第1章　物理学中的时间

动力学描述及其局限性

在我们的纪元，已经取得了自然科学知识的巨大进展。我们所能探讨的物理世界，其尺度已经扩展到确实难以想象的程度。在微观范围内，例如在基本粒子物理学中，我们有数量级为10^-22 秒和10^-15 厘米的尺度。而在宏观方面，例如在宇宙学中，时间可能具有10¹⁰ 年（即宇宙的年龄）的数量级，距离具有10²⁸ 厘米（即视界的距离，也就是能够收到物理信号的最远距离）的数量级。也许更为重要的还不是我们能借以描述物理世界的这个巨大的尺度范围，而是最近所发现的物理世界行为中的变化。

20世纪初，物理学似乎接近于把物质的基本结构归结为少数几个稳定的“基本粒子”，诸如电子和质子。可是现在，我们却和这种简单描述离得很远。无论理论物理学的未来是怎样的，看来“基本”粒子总是具有如此巨大的复杂性，以至关于“微观世界简单性”的古老格言再也不能适用了。

我们观点的变化，在天体物理学中也同样得到证实。尽管西方天文学的奠基者强调天体运动的规则性和永恒性，这样一种描述现在充其量也只适合于像行星运动这样很有限的场合。无论往哪里看，我们所发现的都不是稳定性和谐和性，而是演化的过程，由此而来的是多样性和不断增加的复杂性。我们对物质世界看法上的这个变化，引导我们去研究那些看来与这种新的思考脉络有关的数学分支和理论物理学分支。

在亚里士多德看来，物理学是研究在自然界中发生的“过程”或“变化”的科学（Ross，1955）。可是，在伽利略及近代物理学的其他奠基者看来，能够用精确的数学语言来表达的唯一“变化”就是加速度，即运动状态的改变。这种看法最后导致了把加速度和力F关联起来的经典力学基本方程：

从这时起，物理的“时间”就等同于在经典运动方程中出现的“时间”t。我们可以把物理世界看做是一个轨道的集合，如图1.1所示的“一维”世界的情形。

图1.1　世界线

这些世界线示出坐标x（t）随时间的演化，它们对应于不同初始状态：（A）表示对于时间来说向前的演化；（B）表示对于时间来说向后的演化。

被测质点的位置x（t）作为时间的函数，用一条轨道表示。重要的特点在于，动力学对将来和过去是不加区分的。方程1.1对于时间的反演t→-t来说是不变的。无论是在时间上“向前”的运动A，还是在时间上“向后”的运动B，都是允许的。可是，不引进时间的方向，我们就无法用任何非平凡的方式描述演化的过程。因此，毫不奇怪，科伊雷（Koyré，1968）把力学的运动称为“与时间无关的运动，或者说得更离奇一些，在没有时间的时间中进行的运动——和那种没有变化的变化的说法一样，是一种佯谬的说法。”

再说，“运动”就是经典物理学从自然界发生的变化里所保留下来的一切。结果，正如柏格森（Evolution Créatice，1907；参见Bergson，1963）等人强调的那样，一切都已在经典物理中给出了：变化不是别的，而是对演化的一种否认，时间仅是一个不受它所描述的变换影响的参数。这个稳定的世界（即一个摆脱了演化过程的世界）的图像迄今仍然是理论物理思想的真谛。牛顿（Newton）的动力学由其伟大的继承者拉普拉斯（Laplace）、拉格朗日和哈密顿（Hamilton）等人所完善，它好像组成了一个封闭的宇宙系统，能够回答任何问题。根据定义几乎就可把动力学没有给出答案的问题都当做伪问题摒弃。于是，动力学似乎能使人类得以达到最终的现实。在这种看法下，其余的东西（包括人）都只不过是一种缺乏基本意义的幻象而已。

这样，物理学的主要目标就是去识别我们能够应用动力学的微观级别的世界，这个微观王国，可以成为对一切可观察到的现象作出解释的基础。这里，经典物理学符合了希腊原子论者的纲领，如德谟克里特（Democritus）所说的：“只有原子和虚空。”

今天我们知道，牛顿动力学只是描述了我们物理经验的一部分，它适用于和我们自己的尺度差不多的对象，其质量是用克或吨量度的，其速度远小于光速。我们知道，经典力学的有效性受到普适常数的限制。最重要的普适常数有两个：一个是普朗克常数h，其值在厘米·克·秒单位制中（即以尔格·秒为单位时）数量级为6×10^-27 ；另一个是光速c，其值约为3×10¹⁰ 厘米/秒。当人们探讨尺寸非常小的对象（如原子、“基本”粒子）或超密对象（如中子星或黑洞）时，新的现象发生了。为了处理这些新现象，牛顿动力学被量子力学（它考虑了h的有限值）和相对论动力学（它包括了c）所代替。但是，这些新形式的动力学，尽管它们自身相当革命，却仍因袭了牛顿物理学的思想：一个静止的宇宙，即一个存在着的、没有演化的宇宙。

在进一步讨论这些概念之前，我们要问，物理学真能等同于某种形式的动力学吗？这个问题当然是有限制的。科学并不是已经结束了的论题。近来在基本粒子领域内的一些发现就是例证。这些发现说明我们理论上的认识是多么落后于现有的实验数据。不过，让我们先来说明一下经典力学和量子力学在分子物理学中的作用，这是最容易理解的。仅仅借助于经典力学或量子力学，我们能够哪怕是定性地描述物质的主要特性吗？让我们相继考虑物质的某些典型特性：关于光谱特性，例如光的发射或吸收，量子力学在对吸收谱线和发射谱线位置的预言上无疑获得了巨大的成功。但是考虑物质的其他特性（例如比热），则我们就不得不越出动力学自身的范围。比如说，把1摩尔的气态氢从0℃加热到100℃，如果过程中体积恒定（或压强恒定），那么我们总是需要提供同样数量的能，怎么会是这样呢？要回答这个问题，不仅需要分子结构（可以用经典力学或量子力学来描述）方面的知识，还需作下述假设：任意两个氢的试样，不管它们的历史怎样，在一定时间之后，总要达到同一个“宏观”态。这样，我们就觉察到与热力学第二定律的联系。我们将在下一节里对热力学第二定律作概括性介绍。这个定律是贯穿全书的一条基线。

当非平衡态下的性质如黏滞性和扩散等被包括进来时，非动力学因素的作用就越发的大。为了计算这些系数，我们需要引进某些形式的动力论或包含“主方程”的形式体系（参见第7章）。计算细节并不重要，重要的是，除了经典力学或量子力学所提供的以外，我们还需要补充的工具。我们先简要地叙述一下这些补充的工具，然后研究一下它们相对于动力学的地位。这里我们便遇到了本书的主题：时间在描述物理世界中的作用。

热力学第二定律

我们已经提到，在力学所描述的过程中时间的方向是无关紧要的。显然，还有另外一些情况，其中这种方向性确实起着本质的作用。如果我们加热一个宏观物体的一部分，然后对这个物体进行热的隔离，我们就会观察到温度逐渐均匀起来。在这样的过程中，时间明显地表现出具有“单向性”。从18世纪末开始，工程师和物理化学家们就广泛地研究它们了。克劳修斯（Clausius）所表述的热力学第二定律（Planck，1930），突出地概括了这些过程的特点。克劳修斯考虑的是孤立系统，与外界既无能量交流也无物质交换。这时热力学第二定律指出了熵函数S的存在，熵单调地增加，直到热力学平衡时达到其最大值

可以容易地把这个公式推广到与外界有能量和物质交换的系统（见图1.2）。

图1.2　开放系统

d_i S代表熵产生，d_e S代表系统和外界的熵交换。

我们必须对熵的变化dS中的两项加以区分：第一项d_e S是熵通过系统边界的传输，第二项d_i S是系统内部所产生的熵。按照热力学第二定律，系统内的熵产生是正的，

在这个公式里，可逆过程与不可逆过程之间的区别成了根本的区别。仅仅在不可逆过程中，熵产生才不为零。不可逆过程的例子有化学反应、热传导和扩散等。另一方面，在忽略波的吸收这种极端的情况下，波的传播可以看做是可逆过程。因此，热力学第二定律表达了这样一个事实，即不可逆过程导致一种时间的单向性。正的时间方向对应于熵的增加。让我们强调一下这个时间单向性在第二定律中表现得多么强烈和确定。它假设存在一个函数，这个函数具有十分特殊的性质，即对于一个孤立系统，该函数仅随时间而增加。这样的函数在由李雅普诺夫（Lyapounov）的经典性工作所创始的现代稳定性理论中起着重要的作用（参考文献可查Nicolis，Prigogine，1977）。

时间的单向性还有其他例子。比如在超弱相互作用中，动力学方程不允许t→-t的反演。不过，这些还是单向性的比较“弱”的形式，可以容纳在动力学描述的框架中，而且它们并不相当于热力学第二定律所引入的不可逆过程。

由于我们将把注意力集中到导致李雅普诺夫函数的那些过程，因此必须更为详细地考查一下这个概念。考虑一个系统，其变化是由某些变量X_i 描述的，比如X_i 或许代表着各种化学物质的浓度。这个系统的变化可以由如下形式的速率方程给出：

其中F_i 是组分X_i 的总产生率，每个组分有一个方程（例子将在第4章和第5章中给出）。假设对于X_i ＝0，一切反应速率均为0，那么这将是系统的一个平衡点。现在我们可能要问，如果我们从浓度X_i 的非零值开始，系统是否会向平衡点X_i ＝0变化？用现代的术语来说，X_i ＝0的态是不是一个吸引中心？李雅普诺夫函数使我们能够解决这一问题。考虑浓度的某个函数 ，而且假定在浓度有意义的整个区间函数值为正，而在X＝0时函数值为零 ⁽¹⁾ ，然后，我们考虑 如何随浓度X_i 的变化而改变。按照速率方程1.4，当浓度变化时，该函数对时间的导数为：

李雅普诺夫定理断言，如果 对于时间的导数 与 反号，也就是说，在我们的例子中 是负的，则平衡态将是一个吸引中心。这个条件的几何意义是明显的，示于图1.3中。对于孤立系统而言，热力学第二定律指出，有一个李雅普诺夫函数存在，而且对于这样的系统，热力学平衡态是非平衡态的吸引中心。这个重要的结论可以用一个简单的热传导问题来说明。温度T对于时间的改变由经典的傅里叶（Fourier）方程描述：

其中 是热导率（ ＞0）。可以很容易地找到有关这个问题的一个李雅普诺夫函数，例如我们可以取

可以直接证明，对于固定的边界条件，

当达到热平衡态时，李雅普诺夫函数Θ（T）确实减少到其最小值。反过来说，均匀的温度分布对于初始的非均匀分布来说是一个吸引中心。

图1.3　渐近稳定性概念

如果有一个扰动导致点P，系统将会响应，通过变化回到平衡点0。

普朗克十分正确地强调指出，热力学第二定律区分了自然界中各种类型的状态之间的差别，一些状态是另一些状态的吸引中心。不可逆性就是对这个吸引的表达（Planck，1930）。

显然，对自然的这样一种描述是与动力学的描述很不相同的：从两个不同的初始温度分布出发，最终总会达到同一个均匀的分布（见图1.4）。系统具有一个内禀的“遗忘”机制。这和力学的“世界线”的观点是多么不同啊！在世界线观点里，系统永远遵循一条给定的轨道。力学里有一个定理证明了两条轨道永远不会相交；至多只能渐近地（对于t→±∞）在奇异点相遇。

图1.4　趋向热平衡

不同的初始分布如T₁ ，T₂ 导致同一温度分布。

现在让我们简要地考虑，怎么才能用分子事件来描述不可逆过程。

不可逆过程的分子描述

首先我们要问，从所涉及的分子的角度来说，熵的增加意味着什么？为了作出回答，我们必须探讨熵的微观意义。玻耳兹曼第一个注意到，熵是分子无序性的量度，他的结论是，熵增加定律就是无序性增加的定律。让我们举一个简单的例子：考虑一个容器，被分为体积相等的两个部分（见图1.5）。N个分子被分为两组N₁ 和N₂ 可能的分配方式的数目P由简单的组成公式给出。

图1.5　分子在两室中的不同分布

（A）N＝N₁ ＝12，N₂ ＝0；（B）N₁ ＝N₂ ＝6. 经过足够长的时间之后，分布B代表最大概率的组态，类似于热力学平衡态。

其中N！＝N（N-1）（N-2）…3·2·1。量P叫做配容数（Landau，Lifschitz，1968）。

从N₁ 和N₂ 的任意初值开始，我们可以进行一个简单的实验，这就是埃伦费斯特夫妇（Paul and Tatiana，Ehrenfest）为了说明玻耳兹曼思想而提出的“游戏”（详见Eigen和Winkler，1975）。我们随机地选择粒子，并且约定被选中的粒子要改换它的居室。可以预期，在足够长的时间之后就会达到一个平衡的状况，这时除了小的涨落之外，两室中的分子数相等（N₁ ≈N₂ ≈N/2）。

显而易见，这种状况对应于P的最大值，而且在变化过程中P不断增加。因此，玻耳兹曼通过下面的关系式把配容数P和熵等同起来：

其中k是玻耳兹曼普适常数。这个关系式清楚地表明，熵的增加表达了分子无序性的增长，而分子无序性的增长是由配容数的增加来刻画的。在这样的变化过程中，初始条件“被忘记”了。如果在初态时一个室中的粒子数比另一室中的多，这个不对称性终将会被破坏。

如果我们把P和用配容数量度的一个态的“概率”结合起来，则熵的增加对应于趋向“最大概率”态的变化。稍后，我们还要回到这种解释上来。正是通过了不可逆性的分子解释，概率的概念才首次进入了理论物理学。这乃是现代物理史中决定性的一步。

我们还可以把这种概率的论点更推进一步，得出不可逆过程随时间而演化的定量表述。作为一个例子，让我们考虑著名的“随机游动”问题，它为布朗运动提供了一个理想化的但仍十分成功的模型。最简单的例子是一维的随机游动：一个分子，在固定的时间间隔迁移一步（见图1.6）。分子从原点出发，我们要求N步以后在点m处找到这个分子的概率。如果我们假定，分子向前走或向后走，其概率各为1/2，我们得到

就是说，要在N步后到达点m，必须有 步向右， 步向左。公式1.11给出这N步的不同走法序列的数目乘以N步的一个任意序列的总概率（详见Chandrasekhar，1943）。

图1.6　一维随机游动

把阶乘展开，我们得到与高斯分布相应的渐近公式

采用这样的记法： ，其中l是两个位置之间的距离，n是每单位时间的位移数。则这个结果可以写成

其中x＝ml。这就是与傅里叶方程（式1.6）在形式上全等（只是将 换成了D）的一维扩散方程的解。显然，这只是一个非常简单的例子。在第7章里，我们将考虑更为精巧的技术，以便从动力论中导出不可逆过程。不过在这里，我们可以提出一些基本的问题：在我们对物质世界描述的框架中，不可逆过程处在什么地位？它们和力学的关系是什么？

时间和动力学

经典的或量子的动力学所表达的基本物理定律，在时间上是对称的。热力学不可逆性只是附加在动力学上的某种近似。常常引用吉布斯给出的一个例子（Gibbs，1920）：如果我们把一滴黑墨水放到水里并搅拌一下，它就会呈灰色。这个过程好像是不可逆的，但是假使我们能跟随每个分子的话，我们就会看出，在微观世界里，系统保留了不均一性。不可逆性成了由观察者感官的不完善而造成的一种错觉。系统的确保留了不均一性，但是不均匀的规模却已经从初态的宏观尺度变到了终态的微观尺度。不可逆性是一种错觉的观点曾是很有影响的，许多科学家试图把这种错觉和数学方法（例如会导致不可逆过程的“粗粒”法）联系起来。另一些人怀着同样的目的，尝试过得出宏观观察的条件。但是，直到现在，所有这些企图都没有得出明确的结果。

很难想象，我们所观察到的不可逆过程，诸如黏滞、不稳定粒子的衰变等等，会是简单地由于知识的缺乏或观察的不周所造成的错觉。因为即使在简单的力学运动中，我们所知道的初始条件也带有某种近似性，随着时间的增长，对运动未来状态的预言就变得越来越困难。把热力学第二定律用于这样的系统，似乎没有什么意义。与热力学第二定律紧密相关的一些特性，如比热和可压缩性，对于由许多相互作用着的粒子所组成的气体来说是有意义的。但是，当用于简单的力学系统如行星系统时，便无意义了。因此，不可逆性和系统的动力学性质一定有某些本质的联系。

也考虑过一个相反的概念：力学也许就是不完善的；也许应该把它推广，以便包括不可逆过程。这种想法也很难维持，因为对于简单的动力学系统，无论是经典力学的预言，还是量子力学的预言，都已被非常好地证实了。只要提一下空间飞行的成功就够了，空间飞行要求非常精确地计算动力学的轨道。

近来，与所谓的测量问题（我们将在第7章再谈这个问题）有关的量子力学是否完备的问题一再被提出。甚至曾建议，为把测量的不可逆特点包括进来，必须给表达量子系统动力学的薛定谔方程加上一些新的项（见第3章）。

这里，我们恰好得到了对本书主题的明确表达。用哲学的语汇，我们可以把“静止”的动力学描述与存在联系起来；而把热力学的描述，以及它对不可逆性的强调，与演化联系起来。于是，本书的目的就是讨论存在的物理学和演化的物理学这两者之间的关系。

而在讨论这个关系之前，还是应该先叙述一下存在的物理学。为此，我们对经典力学和量子力学作了一个简短的概述，着重强调它们的基本概念以及它们当前的局限性。接着，我们讨论演化的物理学，其中有对包括自组织基本问题在内的现代热力学的一个简短介绍。

然后，我们想讨论中心问题：存在与演化之间的过渡。我们对物质世界所作的描述，虽然必定是不完全的，但在逻辑上是相关的。今天，这种描述能提供到什么程度呢？我们已经达到了知识的某种统一，还是科学基于互相矛盾的前提而被拆散成几部分？这样的问题将使我们对时间的作用有一个更加深刻的理解。科学的统一问题与时间的问题是如此紧密相连，以至我们无法抛开一个去研究另一个。

————————————————————

(1) 一般地说，李雅普诺夫函数也可以是负定的，但其一次导数必须是正定的（例如，参见方程4.28）。