件的势和悬挂装置的扭力矩来得出象限静电计的刻度读数的值 ^〔99〕 。

为了测定一个有限大小的带电导体的势，我们可以把这个导体接在静电计的一个极上，而其另一个极则接地或接在一个具有恒定的势的导体上。静电计读数将给出导体在把它的电荷和它所连接的静电计部件分享以后的势。如K代表导体的电容而K′代表上述那一部件的电容，而V、V′代表这些物体在互相接通以前的势，则它们在接通以后的共同势将是

因此，导体的原有势就是

如果导体并不比静电计大得多，则K′将是可以和K相比的，从而除非我们可以确定K和K′的值，表示式中的第二项就将有一个可疑的值。但是如果我们能够在接通之前把静电计电极的势弄得和物体的势很相近，则K和K′的值的不准确性将没有多大影响。

如果我们近似地知道物体的势，我们就可以借助于一个“补电器”或其他装置来把电极充电到这个近似的势，而其次的实验就将给出一个更好的近似。用这种办法，我们可以测量其电容比静电计的电容小得多的一个导体的势。

空气中一点上的电势的测量

221.〕　第一种方法　取一个小球，其半径比带电导体的距离小得多，把它的中心放在所给的点上。用一根细导线把小球接地，然后把它绝缘，并把它拿到一个静电计那里去测定它上面的总电荷。

于是，如果V是给定点上的势而a是球的半径，则球上的电荷将是-Va＝Q；而且，如果V′是当放在四壁接地的房间中时用一个静电计测得的球的势，则有Q＝V′a，由此即得V＋V′＝0，或者说，空气中球心曾放在那儿的一点上的势，和该球接地再绝缘并拿到一个房间中以后的势相等而反号。

这种方法曾被克勒茨纳赫的代耳曼先生用来测量离地面一定高度处的势。

第二种方法　我们曾经假设小球被放在给定点上，起初接地，然后绝缘并被带到一个由势为零的导电物质包围着的空间中。

现在让我们假设，有一条绝了缘的细导线被从静电计的电极拿到了要测其势的地方。设小球首先被完全放电。这可以通过把它放在一个用相同金属做成的几乎完全包围起它来的容器中并让它接触容器来做到。现在设把这样放了电的小球拿到导线端点那儿并让它碰一下导线端点。既然球是不带电的，它就将具有该点处空气的势。如果电极导线处于相同的势，则它不会受到这种接触的影响；但是，如果电极有一个不同的势，则通过和球接触它的势将变得比以前更接近于空气的势。通过一系列这样的动作，小球交替地放电和接触电极，静电计的电极的势就会不断地趋近于所给点上的空气的势。

222.〕　为了测量一个导体的势而不碰到它，我们可以测量导体附近一个任意点上的空气的势，并根据结果来算出导体的势。如果有一个几乎被导体包围起来的空腔，则空腔中任一点处的空气的势都将和导体的势很相近。

用这种办法，W. 汤姆孙爵士曾经确定，如果有两个互相接触的中空导体，一个用铜做成而另一个用锌做成，则被锌包围着的空腔中的空气的势相对于被铜包围着的空腔中的空气的势来说是正的。

第三种方法　如果我们用任一种办法可以使一系列小物体脱离电极的端点，则电极的势将趋近于周围空气的势。这一点，可以通过让弹丸、碎屑、沙粒或水珠从连在电极上的一个漏斗或管子中漏出而做到。要测量其势的点，就是流注不再是连续的而分裂成分开的部分或小滴的那个点。

另一种方便的办法就是在电极上绑一根慢燃的导火索。势很快就会变成等于导火索燃烧端处的空气的势。当势差颇大时，甚至一个很细的金属尖端就足以通过空气的粒子（或尘埃？）而造成一次放电，但是，如果想把这个势减低为零，我们就必须使用上述各方法中的一种。

如果我们只想确定两个地方之间的势差的正负而不考虑它的数值，我们就可以让液滴或碎屑从一个和其中一个地方相连的喷嘴中在另一个地方喷出，并把那些液滴或碎屑收集在一个绝了缘的容器中。每一个液滴在下落时都会得到一个电荷，而这个电荷就完全放出在容器中。因此容器的电荷就不断地积累，而在足够多的液滴已经落入以后，容器的电荷就可以用最粗糙的方法来进行检验。如果和喷嘴相连的那个地方的势相对于另一个地方的势来说是正的，则电荷的符号也是正的。

电的面密度的测量

证明片理论

223.〕　在检验关于导体表面上的电分布的数学理论的结果时，必须能够测量导体的不同点上的面密度。为此目的，库仑应用了一个贴在虫胶绝缘柄上的镀金纸小圆片。他把这个小片放在导体的不同点上，使它尽可能密切地和导体的表面相重合。然后他借助于绝缘柄把小片拿开，并利用他的静电计测量了小片上的电荷。

既然当放在导体上时小片的表面是和导体的表面接近重合的，他就得出结论说，小片外表面上的面密度近似地等于导体表面上那一点的面密度，而当拿开时，小片上的电荷就近似地等于导体表面上和小片一侧的面积相等的一个面积上的电荷。这样使用的一个小片，叫做“库仑的证明片”。

因为人们对库仑的使用证明片提出过一些不同意见，我将对实验的理论进行一些评述。

这个实验就在于使一个小的导电物体在要测密度的点上和导体表面相接触，然后拿开物体并测定其电荷。

我们首先必须证明，当和导体接触着时小物体上的电荷正比于在放上小物体以前存在于接触点上的面密度。

我们将假设，小物体的各个线度，特别是沿接触点法线方向的线度，比导体在接触点上的哪一个曲率半径都小得多。因此，把导体假设为刚性带电，它所引起的合力在小物体所占空间范围内的变化就可以忽略不计，从而我们就可以把小物体附近的导体表面看成一个平面。

现在，小物体通过和一个平面表面相接触而取得的电荷，将正比于垂直于表面的合力，也就是正比于面密度。我们将针对特殊形状的物体来确定电荷的数量。

其次我们必须证明，当小物体被拿开时，在它和导体之间不会有将使它所带走的电荷发生改变的任何火花。这是显然的，因为当物体相接触时它们的势是相同的，从而离接触点最近的那些地方的密度是极小的。当小物体被拿到离导体有一很短的距离时，如果我们假设导体是带正电的，离小物体最近的那些部分上所带的电就不再等于零而是正的了。但是，既然小物体的电荷也是正的，靠小物体最近的那些部分所带的正电就将比表面上其他邻近点上的正电要少一些。一个火花的通过一般依赖于合力的大小，而合力的大小又依赖于面密度。由此可见，既然我们假设导体的带电没有达到在它表面的其他部分上进行放电的程度，而我们又证明了离小物体最近的表面上的面密度较小，导体就不会从那些部分的表面上向小物体放出火花。

224.〕　现在我们将考虑各种形状的小物体。

假设它是一个很小的半球，用它的平底面的中心和导体相接触。

设导体是一个大球。让我们稍微改动一下半球的形状，使它的表面比半球面稍大一点，并且和球面的夹角是直角。于是我们就得到一个事例，它的精确解我们已经求出了。见第168节。

如果A和B是两个互相正交的球，DD′是交线圆的一条直径，而C是该圆的中心，那么，如果V是一个导体的势，而导体的表面和两个球的表面相重合，则球A的暴露表面上的电量是是 而球B的暴露表面上的电量是是 总电量是二者之和，即V（AD＋BD－CD）。

如果α和β是二球的半径，则当α比β大得多时，B上的电荷和A上的电荷之比等于

现在，设σ是当B被拿走时A上的均匀面密度，则A上的电荷是4πα² σ，从而B上的电荷就是 或者说，当β远小于α时，半球B上的电荷等于以面密度σ分布在半球的圆形底面积上的电荷的三倍。

由第175节可知，如果使一个小球和一个带电体相接触然后把它拿到远处，则球上的平均面密度和物体上的面密度之比，等于π² 和6之比，或者说是1.645和1之比。

225.〕　证明片的最方便的形式就是一个圆片。因此我们将指明放在一个带电表面上的圆片上的电荷应该怎样测量。

为此目的，我们将构造一个势函数，使它的等势面像一个扁圆形的突起，其一般形状类似于放在平面上的一个圆盘。

设σ是一个平面上的面密度，该平面我们将假设为xy平面。

由于这种带电情况而引起的势将是V＝-4πσz。

现在设有两个半径为a的圆盘，刚性地带有面密度为-σ′和+σ′的电。设其中第一个圆盘放在xy平面上，圆心位于原点；第二个和它平行，并有一很小的距离c。

于是可以证明，正如我们即将在磁学理论中看到的那样，这两个圆盘在任意点上引起的势是ωσ′c，此处ω是圆盘边沿在该点所张的立体角。因此，整个体系的势将是

V＝-4πσz ＋σ′cω。

等势面和电感线的形状如本书末尾图版20的左边所示。

让我们看看V＝0的等势面的形状。这个等势面用虚线标出。

令任意点离z轴的距离等于r，当r比a小得多而z也很小时，我们就有

因此，对于远小于a的r值，零等势面的方程就是 或者 由此可见，这个等势面在中轴附近是扁平的。

在圆片以外，r大于a，那z为零时ω为零，从而xy平面是等势面的一部分。

为了找出这两个部分在何处相接，让我们找出在这个平面的哪一点上

当r很接近于和a相等时，立体角ω就接近于一个球上的一部分，该球的半径是1，而那一部分的顶角是 也就是说ω等于

因此当z＝0时就近似地有

因此，当 时，近似地就有

因此，等势面V＝0就包括一个半径为r₀ 并具有近似均匀的厚度z₀ 的圆盘状的图形，并包括这一图形外面的那一部分无限大的xy平面。

在整个圆盘上计算的面积分就给出它的电荷。正如在第四编第704节的圆形电流的理论中那样，可以求出这一电荷是

平面表面的一个相等面积上的电荷是 因此，圆盘上的电荷大于平面上相等面积上的电荷，二者之比很近似地是 比1，式中z₀ 是圆盘的厚度，r₀ 是圆盘的半径，而z₀ 被假设为远小于r₀ 。

关于集电器及其电容的测量

226.〕　一个集电器或电容器是一个仪器，它包括两个导电表面，被一种绝缘的电介媒质所隔开。

一个莱顿瓶就是一个集电器，它的内层锡箔由构成瓶的玻璃来和外层相隔开。原始的莱顿瓶是一个装了水的容器，水和拿着容器的手被玻璃隔开。

任何一个绝了缘的导体的外表面都可以看成集电器的一个表面，其另一个表面就是地面或导体所在房间中的壁面，而中间的空气就是电介媒质。

一个集电器的电容，由为使二表面间的势差等于1而必须充给内表面的电量来量度。

既然任一电势都是若干部分之和，而各部分通过每一电量元除以它到一点的距离来求得，电量和势之比就必须具有长度的量纲，因此静电电容就是一个线量，或者说我们可以用英尺或米来毫不含糊地量度它。

在电学研究中，集电器被用于两个主要目的，即在一个尽可能小的体积内接受或储存大的电量，和借助于一个确定的电量所引起的集电器的势来测量该电量。

为了储存电荷，还没有发明出比莱顿瓶更完善的任何东西。电损耗的主要部分起源于电沿着未覆盖的潮湿玻璃表面从一个表层爬到另一个表层。这一点可以通过瓶内空气的人工干燥和未覆盖玻璃表面的涂油来在很大程度上予以避免。在W. 汤姆孙的静电计中，每过一天损失的电只占一个很小的百分数，而且我们相信当玻璃是好的时，任何的损失都不能归因于通过空气或通过玻璃的直接传导，而主要是起源于沿着仪器中各种绝缘杆和玻璃的表面而进行的传导。

事实上，同一电学家｛指W. 汤姆孙｝曾经把一个电荷传给一个长颈大玻璃泡中的硫酸，然后通过熔化把瓶颈密封了起来，从而电荷就是完全被玻璃所包围的，而过了些年以后，发现电荷还保存在那里呢。

然而，只有当温度较低时，玻璃才有这样的绝缘性，因为只要把玻璃加热到还不到l00℃，电荷立刻就会开始逃逸。

当希望得到小体积的大电容时，以弹性橡皮、石棉或蜡纸作为电介质的集电器就是合用的。

227.〕　对于第二类集电器即用于电量的测量的集电器来说，使用任何固体电介质时都要大大留心，因为它们有所谓“电吸收”的性质。

对于这种集电器来说，唯一保险的电介质就是空气，而空气也有一种不方便处，那就是，如果有些尘埃或杂物进入到两个相对表面之间本来只应该被空气所占据的狭窄空间中去，那就不但会改变空气层的厚度，而且可能在相对的表面之间建立一种联系，而那样一来集电器就将不能保留电荷了。

为了用绝对单位即用英尺或米来量度一个集电器的电容，我们必须或是首先确定它的形状和尺寸然后求解它的相对表面上的电分布问题，或是把它的电容和一个已经求解了问题的集电器的电容相比较。

由于这问题是很困难的，最好从一种形状的集电器开始，而对那种形状来说解是已知的。例如，已经知道，无限空间中一个绝了缘的｛导体｝球的电容用球的半径来量度。

挂在房间里的一个球，曾由考耳劳什和韦伯两位先生实际地当成一个绝对标准，他们把其他集电器的电容和这一标准进行了比较。

然而，一个中等大小的球的电容和常用的集电器的电容比起来是太小了，从而球并不是一种方便的标准单位。

通过用一个半径大一些的中空同心球面把它包围起来，球的电容可以大大增大。这时内表面的电容反比于空气层的厚度而正比于二表面的半径 ^〔100〕 。

W. 汤姆孙爵士曾经利用这种装置作为电容的标准，｛它也曾由罗兰教授和罗斯先生在他们关于电的电磁单位和静电单位之比值的测定中应用过，见Phil. Mag. ser. v. 28, pp. 304, 315,｝但是把各表面制成真正的球面，把它们弄得真正同心并足够准确地测量它们的距离和半径，这却是相当困难的。

因此我们就被引导着更愿意采用那样一种形式的物体来作为电容的标准单位，其相对的表面是平行的平面。

平行平面的电容很容易测试，它们的距离可以用测微螺旋来测量，而且可以作得能够连续变化，而这是测量仪器的一种最重要的性质。

唯一剩下来的困难来自这样一个事实：平面肯定是有边的，而平面边沿附近的电分布还不曾严格地被求出。确实，如果我们把它们做成圆盘状，而圆盘的半径比它们之间的距离大得多，我们就可以把圆盘的边沿看成直线，并利用在第202节中描述过的由亥姆霍兹提出的方法来计算其电分布。但是应该注意到，在这一事例中，一部分电是分布在两个圆盘的背面的，而且在计算中曾经假设附近没有任何导体，而对一个小仪器来说事实却不是也不可能如此。

228.〕　因此我们更愿意采用由W. 汤姆孙爵士发明的下述装置；我们可以把它叫做保护环装置，而利用这种装置，一个绝了缘的圆盘上的电量可以按照它的势来准确地加以确定。

保护环集电器

Bb是用导电材料制成的一个圆柱形的容器，它的外表面的上面是一个精密的平面。这个上面由两部分构成，一个圆盘A，和围绕圆盘的阔环BB，二者之间到处有一个小间隔，刚刚足以阻止火花的通过。圆盘的上表面和保护环的上表面准确地位于同一平面上。圆盘被用绝缘材料做成的支柱GG支住。C是一个金属圆盘，它的下表面是精密的平面并平行于BB。圆盘C比A大很多。它到A的距离用一个在图中没有画出的测微螺旋来调节和测量。

图21

这种集电器用作一种测量仪器如下：

设C处于零势而圆盘A和容器Bb处于势V。于是圆盘背面上不会有电，因为容器接近闭合并全体处于相同的势。圆盘边沿上的电也将很少，因为Bb和圆盘处于同势。在圆盘的面上，电将是接近均匀的，从而圆盘上的总电荷将由它的面积乘以平面上的面密度来几乎精确地表示，就如在第124节中给出的那样。

事实上，我们由第201节的考察就知道，圆盘上的电荷是

式中R是圆盘的半径，R′是保护环孔的半径，A是A和C之间的距离，而a是不可能超过 的一个量。

如果圆盘和保护环之间的间隙比A和C之间的距离小得多，则第二项将很小，而圆盘上的电荷就将很接近于

｛这就和一个面密度为V/4πA的均匀带电的圆盘上的电荷很近似地相同，该圆盘的半径是原有圆盘和孔的半径的算术平均值。｝

现在设把容器Bb接地。这时圆盘A上的电荷将不再是均匀分布的，但其数量将不改变，而且，如果我们现在使A放电，我们就将得到一个电荷，它的值可以根据原来的势差V和可以测量的量R、R′及A来求出。

论集电器电容的比较

229.〕　最适宜根据其各部件的形状及尺寸来用绝对单位确定其电容的那种形式的集电器，通常并不最适合电学实验之用。很重要的是，实际应用中的电容的量度应该是只有两个导电表面的集电器，其中一个表面应该尽可能近似地被另一个表面所包围。另一方面，保护环集电器却有三个独立的导电部分，它们必须按一定的顺序充电和放电。因此，最好能够通过一种电学过程来比较两个集电器的电容，以便检验后来可以用作次级标准的那些集电器。

我首先将指明如何验证两个保护环集电器的电容的相等。

设A是其中一个集电器的圆盘，B是和导电容器的其余部分连在一起的保护环，C是大圆盘，而A′、B′、C′是另一个集电器的相应部件。

如果其中一个集电器属于更简单的类型，即只有两个导体，我们就只需略去B或B′，而假设A是内导电表面而C是外导电表面，这时C被理解为包围着A。

设接线步骤如下：

B永远和C′相接，B′永远和C相接，就是说，每一个保护环和另一电容器的大圆盘相接。

（1）令A和B及C′相接，并和一个莱顿瓶上带正电的电极J相接；令A′和B′及C相接，并接地。

（2）令A、B、C′和J断开。

（3）令A从B和C′断开，A′从B′和C断开。

（4）令B、C′和B′、C相接并接地。

（5）令A和A′相接。

（6）令A、A′和一个验电器E相接。

我们可以表示这些接线步骤如下：

在这儿，等号表示电接通而竖线表示绝缘。

在（1）中，两个集电器是相反充电的，从而A为正而A′为负，而A和A′上的电荷是均匀分布在和每一个集电器中的大圆盘所对着的上表面上的。

在（2）中，莱顿瓶被取走，而在（3）中A和A′上的电荷被绝缘。

在（4）中，保护环和大圆盘接通，从而A和A′上的电荷尽管量值不变但现在却是分布在它们的整个表面上了。

在（5）中A和A′接通了。如果电荷是相等而反号的，则带电状态将完全消失，而在（6）中这一点用验电器E来进行了检验。

按照A或A′具有较大的电容，验电器E将指示正电荷或负电荷。

借助于一个构造适当的开关 ^〔101〕 ，所有的这些动作可以在一秒的一个很小分数之内按适当顺序完成，而且各电容也可以调节得使验电器检测不到任何电荷；用这种办法，一个集电器的电容可以调节得等于任何另一个集电器的电容或等于若干集电器的电容之和，因此就可以组成一个集电器组，其中每一个集电器的电容都是用绝对单位即英尺或米来测定了的，而同时它们的结构又是最适于电学实验之用的。

这种比较法也许在测定制成板状或盘状的不同电介质的静电比感本领方面将被证实为有用处。如果一个电介质圆盘被插入A和C之间，而圆盘比A大得相当多，则集电器的电容将被改变，并被弄得等于当同一个集电器的A和C相距较近时的电容。如果加了电介质板而A、C之间的距离为x的一个集电器，和不加电介质板而A、C之间的距离为x′的同一个集电器具有相同的电容，那么，如果a是板的厚度而K是相对于空气而言的电介质比感本领，则有

在第127节中描述了的那种三个柱面的组合，曾被W. 汤姆孙爵士当作其电容可以按可测量的数量增大或减小的一种集电器来使用。

关于吉布孙先生和巴克雷先生用这种仪器做的实验的描述，见Proceedings of the Royal Society, Feb. 2, 1871，以及Phil. Trans., 1871, p. 573. 他们发现固体石蜡的比感本领是1.975，这时认为空气的比感本领是1。

注　释

〔1〕 　见Sir W. Thomson, 'On the Mathematical Theory of Electricity in Equilibrium,' Cambridge and Dublin Mathematical Journal, March, 1848.

〔2〕 　这一实验和以后的若干实验都起源于法拉第，'On Static Electrical Inductive Action., phil. Mag. '1843，或Exp. Res., vol. ii, p. 279.

〔3〕 　这是第100c节的一个例证。

〔4〕 　为了使以上各实验成为毫无疑问，所要克服的困难非常大，以致几乎是无法克服的。然而这些实验的描述却能够以一种引人注目的方式例示电的性质。在实验Ⅴ中，没有给出可以用来测量外面容器的电荷的任何方法。

〔5〕 　'On Static Electrical Inductive Action, 'Phil. Mag., 1848或Exp. Res., vol. ii. p. 279.

〔6〕 　后文证明“电势”的量纲并不是零。

〔7〕 　一个物体的表观质量将由于带电而有所增大，不论所带的是玻璃式的还是树胶式的电（见Phil, Mag. 1861, v. xi. p. 229）。

〔8〕 　在这一定义中，以及在电力定律的叙述中，各带电物体周围的媒质被假设为空气。见第94节。

〔9〕 　参阅第80节和第114节。

〔10〕 　为了使证明完全无懈可击，必须指出，根据第80节，在表面带电的地方力不能为零，而根据第112节，在没有电荷的地方电势不可能有极大值或极小值。

〔11〕 　电强度为最小时的压强，依赖于充有气体的容器的形状和大小。

〔12〕 　见Electrical Researches of the Honourable Henry Cavendish.

〔13〕 　Cohr和Arons (Wiedemann's Annalen, v. 33, p. 13)曾经考察了例如水和酒精之类的某些非绝缘液体的比感本领，发现它们是很大的。例如，蒸馏水的比感本领约是空气的比感本领的76倍，乙醇的比感本领约是空气的比感本领的26倍。

〔14〕 　关于电吸收现象的详细论述，见Wiedemann's Elektricität, v. 2, p. 83.

〔15〕 　Exp. Res., vol. i. series xi., ii. 'On the Absolute Charge of Matter,' and §1244.

〔16〕 　见Faraday, Exp. Res., vol. i., series xii. and xiii.

自从本书第一版问世以来，已经进行了关于电在气体中的通过的那么多的研究，以致仅仅列举它们就会超出一条小注的范围之外。这些研究者们得到的结果，将在“补遗卷”中进行综述。

〔17〕 　或尘埃粒子？不含尘埃和水蒸气的空气除在很高的温度下以外是否可以带电，是相当可疑的；参阅“补遗卷”。

〔18〕 　见Priestley's History of Electricity, pp. 117 and 591；以及Cavendish's 'Electrical Researches,' Phil. Trans., 1771, §4，或Art. 125 of Electrical Researches of the Honourable Henry Cavendish.

〔19〕 　Intellectual Observer, March, 1866.

〔20〕 　关于这一性质以及由光和热引起的晶体带电现象的进一步论述，见Wiedemann's Elektricität, v. 28, p. 316.

〔21〕 　Exp. Res., series xi. 1297.

〔22〕 　这种说法需要修订：所提到的胁强分布，只是可以产生所要求的效应的许多这种分布中的一种。

〔23〕 　如果我们采用上节所论述的那些观点的话。

〔24〕 　在这一定义中，把带电体分隔开来的电介质被假设为是空气。

〔25〕 　电学和磁学中的电强度和磁强度，对应于重物体理论中通常用g来表示的重力强度。

〔26〕 　如果存在势的不连续性，就像当我们从电介质进入导体中时那样，那就必须说明带电质点是被带到导体内部还是只带到它的表面上。

〔27〕 　严格说来是f（2a）－f（0），但是如果我们从头到尾都把f（2a）写成f（2a）－f（0）而把f（2b）写成f（2b）－f（0），则在第74d节中得到的结论并不会改变。

〔28〕 　严格说来是 如果q² 小于1的话。

〔29〕 　Mec. Cel. I. 2.

〔30〕 　Electrical Researches of the Hon. H. Cavendish, pp. 27, 28.

〔31〕 　Idem, Note 2, p. 370.

〔32〕 　既然（5）和（6）对 的无限多个值都成立，我们就有 从而由方程（3）和（4）可知，其中每一个比值

〔33〕 　也许可以更清楚地说，在从常量势的域中可以不必越过电荷而达到的任一点上，势都等于C。

〔34〕 　Solenoid，起源于σωληυ，意为“管子”。法拉第（3271）用“Sphondyloid”一词来代表了相同的概念。

〔35〕 　此处的R是从管内向外画的。

〔36〕 　参阅本章末尾的附录。

〔37〕 　见Faraday's 'Remarks on Static Induction', Proceedings of the Royal Institution, Feb. 12, 1858.

〔38〕 　见Williamson's Differential Calculus, 3rd edition, p. 407.

〔39〕 　因为，设ρ为任一点上的体密度；如果我们取电心和P点的连线作为z轴，则P点的势是

式中c是从电心到P的距离。第一项等于e/c；第二项为零，因为原点就是电心；当括号中的第三项有最大值即a² /c³ 时，积分中的第三项有最大值，因此这个最大值就是ea² /c³ ；当括号中的第三项有最大的负值即 时，积分中的第三项有最小值，从而这个最小值就是

第89节末尾处的结果可以推导如下。假设电荷是在第一个导体上的，则由上述结果可知，由这一导体上的电荷引起的势小于 式中R是从第一个导体的电心到该电荷的距离。在第二项中，如果我们只计及C^-3 的量的话，就可以对第二个导体的任一点都令R＝C，第一项代表第一个导体电心上的一个电荷e将使第二个导体升到的势。但是，由第86节可知，这是和第二个导体上的电荷e在第一个导体的电心上引起的势相同的。但是我们刚刚已经看到，这个势必然小于 因此由第一个导体上的电荷e在第二个导体上引起的势必然小于 然而一般说来这并不是对二导体之相互势的一种很密切的逼近。

〔40〕 　参阅第146节的方程（43）。

〔41〕 　因为我们可以像在第89e节中那样地证明，当它的所有各部分都处于相同的势时，一个电容器的电容小于它的外接球，而该球的电容等于它的半径。

〔42〕 　由以上的考察可知，被比感本领为K的一种媒质包围着的两个带电体之间的力是ee′/Kr² ，式中e和e′是两个物体上的电荷，而r是它们之间的距离。

〔43〕 　这条定理看来是由奥斯特罗格拉斯基在1828年宣读的一篇论文中首次提出的，该文于1831年发表于Mém. del' Acad. de St. Pétersbourc, T. I. p. 39. 然而这条定理却可以看成连续性方程的一种形式。

〔44〕 　对一切可调和的路径来说， 都是相同的；而既然域是非循环的，一切的路径就是可调和的。

〔45〕 　'Ueber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen welche den Wirbelbewe gungen entsprechen,' Crelle, 1858. Translated by Prof. Tait, Phil. Mag., 1867(I).

〔46〕 　'On Vortex Motion,' Trans. R. S. Edin. xxv. part. i. p. 241 (1867).

〔47〕 　e/r中的斜线把分子和分母分开。

〔48〕 　在这个方程中，dv是向着曲面的内部画的，而∭Ψ∇² Φdxdydz不是在一个球所占的体积中计算的，该球的中心就是Φ在那里变为无限大的那个点。

〔49〕 　在方程（10）和（11）中，dv′是向曲面内部画的，而dv则是向曲面外部画的。

〔50〕 　此式和第71页上的方程（14）相同。

〔51〕 　Thomson and Tait's Natural Philosophy, § 526.

〔52〕 　当各导体被一种不同于空气的电介质所包围时，（20）式右端的表示式并不代表电能。

〔53〕 　Cambridge and Dublin Mathematical Journal, February, 1848.

〔54〕 　这种研究并不很严格，而且面密度的表示式也和由适用于两个球面、两个柱面、球和平面或柱和平面放在靠近处的各事例的严格方法求得的结果不相符。我们可以得出面密度的一个表示式如下。让我们假设z轴是一个对称轴，则它将和所有的等势面相正交，而如果V是势，R₁ 、R₂ 是一个等势面和z轴相交处的主曲率半径，则沿z轴的管状条件可以很容易地证明为

如果V_a 、V_b 分别是两个曲面的势，t是二曲面间沿z轴的距离，则 或者，如果r_a1 、r_a2 是第一个曲面的主曲率半径，则从微分方程中求出 并代入，我们就得到

但是 式中σA是z轴和第一个曲面相交处的面密度，于是近似地就有 同理，近似地也有 而且这些表示式和在上述各事例中用严格方法求得的结果相符。

〔55〕 　译注：应作“单位面积”，原文笔误。

〔56〕 　这种方法源于拉普拉斯。见Poisson, 'Sur la Distribution de l'électricité&. c.' Mém. de l'Institul, 1811, p. 30。

〔57〕 　媒质中的胁强这一课题，将在“补遗卷”中进一步加以考虑，然而在此可以指出，求出一套胁强使之产生和存在于电场中的力相同的力的问题，是有无限多种解的一个问题。麦克斯韦所采用的，是不能由弹性固体中的胁变来普遍地引起的一种胁强分布。

〔58〕 　我没能找到证明这一结果的任何地方。

〔59〕 　'Surmmary of the Properties of certain Stream Lines', Phil. Mag., Oct. 1864. 并参阅Thomson and Tait's Natural Philoscphy, §780；以及Rankine and Stokes, in the Proc. R. S., 1867, p. 468；以及W. R. Smith, Proc. R. S. Edin. 1869～1870, p. 79。

当d² V/dz² 只沿z轴为零时，这里的讨论就是不能令人满意的。兰金的证明是严格的。H_m 可以写成

u_n z^m-n ＋u_n ＋1z^m－n－1 ＋…＋u_m ,

式中u_n , u_n＋1 , …分别是x、y的n次、n＋1次…的齐次函数，而z轴是n阶奇线。既然H_m 满足∇² H_＝ ＝0，我们必然就有 或者说u_n ＝Arⁿ cos（nθ＋α）；但是u_n ＝0就是从z轴画起的锥面H_m ＝0的切面的方程，也就是等势面的n页的切面方程，因此这些页就以π/n角相交。

〔60〕 　由下文可见，此处所说的“势”实系“势能”。——译注

〔61〕 　这一点，可以通过在场的不同部分比较等势面之间的距离来看出。

〔62〕 　这句话恐怕不好，应移到第119节之末。——译注

〔63〕 　麦克斯韦没有给出场的强度。然而M.科纽曾经根据力线计算了均匀场的强度，并发现在放入带电体之前场的电动强度是1.5。——译注

〔64〕 　参阅Prof. W. R. Smith的一篇论文，'On the Flow of Electrictity in Conducting Surfaces', Proc. R. S. Edin., 1869—1870. p. 79。

〔65〕 　以后我们将发现，用n!来代表各整数的连乘积1×2×3×…×n是方便的．

〔66〕 　我们由此可以推出

式中n＝p＋q＋r, R² ＝x² ＋y² ＋z² ，而m^c n代表m个物体每次排列n个的排列数除以

〔67〕 如果我们考虑一下表示式 的一项可以有多少种下标的排列，就可以看到这一点。下标有s组，每组两个。通过改变各组的次序，我们得到s!种排列，而通过交换组内的数字，又可以从每一种排列得2s种排列，因此由每s组下标可得2^s s!种排列。于是，如果N是级数 中的项数，就可以得到在n个数中每次取2s个的N2^s s!种排列，但是总的排列数显然等于n个物体每次取2s个排列数，即 故有 或者说

〔68〕 　方程（68）很容易证明，只要注意到左端是 或 中h^n－σ 的系数的（n－σ）!倍。如果我们把此式写成 并提取h^n－σ 的系数。就得到方程（69）。

〔69〕 　当σ＝0时此值应除以2。

〔70〕 　这种考察主要采自一本很有趣的著作，即Leçns sur les Fonctions Inverses des Transcendantes et les Surfaces Isothermes Par G. Lamé, Paris, 1857.

〔71〕 　这里所说的“面积分”显然就是后人所说的“通量”。——译注

〔72〕 　第154节中的结果可以推导如下。从x、y、z到λ、μ、v换变数，拉普拉斯方程就变成 或 或者，如果 则拉普拉斯方程变成 因此，α、β、γ的一个线性函数就满足拉普拉斯方程。

当b＝c时，我们可以取 λ＝b{1－e^α }υ＝b{l＋e^γ }。由（51）就有 于是由（50）就得到x＝b＋b（e^γ －e^α ），

如果把原点取在焦点x＝b上，并把β改写成2β′，把be^γ 改写成αe^2γ′ ，把be^α 改写成αe^2β ，我们就得到 由此就可以得出具有（54）形式的方程。

既然由这些方程可知沿半径的力是像1/r那样变化的，法向力从而还有面密度就将像 那样地变化，此处p是从焦点到切面的垂直距离，于是面密度就像1/p那样地变化，从而就是反比于r的平方根的．

〔73〕 　原书笔（或印）误，AC应作CP。——译注

〔74〕 　如果把问题看成第86节的一个例子，正文中的结果也许就会更好懂一些。那么，让我们假设所说的带电点其实是一个小的导体球，其半径为b而势为v。于是我们就有两个球的问题的一个特例，该问题的一种解已在第146节中给出，而另一种解将在第173节中给出。然而在我们所面临的事例中，b是如此的小，以致我们可以认为小物体上的电是均匀地分布在它的表面上的，从而除了小物体的第一个电像以外所有的电像都可以忽略不计。既然球上的电荷E已经给定，我们除了像点上的电荷-ea/f以外还必须在球心上有一个电荷ea/f。

于是我们就有 因此体系的能量就是（见第85节）

利用以上各式，我们也可以用势把能量表示出来：在相同的近似程度下，能量是

〔75〕 　见Thomson and Tait's Natural Philosophy, § 515。

〔76〕 　既然O′反演为二球的公共球心O，我们由第162节就有

从而

〔77〕 　此处φ对各像点所在的那段弧上的各点为常数．

〔78〕 　在这些表示式中，我们必须记得2coshθ＝e^θ ＋e^-θ ，2sinhθ＝e^θ －e^-θ 。而θ的其他函数是通过和对应的三角函数相同的定义而从这些函数导出的。

对这一事例利用偶极坐标的方法，是由汤姆孙在Liouville's Journal for 1847中给出的。见汤姆孙重印的Electrical Papers; §§ 211, 212。在正文中，我曾经引用了Prof. Betti, Nuovo Cimento, vol. xx，中对分析法的考察，但是我保留了汤姆孙在Phil. Mag, 1853中所用的对电像概念的原始考察．

〔79〕 　见Thomson and Tait's Natural Philosophy, § 520，或本书第150节。

〔80〕 　关于碗上电分布的进一步研究，见Ferrer's Quarterly Journal of Math. 1882; Gallop., Quarterly Journal, 1886, p. 229. 在这篇论文中已经证明， 式中a是碗作为其一部分的那个球的半径，而α是通过碗边而顶角在球心上的圆锥面的半顶角。并参阅Kruseman 'On the Potential of the Electric Field in the neighbour hood of a Spherical Bowl,' Phil. Mag. xxiv. 38, 1887. Basset, Proc. Lond. Math. Soc. xvi. p. 286。

〔81〕 　此处的A和B是两个系数，而不是前面所设的两个球心。——译注

〔82〕 　De Morgan, Diff. and Int. Cal. p. 672.

〔83〕 　见Crelle's Journal, lix. P. 335, 1861，并见Schwarz Crelle, lxxiv. p. 218, 1872.

〔84〕 　设Φ是平面的势，而φ是波形曲面的势。平面上单位面积的电量是1÷4πb，从而电容近似地等于1÷4πb×（Φ－φ）＝1÷4π（A＋a），于是A＋a′＝b（Φ－φ）。但是 所以 据（26）。

〔85〕 　既然板的负面上存在一个等于正面电荷的电荷，看来单位周长的柱面上的总电荷似乎是 从而关于曲率的改正量是 而不是像在正文中一样的

〔86〕 　［在第200节中，当估计总的空间分布时，我们也许可以更正确地把它取作积分∬ρ2π（R＋y′）dx′dy′；对于单位周长的半径为R的边沿来说，此式给出 从而就导致和正文中相同的改正量。

圆盘的事例可以处理如下：

让第195节中的图绕着一条垂直于板面并离中板边沿为+P的直线而转动一周。于是，边沿就将包络一个圆，这就是圆盘的边沿。正如在第200节中一样，我们从泊松方程开始，该方程在这一事例中将是

现在我们假设V＝ ，即等于第195节中的势函数。因此我们必须假设，板间的区域中存在电荷，其体密度是

总量是

现在，如果R比板间的距离大得多，则通过检视图十一中的等势线可以看到这一结果大体上和下式相同，

即

如果我们把圆盘的两面都考虑在内，总的面分布就是

为了求出后一积分，令 于是，如果R/b很大，我们就近似地得到

从而板上的电量就是

既然板间的势差是 而B＝πb，电容就是 这一结果比正文中的结果约小0.28.］

〔87〕 　如果我们把关于曲率的改正量取做 见第（176）页的小注，则圆盘上的电荷将比正文中给出的小B² /16（A＋α′）。

〔88〕 　Monatsberichte der Königl. Akad. det Wiesenscha ften, zu Berlin, April 23, 1868, p. 215.

〔89〕 　通过注意到 只差一个常数，式中r，r₁ ，r₂ ，…是P到各导线的距离，就可以得出F的展式。

我们可以对Fβ应用相同的方法，因为这对应于使各导线平行于y而移动一个距离-b，然而展式却和正文中给出的不相同。

〔90〕 　在补遗卷中，将论述另一种应用共轭函数的方法；利用那种方法，可以计算有限平面表面等等的电容。

〔91〕 　或许可能，在机械能由摩擦而转变为热的许多事例中，一部分能量可以先转变成电能，然后再作为在摩擦表面附近的小电路中保持电流而耗费的电能被转变成热。参阅Sir W. Thomson, 'On the Electrodynamic Qualities of Metals.' Phil. Trans, 1856., p. 649.

〔92〕 　Specification of Patent, Jan. 27, 1860, No. 206.

〔93〕 　Proc. R. S., June 20, 1867.

〔94〕 　目前用得最多的感应起电机是沃斯的和维姆胡斯的起电机。这些起电机的描述和图示可见Nature, vol. xxviii, p. 12.

〔95〕 　Phil. Trang. 1834.

〔96〕 　参阅W. 汤姆孙爵士关于静电计的一篇很精彩的报告。Report of the British Association, Dundee, 1867.

〔97〕 　让我们用R代表悬挂圆盘的半径，而用R′代表保护环孔的半径，则圆盘和保护环之间的圆形窄缝的宽度将是B＝R′－R。

如果悬挂圆盘和固定大圆盘之间的距离是D，而二圆盘之间的势差是V，则按照第201节的考虑，悬挂圆盘上的电荷将是 式中 或a＝0.220635（R′－R）。

如果保护环的表面和悬挂圆盘的表面并不恰好在同一平面上，让我们假设固定圆盘和保护环之间的距离不是D而是D＋z＝D′，则由第225节中的考察可知，由于高度上的差别z（译注，原文略误，今改），圆盘的边沿附近将出现附加的电荷。因此，这一事例中的总电荷就近似地是

而且在吸引力的表示式中我们必须把圆盘面积A代成改正后的值

式中R＝悬挂圆盘的半径，R′＝保护环孔的半径，D＝固定盘和悬挂盘之间的距离，D′＝固定盘和保护环之间的距离，a＝0.220635（R′－R）。

当a比D小得多时，我们可以略去第二项，而当D′－D很小时，我们可以略去最后一项。｛关于这一情况的另一种考察，见补遗卷。｝

〔98〕 　这一点也可推导如下：如果针是对称地摆在各象限中的，则当A＝B时不会有力偶。既然dW/dθ在这种情况下对一切可能的C值都为零，我们必有 于是就有

如果各象限是把针完全包围起来的，则当把各个势都增大一个相同的量时力偶将不受影响，从而 于是

如果各象限是对称的，则有 于是我们就得到正文中的表示式。

读者也应参考G. 霍普金孙博士关于象限静电计的论文，见Phil. Mag. 5th series, xix. p. 291，以及Hallwachs Wied. Ann. xxix. p. 11.

〔99〕 　大势差可以用W. 汤姆孙爵士的新伏特计来更方便地加以量度。

〔100〕 　这句话的原文意义不明，今略改，但仍欠妥。——译注

〔101〕 　这样一个开关曾在霍普金孙博士关于气体和液体的静电电容的论文中加以描述，见Phil. Trans., 1881, Part Ⅱ, p. 360.