第十版序言

希尔伯特在世时，他所著的《几何基础》的最后一版是第七版。为了表明他关于该版书的思想，在这里我们重印他所写的序言中的一段：“当前我的第七版《几何基础》较前一版具有值得重视的改正与增补，部分是出自我在前一版出版后关于该学科的讲述，部分是由于其他作者在这段时期中所作的改进，从而使这本书的主要内容得以修订。关于这些问题曾得到我的学生斯米特（H．Arnold Schmidt）的大力协助。他不但为我做了这些工作，并且还提供了自己的许多注记以及推论，特别是他独立地写出了附录Ⅱ的新形式。因此对于他的协助，我在这里致以衷心的谢意。”

同时也参考希尔伯特全集第Ⅱ卷（Gesammelten Abhandlungon, Bd. Ⅱ., Berlin 1933）第404页至第414页由斯米特所写的“关于希尔伯特的几何基础”（Zu Hilberts Grundlegung der Geometrie）的简史。

在第八、第九以及第十版里并未引进本质上的新修正，对原书正文仅作少量改正及小量增补，但于最后则增加一些补篇，第七版中的附录Ⅰ～附录Ⅹ仅保留其中具有几何性质的附录Ⅰ～附录Ⅴ。

补篇中所增加的大部分内容是受弗里敦塔尔（H．Freudenthal）所写的“关于几何基础的历史”（Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie，见数学的新记录（Nieuw Archief Voor Wiskunde）（4），第105～第142页（1957））一文的启发，特别是其中对原书阐述面积的理论及其应用所作的批评。他曾以此文题献于希尔伯特《几何基础》第八版一书。

至于补篇的内容则包含：

补篇工Ⅰ₁ 里增添涉及关联公理和顺序公理的推论，而将正文中的§3和§4加以扩充，特别指出在该处从范·德瓦尔登（van der Waerden）的一篇文章“欧氏几何的逻辑基础”（De Logische Grundlagen der Euklidische Meetkunde，见补篇Ⅰ₁ 中所引杂志）中取出一个注记。补篇Ⅰ₂ 里放进了以前附录Ⅵ中关于实数公理的一些独立性问题。

补篇Ⅱ给出正文比例论§14～§16中所叙述的一个较简单的形式。

补篇Ⅲ包含关于面积理论的若干补充探讨。

补篇Ⅳ₁ 则研究了从第五章的讨论中去掉顺序公理的可能性，补篇Ⅳ₂ 则是基于凯内（D．Kijne）所给的注记，使有关作图问题的定理65（§37）更加简捷。

补篇Ⅴ₁ 包括希尔伯特在附录Ⅱ中所构成的两个“非毕氏几何”的补充注记。

补篇Ⅴ₂ 本质上是以前各版（从第二版开始）中附录Ⅱ的推论的重演。他利用假定的安装公理，从较弱的合同公理导入较强的可能性，同时改正了原来的证明。

全书于适当处增加了有关近代文献的一些参考资料。

贝尔耐斯

1968年2月于苏黎世