第10章　不可逆性与时空结构 ⁽¹⁾

作为一个动力学原理的热力学第二定律

如我们在本书序言中已提到的，存在与演化、永恒与变化、必然与偶然之间的对立是哲学和科学中的一个古老问题。从牛顿起，物理学就设想自己的任务是要达到一种没有时间的实在性，在这个层次的实在性中没有什么真正的变化，只有初始状态的决定论的展开。相对论和量子力学带来了思想上的伟大革命，但基本上没有改变这个经典物理学的观点。在动力学中，无论是在经典的、量子的，还是在相对论的动力学中，时间只是一个外部的参量，它没有什么优惠的方向。在动力学中，没有任何东西能够区别过去和将来。熵是与状态相联系的“信息”，可以用下面的方式表示，例如（参见式7.16′）：

由于动力学的变化是幺正性的，因此在动力学的变化过程中熵保持不变。由于这一原因，我把动力学描述为存在的物理学。

与此相反，热力学是演化的物理学。热力学第二定律肯定了变化的实在性并引入了一个物理量（即熵），它赋予时间一个优惠方向，用爱丁顿的话来说，即“时间之矢”。熵区分过去与将来。热力学还提出了一个新的时间概念，即把时间看做是与系统相联系的一个内部变量。这就使我们能够谈及系统的某一状态，该状态与另一状态相比具有较大或较小的“年龄”，因为它们各自有不同的熵值。这种把时间看做是一种与物理系统相联系的内部属性的概念，在对该系统的传统的动力学描述中当然是没有任何位置的。

面对着动力学描述与热力学第二定律表述之间的令人烦恼的矛盾，物理学家一般都是把动力学描述作为基础的描述而接受，而把第二定律看做是从叠加在动力学上的某些近似过程中得出的（参见第7章的“引言”）。有些人甚至把第二定律看做在性质上一定是主观的或拟人的。例如，马克斯·玻恩断言：“不可逆性是把无知明显地引入到基础（动力学）定律中去的结果”，又如维格纳要用我们对该系统的“可实用化的知识”去定义熵。

但是，如本书中所指出的，物理学和化学的最近发展使得越来越难以维持对第二定律中表达出的不可逆性的这种看法。假如不可逆性只是宏观现象（例如由于摩擦和热传导带来的能量耗散等）的一种性质，可能有的人会对上述的那种看法表示满意。但今天已经发现，在从生物学到宇宙学这样宽广领域里的基本过程中，不可逆性都起着一种重要的“建设性”的作用（参见本书序言）。在远离平衡情形自组织（所谓耗散结构）的可能性，对不可逆性在整个宇宙演进中所起作用的认识，对能适用于像引力塌陷那样基本过程的一种第二定律的尝试性表述，所有这些都是物理学中意想不到的进展，它们似乎要说明：第二定律在性质上可能要比原来想象的更为基本。

在粒子物理学中，不可逆性同样起着比至今明确认识到的要更为基本的作用（参见第3章“不稳定粒子的衰变”一节）。几乎所有已知的基本粒子都是不稳定的，它们按指数律衰变着。当然，人们仍在力图把这些现象纳入动力学变化的幺正模式中去。但也有越来越多的人认识到，人们习惯使用的这种动力学变化的幺正模式可能终将被证明是不合适的（Hawking，1982）。

我们已经说过（参见第7章“引言”），这些原因提示我们采取和传统方法完全不同的方法去研究不可逆性的问题。我们把熵增加定律和隐含的“时间之矢”的存在作为自然界的基本事实。这样，一种令人满意的不可逆性理论，其任务就是要研究由于把第二定律作为一个基本原理而包括在内所引起的动力学概念结构中的基本变化。

也许用历史上的一件类似事件，能说清楚我们探讨不可逆性问题的方法与传统方法之间在观点上的根本区别。20世纪初，在爱因斯坦的理论发表之前，有过几种试图解释迈克耳孙-莫雷实验否定结果（即光速c这个普适常数与参考系的运动无关）的理论。这些理论没有改变经典的牛顿时空观，保留了存在着一个绝对参考系（以太）的观念，而要把c是常数解释为：因测量杆在相对于以太运动时的实际收缩所得到的一种表面上的效果。一些极好的理论被设想出来，旨在证明这种收缩怎样由于组成测量杆的荷电粒子间的电磁力而得以发生。另一方面，爱因斯坦却把c是普适常数作为自然界的一个基本事实，并研究这个假定所暗示的我们关于空间、时间和动力学概念的基本修正。在类似的意义上，我们并非要把第二定律解释成由于把某种形式的近似或“无知”引入动力学而得到的一个表观的结果，而是把第二定律假定为是一个基本的物理事实，并探讨这个假定所暗示的我们关于空间、时间和动力学概念的改变。这个计划还仅仅是开始，在把第二定律概括为一个基本原理所隐含的内容完全揭示出来之前，还需做大量的工作。但是，如第7章至第9章所述，已经可以看到，把第二定律作为一个基本原理将对我们关于空间、时间和动力学的概念产生影响深远的后果，并最终对我们估价人类在自然中的地位和解决关于存在与演化的古老哲学问题产生深远的影响。

如第7章至第9章所述，新的概念必须能够把第二定律表达成动力学的一个基本假定。这些概念包括内部时间T和微观熵算符。因为这些概念已在第8章中引入，所以在本章中对这样得出的新概念框架给出一个总看法是有益的。由于本章经常提到前面所介绍的观念，因此几乎可以独立地来阅读。我们希望它将说明引入不可逆性的后果对我们在最基本的层次上描述自然，即时-空连续统来说有多么重要。

首先要说明的是：为了能把第二定律当做动力学的一个基本假定，人们显然要求存在一种适当的“机制”，以便打破一般动力学描述的时间反演不变性。但是，并非所有形式的对时间反演不变性的破坏均能表达第二定律的内容。例如，人们相信，引起K介子衰变的超弱相互作用是违反时间反演不变性的，但它并不导致第二定律，因为仍然能把它纳入哈密顿模式或幺正模式的动力学变化中去。

我们寻找的对称破缺机制必须是这样的，它使得用一个群描述的幺正变化成为用一个半群描述的非幺正变化，人们可以把一个李雅普诺夫函数或与之等价的H定理（参见第7章“庞加莱-米斯拉定理”一节）和这个半群联系起来。要寻找的对称破缺还应是一种内在形式的对称破缺，意思是说它不应要求存在着新的相互作用。它还应当是普适的，就是说这种形式的对称破缺应当在一切动力学理论中（无论是经典力学、量子力学或相对论）都是可能的（虽然它并不一定对所有的系统都成立，因为在自然界中既有可逆现象又有不可逆现象）。

假如由于某种原因，在动力学描述中并不允许一切态或初始条件都能在物理上实现，而是只允许态的一个有限制的集合能在物理上得到实现，而这些态在某个适当的意义上是时间非对称的，那么，上述那样一种普遍和内在的对称破缺形式就可能出现。我们将在下一节再回到这个问题上来。这里让我们引述波普（Popper，1956）给出的一个例子，这个例子讨论的是一个给出了单方向过程因而也就是给出了时间之矢的系统：

假设有一部影片，拍摄的是一片大的水面，起初该水面是平静的，然后落入了一块石头。把该影片倒过来放映就会看到一些逐渐收缩的同心圆状的波，其振幅逐渐增大。而且紧接着最高的波峰之后，会看到水面无扰动的一个圆形区域逐渐向圆心收拢。不能把这看做是一个可能的经典过程。假如这个过程可能发生，那么它将需要巨大数目的远程相干的波的发生器，而且为了能说明问题，这些波的相互协调必须在影片中表现出这些波相互协调得就像是起源于一个中心。但是，当我们试着倒映这个修改过的影片时，又恰恰产生同样的困难。

于是，简短地说，这种对称破缺形式的概念是：所考虑的对称是由于物理上所允许的态的非对称性质而打破的。我们在把第二定律表述为一个动力学原理时要追寻的正是这种对称破缺的概念。在给出数学表述之前，先让我们指出，这种内在对称破缺的概念在当前对基本粒子物理学所作的量子场论研究中同样起着重要的作用，在那里，它被称做自发对称破缺机制。

还有人从一个动力学定律出发，该定律在某些对称群中是不变量，但在其物理体现中，这个对称被打破了，因为真空态（由它可产生出所有其他物理态）并不具有该动力学定律的初始对称性。

当然，内部对称破缺概念的物理目标和数学表述，在我们把这个概念应用于基本粒子物理学时和利用它来表述第二定律时，存在着重大的区别。区别之一是，基本粒子物理学的自发对称破缺机制仍然由一个幺正群来描述物理的时间变化，而我们想要的对称破缺能导致由一个非幺正半群来描述的物理变化，这个非幺正半群能够表述第二定律的内容。现在让我们更详细地叙述我们怎样能够实现这一思想。

架设动力学与热力学间的桥梁

在我们能用一种内在形式的（时间的两个维度之间的）对称破缺去表述第二定律之前，先让我们概括一下经典动力学的某些基本概念。

如我们在第2章中所见，有两种描述经典系统动力学变化的方法。一种是用相点沿相空间轨道运动来描述（就是说，利用哈密顿方程）。我们用Γ代表相空间，S_t 代表把相点ω映射为ω_t 的点变换（见图10.1）。

图10.1　相空间Γ中对应于ω→ω_t （ω_t ＝S_t ω）的相轨道

另一种描述可以叫做吉布斯-爱因斯坦描述，它引入相空间上的分布函数ρ。我们已经看到，相空间中的流动是体积（或测度）守恒的。分布函数对时间的变化用施加幺正算符U_t （参见2.12′，在那里U_t ＝e^-itLt ）来给出：

算符U_t 是一个幺正算符（幺正算符如在量子力学中那样定义，参见式3.11和3.12′）。一个明显的区别是U_t 作用在相空间中的函数上。但除此之外，经典力学的算符可以被约化为点变换。这些则只是“表观”的算符。实际上我们可以把式10.1写作：

作为一个例子，读者可以考虑一个自由粒子（H＝P² /2m）。于是，刘维方程的解（参见式2.13）是：

其解释是很明显的：该运动保持动量p不变，而坐标q移动一个量 。一般性质（式10.2）可用同样的方法来验证。这个幺正算符U_t 导出一个动力学群（参见第9章）：

现在我们照着玻耳兹曼的方法去作（参见第7章“玻耳兹曼动力论”一节）。为了得到不可逆性，我们必须能够把诸如马尔可夫过程（参见第6章）那样的一个概率论的描述和动力学联系起来。这里，基本的量是转移频率。因为我们现在是在处理相空间ω，所以我们必须考虑量

它给出在时间t内从点ω到某个域Δ的转移概率。此量必须是0和1之间的一个正数。这里我们立即得到与轨道理论的一个基本区别。

假如轨道从ω₀ 至ω_t ，那么显然有

这是一种完全简并的情形，因为在一个真正的马尔可夫链中，至少有某些转移概率既不是0也不是1，否则就会回到决定论的描述。现在，对不可逆性问题可能有两种态度：或者，概率最终将不得不被追溯到我们对初始条件（因而还对轨道）的无知；或者，至少对某些类的动力学系统，存在着另一种描述，不同于用轨道所作的描述。因为轨道对应着一个点变换，所以这另一种描述在我们将要讨论的意义上必须是一种非局域的描述。

图10.2　转移概率

P（t，ω，Δ）＝1，P（t，ω，Δ′）＝0

把这种情形和关于是否存在着“隐变量”的著名争论比较一下是使人感兴趣的。如我们在第3章中所知，量子力学的波函数代表一个概率幅。究竟是因为这个概率的真确还是由于我们的无知，使得我们平均出某些隐变量来？现在这个矛盾看来已经被解决了。实验已经表明（Aspect et al，1982；Röhrlich，1983），量子力学中的概率是不可约化的。这里，问题有点相似：不可逆性究竟是无知的结果，还是一种新的深藏在时空结构中的非局域性的表现？

在我们能够回答这个问题之前，先让我们概括一下马尔可夫链的某些形式的特性。假设分布函数 按照一个马尔可夫链在相空间中变化。和动力学中的情况（参见式10.1）完全相同，我们可以写出

U_t 与W_t 之间的基本区别是：一个动力学过程对过去和未来不作区分，而一个马尔可夫链是“面向时间”的，它描述向平衡态的趋近方式（例如在第1章所述的布朗运动问题）。

因此，我们现在得到的不是群的性质（式10.4），而是半群的性质

此外，如果满足 关系式10.7，我们可以和在第7章中讨论玻耳兹曼模型时完全相同地把它与一个李雅普诺夫函数（或一个量 ）联系起来。当然，我们也可以设想面向过去的马尔可夫链，它描述一些在t→-∞（而不是t→+∞）时趋于平衡态的过程。这样一种面向过去的半群将满足半群关系式

现在是对于所有负的时间成立

那么，怎样在动力学与概率之间架起一座桥来？一种可能就是问一问我们是否能通过某个变换Λ把动力学的描述与概率论的描述联系起来。换句话说，对于一个按经典力学变化（因而也满足刘维方程）的分布函数ρ，将有一个按马尔可夫链变化的分布函数 与之对应：

这恰是我们在第8章所作过的。在那里我们已经注意到，这一变换比起简单坐标变化来要基本得多，因此不能用幺正算符来表达。如果我们接受式10.10，我们便得到如下的示意图：

该图暗示U_t 与W_t 之间的一种值得注意的“互绞”关系。

事实上，因为

我们有与ρ₀ 无关的

我们有

如果Λ有一个逆，那么式10.12可以被写成一个类似的式子（参见式3.13，但须记住Λ是非幺正的）

因此架设动力学与概率之间的桥梁时我们所面临的中心问题就是构造Λ。但是我们已经看到，U_t 对应着一个局域描述（用一个点变换所作的描述，参见式8.2），而W_t 对应着一个非局域变换，因此，Λ必须暗示出某些非局域性的因素。这里运动不稳定性（或弱稳定性，参见第2章）起着基本的作用。正是对于这样的系统，我们将真的能够构造出动力学的非局域描述，因此还能得出Λ的一个显式构造（参见下节）。

当然，动力学变化U_t 的时间可逆性意味着，在存在着Λ（它对于t≥0的情形产生一个熵增加半群的变化W_t ）的同时，一定还存在着另一个变换Λ′，对于此变换，下面的半群

是在相反的时间方向上的一个熵增加变化。但是，重要的是必须用不同的范围把这两个变换Λ与Λ′区分开。这使我们能把第二定律表述为一个选择原则。按照这个原则，这两个变换中只有一个变换给出可在物理上实现的态，以及它们由相应半群所制约的变化。

概括起来说，第二定律现在被表述为两句话：第一，它断言存在着对称破缺变换Λ和Λ′，它们导出两个不同的熵增加半群W_t 和W′_t ，对应于两个时间方向。第二，它断言存在着一个选择原则，它是由动力学繁衍出来的。按照这个原则，这两个对称破缺变换中只有一个给出物理上可以实现的态以及物理上观察到的变化。

引入变换算符Λ的系统可以叫做“内在随机”的系统。对于这样的系统，概率得到与任何“隐变量”无关的内在意义。除此之外，如果选择原则也有效，这样的系统可以称为内在不可逆的系统。

我们将要对第二定律的这一表述所蕴含的动力学条件作更为详细的讨论。这里我们只提一下：只有当动力学运动具有高度不稳定性或对初始条件的敏感性（参见第7章“新的并协性”一节）时，带有上述性质的对称破缺变换Λ才有可能存在。说得更精确一点，就是，混合不稳定性是Λ存在的必要条件，科尔莫戈罗夫流（即K流，参见第8章“熵算符的构成和变换理论：面包师变换”一节）条件所隐含的更强的不稳定性是Λ存在的充分条件。

且不深入到K流的数学定义中去，让我们指出，这样的动力学系统有着重要的性质：即在每一相点处都有两个（比整个相空间的维数低的）流形，一个随着t的增加在动力学运动下逐渐收缩，另一个随着t逐渐扩张。这个收缩流形与扩张流形的思想在面包师系统的情形中得到了最好的说明。面包师系统也是K系统的最简单的数学例子。作为图8.1中所示的面包师变换的结果，一条竖直的线将逐渐收缩，在连续应用面包师变换之后，变成越来越短的竖直线（所谓“收缩”纤维）；而一条水平的线将在每次应用面包师变换后加长一倍（所谓“膨胀”纤维）。

如果收缩流形和扩张流形是存在的，那么它们显然是时间非对称的客体。收缩流形的运动在某种意义上像是一个单个的单元指向未来，它的所有的点都指向未来的同一结局，但是当我们回过头来逐渐向过去看去，它们却具有发散的历史。扩张流形则正好相反，它上面的点有着各不相同的未来行为，但当我们逐渐向过去看时，它们有着逐渐会聚的历史。

图10.3　面包师变换——收缩纤维和膨胀纤维

正是这种时间非对称客体的存在使人们能够去构造对称破缺变换Λ（或Λ′），方法是给扩张流形和收缩流形赋予非等价的作用。事实上可以证明，选择Λ（它给出t≥0时的熵增加变化）作为物理上可实现的对称破缺变换，这意味着把集中到收缩流形上的（奇异）分布函数排除在物理上可实现的态的集合之外（参见本章“从过去到将来”一节）。另一方面，如果对称破缺是通过Λ′发生的，那么必须把与扩张流形相联系的态看做是物理上不可实现的态。

当然，什么是物理上可实现的，什么不是，这是个经验问题。我们表述第二定律所得到的，就是把第二定律以及有关的“时间之矢”与制备某些类型初始条件的局限性（从基本层次上看）联系起来。令人感兴趣的是，在从物理上有意义的动力学系统模型中，被对称破缺变换Λ排除的那些类型的初始条件，正是人们从来没有在直觉上认为是可实现的那些。

例如，我们可以想象二维的洛伦兹气体。该模型包括有固定配置的一些圆盘（散射器），以及一些轻的点粒子，它们彼此之间没有相互作用，只是在这些散射器之间以不变的速度自由运动，且当达到某散射器时被弹性地反射。因为这些轻点粒子间的相互作用被忽略，所以研究一束这样的粒子的行为就可以简化为研究有一些固定的凸散射器和一个轻粒子的系统在相空间上分布函数的运动。大家知道，这个系统就是一个K流。

与这个系统相应的K划分的元胞或收缩纤维可以按如下的方法得到（参见图10.4）。令ω₀ 是相空间中的一个初始点，ω_t 是一段时间t之后的点。如果我们让该粒子在ω_t 附近有不同的方向（而不是空间位置），并且倒着追溯该运动至t＝0，以决定该粒子可能藉以出发的初始相点，那么我们就得到包含着给定点ω₀ 的曲线Σ_t 。至少在考虑ω₀ 的一个适当小的邻域时，曲线Σ_t 是平滑的。现在，对于不同的t值（但对相同的初始点），可以按上述方法构造出Σ_t 来。

图10.4

该系统的一个典型的收缩流型是极限曲线Σ_∞ ，即曲线Σ_t 族当t→+∞时的极限。换句话说，集中在这样一条纤维上的一个（奇异）分布函数所代表的粒子束，其速度（的方向）和位置，有如此密切的内在关系，使得在与固定散射器反复碰撞之后，在无限的未来，它们全都会聚到同一位置上。因此，它们之间的关系类似于在一个内向的波前中所得到的那种，这个波前在无限远的未来将会聚到一个点上，导出t≥0时熵增加的对称破缺变换Λ使我们能够将这种内向相关与在外向波前中出现的在时间上倒过来的相关区别开来，并能够把前者作为不能在物理上实现的相关而排除。

可以给出许多其他例子。在附录B中，我们研究在所有量子力学中都讲到的势散射问题。除了平面波外，我们还有外向的或内向的球面波。一般地讲，在物理直觉的基础上，只有外向的球面波能被观察到。我们将证明，我们把第二定律表述为一个选择原则，这确实能使我们摈除内向的球面波。

讲到这里，让我们回忆一下爱因斯坦和里兹的著名讨论（Einstein，Ritz，1909）是有益的。里兹相信，第二定律是某个原理的表达方式，这个原理把动力学方程的某些解，例如电动力学中的超前波，从在自然界中那些在物理上被实现了的解中排除出去。另一方面，爱因斯坦却坚持，熵增加定律只具有从较小可能（命定）的态变到较大可能的态的统计意义。此外，在爱因斯坦看来，引入概率的思想意味着理论描述的不完善。

要证明里兹所想象的那种绝对排斥原则怎么能导出对熵增加的概率解释是很困难的，正是这个困难阻碍了里兹与爱因斯坦各自观点间的调和。如上节所讨论的，我们对第二定律的表述包括了里兹的观点，即第二定律在基本的层次上表达了可在物理上实现的态的极限。按照这个说法，人们看到爱因斯坦和里兹这两种观点并非是不可调和的，它们都只是第二定律的不完全的和部分的陈述。这两种观点间缺少的联系就是一种内在形式的对称破缺思想，它实际上表达了一个极限。但是，我们在下面会看到，这个表述也包括了爱因斯坦的观点，因为它暗示了从决定论的动力学变化到概率论的过程有一条通路，为此，变化果真从有序的态向较无序的态发展。人们由此看到，爱因斯坦观点和里兹观点并不像看上去那样是不可调和的，它们其实就是第二定律两个方面的不完全和部分的叙述。这两种观点间所缺少的联系是一种内在形式的对称破缺的思想，它一方面表达了对可在物理上实现的态的限制，另一方面把决定论动力学导向概率过程。

让我们强调指出，我们的观点完全不同于加德纳在他那很好的书《左右手都擅长的宇宙》（Gardner，1979）中所表达的那种很流行的观点。他写道：“某些事件只向一个方向进行，并不是因为它们不会向另一个方向进行，而是因为它们几乎不可能倒着进行。”这是和我们的表述相矛盾的，我们认为，由于自然界的某些态被严格地禁止，即不会在自然界中发现，也不会由我们制备出来，因此，我们能把被允许的态与一个概率测度联系起来。

内部时间

为了说明我们确实能用变换Λ（参见式10.10）从动力学描述过渡到概率描述，我们首先要更详细地讨论第8章已引入的内部时间（参见式8.22）。的确很明显，态的时间非对称性质甚至无法用通常的“外部”时间参量t去表达。为此目的，我们需要一个新的时间概念，使我们能够谈到每一态的（平均）“年龄”。这样的时间概念是由内部时间算符T给出的。代替式8.22，我们也可以写出幺正算符U_t ＝（e^-Lt ）和T之间的如下关系：

这可以很容易地得到验证。这个关系式对于像在每单位时间间隔进行一次面包师变换那样的离散映射特别有用。

现在我们要讨论算符时间T的物理意义，并且证明它是一个非局域算符，它导出一种新的经典力学描述，适用于强不稳定系统。

我们再次转到上述的面包师变换图示。把这个变换称做B，Bⁿ 表示B重复n次（n是正的或负的整数）。Bⁿ 可用来建立一个系统的动力学变化的模型，该变化发生在单位时间间隔上。与Bⁿ 对应的幺正算符U_n 是（参见式10.2）：

T的正交本征函数的一个完备集可以按下面的办法来构造：令χ₀ 是这样一个函数，它假定正方形左半的值为-1，右半的值为+1。定义

从χ₀ 开始，经过n次面包师变换（n为正的或负的整数）后，我们得到χ_n 。若干个这样的函数示于图10.5中。从这个定义可以推出，χ_n 是T算符对应于“年龄”n的一个本征函数：

此式的证明在附录A中给出。

图10.5　在面包师变换的情形中内部时间算符的本征函数

取所有可能的有限的χ_n 之积，就得到T的本征函数的一个完备集（参见附录A）。当m是出现在积中的χ_n 的指数n的最大值时，这样的积属于T的本征值m。例如，χ_-5 χ₃ ，χ_-1 χ₂ χ₃ 和χ₃ 等等均是对应于本征值+3的T的本征向量。我们把本征向量T的一个完备集记作Φ_n,i ，指数n是T的本征值的标号，指数i是附加简并的标号（我们将常常略去这第二个指数i）。本征函数Φ_n,i 连同常数函数t组成正交函数的一个完备集。于是，每个分布函数ρ都可以用本征函数Φ_n 展开：

我们将用记号ρ代表ρ的超过均匀平衡分布的剩余部分

假设分布函数的年龄为零且对应于χ₀

于是我们知道系统位于相空间的右半部分（参见图10.5），但它的位置究竟在哪里，我们没有更进一步的信息。反过来，如果我们知道它的准确位置，那么分布函数就是一个δ函数，且有

于是，所有的年龄都以相等的权重出现在式10.22中。因此我们看到，在用相点描述和用对应于不同内部年龄的“划分”描述这两者之间，有一种“并协性”（在量子力学的意义上）。内部年龄为我们提供了一个新的对系统的非局域描述。

如果存在着某个内部时间算符，我们就可以对每个态ρ赋予一个平均“年龄”〈T〉_ρ ，其关系由下式给出

利用表达式10.20以及函数φ_n 的正交归一性，得到

利用式10.15很容易验证有：

也就是，与某个态ρ相联系的平均年龄，其增长与外部时间或钟表时间t的流过保持着同步 ⁽²⁾ 。

但是内部时间却十分不同于我们从钟表上读出的外部时间。它更紧密地对应于我们赋予一个人的年龄。这个判断不是由孤立取出的他身体的任一部分所决定的，而是对应于一个平均值，对应于一个包含所有部分的全局性的判断。这个内部时间的概念还很接近于一些地理学家最近提出的思想，他们已经引入了“年代地理学”的概念（Parks，Thrift，1980）。当我们看一个城镇的结构时，或一个风景时，我们看到的是一些不同时代的因素共存且相互作用着。巴西利亚或庞贝 ⁽³⁾ 对应着某个完全确定的内部年龄，有点像面包师变换中的一个基本划分。相反，现代罗马的建筑物建于完全不同的时代，现代罗马对应着一个平均年龄，恰像一个任意的划分可以分解成对应于不同内部时间的一些划分那样。

在量子理论中，局域性是通过普朗克常量h引入的（参见附录D）。令人非常惊奇的是，导致内部时间存在的运动不稳定性是经典力学中已经得出的局域性的又一个源泉（还见本章“熵垒”一节）。这一点具有意义深远的后果，因为我们现在可以容易地构造出第8章和本章上一节所引入的对称破缺变换Λ，而且能够进行从动力学（即存在的物理学）到热力学（即演化的物理学）的过渡。

从过去到将来

一旦我们得到了内部时间，那么构造一个对称破缺变换算符Λ，使它从幺正群U_t 导出当t→+∞时达到平衡态的半群W_t ，就的确是件很容易的事了。我们将看到，为此目的我们只需引入内部时间的一个递减函数Λ（T）。我们已经看到（参见式10.18）

因此，

T的递减函数是指

此外，我们还让Λ（T）有一个厄米算符（参见式8.28）。让我们考虑李雅普诺夫函数Ω （参见式7.16和式8.4）。

与式8.1和式8.4一致。

让我们比较一下时间0时的 与时间1（即一次面包师交换之后）时的 ，我们有（参见式10.19）

和

同理有（参见式10.17）

因此，从式10.29我们得到

对比一下原来保持常量的Ω_ρ 所得的结果，我们看到用变换后的分布函数所定义的 量是单调递减的。如果要求 是一个真正的概率分布（量子论中的一个幺正算符），那么还可以使条件10.28更严格一些。如在别处（参见附录A）已证明的，这意味着

同时有

和

让我们验证一下，Λ的确把保测的动力学群U_t 变换成一个收缩半群，显然，U_t 是保测的，因为（对于t＝m）

相反（参见式10.13），

作为式10.28的结果，随着时间的前进，与φ_n 对应的面积在收缩。取 ⁽⁴⁾

可以满足不等式10.28和10.35。

现在我们来说明变换后的态 的物理意义（参见式10.10）。在给定参数时刻t，ρ和 一般都是这样组成的，其中既有来自过去的贡献，也有来自将来的贡献，而且这里所谓过去和将来都是就内部时间T而言的。但是，在ρ中，将来与过去起着对称的作用，而在 中就不再是这样了。这里，将来态的贡献受到“缓冲”。现在中包含着来自过去的贡献与来自“最近”将来的贡献。这一点和决定论的系统不同，在那里，现在既意味着过去，也意味着将来。令λ_n 表示n的一个函数（参见图10.6）。利用式10.38的形式，过去和将来之间的过渡层具有特征时间τ_c 的量级。只有在τ_c →0的情形，我们才得到从过去到将来的一个锐的过渡（参见图10.7）。

图10.6　过去（n→-∞）与将来（n→+∞）之间的过渡

图10.7　在τ_c →0的极限情形，过去（n→-∞）与将来（n→+∞）之间的过渡

我们看到，这种对时间的描述与传统的时间表示相比发生了多么剧烈的变化。在传统的表示中，人们相信时间与一条从遥远过去（t→-∞）延伸到遥远未来（t→+∞）的直线同构（参见图10.8）。这样一来，现在就对应于一个单个的点，它把过去和将来隔开。可以说，现在从不知道的地方出现，又在不知道的地方消失。而且，既然现在被约化成一个点，它就无限地靠近过去和将来。在这种表示中，过去、现在和将来之间没有任何距离。与此相反，在我们的表示中，过去和将来被一个由特征时间τ_c 量度的间隔所隔开，我们可以谈现在的“持续宽度”。

图10.8　时间的传统表示

令人感兴趣的是，许多哲学家，如柏格森（Bergson，1970）、怀特海（Whitehead，1969），早就强调过需要赋予现在这样一种不可压缩的持续宽度。把第二定律作为一个动力学原理使用，正好导致这个结果，就像它还导出一个新的空间非局域性一样（参见本章“不可逆性和非局域性”一节）。

熵　　垒

在前几节里我们已经说明，像面包师变换所描述的那种高度不稳定的动力学系统确实是“内在随机”的系统。利用算符Λ可以把它们的变化映射成一个概率过程。但是，用一个当n→-∞时，趋于零的λ_n 序列，我们同样还能构造出一个变换Λ′，并且得到一个在t→-∞时达到平衡态的马尔可夫链。因此我们现在必须转到我们任务的第二部分，并且从内在随机的系统过渡到内在不可逆的系统。这两个半群之间的区别很明显地来源于一个限制，它可能存在于我们能在自然界中制备或观察的那样一类物质态中。

我们已在前面引入了收缩纤维与膨胀纤维的定义。现在我们需要证明，Λ变换的确在收缩纤维与膨胀纤维之间引入了巨大差别。反过来说，我们是把收缩纤维还是把膨胀纤维选作可能的初始条件，这决定着我们保留哪个半群。膨胀纤维对应着分布

利用方程φ_n 的展开式（参见式10.26），我们有

现在看一下图10.6便可知道，只要涉及对应于负间隔时间的划分（如，χ_-2 ，χ_-1 ，…），就会出现带有交替正负号的竖条。因此，

现在我们写出ρ_d 的Λ变换。利用式10.41，我们有

和式10.27相比，当数λ_n 这样地选择，使得有 ⁽⁵⁾

时，式10.42不再是一个奇异函数，而是一个规则函数。因为 是一个规则函数，我们便可以把它插入到一个如式10.29的李雅普诺夫函数（或 量）的表达式中去。相反，如果我们以同样的方法去处理收缩纤维，我们便能验证 仍是一个奇异函数，因而式10.29是发散的。

假如我们选择Λ′，使它导致面向未来的半群，我们就要保留收缩纤维而摈弃膨胀纤维。我们已经强调过，熵为我们提供了一个选择原则。这个选择原则是一个新的原则，它不能从动力学推演出来，它限制着能被观察或制备的一类函数。这个选择原则是被动力学繁殖出来的（非常类似于量子论中的泡利不相容原理）。事实上，一个膨胀纤维（或收缩纤维），对于一切时间，都保持是一个膨胀纤维（或收缩纤维）。反过来说，我们可以指望，第二定律只对于这样一些系统成立，即那里存在着不允许时间反演的态。

我们为表述我们的选择原则，将要选择如式10.39的奇异函数，初看起来，这是令人奇怪的。但是，即使我们考虑接近于收缩纤维的规则分布，相应的“信息”（它的带有相反符号的熵）也将会变大。我们可以预料，制备这个态会越来越困难。我们看到，对于不稳定系统，在初始条件与由一个李雅普诺夫函数（它通过Λ而与系统的动力学有关）所测量的相应“信息”之间出现了某种关系。

此外，因为“信息”是通过对称破缺变换Λ引入的，所以对于某个态和对于时间（或速度）反演相对应的态，其值是不同的，这一点并不奇怪。这已经在第7章中（参见图7.3）被证明了。

不可逆性和非局域性

我们已在前面强调指出，利用Λ变换我们把过去和量级为τ₀ 的“厚度”联系起来，因而引入了时间的“非局域性”。同样，Λ还引入了相空间的非局域性。我们首先考虑一个简单的例子。假设（参见式10.30和图10.5）

这样的分布函数在χ_n ＝-1的那部分相空间中等于零，而在χ_n ＝+1的部分不为零。现在考虑下面的“物理”分布（参见式10.38）

现在 在整个相空间中均不为零（因为0≤λ_n ≤1）。同样，如果初始分布是集中于相空间中某点ω₀ 附近的一个δ函数，则Λδ表示一个非局域化的系综。可以容易地验证，在图10.7代表的那种特殊情形，它对应于一条通过点ω₀ 的收缩纤维（Misra，Prigogine，1983）。向概率过程的过渡，同时引入空间的和时间的非局域化。在前面我们讲过空间的时间作用概念，现在还要回到这个问题上来，因为空间的非局域化将通过特征时间τ_c 来量度。

对δ函数在动力学群U_t 之下和半群W_t 之下的变化进化比较，也是很令人感兴趣的。在动力学群之下，一个δ函数在时间上保持是δ函数；而半群却导致向概率的过渡，并打破了轨道的局域化。

图10.9　相点在动力学群U_t 下的变化与在马尔可夫半群W_t 的变化之比较

再次利用表达式10.38，很容易看到，经过一段时间之后，一条轨道的概念将消失，这段时间具有如下的量级

现在让我们更细致地考虑一下特征时间τ_c 的意义，这个τ_c 我们已经用来描述过时间和空间这两方面的非局域性。

我们已看到，在像K流（面包师变换是其最简单的例子）那样的不稳定系统中，每个点都位于一条收缩纤维与一条膨胀纤维的交点处。这个膨胀可用所谓李雅普诺夫指数来量度：相空间中两点间的距离δ_L 将按下式随时间而变化

1/τ_L 是“平均”李雅普诺夫指数。式10.47是对应于一个不稳定鞍点的式4.52的一种特殊情形：色散方程的两个根均是实数，且有相反的符号。正根对应于一个膨胀，负根对应于一个收缩。

因此我们可以预料，在上面引入的特征时间τ_c 与李雅普诺夫指数之间应当有密切的关联

实际上τ_L 度量的是扫过相空间的速率。显然，这个速率还度量分布函数趋向平衡态的速率。这个论证还可以做得更精确一点（Goldstein，1981）。但我们在此不作更详细的讨论了。现在我们更清楚地看到我们通过构造Λ所实现的非幺正变换的意义：“机械的”时间τ_L 可以被理解为分布 的弛豫时间。

玻耳兹曼-格拉德极限

应当特别指出，在某些特殊的极限情形下（如稀薄气体），研究不可逆性的传统方法得到恢复。所说的情形一般具有无限长的李雅谱诺夫时间τ_L 或弛豫时间τ_c 。说得更精确一点，引入这样的一个极限情形，当t→∞，且τ_c →∞时，有

在这种极限情形下，式10.49的幂得到保留，但含有“未被补偿”的幂（1/τ_c ）ⁿ ，即没有乘以t的适当幂的表达式被略去了。这种极限情形在文献中常被称做玻耳兹曼-格拉德极限（它的明确的表述，请参见Prigogine，1962）。在这种情形下，图10.6中的过渡层非常大，而且对任何固定的n，有

由于这个原因，对引入一个新的具有破缺的时间对称性的分布 来描述不可逆过程的这种需要被忽视了很长时间，在经典动力论（参见第7章）中，人们试图用满足刘维方程的分布函数ρ得到一个 定理。显然这是一个不协调的步骤。只有时间对称破缺的分布函数 才能导出与第二定律相联系的概率过程。

向宏观表述的过渡

我们在本章中用来讨论不可逆性的概率框架是很一般的。还可以把它扩展到不是K流的系统，但是要能够定义如碰撞算符（参见式8.34和附录B）那样的量。我们仍然可以引入微观熵算符M和非幺正变换算符Λ。假设M和Λ的本征函数是φ_n （它们可以是本征分布），我们有 ⁽⁶⁾ （参见式10.27和式10.29）

在那里，我们照旧定义一个内部时间T，其本征函数是M的本征函数，其本征值对应于动力学时间t（我们假定这些本征值是离散的，像在面包师变换中那样）。于是我们恢复了如下关系（参见式10.26）：

不过这里有点不同：我们不再能指望T一般地满足式8.22或式10.15。这种情形是对K流而言的，因为动力学算符U_n 只是简单地移动划分（参见式10.17）。现在。情形可能变得复杂得多。经过一个单位时间，一个划分可能被传到其他几个划分的组合中去。结果，平均时间〈T〉不再与外部时间t保持同步。

一个给定的划分甚至有可能被移到一些划分中去，而其中的某些划分属于过去（φ_n 趋近于φ_k 的某个叠加，其中某些k大于n，而另一些小于n）。

对于更复杂的系统，这恰是我们所需要的：破缺变换把该系统“均匀地”向未来移动。不过，让我们想想这样的一段音乐，在我们听这段音乐时发现在它的演奏过程中，过去已经出现过的一些片断与另一些新片断同时出现。

这个例子表明隐藏在如内部时间这样的概念中的新结构有非同一般的价值，内部时间是我们为描述不可逆性的微观意义而引入的。

再考虑一下在这新图景下第二定律的宏观表示，将是很有启发性的（参见式1.2或式1.3）。为了进到宏观层次，我们略去内部时间中的涨落，于是我们可以把熵S看做是平均时间〈T〉的函数。这时对于孤立系统，第二定律指出

从这个宏观表述可以推测：我们确实有一个两个正量的乘积，前一个量表达出熵是内部时间的递增函数（而 量是一个递减函数），后一个量表达出，平均来讲，内部时间向着和动力学时间相同的方向流动。

让我们以几个一般的更带有认识论色彩的说明来结束本章。

时空的新结构

正如我们在本章中已说明了的，把第二定律概括成一个基本的动力学原理，这对我们关于时间、空间和动力学的概念有着深远的影响。只要第二定律适用，我们就可以定义一个新的内部时间T，使我们能够表述对称的破缺，而对称破缺正是第二定律的发源地。如我们已经证明的，这个内部时间仅存在于不稳定的动力学系统中。对于像用面包师变换所描述的那些情形，内部时间的平均值〈T〉与动力学时间保持同步。但是，即使在这样的场合，也不能把T和t混淆起来。我们可以用钟表来测量我们的平均内部时间，但这两种概念却完全不同；动力学时间标志着经典力学中点的运动，量子力学中波函数的运动。但只是在强得多的条件下（如运动的不稳定性），我们才能赋予这个系统一个内部时间。

为了谈及物理系统的变化，我们必须给它们某个宏观尺度上的熵产生，或者利用本章所介绍的概念对这个变化进行微观尺度上的讨论。这个不可逆性的因素十分经常地通过测量过程进入量子理论——但对不可逆性给出一个内在的描述，使时间变化映射到半群中去（参见附录B），看来更令人满意得多。第二定律作为一个选择原则所起的作用，应当在广义相对论的发展中有特殊的益处，在那里，它应当导出一个对物理上可变时空的选择。众所周知，广义相对论建立在四维间隔dS² 的基础上。但是，描述这个间隔的特殊的时空坐标却被认为是任意的。一个很自然的附加要求是，时间坐标t应该是这样的，使得在使用这个时间时，熵是增加的。最近，洛克哈特、米斯拉和普里戈金（Lockhart，Misra，Prigogine，1982）研究的一个例子说明：对于一个具有负曲率的空间超表面的宇宙模型，有可能引入一个与通常宇宙时间密切相关的内部时间。但是在一般情形中这是不对的。例如在格德尔（Gödel，1979）的著名宇宙模型中，始终沿着时间增加方向的观察者能够重新进到该宇宙本身的过程中去。

我们在第9章中已经提过爱因斯坦的困境，他勉强地把不可逆性当做物理学的一个基本事实。但是，在他对格德尔文章（见Schlipp，1951）所作的评论中说出了他的怀疑：格德尔的没有时间的宇宙可能相应于我们所居住的宇宙。爱因斯坦写道：“我们不能把电报拍到我们的时间里面去”，而且，

其中，根本的问题是：在热力学的意义上，发送信号是一个不可逆过程，一个与熵的增长相联系的过程（但根据我们现有的知识 ⁽⁷⁾ ，一切基本过程都是可逆的）。

在这里，有趣的是，爱因斯坦也没能避免把不可逆性看做是我们宇宙图景的一个组成部分。我们希望在另外的地方更详细地讨论这些问题。在理性思想黎明之际，亚里士多德已经区分出作为“运动”（kinesis）的时间和作为“产生与消亡”（metabole）的时间。前者是动力学所研究的方面，后者是热力学所研究的方面。我们已经更加接近了把这两方面都协调地包括在一起的描述。要描述像测量的那种特殊动作的基本过程，这是很必要的（另参见附录C）。

测量过程相应于人与其周围世界相互作用的一种特殊形式。要对这种相互作用进行更为详细的分析，必须考虑到，活的系统，包括人，有一个破缺的时间对称性。我们可能与同样具有破缺对称性的其他客体（或活的东西）进行相互作用，但我们也可能与时间对称的客体进行相互作用。就是说，我们可能在一个封闭的容器中制备一种液体，然后等该系统达到平衡态。假定在平衡态细微的均衡是有效的，那么这样一个系统可以表现出没有任何优惠的时间方向。但是，当我们控制这个系统（例如加热一部分而冷却另一部分）时，我们打破了这个时间对称性，且在某种意义上把我们的破缺的时间对称性传给了该系统。

生命导出生命，这是习惯的说法。在同样的意义上，不可逆性也可以被人的活动所传递。

不可逆性的微观理论不仅导出对时间与物质的关系以及时间与性质变化的关系这两个方面的更好解释，而且它还导致关于时空连续流真正结构的一种修正的看法。通常的时空轨道的概念在应用于不稳定系统时导致了严重的困难，我们可能已在面包师变换的情形中看到了这一点。如附录A中所说明的，当我们用无穷序列

表示一个点时，面包师变换导出如下移动

只要序列{u_i }是周期性的，面包师变换就产生也是周期性的轨道。这对一切有理数都是成立的。相反，无理点则导致覆盖整个相空间的遍历轨道。因此，一条具体轨道的性态高度敏感于初始条件。人们常说到轨道的随机性，但是，当我们通过Λ走向一个非局域性描述时，可以说我们是用“小”区域的性态代替了轨道的性态。和轨道描述相反，这种描述是稳定的。所有的区域均被分成越来越细的最终覆盖整个相空间的区域。

这是非常本质的一点。向半群的过渡已经把动力学系统的轨道随机性一笔勾销。这一点与出现在宏观层次上的实验情形是完全一致的。这并不意味着一切随机性均被消灭了。相反，在现在，人们对“混沌吸引中心”（参见Nicolis，Prigogine，1984）有着更大的兴趣。这里，宏观轨道仍然保持着大量的随机性，这些随机性可能还是用李雅普诺夫数来表征的。我们将在“结语”一节中再回过头来讨论这个随机性的“层次”结构。

态和规律——存在与演化间的相互作用

现在让我们讨论第二定律微观表述所引起的动力学概念上的另一个改变。在传统的方法中，初始条件和变化规律之间是有根本区别的。初始条件相当于对某些“态”的说明，在经典力学中，态常常是相空间中的一个点，在量子力学中，态常常是一个波函数（即希尔伯特空间中的一个“点”）。而变化常常是由一个“规律”给出的。但是很清楚，在态与规律中一定存在某种关系，因为态是以前的动力学变化的结果。用本章给出的概念框架，可以使这个关系更加明显。让我们回到表达式10.30和10.31，这是把分布函数ρ（或 ）用内部时间算符的本征函数来展开的式子。我们已经强调，在式10.30中，将来与过去是对称地进入的。而且这个对称性是由如式10.32所示的幺正变换得出的。式10.32可以写成

φ_n 的系数被修改了，但基本的时间对称性保留下来。简言之，幺正的、保测的定律生出（即向着将来，也向着过去）时间对称的态。当我们考虑用于已变换的分布 ＝Λρ的公式10.31时，情形就根本不同了。随着n→+∞，λ_n 逐渐减小，因此属于将来的那些划分所作的贡献被“阻尼”。过去与将来以不对称的方式登场：我们这里得到具有时间“极性”的态。这样的态只能是某种变化的结果，它们本身是时间极化了的，且在将来仍保持该极化状态。现在我们确实有（参见式10.37）

当n→∞时，阻尼因子λ_n 是守恒的。

于是我们看到态和规律确实是密切联系在一起的。这里有初始条件的自守恒形式。当然，一个初始条件对应于一个我们任意选择的时刻，它可以没有任何可与所有其他时刻区分出来的基本性质。

这就导出在我看来是我们新概念框架的最有意义的结论的东西。如面向将来的熵增加定律那样的与时间有关的规律的存在，意味着：对这些系统而言，存在着与时间有关的态。

结　　语

从经典的观点来看，初始条件是任意的，只有把初始条件与最终结果连接起来的规律才具有内在的意义。

如果真是这样，那么“存在”的问题除了在其制备时所包括的任意性之外就失去任何意义。但是这个初始条件的任意性对应于一种高度理想化的情形，这种情形我们的确可以随着我们的意愿去制造。当我们取复杂系统时，无论它是液体，还是更为复杂的某种社会情形，初始条件只服从于我们的任意性，但是这些初始条件是该系统先前变化的结果。

仅仅是在这种情形，“存在”和“演化”的关系问题才获得意义。我们在“态和规律——存在与演化间的相互作用”一节中看到，（在谈到内部时间时）我们可以定义时间对称的态和具有破缺的时间对称性的态。现在我们要求在我们可以制备或观察的态同支配其变化的规律之间的协调一致。确实，我们进行制备或观察时的时间没有任何优惠的意义。因此一个对称的态应当出自另一个对称的态，且在被变换以后，随着时间的推移，进入一个对称的态。同样，一个具有破缺对称性的态应该出自一个属于同一类型的态，并且被变换成同一类型的态。

态的性质的不变性导出了态与规律之间的密切关系。或者用更带有哲学味的术语来说，它导出“存在”和“演化”间的密切关联。这样，“存在”与态联系起来，“演化”与变换这些态的规律联系起来。

从逻辑的观点看，“存在”与“演化”的问题至少有两个可能的解。在第一个解中，任何内在的时间因素都被消灭了。于是“演化”仅仅是“存在”的展开。

第二种解同时在存在和演化中引入了一个时间的破缺对称性。不过，存在和演化问题的这个解还不仅仅是一个逻辑上的解，它还包含了一个实际的成分。确实，只要我们一问“存在”或“演化”的含义，我们就已经通过这个问题引入了时间的方向。因此，只有向我们开放的那个解，才是与破缺时间对称性相联系的解。

注意，只有在热力学第二定律成立的世界中，上述存在与演化之间的关系才有意义。我们已经看到，第二定律适于这样的系统，它们提供了足够级别的不稳定性。不可逆性与不稳定性是密切关联的：只是因为明天没有被包含在现在之中，才使不可逆的有方向的时间得以出现。

因此我们得到结论，破缺的时间对称性是我们认识自然的一个根本要素。简单的音乐经验可以说明我们这句话的含义。我们可以在一个给定的时间间隔，比如说一秒内，演奏出一个声音的序列，从最弱音开始，以最强音结尾。我们可以用倒过来的顺序演奏这同一序列。显然，听到的印象是极不相同的。这只能说明，我们有内部的时间之矢，因而能区分出这两种演奏来。按照我们已在本书中概括的观点，这个时间之矢没有把人与自然对立起来，相反，它强调把人类嵌入变化的宇宙之中，而我们在一切层次的描述中发掘着这个变化的宇宙。

时间不仅是我们内部经验的一个基本的成分和理解人类历史（无论是在个别人，还是在社会的水平上）的关键，而且也是我们认识自然的关键。

从现代意义上说，科学至今已有三个世纪的历史了，我们可以区分出两个时刻，科学把我们带到物质存在的自然界的一个完全确定的映象上（借用了Leclerc，1972的表达方法）：

一个是牛顿的时刻，伴随着他那由不变的物质和运动态所组成的世界观，伴随着这样的一个概念，其中物质、空间和时间是无联系的，因为时间和空间都好像是被动的物质容器。

第二个阶段是爱因斯坦达到的。也许广义相对论的最伟大的成就就是时空不再与物质无关。时空本身就是由物质产生的。然而在爱因斯坦的观点里，把时空的局域性概念保持为该理论的一个组成部分仍是必要的。

现在，我们开始到达第三个阶段，这个时空局域性受到更为彻底的分析。令人惊奇的是，对时空微观结构的这个质问来自完全不同的方向：一个是量子论；一个是我在本书中力图说明的不可逆性的微观理论。而且，不可逆性，即时空中所含有的活动性，改变了时空的结构。时空的静态的内涵被所谓“空间的时间作用”这个更为动态的内涵所代替。

值得一提的是，我们看到了某些最近的结论与如柏格森、怀特海和海德格尔等哲学家的预期有多么接近。主要的区别是，在他们看来，这样的结论可能只是由于与科学的冲突而得到的；而我们现在把这些结论看做可以说是从科学研究的内部得出的。

怀特海在他的基本著作《过程与实在》（Whitehead，1969）中强调，只有时空局域性是不够的，物质嵌入到影响的流中是根本的。怀特海强调，没有活动性，就不可能定义任何实体，任何的态。没有任何被动的物质能够导出一个有创造性的宇宙。

海德格尔的有影响的书《存在与时间》（Heidegger，1927），其题目本身就是一个表白，它强调了海德格尔反对没有时间的存在概念，它对应于从柏拉图开始的西方哲学的主流。斯坦纳（Steiner，1980）在对海德格尔的评论中出色地概括道：“有人性的人和自觉不是中心，不是存在的估价者。人只是一个受优惠的收听者和存在的响应者。”

我十分懂得，甚至对这些最近倾向的某些最突出的方面，本书的描述也是很不够的。不可逆性不仅存在于动力学系统的层次上，它还存在于宏观物理学的（即湍流）的层次上，或生物界，或社会中。因此我们察觉到内部时间的一个完整的层次结构。一方面，我们作为实体是一些对立行动的结果，不过可能由某单个的内部时间来表征。另一方面，作为集体的一员，我们属于我们参与的内部时间的一个更高的“层次”。看来，闵可夫斯基在其《真实的时间》（Minkowski，1968）中所很好描写的我们的许多问题，很可能都来自我们内部的内部时间尺度与我们外面的外部时间尺度这两者之间的冲突。

无论如何，这个新形势可能要导出科学与人类其他文化对象之间的新桥梁。世界既不是一个自动机，也不是一片混沌。它是一个具有不确定性的世界，但也是这样的一个世界，其中个别的行动并非注定是无意义的。它不是用一个单个的真理所描述的世界。因此我觉得，令人感到非常满意的是：科学能帮助我们建立起桥梁，并且把对立的东西调和起来而不用否定它们。

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(1) 第10章是1984年补充的。我感谢米斯拉教授在我准备本章时所给予的帮助，前三节和后两节是最一般性的，当中几节包含了一些技术性的考虑。

(2) 此外，很容易验证：d〈δT² 〉＝0，其中〈δT² 〉＝〈T² 〉-〈T〉² 。即弥散度保持不变。

(3) 意大利古城，公元79年因火山爆发而埋没地下。——译者注。

(4) 更一般地，我们可以取λ_n ＝exp［-φ（n）］，其中φ（n）是n的一个凸函数。

(5) 读者会记起，对于一个奇异函数f（α），不仅存在∫f（α）dα，而且存在∫|f（α）｜dα。更详细的情况，包括简并的效果，请参见Misra，Prigogine，1983。

(6) 注意：一般地说，Λ是一个星幺正算符，但不是一个厄米算符（参见式8.16和式8.28）。因此它的本征值不可能为实数；反之，M是一个厄米算符。

(7) 爱因斯坦的原文中有加重符号。