第7章　动力学

引　　言

动力学与热力学——理论物理学的两个基本领域之间的关系可能是本书所讨论的最引起争论的问题。这是自150年前热力学得到十分系统的表述以来一直在讨论的问题，与这一课题有关的文章已发表了上千篇，它涉及到时间的含义，因而是极其重要的。我们不能期待有一个不费力的解答；倘若如此，这一课题在很早以前就应被解决了。我将给出定性的论据以证实我的信念：现在已找到了一个绕开这个久未克服的障碍的解决方法。虽然在本书中没有给出“证据”，但是有兴趣的读者可查阅有关资料 ⁽¹⁾ 。

我们将从动力论特别是从玻耳兹曼的H定理出发，H定理是在认识熵的微观意义的道路上的一个里程碑（关于经典动力论的介绍可看Chapman，Cowling，1970）。

为什么玻耳兹曼如此迷恋于热力学第二定律？是什么吸引了他，以致他实际上把自己的整个科学生命贡献给认识和解释热力学第二定律？在《通俗论文集》（Populäre Schriften，Boltzmann，1905）一书中他写道：“如果人们问我，应当给这个世纪起个什么名字，我将毫不犹豫地回答，这是达尔文的世纪。”玻耳兹曼被进化论的思想深深地吸引，他立志成为物质进化的“达尔文”。

玻耳兹曼的方法获得了惊人的成功，在物理学的历史上留下了深刻的印记，普朗克发现量子就是玻耳兹曼方法的一个成果。我愿充分地分享薛定谔醉心于玻耳兹曼方法研究的那股激情，他在1929年曾写道：“他（指玻耳兹曼）的思想路线可称为我在科学上的初恋，过去没有今后也不会再有别的东西能使我这样欣喜若狂。”可是，必须承认玻耳兹曼方法面临着严重的困难，它很难适用于稀薄气体以外的情形，在包括黏滞性，热传导等输运理论概念的讨论中，现代动力论是十分成功的，可是现代动力论没有涉及稠密系统的熵的微观意义，正如我们将要看到的，甚至对于稀薄气体，玻耳兹曼的熵的定义也只是在一定的初始条件下才是适用的。

正是由于这些困难，吉布斯和爱因斯坦依据在第2章和第3章中已作了描述的系综理论提出一个更为一般的方法。可是，他们的方法从本质上来说只限于平衡系统。吉布斯的经典论文的全名是《统计力学基本原理：特别关于热力学的理性基础的发展》（Elementary Principles of Statistical Mechanics：Development with Special Reference to the Rational Foundations of Thermodynamics，Gibbs，1902）。在这本关于（平衡）热力学的著作中远远背离了导出一个物质进化的力学理论的玻耳兹曼的志向。由于应用系综理论到非平衡情形不甚成功（参看本章的“吉布斯熵”和“庞加莱-米斯拉定理”两节），引入补充的假定来处理非平衡态的思想变得非常流行。在第1章中我们已经谈到吉布斯的著名的墨水与水混合的例子，可是，“粗粒化”的补充假定的思想没有获得成功（尽管对某些物理学家有吸引力），因为最终已证实：提出关于粗粒化的精确描述，同解决不可逆性微观意义这个问题本身一样，也是很困难的。

今天，我们更好地认识了这些困难的本质，从而可以遵循一条绕开这些困难的道路。首先我们强调，玻耳兹曼方法已超出动力学的范围，他使用的显然是动力学的与概率统计的概念的一个混合物，其实，玻耳兹曼动力方程是我们在第6章中用于模拟化学方程的马尔可夫链的前驱。

庞加莱在他的《热力学讲义》（Leçons de thermodynamique）中详细地讨论了第二定律与经典力学之间的关系，但他甚至没有提到玻耳兹曼！而且，他的结论是明确的：热力学与动力学是不相容 的。他是基于以前发表的（Poincaré，1889）一篇短文作出这个结论的，在这短文中，他证明在哈密顿动力学的框架中不存在具有李雅普诺夫函数性质的坐标和动量的函数（参看本章的“庞加莱-米斯拉定理”一节和第1章的“热力学第二定律”一节）。

正如近来米斯拉（Misra）所表明的，甚至在系综理论的框架内，庞加莱的结论仍然保持其正确性。庞加莱-米斯拉定理的重要性在于它留给我们两个可供选择的方案。我们可以跟着庞加莱断定第二定律的动力学解释是不存在的，于是，不可逆性来自唯象的或主观的假定，来自“误解”。但是，这样我们又怎么才能解释由第二定律导出的大量重要结果与概念 ⁽²⁾ ？那么，在某种意义上说，生命的存在，连我们自己在内，也都是一些“误解”。

幸好，存在着第二种选择，庞加莱试图把一个关于相关和动量的函数同熵联系起来，可是这个企图同样失败了。我们能否保留引入微观熵的想法，使宏观熵成为微观熵的一个适当的平均值，从而以不同的途径来实现庞加莱的方案？量子力学使我们习惯于把物理量与算符联系起来，另外，我们在系综方法中（见第2章讨论系综理论的一节）已看出时间演化为刘维算符所描述。 ⁽³⁾ 因而，试图通过算符与微观熵（或一个李雅普诺夫函数）相联系以实现庞加莱的方案就变得非常的诱人。

最初，这似乎是一个奇怪的想法——或至少是一种纯形式的设想。我们将试图表明，事情并非如此。相反，引入微观熵算符是非常简单和自然的想法。我们应该记得，能量算符（哈密顿算符H_op ，见第3章）的概念意味着我们不能把一个十分确定的能量值与一个任意的波函数连结起来，除非这波函数是H_op 的本征函数。类似地，熵算符的概念意味着分布函数ρ与熵之间的关系较此前所作的考虑更为精妙。

正如我们将看到的那样，在密度ρ与熵之间的这个更为精确的关系是和在微观水平上的随机性概念相一致的，后者是借助弱稳定性概念引进经典力学的。所以我们可以预期，仅当经典（或量子）力学的基本概念（诸如轨道或波函数）与不可观察到的理想化相一致时，这个算符的构成才是可能的。只要引入这样一个微观熵算符是可能的，经典力学就成为非对易算符的代数学（有点像量子力学）。由于不可逆性的概念，我们被迫使动力学的结构发生如此深刻的变化，的确令人感到极为惊奇。同样的结论基本上可用于量子力学，量子力学在结构上的深刻变化，将在第8章中和附录C中简洁地加以叙述。

简言之，经典（或量子）力学的通常的表述现在被“置于”一个更大的理论结构中，这个理论结构也容许描述不可逆过程。十分令人满意的是，不可逆性不是对应于加在动力学定律上的某些近似方法，而是对应于其理论结构的扩展。

在这一章中，我们将讨论玻耳兹曼方法以及介绍彭加勒-米斯拉定理，在第8章将介绍能明显地表达不可逆过程的经典力学或量子力学的一个新的结构形式。

玻耳兹曼动力论

在1872年玻耳兹曼的奠基性论文《关于气体分子之间热平衡的进一步研究》发表前几年，麦克斯韦早已研究了速度分布函数f（r，v，t）的演化，这分布函数给出在时刻t，位置r与速度v处的粒子数（Maxwell 1867）。（依据式2.8定义的一般分布函数ρ，把ρ按照除了单个分子的坐标与动量以外的所有坐标与动量积分便可得出f。）麦克斯韦给出具有说服力的理由论证长时间之后在稀薄气体中这个速度分布会趋向高斯型

其中m是分子的质量，T是（绝对）温度（见式4.1）。这就是著名的麦克斯韦速度分布。玻耳兹曼的目的是发现一种分子的机制，这机制保证长时间之后，麦克斯韦速度分布的正确性。他的出发点是处理含有许多粒子的大系统。他认为，与社会和生物学的情形类似，这样大的系统自然使人们不再去注意个别的粒子，而是注意粒子集团的演化，而且对它可以十分自由地使用概率的概念。他把速度分布的时间变更划分为两项，一项是由于粒子的运动，而另一项是由于二体碰撞

显然 ，给出流项是没有困难的。对于自由粒子，我们简单地引入哈密顿量H＝p² /2m并应用方程2.11，于是得到

其中 是速度。主要的问题是碰撞项的计算，在此玻耳兹曼使用了一个似乎有道理的论据，这论据类似于我们在第5章叙述马尔可夫链的理论时引入的论据，当然，在历史上，玻耳兹曼的理论早于马尔可夫链的理论。

如同方程6.8一样，玻耳兹曼把由于碰撞引起的分布函数的时间演化分解成一个增益 项和一个耗损 项。在增益项中，速度为v的一个分子出现在点r处（这意味着围绕点r处的某体积元）；在耗损项中，由于碰撞，速度为v的一个分子消失了。因而，我们有

这些碰撞的频率正比于具有速度 （或v，v₁ ）的分子数，即 ［或f（v）f（v′）］。在若干基本运算以后，得到对碰撞项的贡献为（Chapman，Cowling，1970）：

对决定碰撞截面σ的几何因子和碰撞中所包含的一个分子的速度v₁ 两者完成积分。把式7.3和式7.5加在一起，我们得到对于速度分布而言的著名的玻耳兹曼积分-微分方程

一旦得出了这个方程，我们就可引入玻耳兹曼的H量，即

并证明

作为简单的不等式

的结果。于是我们得到一个李雅普诺夫函数。然而它与在第1章的“热力学第二定律”一节中所考虑的李雅普诺夫函数是根本不同的。这里的李雅普诺夫函数是通过速度分布函数而不是通过温度等宏观量来表示的。

当满足条件

时，李雅普诺夫函数达到它的最小值。通过碰撞不变量这个词，可以对上述条件作一个简明的解释。所谓碰撞不变量是指粒子数、粒子的三个笛卡儿动量，以及粒子的动能。这五个不变量在碰撞过程中是守恒的，因此logf一定是这些给定量的线性表达式。不考虑动量（它仅当气体作为整体在运动时才是重要的），我们立刻得到麦克斯韦分布7.1，实际上logf乃是动能 的线性函数。

玻耳兹曼动力方程是非常复杂的，因为在积分号内包含未知的分布函数的乘积，对平衡态附近的系统，我们可以写出

其中f^（0） 是麦克斯韦速度分布，φ是作为小量来考虑的，于是我们得到一个φ的线性方程，已经证明它在输运理论中是极为有用的。玻耳兹曼方程的一个更为粗糙的近似是用线性弛豫项去代替整个碰撞项，写作

其中τ是平均弛豫时间，给出达到麦克斯韦分布所需要的时间间隔的数量级。

玻耳兹曼方程引出了许多其他的动力方程，这些动力方程在相当类似的条件下（在固体、等离子体等中的元激发之间的碰撞）是正确的。后来已经提出推广到稠密系统中去，可是，对于稠密介质来说，这些推广了的方程不容许有李雅普诺夫函数，同时丧失了和第二定律的联系。

使用玻耳兹曼方法的步骤可概括如下：

近年来已有若干数值计算用于验证玻耳兹曼的预言。例如，用计算机计算了二维硬球（硬圆盘）的H量，是从圆盘在点阵格位上具有各向同性速度分布开始计算的（Bellemans，Orban，1967）。计算的结果在图7.1中给出，它们证实了玻耳兹曼的预言。

图7.1　H量随时间的演化

（依照Bellemans，Orban，1967）

玻耳兹曼的理论也用于计算输运性质（黏滞性，热导），这是解玻耳兹曼方程的查普曼和恩斯科格方法的巨大成就。这里，理论和实验也符合得十分令人满意（Chapman，Cowling，1970；Hirschfelder，Curtiss，Bird，1954）。

为什么玻耳兹曼的方法会奏效？考虑的首要的方面是分子混沌的假定。正如我们在第5章关于经典化学动力学的一节中所讨论的，玻耳兹曼计算的是忽略涨落的平均的碰撞数，可是这个不是唯一重要的因素。如果我们把玻耳兹曼方程与刘维方程（式2.12）相比较，我们会看到在玻耳兹曼方程中，刘维方程的对称性被破坏了。假如在刘维方程中，我们使L变为-L，t变为-t，方程是保持不变的。现在我们能通过将动量（或速度）p变为-p以达到将L变为-L，这乃是方程2.13的结果。如果我们观察玻耳兹曼动力方程，或者更简单些，去观察方程7.12，我们看到，当v被-v所代替的时候，流项改变符号，可是碰撞项保持不变，对于速度反演，碰撞项是偶的，这种情形对于精确的玻耳兹曼方程同样是正确的。

因而碰撞项的对称性破坏了刘维方程的“L-t”对称性，玻耳兹曼方程的这个特性乃是不论经典力学的还是量子力学的刘维方程中都不会出现的一种新型对称性。简而言之，时间演化在L中同时包含奇项和偶项。

这是很重要的，仅仅碰撞项（在L中这项是偶的）对李雅普诺夫函数H的演化作出贡献。我们可以说，玻耳兹曼方程把可逆的与不可逆的过程之间的基本的热力学区别转变到微观的（或更确切地说，动力论的）描述，流项相应于可逆过程，碰撞项相应于不可逆过程，因而，在热力学描述与玻耳兹曼描述之间存在一种完全的对应。可是遗憾的是，这种对应不是从动力学“推断”出来的，从一开始，它就是一种假设（即方程7.2）。

玻耳兹曼理论的一个令人惊异的特点是它的普适的特性。分子之间的相互作用可以是各种各样的。我们可以把分子看做硬球，分子间的相互作用可以是按某个幂定理衰减的排斥有心力，或者排斥力与吸引力两者兼而有之。但是，与微观相互作用无关的H量有一个普适的形式。在下一章中，我们将回到这个值得注意的特点的解释，现在让我们转向与动力论的玻耳兹曼方法相联系的某些困难。

相关和熵的复原

我们已经说过，尽管有成功之处，玻耳兹曼的思想在理论上与实践上都遇到了困难。例如，看来不可能把H量的结构推广到诸如稠密气体或液体等其他系统中去。显然，实践上的困难和理论上的困难是互相关联的。让我们首先把注意力集中到理论上的困难。从一开始，玻耳兹曼的思想就遇到激烈的反对者。庞加莱甚至写道，他不能推荐学习玻耳兹曼的论文，因为玻耳兹曼考虑的前提与他的结论相抵触（Poincaré，1893）！在本章的后面我们将回过来讨论庞加莱的观点。

还有，以佯谬的方式表述出来的其他的反对者，其中之一是泽梅勒（Zermelo）的再出现佯谬，这佯谬是基于著名的庞加莱定理，这定理可表述为：“只要系统保持在相空间的一个有限部分内，对于几乎所有的初始态，相空间的一个任意的函数在任意误差范围内将无数次地取其初始值，因此，看来不可逆性与这定理是相矛盾的。”（有关佯谬可参考Chandrasekhar，1943）。

正如最近值得注意地被莱博维茨（Lebowitz）所指出的（Rice，Freed，Light 1972），泽梅勒的反对不会被证实，因为玻耳兹曼理论研究的是分布函数f，然而庞加莱定理涉及的是单个的轨道。

于是我们要问，究竟为什么要引入分布函数的形式体系？至少在经典力学中，这个答案我们是早已知道的（见第2章）。因为在混合系统或显示庞加莱突变的动力学系统中，每当我们有弱稳定性，我们便不能实现从统计分布函数到一个十分确定的轨道的转变。（对于量子力学的情形，可见附录C）。

重要之点在于：对于任何的动力学系统，我们决不能精确地知道初始条件，因而决不会精确地知道轨道。而从相空间中的统计分布函数到轨道的转变相应于一个十分确定的逐次近似的过程。不过，对于显示“弱稳定性”的系统不存在逐次近似的过程。轨道的概念对应于一种理想化，它无法由实验获得，不管这种实验的精确度如何。

另一个更强烈的反对是基于洛喜密脱（Loschmidt）的可逆性佯谬，因为力学的规律对于t→-t的反演是对称的，这里每一过程都与一个时间反演过程相对应。这似乎也与不可逆过程的真实存在相矛盾。

洛喜密脱佯谬究竟是否能证实？用计算机实验去检验它是很容易的，贝尔曼和奥尔班（Bellemans，Orban，1967）对于二维硬球（硬圆盘）的玻耳兹曼的H量作了计算，他们从具有各向同性速度分布的在格位上的圆盘开始，计算的结果如图7.2所示。

图7.2　100个圆盘组成的系统，当在50（空点）次和100（实点）次碰撞后速度反演时H量随时间的变化。

（依照Bellemans，Orban，1967）

真的，我们看到熵（即负H）在速度反演后首先减少。这个系统在一段相当于50次到60次碰撞的时间内偏离平衡（在稀薄气体中为10^-6 秒左右）。

类似的情形也存在于自旋-回波实验和等离子体-回波实验中，经过了有限的时间之后，在那里同样可观察到在这种意义上的反玻耳兹曼行为，所有这些说明玻耳兹曼方程并不总是可应用的。埃伦费斯特夫妇早已作出评述，玻耳兹曼方程不能在速度反演之前与之后都保持正确（Ehrenfest P.，Ehrenfest T.，1911）。

玻耳兹曼的观点是：在某种意义上说，动力方程7.6是正确的物理情形会以压倒的优势频繁地发生。这种观点是难以接受的。因为今天我们既能用计算机也能在实验室通过实验证明，至少在经历有限的时间周期以后，玻耳兹曼动力方程是不正确的。

事实是，存在动力方程正确的情形，也存在动力方程不正确的情形。从这个事实出发我们能引出什么论断？这事实表示玻耳兹曼的熵的统计解释的局限性，还是表示对某些类型的初始条件来说热力学第二定律失败了？

这个物理图像是十分清楚的：速度反演产生粒子之间的在宏观范围内的相关 ⁽⁴⁾ ，在时刻t₁ 碰撞的粒子要在时刻2t₀ -t₁ 再次碰撞，在从t₀ 到2t₀ 的期间可以指望反常相关的消失，在反常相关消失之后，系统再次表现出“正常”行为。

简洁地说，熵产生可以被理解为在0到t₀ 的时间间隔内与速度分布的“麦克斯韦化”相联系，但在t₀ 到2t₀ 的时间周期内，它应与反常相关的衰变相联系。

这样，玻耳兹曼方法处理这类情况的失败就不难理解了，我们需要一个显然与相关有关的熵的统计表达式。让我们简洁地考虑一下H量应如何演化（Prigogine et al，1973）。

例如，让我们考虑正定的量

其中积分遍及相空间，在量子力学中等价的量与式3.29和式3.31′相一致。

我们可把对角项〈n|ρ|n〉与概率联系起来（即方程3.31″），非对角项与相关联系起来。

一个形如式7.13或7.14的李雅普诺夫函数确是体现了相关并超出了只研究概率的玻耳兹曼方法的范围。当全部ρ的对角元是相等的（且它们的总和为1）和全部非对角元等于零的时候，计及式7.15应当达到Ω的最小值，所以我们可以补充说形如式7.14的李雅普诺夫函数的存在是特别合理的，这是被等概率和随机相位所描述的情形。于是我们有一个十分类似于在第2章中考虑的微正则分布的情形，在微正则分布中，在能量面上所有的态有相同的概率。

如果我们使用表达式7.14进行速度反演实验，将会发生什么？我们预期的结果为图7.3所示（详见Prigogine et al，1973）。假设我们只从密度矩阵的对角元（这相应于不存在相关的初始条件）出发，然后，我们一直进行到时刻t₀ ，在经历这个时间间隔的过程中，我们有一个十分类似于被玻耳兹曼方程（图7.2）所描绘的演化，而且Ω随着碰撞的结果而下降。在时间t₀ 我们作出一个速度反演，这相应于把非对角元引入密度矩阵，因为正是这样的元素对应于相关。因此在这一时刻，Ω将有一个跳跃（见式7.14），从t₀ 到2t₀ 随着反常相关的消失Ω将再一次地下降，在时刻2t₀ 系统处于与时刻t₀ 时相同的状态。换句话说，我们以“熵产生”为代价恢复了初始态，而熵产生在经历系统演化的全部时间内是正的。系统任何时候都不再与反“热力学行为”相对应。在时刻t₀ 的跳跃与这个说法并不矛盾。在这个时刻，系统是不封闭的——速度反演相应于有一个熵流（或“信息”流），这熵流导致Ω的跳跃。我们可以把Ω的这些行为与玻耳兹曼的H量的行为相对照，在H量那里，从0到t₀ 的“热力学”演化跟随着一个从t₀ 到2t₀ 的反热力学行为（见图7.2）。

图7.3　在速度反演实验中Ω的时间行为速度是在时刻t₀ 被反演的。

总之，我们可以说，已经实现了一个复原的循环，可是正如在真实生命中一样，复原要求一个代价，在此，这代价是遍历从0到2t₀ 一段时间中的整个熵产生。我们真能构成如Ω那样把相关考虑进去的函数吗？困难在于ρ不可能是满足刘维方程的分布函数，因为对它而言Ω将保持不变（参见下节）。此外，我们在图7.3上看到，Ω取两个不同的值，一个是对本来的ρ而言的，另一个是对它的速度反演而言的。因此，出现在Ω中的ρ一定具有时间破缺对称性。后面（特别是在第10章中），我们将看到如何构造这一新的分布函数。这正是个基本问题。

吉布斯熵

正如我们刚才指出的，我们想构造一个诸如式7.13或式7.14那样的李雅普诺夫函数，让我们看一看使用刘维方程是否能完成这种构造。对于经典系统来说计算是特别简单的，因为这时我们（使用式2.13）可得出

这用部分积分是容易加以证实的，这个结果与特殊泛函（式7.13）的形式无关。我们也可认为

或者为任何别的ρ的“凸”泛函。考虑用完全的分布函数ρ代替速度分布f以避免玻耳兹曼方法中的困难的试图失败了。我们已在第1章中提到过，正是这个原因，吉布斯得出“不可逆性的主观主义观点”，把不可逆性看做是由于观察者的感觉器官的不完善而造成的假象。（这一观点的新近解释可参阅Mehra，1973当中的Uhlenbeck）可是，从本书所采取的观点看来，在式7.16中表达的否定结果并不令人惊奇，因为系综理论与动力学的不同在于：初始条件的“无知”被包括到分布函数ρ中去了。可是这并不是李雅普诺夫函数所表示的不可逆性能够成立的唯一理由。无疑，还需要弱稳定性之类的辅助条件。

但是还包含更多的东西：熵隐含着一个时间之矢。因此我们需要一个打破时间对称性的新的分布函数。这个问题将在本书中反复地讨论（特别参见第10章）。但是让我们先介绍一个令人感兴趣的定理，它是由庞加莱提出的，得到米斯拉在当前环境中的重新表述。

庞加莱-米斯拉定理

正如我们在本章开头所陈述的，庞加莱得出动力学与热力学不能相调和的结论。在某种意义上，这是他的再出现定理的一个直接结果。该定理说：“一个相空间的函数无数次地取其初始值。”因而，它不能够按第二定律所要求的以单调增加的方式发生变化。可是，要是按分布函数取一适当平均值，情况或许不会如此。米斯拉（Misra，1978）证明庞加莱的结论并未被修改。

我们将以与式7.13直接联系的方式来表达庞加莱-米斯拉定理。注意，我们也可以把式7.13写成

式中我们已经使用式2.12′并把L当做是一个厄米算符（见式2.13）。我们重新取Ω与时间无关。现在我们寻求一个更一般的形式，诸如

并有

为使式7.18是一个李雅普诺夫函数，我们假设M的时间导数D是负的（或为零）：

使用式2.5和式2.13我们可以写成

现在容易证明：如果M是坐标和动量的函数，只有D处处为零，式7.20所示的要求才能满足，但这样一来，Ω就不是一个李雅普诺夫函数了。让我们考虑Ω的时间导数

现在我们考虑相应于一个平衡系综的情形（见第2章“算符”一节）：

我们把它归一化，于是按定义

而且，随着平衡态的达到，我们要求

这当M（和D）是算符或坐标和动量的普通函数时都是正确的。然而，在后面这种情形，我们能更往前走一步。用ρ（0）的值代到式7.25中，ρ（0）是一个常数，我们取其为1，于是式7.25化简为

但由于式7.20，上式意味着在微正则等能面上的所有地方D＝0，且Ω不能是一个李雅普诺夫泛函。这个证明可推广到一般的凸泛函上去。因而我们回到庞加莱结论：微观熵（或李雅普诺夫泛函）不能是相变量的普通函数。假使它存在的话，它只能是一个算符。于是，对于ρ（0）＝常数的情形，只要求Dρ（0）是相应于零本征值的本征函数，式7.25确实能被满足。但不可逆性的引入要求扩大动力学的概念结构。

新的并协性

我们已经表明不仅形如式7.13的泛涵不能用来定义一个李雅普诺夫泛函——这是刘维方程的直接结果——而且，如果相应于“微观熵”的量M是一个坐标与动量的函数的话，诸如式7.18那样的更为一般的泛函，同样不被考虑。

让我们强调指出，求助于特殊的“未必可能的”初始条件是不会有帮助的。我们可通过放弃熵的单调增加引入一个较弱的表述。但那样一来我们会遭到困难，因为在可逆与不可逆过程之间的区别必须由某种新的东西来代替，而这个新的东西我们眼前还不能以一致的方式表述出来。因此，看来，我们回到了我们已经在第1章叙述过的困难，是否我们必须把不可逆性当做一种近似，或作为我们观察者引入可逆世界的一种性质？幸好，这不是庞加莱-米斯拉定理不可避免的结果。正如我们已经阐明的，自从量子力学出现以来，我们习惯于在物理学中引进一个新型的对象，即算符（看第二与第3章）。因此，变得非常有吸引力的是李雅普诺夫泛函（式7.17），但现在把M定义为微观熵算符，它与刘维算符L是不相对易的。然后，对易量

定义为“微观熵产生”，而这导致一个新型的并协性。

我们在第3章中引入了并协性概念，我们已看到在量子力学中坐标与动量被非对易算符所表述（海森伯测不准关系）。这可以看做玻尔并协原理的一个例子。在量子力学中存在着其数值不能同时确定的观察量，在此我们又得到一个新的并协性。即动力学描述与热力学描述之间的并协性。这样的一种并协性的可能性，玻尔曾明确地作过阐述，并且也为我们在这里所作的探讨所证实。要么我们考虑刘维算符的本征函数以便决定系统的动力学演化；要么我们考虑M的本征函数，但是不存在两个非对易算符L和M所共同的本征函数。

M被当做算符又意味着什么呢？首先它意味着存在着不包括在动力学描述之中的附加性质（见第10章）。甚至如果我们知道了L的本征函数与本征值，我们仍然不能赋予M一个十分确定的值。这样的附加性质只能来自运动中的某种形式的随机性。

在第2章中，我们早已看出，在那里存在一个有越来越强的随机性的动力学系统的层次体系。我们已经看到在遍历系统中运动可以是十分光滑的（见第2章的“遍历系统”一节），可是当较强的条件被引入时，事情并不是这样。让我们考虑一个动力学系统，开始（在时刻t₀ ）它是在相空间中的区域X中。我们假设在时刻t_o ＋τ，发现它或者在区域Y中，或者在区域Z中（图7.4A）。换句话说，如果我们知道时刻t₀ 系统在区域X，我们只能计算在时刻t₀ +τ它将在区域Y或Z的概率。当然，这并不证明存在某种与运动相联系的“基本的随机性”。我们减小区域X的尺寸来研究这一点，现在可能出现两种情形：要么对于某种尺度足够小的初始区域，各部分后来也全在“同一”区域（例如Y）之中（图7.4B）；要么继续坚持如图7.4A所示的情形，而不管区域X的尺度如何。第二种情形正好相应于“弱稳定性”条件：不论它的尺度如何，每一个区域都有不同类型的轨道，且向单个的轨道的转变成为不确定的。

图7.4　动力学系统的三种可能的转变

A由相空间的初始区域X（在时刻t₀ ）向区域Y或Z（在时刻τ）的转变；B从X到Y的单一转变形式；C原来集中于区域X的相流体分散到一个长条区域Y上。

我们的例子有点过于简化：只要随着时间的流逝，每一个相体元充分地被“畸变”，我们的要求就被满足。如图7.4C所示的例子，起初集中在X区域上的相流体在经过一些时间以后分布在长条区域Y上。如果不论区域X的尺度如何，畸变继续保持的话，轨道的概念再次变为不确定。

正是在这类情形中，我们可以预期存在着微观熵算符。在第8章和第10章中我们将看到预期的这一点得到证实，对于表现出混合（或一个更强的条件）或者庞加莱突变的那些系统，真的能构成算符M。

尽管各自的论据根本不同，我们所获得的不可逆性概念，就其实质而言，与玻耳兹曼所提出的非常类似。不可逆性是微观尺度上的“随机性”在宏观尺度上的表现 ⁽⁵⁾ 。

例如像我们刚刚讨论过的（图7.4），我们甚至可走得更远而把系统同时间的一个新形式——与M密切相关的时间算符T联系起来。由于这个T是算符，有它的本征值，即一个系统具有的可能年龄（可参阅附录A）。一个给定的初始分布ρ通常可以被分解为有不同年龄和不同演化的成分。

这里我们得到了可能是本书中最有趣的结论：虽然在物理学中时间通常是与轨道或波包相联系的一个纯粹的符号，但在这里，时间的出现具有与演化相联系的完全新的意义。我们将反复谈到这个思想。

在第8章中首先寻求算符M和李雅普诺夫函数存在的结果，然后我们将简要地讨论后者的结构和给出几个例子。在第9章作出若干定性说明以后，我们将在第10章中给出新的一般性的概念框架。

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(1) 在本书第10章以及附录中可找到详细的资料。

(2) 参考第4章和第5章的讨论，那里强调了耗散结构对生物学问题的重要性。假如第二定律是一种近似方法的话，我们怎能说明这些结果呢？

(3) 我们已看到，只要我们放弃轨道的想法，那么使用算符就成为很自然的事（同时参看附录A和B）。当然，算符的概念并不局限于量子力学

(4) 这些“反常”相关也有先于碰撞而存在的性质，而正常相关是由碰撞产生的。

(5) 这一点在第10章中被做得更为精确，那里我们将区分出能被映射到马尔可夫链上的“内在随机”系统和导出过去与将来的内在差别的“内在不可逆”系统。