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移除书签德文第七版的俄译本序言
Foreword
希尔伯特曾有一个学生，写了一篇论文来证明黎曼猜想，尽管其中有个无法挽回的错误，希尔伯特还是被深深地吸引了。第二年，这个学生不知道怎么回事死了，希尔伯特要求在葬礼上做一个演说。那天，风雨瑟瑟，这个学生的家属们悲痛不已。希尔伯特开始致词，他首先指出：“这样的天才这么早离开我们，实在是让人痛惜呀！”众人同感，哭得越来越凶。接下来，希尔伯特说：“尽管这个学生的证明有错，但是如果按照这条路走下去，应该有可能证明黎曼猜想。”再接下来，希尔伯特冒着雨充满激情地讲道：“事实上，让我们考虑一个单变量的复函数……”众人皆倒。
古老的格丁根大学
希尔伯特的《几何基础》和它在本问题发展的历史中的地位 （1）
П．К．拉舍夫斯基
作为物理学的几何学
当我们学习几何学的时候，一开始——如同在中学里学习几何学时那样——就在我们的认识中产生了独特的思维世界，它奇特地既是现实的又是幻想的。事实上，我们关于直线、平面、几何体（如球）等的论述，是在给它们以完全确定的性质以后才进行的。然而具有作为我们研究对象的那种形状的东西，究竟在哪里和在什么意义下存在着呢？我们岂不是都知道，不论我们如何地磨（譬如说）一块金属板的表面，由于工具和动作本身的不可避免的偏差，我们永远不能把它磨成“理想平面”的形状。更何况不仅无法达到理想地平的形状，而且根据物质的原子结构，甚至还不可能无限制地接近它哩！事实上，当我们加强所要求的精确度时，金属板就将被分解成各别的原子，以致一般地所谓它的表面都无意义了。
而直线又是怎么样呢？或许可以认为光线是沿着理想的直线而传播的吧？然而量子力学告诉我们，光线是利用各别的介质——量子——而传播的，至于说到这种量子在运动时所走的道路，一般地也没有意义。
那么，我们在几何学里究竟研究些什么呢？难道只研究与物质世界格格不入的幻想、我们想象力的创造吗？可是从日常的经验和从技术上的实验，我们就能坚定地知道，对这些幻想的对象所推导出来的法则和规律，都以不可克服的力量服从于物质的自然界；以致进行新的设计的工程师，当遭受失败时，可以怀疑其任何的假设，而决不会怀疑诸如关于角柱体积的公式。
这些几何形象，看来好像是无足轻重的、非物质的，而同时却以不可克服的力量来刻画物质世界的，又好像可以认为（如同唯心主义哲学经常如此说的）是上帝按其自己的意象创造的，究竟是些什么呢？
唯物主义的宇宙观帮助我们来回答这个问题。让我们特地从粗糙的例子开始。假设在我们面前有筑在一块土地边上的一道围墙。如果我们要计算这块土地的面积，来拟定其规划，则在我们几何的计算里就将画出一条封闭的曲线来代替围墙，而用它所分隔成的平面片段来代替土地。这种使用几何概念来暗中顶替物质对象，其实质又何在呢？
问题是：不论我们是用木头还是石头来造围墙，不论我们造多宽多高，不论我们是否向旁边移动了这么一厘米，等等，这块土地实际上并不因之而有所改变。由于我们所关心的只是土地本身，至于沿其边界究竟造了些什么，实际上并不起任何作用，尽可以把所有这些都撇开不管。因此，我们抛弃了作为物体的围墙的、在当前情况下对我们不重要的绝大多数的性质。围墙对我们重要的那些性质——与其长度方面的延伸性有关的性质，才属于我们考虑之列，这些性质也就正是曲线在几何意义上的性质。有同样事实的各种各样的例子是不胜枚举的：当我们讨论绳子、飞驰的炮弹的路线等时，则在一定的精确程度下，我们所必须关心的也只是它们的那样一些性质，那就是我们称为几何曲线的性质。
总之，当我们研究几何曲线时，我们同时也就研究了土地的围墙，一定长度——与粗细相比——的绳子，以及飞驰的炮弹的路线，然而对所有这些现象而言，我们并不在各方面都保留它们性质的多样性，因为它们并不具有最大的精确性，而只是就在当前的情况下对我们重要的一维延伸性方面来加以选择，并且也只具有实用上必要的精确程度。于是我们叫做几何曲线的性质的这些对象的共同性质就显得突出了。这样，假如我们说曲线没有宽度，那只不过是简短地表明，围墙的宽度实际上并不影响其所包围的土地，绳子的横截面的大小与其长度相比可以略去不计，等等而已。
所有别的几何概念和命题也都有类似的意义。它们全都反映了物质对象的性质和物质世界的法则。它们的“理想的”特性只是表明了在物体性质的已知联系中非主要的性质被抛弃（抽象），特别地是它们只以一定的精确程度而被考虑。这种抽象可以用来清楚地揭露物体的共同而又深藏的性质，我们把它们叫做延伸的性质而且在几何学里加以研究。几何法则之所以为自然界所必须，就由于它们是从自然界抽象出来的缘故。
这样一来，反映物质现实的几何真理，以简化了的和公式化了的形状，近似地重现了物质现实。正由于抛弃了无穷多的复杂事实，才产生了几何理论的如此使人信服的严整性和合理性。而假如是如此的话，则很自然地，就不能强求几何学［暂时谈到的总限于欧几里得（Euclid）几何学］无限制地恰当于研究物质世界：当这种研究的精确性一超过某种限度时，几何学由于其近似地反映现实的本质，就失去了作用。
为了使它重新成为有用的，我们必须依据新的实验数据使它成为更精确的，我们必须回过来捡起在抽象过程中弃之于途的那些东西。
然而在我们建立几何学时，物质现实，究竟有哪些较为显眼的方面，被抛弃掉了呢？这首先就是物质在一定的时间内所进行的运动。很自然地，为了在几何学里避免过分的抽象，使它接近于物质现实，我们应该重新考虑物质运动的过程，而这就说明，应该把几何学放在与力学结合成的有机整体中来讨论。“纯粹的”几何学消失了。
以上所说的种种不只属于理论上的探讨，20世纪内科学的历史发展正就是沿着这条道路前进的。狭义相对论（1905）把空间和时间的延伸性结合成一个不可分割的整体，而广义相对论（1916）更把几何学和关于物质的分布和运动的普遍学说统一在一个学科之中。因此，从到现在为止我们关于几何学所说的那种观点看来，它是物理学的一部分，因而就应该与在实验基础上的物理学一起生长和发展。
然而在几何学里还有别的、数学的方面，那是我们直到现在为止有意地置之不理的。而这方面目前对于我们是最重要的，因为它正是本书所要讲述的。
作为数学的几何学
直到现在我们完全没有考虑关于几何学的逻辑结构的问题，然而也许就是它最使初学者惊讶和要求他付出最大的注意力。这自然不是偶然的：假如把几何学看做数学的分科，其本质正就在这里。
可以说，几何学是数学——这就是从其逻辑结构方面来考虑的几何学。我们力求尽量深入地来探究这一点，因为否则本书的内容在其基本的观念方面还将会是无法了解的了。为了较为具体起见，我们依然限于三维的欧几里得几何学。
首先，很明显的是，几何学并非简单地是各自具有独立的意义的一些命题的全体。几何学的命题交织成逻辑相关的密网。更精确地，这就是说，不利用直觉地显然的、从经验得来的几何形象的性质，而只应用形式逻辑的法测，一个命题可以用纯逻辑的方法从别的命题推导出来。例如，从命题“每一个长方形都有相等的对角线”和“每一个正方形都是长方形”推出，“每一个正方形都有相等的对角线”。为了作出这个结论，完全不必须设想附有对角线的正方形；甚至可以不知道这种“正方形”和“长方形”是些什么，而“有相等的对角线”又指的什么。不管这些术语被给予什么意义，这论断重现了形式逻辑中所讨论的一种类型的三段论法，以致它总是正确的。
自然会发生这样的问题：几何学中这种类型的形式逻辑相关性的整个系统，有什么办法可以概括无遗和使其易于被接受，而不仅在个别的例子上指出它们呢？
给这个问题以回答的是几何学的公理结构。它的目的是在几何理论里得出依靠形式逻辑论断的最大可能。当然，因为形式逻辑只能教人如何从已经知道的命题推导出新的命题，所以形式逻辑决不能无中生有。因此，至少必须随便怎么样地取一些几何命题作为真实的，然后试着从它们用纯逻辑论断的步骤推导出所有其余的命题来。
如果这个目的达到了，则用纯逻辑的步骤（不引用几何的直觉）可以从而推导出所有其余命题的那些几何命题，就被称为公理，而从它们逻辑地推得的命题，则被称为定理。
很自然地，这时还应该尽量使得公理的数量是尽可能地少，因而也就使得在建立几何学时最大可能的工作落到形式逻辑论断一方面。事实是，只有这种情况才以最好的方式揭露了逻辑关系的全部内容和阐明了几何学的逻辑结构。
概括以上所叙述的，作为物理学的几何学是研究物体的延伸性质的。它的命题可以而且应该用实验的方法来检验；像物理学的所有命题一样，它们只是抽象地体现了物质世界，因而只是近似地真实的。
作为数学的几何学所关心的只是其命题之间的逻辑相关性，更精确地说，它所研究的是从若干个命题（公理）逻辑地推导出所有其余的命题。因此，作为数学的几何学的命题的真实性只能说是有条件的，即在该命题实际上是从公理推导出来的这种意义之下。
我们看到，关于几何学的这两种观点有实质上的不同，而且不管它们在实物范围里是如何地相合，几何学发展的实情，在一种情况下与在另一种情况下相比，起着不同的作用。虽然作为物理学的几何学在现实中发生，它还是实质上运用了数学上的几何学的逻辑方式；而数学上的几何学，主要是在直接或者间接从物理学领域出发的动机影响之下发展起来的。
当然，假如这样地来理解这种对立：作为物理学的几何学研究的是物质世界，而作为数学的几何学则归之于“纯精神的”创作的范围，那就完全错误了。人类思维的内容和形式归根到底还是完全由物质世界所决定的，形式逻辑的法则本身之所以能以这样的威力强迫我们接受，就在于它是多次重复的实际经验的反映。
作为物理学的几何学和作为数学的几何学的明白的划分——自然不在于提出它们的先后上，而在于实际研究的意义上——乃是19世纪末叶到20世纪开端时科学上的巨大而有原则性的成就。这成就是对这样的事实而言的，实质上背道而驰的两种观点的共存阻碍了彼此的发展。而在今天几乎已经是不言而喻的这种划分，绝不是通过捷径而得到的。它是作为科学思想的长期而复杂的发展的总结而得到的，在这发展中希尔伯特的《几何基础》占有显著的地位。下面我们就要用极简短的概述，来阐明这个发展中对于我们的目的最为重要的一些因素。
欧几里得的《几何原本》
欧几里得（公元前300年前后）的《几何原本》以下列方式包含着几何学原理的系统的叙述，它总结了到那时为止的大约3个世纪来希腊本土的数学的发展。从那时起几乎直到现代为止，《几何原本》被认为是科学的严密的论述体裁的模范；没有任何人曾经找到过对它作根本修改的理由，而我们的中学教本，直到今天，在基本上还是欧几里得的《几何原本》的加工修改版。
造成这事实的原因是：欧几里得运用了当时认为是从前面的命题推出后面的命题的严密推理的方法，以特殊的精巧和完善——自然是从当时的科学水平来看的——展开了几何学的逻辑结构。当然，要是说欧几里得曾经坚持几何学公理结构的决定性的观点，未免过分夸大。但是他无疑地有过这种倾向。实际上，在该书的开头就列举了14个基本的命题（其中5个叫做公设，9个叫做公理），它们都是所有以后的命题的前提，而且是作为该书的基础的。然而要按纯逻辑的步骤来展开几何学，这些命题是远远不够用的，而且在以后的证明中，欧几里得在运用真正的逻辑论断之外，同时还经常运用直觉的看法。欧几里得所给出的很多定义——也恰好是最基本的——完全不是在逻辑的意义下的定义，而只是几何形象的直觉的描述，如“线有长度没有宽度”等。要从这种定义严密逻辑地来引出任何推论是不可能的，而且在以后的论断中，它只能是如何运用直觉观念的一些说明而已。
这样一来，在《几何原本》里，决不能认为已经有了现代意义的原则性的公理法构造，而且在任何一处也不能认为已经有了这种公理法构造的实地的实现。然而，这方面的倾向则不仅存在着，而且在后来还继续有所发展。这可以从欧几里得著作的许多评论者的工作中看到，它们并没有提出论述方面的实质上的修正，而常常是渴望在几何学底下导入更为稳固的基石，以便使它更为完善。这些企图都是遵循着增加公理个数的这条道路的。从几何学的逻辑结构说，公理的不足是大家感觉到的。甚至直到今天我们也不能知道，究竟哪些公理和公设确实是由欧几里得提出的，而哪些公理则是由后继者补充的。可是与《几何原本》相比，这些企图并未表现出新的、原则上更高的观点，而且变成了一种摸索。甚至在这些企图正确地接触到一些必须弥补的缺陷时，它们也被隐藏在同样的逻辑的不合理的方式之中。
几何基础问题的真正发展，没有走上欧几里得公理系统和证明的辑逻改善的正路，却是通过一连串的尝试，奇怪地在欧几里得完全正确的地方来进行修正。这里我们指的是欧几里得第五公设的历史。
欧几里得的第五公设和非欧几里得几何的发现
欧几里得最后的第五公设说：“每当一条直线与另外两条直线相交，在它一侧作成的两个同侧内角的和小于2d 时，这另外两条直线就在同侧内角的和小于2d 的那一侧相交。”这个公设在欧几里得的系统里占有特殊的地位：它比较晚地显示出它的作用。欧几里得的前28个命题的证明并未用到它。这事实很自然地引起了一种想法，以为一般地说这公设或许是多余的，可以作为定理来证明的。以致在实际上，欧几里得著作的许多评论者，在超过2000年的长时期中，曾想给出这种证明，还常常自认为达到了目的（而某些孤陋寡闻的癖好者到现在还在继续着这种尝试）。
所有这些证明，从我们今天的观点看来都是不对的，都是由于不加证明地假定了某个与第五公设等价的命题。这种命题的例子如下：在锐角一边上的垂直线和倾斜线永远相交；通过角内的每个点至少可以作一条直线与其两边相交；平面上不相交的直线不能无限制地彼此远离；不存在长度的绝对单位，即这样的线段，它能依据其特殊的几何性质，与其他长度的线段有所区别（如同在各种各样的角之中的直角一样）；至少存在着两个相似的三角形，等等。
证明者把这些命题中的某一个看做是显然真实的，指出第五公设的否定与它矛盾，然后就认为达到了自己的目的。然而，假如以为我们在这里碰到的事实具有粗浅的逻辑上的大错误，那就错了。事实上，在几何学现代的公理法叙述出现——这直到19世纪末叶才达到——以前，对于如何辨别几何学中的严密的证明和不严密的证明，一般地说并无完全清楚的准绳。在所有这些证明中，一般都多次地引用了直觉性，而且并未说明这些引用究竟在什么限度内可以被认为是合理的。因此在一定程度上，第五公设的每个证明者会自以为他的假设是合理的，而且他已经证明了第五公设。直到现在才知道所有这些证明都是站不住脚的。它被卓越的天才所迅速猜测到的时候，比它被无可反驳地确定下来的时候要来得早些。
无论如何，在各种各样证明的尝试的累积下，与第五公设等价的命题的范围越来越扩大，其中的一部分已经在上面列举过。变成清楚了的是：第五公设的否定将招致所有这些命题的否定，即招致整整一系列“不可思议的”、“荒诞不经的”推论，然而在其中完全不能找到直接的逻辑的矛盾。为了寻找这种矛盾，在18世纪里已经有一些学者，从第五公设不成立这个命题出发，颇为深入地展开了一些推论［萨凯里（Saccheri），1733；伦勃脱（Lambert），1788］。实质上这已经是非欧几里得几何的初步，然而这些工作的作者并没有达到这种认识 （2） 。
早在1823年，伟大的俄国几何学家罗巴契夫斯基（Лобачевский，1792—1856），已经明白地认识到证明平行公设的企图的没有价值 （3） 。不久他就有了一种想法，认为第五公设的否定一般地并不引出任何的矛盾，反而促使新的非欧几里得几何体系的诞生。他第一个公开地发表了非欧几里得几何的系统的叙述。1826年2月11日在喀山大学数学物理系的会议上，他陈述了自己的发现的要点，到1829年，他在《喀山大学通报》上发表了论文“关于几何的本原”，其中包含了非欧几里得几何的详细的叙述。稍晚一些获得非欧几里得几何的有鲍雅义（Johann Bolyai，1802—1860），他在1832年发表了他的结果。从高斯（Gauss，1777—1855）逝世后才刊行的他的通信录中看到，高斯已经知道非欧几里得几何的大概。可是，由于怕不被人了解和遭受嘲笑，他始终没有勇气公开地宣布这一点。毫无顾忌地在俄国（1826）和在国外（1840）发表了他的结果的罗巴契夫斯基，理应据有发现非欧几里得几何的绝对的优先权。然而非欧几里得几何的创造者当其在世时并未被人理解。直到60年代，罗巴契夫斯基的工作才为数学界所公认，而且在颇大的程度上乃是决定19世纪数学思想全貌的转折点 （4） 。
非欧几里得几何学在关于几何基础的问题里的意义
非欧几里得几何学直接地包括些什么内容呢？原来在几何学里可以抛弃第五公设，而采用这样的假设：在平面上通过取在一条直线外的每一个点，有无穷多条直线不与这直线相交。尽管这假设看来如此明显地不合情理，从它却能无限制地引出推论和证明定理而不造成逻辑的矛盾。结果就产生了新的非欧几里得几何学。固然，这几何学中的许多定理，我们从直觉的观点看来，在很多方面比原来的假设还要不合情理，而且有一些简直是骇人听闻的。可是在逻辑上，叙述依然是没有毛病的。
单是这种情况已经表明几何学的逻辑结构对于几何的直觉有一定的独立性，表明几何学的逻辑展开在某种程度上可以独立地甚至与来自物理实验的直觉观念相违地进行。但是事情的另一方面有更大的意义，那是高斯所已经注意到的。那就是说，很自然地发生这样的问题：如果两种几何——欧几里得的和非欧几里得的——都是在逻辑上毫无毛病地被建立起来了，那么，又怎么说明在物质世界中应该只有一种是正确的呢（或者说得更确切些，怎么说明其中一种应该比另一种更好地反映了延伸性呢）？这个问题的提出，直接地就引向在本文开头谈过的作为物理学的几何学和作为数学的几何学的那种区别。
事实上，如果当做现实世界的延伸性的知识来选取几何学，则数学自然可以向几何学建议各种各样方案的选择（科学的进一步的发展对罗巴契夫斯基的非欧几里得几何学作了别的一些更进一步的推广）。如何在这些方案中作最好的选择，必须通过物理实验来解决，在这意义下几何学变成了物理学真正的一部分。然而，在只存在单独一个欧几里得几何时，那自然会认为它是自然界所绝对必须的了。如果这种看法不克服，则在物理学中的如相对论的发现那样巨大的进步，就变成不可能的了。
其次，明白地说，即使认为我们的直觉观念给我们的是完全确定的指示，它还是不能同时对应于彼此有实质区别的所有几何学。所以我们只好保留一条出路：在作为数学的几何学的领域内，有可能更完全地利用命题的逻辑关系，而且在其上面奠定展开几何系统的基础。这说明，我们要过渡到上面描述过的公理法的观点。让我们来指出，在历史上为了实现这个目的，在经历过的途径上曾有哪一些最重要的标志。
希尔伯特的前驱者
在几何学公理法结构的领域里，第一个巨大的成就是帕士的研究“新几何学讲义”（Pasch, Vorlesungen über neuere Geometrie, 1882） （5） 。帕士认为，几何学的基本的命题应该从实验得来，但是几何系统的进一步的展开应该循着纯逻辑推断的途径进行。为了实现这个观念，帕士首先列举了有下列特性的12条公理（它们相当于希尔伯特的第一组和第二组公理）。其中最先的是关于点对直线和平面的从属公理。只是帕士实地讨论的不是直线，而只是线段，不是平面，而只是平面的有界的片断。他提出的理由是，无界的直线和平面我们不能从经验上得到，但是他没有看到，数学意义下的有界的线段我们也不能从经验中得到，也同样是抽象的结果。
上面谈到的公理断定，在两个点之间总有而且只有一个线段，通过每三个点总有一个“平面片”，如果线段的两个点处在给定的“平面片”上，则这线段的全部点就在包含给定的“平面片”的一个“平面片”上，等等。
这里所谓“线段”和“平面片”都是指的点集合。这些集合是怎样的而且所谓点又应该如何理解——在数学上是不定义而且也不需要定义的。就这一点说，我们应该知道的是，公理中所提到的一切，正好是在作几何学的公理法结构时所必须的。
帕士的从属公理（帕士自己并没有像以后希尔伯特所做的那样，把它们分在特殊的一组里）有一缺点：由于讨论直线段和平面片来代替直线和平面本身，以致显得非常复杂。在其他方面它们是选择得非常确当的，而且希尔伯特在消除了上述缺点以后，非常接近地把它们转载在他的第一组公理中。
在帕士的最先12条公理中接着还列入了那样一些公理，它们后来被希尔伯特列举在第二组公理中而且把它们叫做顺序公理。这些公理的表述是帕士的最大的功绩。实际上，我们不难设想点在直线上的分布，而且直觉地我们十分清楚。例如，如果C 在A 和D 之间而且B 在A 和C 之间，则B 在A 和D 之间。但是在作几何的公理法结构时，直觉性不应该在证明中引用，而且所有这种命题必须逻辑地从其中采用为基本的一些命题推得。帕士实地做到了挑选这样一些基本的命题而且把它们提出作为公理这一步。在那些公理中就有例如刚才写出过的命题和一些同样性质的命题；特出的是关于不在一条直线上而在平面上的点的位置这一个特别重要的公理；现在它就被叫做帕士公理（在希尔伯特的公理系统里这是公理Ⅱ4 ）。
然而帕士过分夸大了为建立点的顺序所需要的公理的个数；希尔伯特的第二组公理在数量上要少得多了。当然，所以能达到这一点还在于，为了建立直线上点的顺序引入了平面的顺序公理（帕士公理）；而直线上点的顺序希尔伯特也未能独立地建立起来。
在提出的12条公理以外，帕士还给出了关于图形的合同概念的10条公理（这相当于希尔伯特的第三组公理）。这些公理与为了引出全部合同性质所必需的极小个数公理相比是太多了。再有，阿基米德（Archimedes）公理也包括在这些公理之内（在希尔伯特的公理系统里它是属于第五组的）。
总的说来，帕士非常接近于达到了足以展开几何学的公理系统。虽然，他的主要目的却是另外一个：经过理想元素的引入，把度量几何包括在射影几何之中。从这个观点看来，他的研究在今天也还是有用的。
以后，意大利的学者们——丕阿诺（G．Peano）和他的学生们——对几何基础提供了一系列的工作。丕阿诺自己的研究“逻辑地叙述的几何基础”（Principii di geometria logicamente esposti，1889）讲述了比较狭窄的课题。丕阿诺给出的只相当于希尔伯特的第一和第二组公理，即关联公理和顺序公理。
然而在这个有限制的范围里，丕阿诺实地在叙述方面达到了逻辑的精炼。继续着丕阿诺工作的他的学生们，主要限制在射影几何的公理法上。所以我们只提出与我们的题目直接有关的庇爱里（M．Pieri）的一个研究“作为演绎系统的初等几何学”（Della geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo，1899）。在那里庇爱里独创地提出了欧几里得几何的公理系统的建立。
庇爱里似乎想引出极小个数的基本概念——即那些不直接定义而引用的和被整个公理系统所间接定义的概念。这些概念在庇爱里只有两个：“点”和“运动”。M．庇爱里的一个公理（公理Ⅳ）断定，每一个运动是点集合到自身的一一映射。但是这还不是运动的完备的定义，因为其余的公理还把补充性的限制加在这个概念上。例如，公理Ⅷ断定，如果a ，b ，c ，是不同的点，而且至少有一个运动（并非恒同变换）使它们保留不动，则把a 和b 保留在原位的每一个运动，也把c 保留在原位。这样一来，就不是点到点的每一个一一映射都是运动了。
具有在公理Ⅷ里所说的性质的点a ，b ，c 叫做共线的。由此出发，庇爱里给出直线的定义，在这以后还给出平面的定义。那就是说，平面是指由下列方式得到的点的集合。取不在一条直线上的三个点a ，b ，c ，而且例如把a 与直线bc 的点用直线连接起来。这些直线上的点按定义组成一个平面。在以后的公理中还刻画了直线和平面的概念。然后给出“介于” （6） 概念的极其人为的定义，而且以后还在公理上描述这个概念。球面用这样的点集合来定义：它从一个点经过保留另一个点在原位的所有运动而得到。
庇爱里的公理系统的缺点在于以下的几方面：由于庇爱里想达到基本概念的极小个数，为了这种形式上的简单，他在实质上却把公理系统弄得非常复杂。他的公理很多都是冗长的。例如公理ⅩⅣ：“如果a ，b 和c 是不在一条直线上的点，而且d 和e 都是平面abc 上与c 不同的点，它们又都属于以点a 和b 为中心而且通过点c 的两个球面，则这两个点d 和e 重合”。如果想把这个公理的叙述化成只是关于基本概念“点”和“运动”的叙述，当我们考虑到平面概念和球面概念都有其通过基本概念的直接定义时，我们就会知道。得到的叙述将是何等难以形容的复杂。由于过分减少基本概念的个数，庇爱里还不得不运用人为的定义来引入被抛弃了的基本概念（“直线”、“平面”、“介于”）。其后果是，不能按照各别的基本概念的作用范围来揭示公理系统的自然的逻辑划分，以致把逻辑关系弄得杂乱无章，而公理系统也就具有极为笨重的形态。
希尔伯特的公理系统（公理组Ⅰ～Ⅳ）
与庇爱里的工作同时，希尔伯特的《几何基础》也在1899年刊行了第一版。现在翻译的是1930年的德文第七版。在这样一段不短的时间以内，希尔伯特在其公理系统里作了一系列的修正和精炼。然而在本质上并未作任何改变。我们在这里将要就其最近的形式来谈一个他的公理系统，顺便指出从第一版的时候起有了些什么改变。
下面将要提出希尔伯特的主要功绩，这是他的著作被我们看做经典作品的原因。希尔伯特成功地建立了几何学的公理系统，如此自然地划分公理，使得几何学的逻辑结构变得非常清楚。公理系统的这种划分，首先就能够最单纯而又简明地写出公理，其次，即使作为基础的不是整个公理系统，而是按照自然方式划分公理系统而成的某些组公理，依然能够研究几何学究竟可以展开到多远。用来说明各别的公理组的作用的这种逻辑的分析，是希尔伯特在一系列有趣的研究里所实际进行的，这些研究在实质上也就是他的书的很大一部分内容。
此外，希尔伯特的工作激起了同一方面的一整系列的进一步的研究；其中有一些是他在附录里所论述的。
现在，让我们来探究一下在第一章里所叙述的希尔伯特的公理系统。
在希尔伯特的系统里讨论了三种对象：“点”、“直线”和“平面”，以及对象之间的三种关系，它们用话来说是：“属于”、“介于”和“合同于”。这些就是基本的概念，而且严格说来，在希尔伯特系统里研究的只是所说的对象和它们之间的所说的关系。所有其余的概念都可以在列举的六个基本概念的基础上给以直接的定义。
然而这些基本概念是些什么呢？我们已经说过，作为数学的几何学所关心的只是几何命题如何纯逻辑地从其中有限制的几个来推得。这些特别挑出的命题就是所谓公理。而如果从公理推得的结论完全是按照形式逻辑的法则作出的，则只要认为公理成立，所谓对象（“点”、“直线”、“平面”）和这些对象的所谓关系（“属于”、“介于”、“合同于”）究竟指的是什么就完全不起作用了。事实上，形式逻辑之所以被叫做“形式的”，正是因为它的结论就形式说是正确的，不管我们所讨论的对象在实质上指的是什么。所以在几何的公理法结构下，不论我们如何地来理解“点”，“直线”，“点属于直线”等，只要我们在作证明时所运用的公理是正确的，则严密逻辑地证明了的定理也是正确的。特别地，可以不必与通常直觉观念下的点、直线等发生任何关系。
总之，所谓“点”，“直线”，“平面”和所谓“属于”，“介于”，“合同于”诸关系，我们指的是只知道它们满足诸公理的一些对象和关系。 因此，对于这些对象和关系没有给出直接的定义；但是可以说，公理系统间接地把它们作为整体而规定了。
第一组公理包含8条公理。在其中列举了在建立几何学时我们所必须知道的关于“点属于直线”和“点属于平面”这两个关系的一切。完全不妨把这些字句设想为串在一条长轴上的小球等等，一般说来也不妨赋予这些字句以任何确定的意义。只是必须知道，如果给了两个不同的点，则就存在着一条而且只一条直线，属于每一个点（公理Ⅰ1 和Ⅰ2 ）等等。这样一来，在点和直线，点和平面之间可能存在而且被我们用术语“属于”来表达的一些关系，所受的限制只是第一组的8条公理对于它们说应该成立。而与这些关系相牵涉的任何别的概念，至少在几何学的公理结构下，原则上是多余的。
在这个意义下我们可以说，第一组公理是概念“属于”的间接的定义。希尔伯特在以后利用的是通常的术语“在……上”，“通过”，等等。当然，在这里并无任何新的概念，只是改变了原来的概念的说法而已。
总之，在第一组公理里规定了最基本的概念“属于”。在以后的各组公理的条文中这个概念就被假定为已经确立的了，因为它们确实出现在那些条文里。
在第二组公理里谈到的是这样一个关系，它发生在属于同一条直线的一个点和另外两个点上。这个关系我们使用“介于”这个词。在几何学的逻辑展开下对于概念“介于”所要求的一切，都无遗漏地列举在第二组的4条公理中。因此，关于直线上一个点在另外两个点之间的直觉观念也就不会造成几何学展开中的任何无原则性的损害了。在这一组里占有最重要的地位的是帕士公理（Ⅱ4 ），它为组成三角形（因而也就不能放在一条直线上）的线段规定了“介于”概念的性质。其余三条公理牵涉到的只是共线的点，按其内容来说是较为简单的。单是这三条公理即使为分布在一条直线上的点规定“介于”关系是不够的。为了这个目的，只有在引用了帕士公理也就是引用了平面结构以后，它们才变成充分的。
不妨指出，与希尔伯特著作的第一版相比，这组公理大大地简化了。在第一版里有如下的一些多余的要求：在两个已知点之间总有第三个点（现在是定理3）；在直线上的三个已知点中至少有一个点在另外两个点之间（现在是定理4；只是还保留不多于一个点的要求，那就是公理Ⅱ3 ）；直线上的四个点总可以这样编号，使得在每三个点中，有中间号码的点在另外两个点之间（定理5）。在这里面最大的简化是证明最后一个命题，因而有把它从公理中删去的可能。这是莫尔（Moore）在1902年所做到的。
在由第二组公理所规定的“介于”概念的基础上，已经可以用直接的定义来引出一些概念——线段，射线（半直线），角和它的内部（在书中角是在第三组公理之后引出的，虽然它的自然位置是在第二组之后）。
在谈到第三组公理时，我们要指出的是，在它们的条文中已经包括了“介于”概念，因为在其中提到了线段和角，而线段和角的定义已包含了“介于”概念。因此，“属于”和“介于”两个关系必须假定为已经确立的了。
第三组公理的目的在于写出合同关系的这样一些性质，它们要足以纯逻辑地推导出牵涉合同关系的全部定理。因此，我们认为，一个线段或者角可以与另一个线段或者角处在一种确定的关系中，这种关系就是我们用“合同”这个词来表示的，而且只知道它服从于第三组公理。
根据这个观点，即使是非常“显然的”性质（例如每一个线段合同于它自己；如果第一个角合同于第二个，则第二个也合同于第一个，等等），当它们还没有在公理的基础上用纯逻辑的方法证明时，我们就没有权利把它们加于合同概念上。顺便提一下，在括号里所提出的第二个论断很晚才被证明，它们只有从定理19才能得出，在那以前就不能认为∠α≡∠β和∠β≡∠α表示同一个事实。
第三组前三条公理是关于线段的合同的，第四个是关于角的合同的；起特别重要作用的是第五个公理，它是唯一的确定线段的合同和角的合同之间关系的公理。
在第一版里合同公理被写得过分强了。其中的一些后来可以用其余的公理来证明。那就是以下的几个论断：从已知点沿着已知射线截取的与已知线段合同的线段，不能多于一个（即在公理Ⅲ1 里，早先要求的不仅是点B ′的存在性，而且是它的唯一性）；每一个线段都合同于它自己；合同于第三个角的两个角彼此合同。这里最大的简化是从公理中删掉最后一个论断（现在是定理19）。证明这个论断的可能性是由罗森塔尔（Rosenthal）所发现的。
第四组公理只包含唯一的一个平行公理。添上这公理以后就使我们的几何成为欧几里得几何了；相反地，否定这个公理就将引向罗巴契夫斯基几何。
连续公理和非阿基米德几何
公理表最后的第五组公理（连续公理）占有非常独特的地位。第一版里在这组中只有叫做阿基米德公理的一个公理Ⅴ1 （“把足够多个与已知线段合同的线段接起来，总可以超过任意预先给定的线段”）。
希尔伯特在开始时没有注意到，对于通常意义上的欧几里得几何的结构而言，这些公理是不充分的。这一点可以被认为有些奇怪。实际上，假如让我们用笛卡儿（Descartes）直角坐标系x ，y ，z 表出通常的欧几里得空间，并且在其中只留下三个坐标x ，y 和z 都是代数数的点而剔除所有其余的点。不难验证的是，在这种“多孔的”空间中，希尔伯特的全部公理仍然有效，然而这个空间却是不完备的。
公理系统中的这个缺陷由一些学者［庞加莱（Poincaré），1902］向希尔伯特指出，以后在《几何基础》的第二版里就又引进一个公理：完备公理Ⅴ2 （在最后一版里，它以较为简化的形式作为直线完备公理而提出）。
在第一版中缺少完备公理这种看来是奇怪的现象，假如整个地知道了本书的内容，就会发现其根源。事实是，希尔伯特这本书的中心思想，按其实质是与连续公理无关地来展开几何学的。所以缺少完备公理并不在证明中造成实质上的错误或者缺陷；这个公理在引进了以后，只是一个空架子，在叙述中始终没有被用到。
完备公理的叙述是极其人为的，而且立刻就显示出它的目的——使公理系统在形式上有了结束，对于上面说过当只限于前面一些公理时在空间中可能出现的“漏洞”就可以弥补起来了。也就是作了这样的假定：点、直线和平面的集合，不能再添加新的元素，使得在扩大了的集合中，全部前面的公理依然都成立，而且使得“属于”、“介于”、“合同于”诸关系在用到旧的对象上时还保持原来的意义。
这公理的表述在最后一版中有些精简（直线完备公理），但是其基本的观点依然相同。明显地，这观点粗略说来就是，禁止讨论不完备的空间，即被剔除了一部分的点、直线和平面的空间。而且需要消除的正是这种可能性。
我们已经提起过，连续公理在希尔伯特的公理系统中占有完全独特的地位；它们好像不是嫡系，本书作者认为没有它们也无所谓：可以完全没有完备公理，也可以在大部分地方没有阿基米德公理。在这里我们应该顺便讨论一下这种现象的极为深刻的原因。
如果限于公理Ⅰ～Ⅳ，则希尔伯特公理系统的最本质的现象是实际上没有无穷集合的概念。固然，著者常常给出这样的叙述，使人很自然地会在集合论意义下来理解它们。例如，正文的开头，“设想有三组不同的对象……”，自然可以理解成被讨论的是某三个集合。然而这种叙述实质上是属于宣言性的，实际的叙述中是避开它们的。事实上，让我们以这个观点进一步来看一下叙述的特点。首先，很重要的是，希尔伯特避免把直线和平面理解成由无限多个点组成，而把直线和平面作为独立的基本概念引入。在这种情况下，在任何公理的表述中和在任何初等几何定理的证明中，牵涉到的显然只是有限个点（直线和平面也一样），而无限集合的概念还是不出现的。特别说来，譬如说直线上、平面上、空间中的全体 点的集合（这种集合必须会是无限的），就没有任何必要去加以设想了。在任何一个公理里都没有牵涉到这种集合。而如果在一个命题里断定了具有某种性质的点（如在两个已知点之间的点）的存在（或者不存在），则应该直接把它理解成许可（或者禁止）讨论具有已知性质的点的意义。至于具有已知性质的点在其中作为元素而存在（或者不存在）的全部点的集合，在这时完全不必去设想。
完全一样地，在讨论直线被在其上的点O 分成两条半直线时，并不必须说到直线上全体点（除掉O ）的集合被分成了两部分。实质上谈到的是，在我们的论证过程中是在作直线上的点，对于其中的每两个点A ，B 我们可以说，它们是否处在由O 决定的不同的半直线上（那时O 在A ，B 之间），还是处在同一条半直线上（那时O 不在A 和B 之间）。换句话说，无论我们多久地继续我们的论证，分成两类的工作是对论证中实际提到的全部点而作的；而且对于我们说这就已经够了。然而这种点永远只有有限个，以致直线上全体点的无限集合的概念依然还是多余的。
用相仿的方法一步一步地考察全部的叙述，我们可以断定，在实质上到处谈到的是有限次的构造步骤，构造法则是由公理给出的。因而在实质上并不迫使我们引用集合论的概念。
要提请注意的是，以上的叙述都是对公理Ⅰ～Ⅳ和从这些公理得来的那一部分几何而言的。连续公理Ⅴ是完全不同的一回事，在连续公理和前面的公理之间隔着一条鸿沟。连续公理在实质上要以无限集合的概念为前提，没有这个概念就无法表达连续公理。实际上，在连续公理的条文里直接谈到全部点的集合（在直线完备公理中谈到直线上的全部点的集合）。与公理组Ⅰ～Ⅳ相反，在这里是以集合论的观点为基础的。
即使是看来似乎意义较为清晰的阿基米德公理，也是以无限集合的概念为前提的。事实上，我们先取定一个线段A 0 A 1 ，和另一个线段B 0 B 1 。然后我们在射线A 0 A 1 上顺次作出点A 0 ，A 1 ，A 2 ，A 3 ，…，使得线段A 1 A 2 ，A 2 A 3 ，A 3 A 4 ，…都合同于A 0 A 1 。我们的论断是，在所作的序列中，可以求得点A n ，使得线段A 0 A n 超过B 0 B 1 。
这样，在每个个别的情形里我们只需要有限个点A 0 ，A 1 ，…，A n 。然而当我们把公理写成普遍的形状时，我们就应该包括了所有可能的情形，以致在其中就将遇到有任意大的号码n 的情形。
因此，在公理的普遍表述中，我们不能只考虑序列A 0 ，A 1 ，A 2 ，A 3 ，…的一部分，而必须整个地取这个无限的集合，并且断定，在这集合中有着具有所要性质A 0 A n >B 0 B 1 的点A n 。这样一来，假如没有无限序列的概念，我们就不能表述阿基米德公理了。
会发生这样的问题：主要是在怎样的意义下，才使公理Ⅰ～Ⅳ与公理Ⅴ相反，而不需要集合论的概念？
在公理Ⅰ～Ⅳ的基础上展开几何学时，我们可以根据的是形式逻辑的法则，这只能把它们应用于证明中实地讨论到的构造，这些构造总是有限的，而且完全可以观察到的。就因为这个缘故，全部论证才具有十分清晰的特点，以致在这里就不会发生任何微小的不明确性。
相反地，在应用公理Ⅴ时，我们实质上不能不考虑到无穷集合，而这就已经会带入原则性的不明确性了：我们希望给几何学以根据，然而却是在集合论的基础之上，而且正像每一种数学理论一样，集合论本身也必须有其根据。这样就产生了推广研究范围的必要性，以致在任何情况下，有限次构造所独有的那种完全的清晰性现在便消失了。
我们不想更深入地讨论这些问题了，只是以上的叙述已经说明了在几何学的基础上引入连续公理Ⅴ1 和Ⅴ2 所引起的那种原则性的复杂性。
希尔伯特在几何学的逻辑分析领域里的巨大成就，恰恰就在于他发现了，不利用连续公理，几何学在实质上也有发展的可能性。
没有连续公理的几何学，我们叫做非阿基米德几何学。正像我们将在以下的内容概述里肯定的那样，希尔伯特的这本书正是特地为它而写的 （7） 。
内容概述。第三和第四章：非阿基米德的度量几何学
第一章包含我们已经讲过的公理方法，以及一系列最直接地从公理得出的定理。读者必须注意到掌握这些定理的证明的全部重要性。希尔伯特公理系统的公理是很容易看懂甚至记住的，但是如果不学会如何实际运用这些公理，也就是如何根据这些公理严密逻辑地来证明一些定理，那么对于数学的发展说这些公理就是毫无用处的了。
希尔伯特的叙述一版又一版地变得更清楚和更完全。然而直到今天在其中还有着大量的证明方面的空白要读者自己去补全。这种情况大大地减低了本书的教学上的价值。问题不仅在于被省去了的证明中有一些是十分困难的，更重要的还在于初学读者即使作出了证明，也未必能够完全有把握地弄清楚他的证明在逻辑上是否无可责难，还是在其中某处已经混进了从直觉观念借用的假设。所以编者和译者想用附在本书最后的附注来补全叙述的空白。结果可以认为，叙述的易于理解现在已接近于大学教本的水平。
希尔伯特著作的第二章讲授由于公理方法而产生的逻辑问题我们留到后面去谈它，现在则从第一章直接过渡到第三和第四章。
在第一章里证明了的那些基本定理（定理1～31），不依赖于连续公理，因此是属于非阿基米德几何的。在第三和第四章里情形也是如此。只是与第一章比较起来，在这里问题要复杂得多。
第三章的目的在于引入线段相比的概念，特别在于建立在非阿基米德几何里的 相似形理论；在第四章里则建立了非阿基米德的面积理论 。在通常的叙述里这些课题是通过在几何中引用数而解决的。那就是说，用大家熟知的方式，与每对线段AB ，CD 对应的是表达它们的比值实数。把一个线段，譬如AB ，分成n 个相等的部分之后，我们陆续加接线段
，直到获得超过CD 的线段才止。设在线段
加接m ＋1次时我们首次得到这样的线段。那么可以证明，当n →∞时
趋向一定的极限；这极限就叫做比值
。
我们看到，这个作法在实质上假定了阿基米德公理：在非阿基米德几何里可能有这样的情况，无论我们多少次加接线段
，我们总不能够超过线段CD ，因而也就无法决定数m ＋1。还可能有这样的情况，无论我们取怎样大的n ，
仍然大于线段CD ，使得m ＋1永远等于1，以致不得不取零作为比值
，尽管线段CD 并未退化成为点。
这样一来，在非阿基米德几何里我们不能够按照通常的方法用数来刻画线段的比值。 因而我们也就无法在通常的意义下来谈到线段的成比例（比值相等），以致相似形理论变成无内容的了。由于面积比值的概念按完全相同的原因失去了支柱，面积的测量也成为不可能的了。此外，譬如说，由于我们不再有三角形的底和高的数值表示（在通常的叙述里，这是底和高那两个线段与取作长度单位的线段之比值），三角形面积用底和高的乘积之半来表示的式子也失去了意义。
希尔伯特用非常有趣的，主要还在于用很自然的几何方法，克服了这个困难。他指出：在几何学里不一定要运用数的概念；只用几何的方法也可以进行计算（线段的计算法），这种计算法给予我们与实数的算术同样的方便。
首先，在§13里这种计算法是以抽象的形式给出的。考虑一些对象——希尔伯特把它们叫做复数系统的数，对这些对象提出列举在公理中的一些要求。那就是说，公理1～12为这些对象确立了有普通性质的加法和乘法运算（以及它们的反运算）。
这时自然并不需要使这种加法和乘法运算具有包含某种意义的直觉性。所谓加法，简单地只是一种法则，它使每对对象都有对应的一个第三个对象；所谓乘法也是类似的一种法则。以后我们关于这两种运算所需要知道的一切，都已经列举在所说的公理中了。
满足公理1～12的对象集合，在近世代数里叫做域。有公理12的域叫做可换的，否则叫做不可换的。
但是我们所要的不仅是一般的域，我们还需要这域是有序的。公理13～16为所讨论的对象引出“大于”和“小于”的关系，并且指出这两个关系的性质。当然，在这里对于我们对象的“大小”也没有假定了任何直觉的意义，关于“大于”概念所必须知道的都已列举在公理13～16中了。
总之，公理1～16决定了有序域，而且用这种方式定义了的运算（对域的元素进行的计算）恰好就起着基本的作用。至于连续公理17～18，则可以证明它们只是一般地把有序域（由公理1～16决定）变成全体实数的域罢了。在非阿基米德几何里，由于在这种几何中缺少连续公理，在作线段的计算时这两个公理就不能使用。
然后在第三章里，这个以公理1～16抽象地规定的计算法几何地被实现了。那就是说，取作计算对象的是非阿基米德几何里的线段（并且不考虑它们在空间中的位置，彼此合同的线段被认为是同一个对象）。线段的加法和乘法运算（§15）用几何方法引入，在加法的情形完全是显然的。“大于”的概念也是几何地用通常的方法定义的。可以验证，在这种线段计算里，公理1～16成立。在验证中起基本作用的是希尔伯特简短地叫做巴斯噶（Pascal）定理的那个定理。实质上，这是当圆锥截线退化成一对直线而且六角形的对边都平行时巴斯噶定理的特别情形。
必须注意的是，作为计算元素的线段，直接地只提供公理1～16决定的有序域的正元素。为了完整地得到这个域，必须像在§17里所做的那样，在讨论中还要引用“零线段”和“负线段”。如果只限于沿一条直线上截取线段，而且约定总按确定的顺序来取线段的端点，则正负线段就可以几何地用通常的方法来决定。
为了作出相似理论里的全部主要的命题（§16），只要利用正线段就够了。作为非阿基米德相似形理论的本质的根据，我们现在又可以重谈到两个线段a 和b 的比值了，只是指的不是数，而是在我们的计算法中a 被b 除所得到的线段。 线段a ，b 和线段a ′，b ′的成比例则可以用下列线段等式来定义：
或者ab ′＝ba ′也一样。
然而在正文中并没有明白地说出线段的比值是线段，那是因为在这种情况下的比值有严重的缺陷：它依赖于在我们的计算法中单位线段的取法。然而上面那样定义的线段a ，b 和a ′，b ′的成比例有着不变的意义，这只要从定理42就可以看出。而因为对于相似形理论而言，重要的只是具有其普通性质的线段的成比例，所以可以毫无困难地按照通常的叙述那样地建立起整个的理论。
在第四章里所叙述的非阿基米德的面积理论，完全一样地是利用了线段的计算法来代替线段的数值表示和对这种数进行的运算。
首先定义了两个多边形的剖分相等（剖分成两两合同的三角形的可能性）和拼补相等（两个多边形经过拼补上两两合同的三角形以后，再剖分成两两合同的三角形的可能性）。这两个概念在普通的几何里是等价的，在非阿基米德几何里是不等价的。必须把这两个概念中含义较广的一个、即拼补相等作为基础。希尔伯特指出，有相同的底边和高的三角形是拼补相等的，但是却可以不是剖分相等的。
然后确立了与普通情形相仿的拼补相等的一些基本性质（定理43～47），提出一个重要的问题：证明多边形不能与其一部分拼补相等（定理48的意义就在于此）。如果事实不是如此，则面积相等的概念就失去了它的价值。因为我们在运用面积时就没有可能添上“大于”和“小于”的概念。实际上，假如一个多边形与另一个多边形的一部分面积相等，很自然地可以认为第一个多边形按面积小于第二个多边形。但是如果多边形居然与其一部分面积相等，则就不能不认为它比它自己小，等等，这就使“大于”和“小于”概念完全失去了意义。
这样一来，在扩大的形式下，我们的问题就化成了下面的问题：对于边多形引出具有普通性质的“相等”、“大于”和“小于”的概念，并且既要使得前面已经定义了的拼补相等起着相等的作用，又要使得包含在另一个多边形里的一个多边形总被认为是较小的（因此它们就不相等）。
希尔伯特使每个多边形对应于一个确定的线段，而解决了这个问题，这线段就叫做多边形面积的量。那就是，使每个三角形对应于一个线段，等于在线段计算意义上的底乘高的乘积之半。使每个多边形对应于一个线段，等于与其剖分中的三角形对应的诸线段之和。这时可以证明，这个和并不依赖于剖分的方式。主要的结果写在定理51里：多边形拼补相等的必要和充分的条件是它们面积的量相等。于是多边形“相等”、“大于”和“小于”的概念（对于它们的面积而言的）就不难利用对应线段（面积的量）的比较而引出了。特别地，如果一个多边形包含在另一个多边形内，则很容易从定义得出，后者的面积是前者的面积加上相差部分的面积，那是因为它大于两个加项中的每一个。要注意的是，在这里我们总认为面积的量是正的线段。固然，在正文中，在牵涉到多边形的定向时，也讨论了负的面积的量，这只不过是为了证明（定理49和50）过程中的方便而已，对于最终地写出的结果而言这完全是多余的。
还必须说明一下，这种面积理论与初等几何的传统内容有什么关系。如果我们抛弃非阿基米德的观点，则线段就可以用数来表示，以上的全部理论也就可以从把面积的量看做数来展开（把三角形底和高的线段的相乘换成代表它们的数的相乘）。然而这依然还不是通常教科书中所叙述的理论。问题是在于，在通常的叙述里暗地假定了，可以有正数与每个多边形相对应，使得对应于合同的多边形的是相等的数，对应于合成的多边形的是对应于其各部分的数之和，对应于单位正方形的是单位数。所有这些都没有作任何的证明而假设为显然的，在以后只研究在这种情况下这些数是什么，证明对于三角形而言这一定是底和高的乘积之半，等等。
把希尔伯特的理论移到初等几何里以后，我们就可以证明，对应于每个多边形，确实可以有具有所列举的性质的数。简短地说，希尔伯特理论证明了面积的量的存在性，而通常的理论则证明了它的唯一性。
内容概述。第五和第六章：非阿基米德的射影几何
在这两章里我们撇开了第三组公理，因此我们删去了线段和角的合同的概念，以致在实质上我们过渡到了射影几何的范围。因为在注解［58］里对于这一点有所说明，我们不拟说得更详细了。要注意的只是，我们还是大多不利用连续公理，以致可以说，研究对象是非阿基米德的射影几何。
当然，就希尔伯特叙述的字面上的意义看，说研究的是非阿基米德的仿射几何也许更确切些。但是如果在讨论中引入假（无穷远）元素，就像在注解［58］里所做的那样，则得到的空间可以叫做非阿基米德的射影空间，而且全部叙述可以在更广泛的意义下使用。那就是说，在正文中所给的全部作法，可以认为是在非阿基米德的射影空间中作的，只是在其中剔除了一个任意选取的平面。至于直线的平行性则在这时可以理解为它们相交于这个平面上。
必须注意的是，在注解［58］里非阿基米德射影空间的作法，从并未引进射影的顺序关系这一点说来，是没有完成的，但是在第五和第六章里，顺序关系一般也只占有附属的地位。
在第五章里首先解决的问题是：在非阿基米德的射影几何里引进坐标系以至一般地引进解析几何的方法。 由于缺少阿基米德公理，在这里不能用通常的数作为坐标；甚至连第三章中所作出的线段的计算法也不能利用，因为这是以合同公理作基础的。但是希尔伯特的出发点是，建立新的不利用合同公理的线段计算法，它有纯射影的特性。计算的对象，像在第三章中一样，是线段。但是如果在以前选取的线段有完全任意的位置，并且彼此合同的线段，作为计算对象，彼此并无区别，则现在讨论的线段，只是从一个固定的起点O 出发，沿着通过这点的两条固定的直线而截取的线段。从O 沿着一条固定直线截取的线段，作为计算对象，被认为是等于从O 沿着另一条直线截取的线段，假如连接这两个线段端点的直线平行于一个固定的方向的话。
在几何构图的基础上给出线段的和以及乘积的定义，而且证明所作出的计算法满足§13中除掉要求12以外的所有要求1～15。换句话说，我们的线段的集合一般说来可以认为是非可换的有序域。希尔伯特把这种域叫做德沙格（Desargues）数系，而且取它作为非阿基米德射影空间中解析几何的基础。
第五章的目标，只是在平面上建立了解析几何，虽然在空间中完成同样的作法并无任何原则性的困难。
我们在平面上取通过固定点O 的两条直线（它们就是坐标轴），而且在每条直线上任意地取一个点，它们在线段的计算法中就被用作单位点E 和E ′。
任意点M 的向径OM ，我们按通常的方式沿两条轴而分解。如果得到的线段我们可以用数来表示，则就得到了通常的仿射坐标系；但是现在我们直接用线段代替数来作为计算对象，这我们在前面已经说过。
作为计算对象的这两个线段（沿轴分解而得到的），我们叫做点M 的坐标x ，y 。主要的结果在于：直线的方程有通常的形式：
ax ＋by ＋c ＝0
只是这时有一个条件：流动坐标x ，y 的系数a ，b 写在左边（a ，b ，c 也是我们计算对象的线段），这在现在是非常重要的（ax ≠xa ，等等）。
这样，在非阿基米德射影平面上引进了解析几何。自然，假点在这时没有得到坐标，而为了要写出假点的坐标，则必须完全像通常所做的那样过渡到齐次坐标才成。只有齐次坐标x 1 ，x 2 ，x 3 现在有这样的一个特点，它们可以在右边乘上一个公共因子ρ ≠0而还决定同一个点。
在引进了解析几何以后，要解决希尔伯特在第五章里看做主要结果的下一个问题，就没有特别的困难了。
我们来讨论空间中一个平面上的几何。这几何的对象是属于已知平面的点和直线。从所讨论的公理（第一组公理，第二组公理和第四组公理，看§22）中只需要保留平面的公理，即只与平面上的作图有关的公理（Ⅰ1～3 ，Ⅱ1～4 Ⅳ* ）。此外，还需要平面上的德沙格定理（定理53）成立。在任何的射影几何教程中可以看到，在证明这个定理时用到了空间的作图，尽管这个定理具有平面的特性。希尔伯特证明，这不是偶然的：根据刚才列举的平面公理，德沙格定理不能被证明（即使添上连续公理和公理Ⅲ5 以外的全部合同公理来加强它们也是一样）。固然，利用全部合同公理可以不过渡到空间而证明德沙格定理，但是这不是我们现在所关心的，因为我们研究的是射影几何，所以不考虑合同的概念。
总之，平面上德沙格定理的真实性，是不能从平面的射影几何公理推出的。所以，要想不过渡到空间，独立地来作出平面几何，我们应该把德沙格定理作为新的公理添到平面公理Ⅰ1～3 ，Ⅱ1～4 ，Ⅳ* 上去。
然后就可以证明，平面公理的这种推广对于我们的目的说已经足够了。那就是说，在平面公理和德沙格公理成立的平面几何里，可以作线段的计算（§24～§26）和引出我们已经谈到过的解析几何（§27）。这样，在得到了德沙格数系以后，我们把它用于（§29）空间的形式的解析作法上（点指的是德沙格数系三个元素的组，等等），在其中满足全部公理Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，而且在它的诸平面上实现原来的平面几何。
主要的结果是这样：要使得在平面公理Ⅰ1～3 ，Ⅱ1～4 ，Ⅳ* 上的几何可以在空间的诸平面上实现（满足公理Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的），必要和充分的是，在这几何里除掉所说的公理以外，德沙格定理也成立。
第六章对这些问题作更深入一步的讲述。在第五章里提到的是非阿基米德射影几何，即以公理Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ为基础而不依据合同公理Ⅲ和连续公理Ⅴ的几何。但是这自然并不是说，抽出的公理在我们的几何里一定是不对的。实际上，当除去以公理Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ为基础的命题以外，抽出的公理有一部分甚至全部也成立时，我们的全部结论依然是对的。
特别地，不妨问一下，当除去公理Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ以外，阿基米德公理也成立时，我们的几何将是怎样？阿基米德公理现在必须有与第一章里不同的写法，这是因为我们现在没有线段合同的概念，因此也就不能从一个已知点开始来截取已知线段。但是在另一方面我们有了在§24～§26的线段计算意义上的线段加法的概念，以致所谓逐次地截取已知线段a 我们可以理解成逐次地作加法
a ＋a ＋a ＋…
阿基米德公理断定，这种形状的和当加项a 的个数充分大时，必定会超过任何预先给定的线段b （当然，线段a 和b 都是作为计算元素的线段，因而都从同一个点O 沿着同一条直线截取；此外，我们认为a >0，b >0）。
在§32里证明，这个公理的引入促成了德沙格数系中乘法的可交换性。因而巴斯噶定理成立。实际上，在§34里证明，这两件事是等价的。这里还包括了在添加阿基米德公理以后我们的几何系统的特殊化。然而在那里还留下这样的疑问：不把阿基米德公理添加到所采用的公理Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ上，乘法的可换性和巴斯噶定理能被证明吗？那时上面所说的特殊化就会成为虚假的了。这问题在§33里解决了，在那里给出了确实非可换的（因而是确实非阿基米德的）德沙格数系的例子。
在空间的解析作法中利用这种数系的元素（点是三个元素x ，y ，z 的组，等等，按照§29），可以得到一种几何，在其中公理Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ* 成立，同时线段的计算确实是非可换的，因而巴斯噶定理不成立。
这样一来，没有阿基米德公理，只根据公理Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ* ，要证明巴斯噶定理是不可能的。
内容概述。第七章：非阿基米德的作图理论
让我们再回到非阿基米德度量几何的领域来，即依据的是全部公理Ⅰ～Ⅳ。因此，排除的只是连续公理。同时我们所谈的限于平面上的几何。
容易看出，有一些公理的内容是肯定一些确定的作图问题的可解性。那就是肯定这样一些可能性：通过两点引一条直线（Ⅰ1 ），在已知射线上截取与已知线段合同的线段（Ⅲ1 ），和在已知半平面上从已知射线起画出与已知角合同的角（Ⅲ4 ）。还有一个类似的断言包含在平行公理Ⅳ中。假如取欧几里得原来的表述法，这一点会显得更明白些：两条直线被一条割线所截，当组成的同侧内角之和小于两直角时，它们彼此相交。因此，在这里断定了在确定条件下作出两条直线的公共点的可能性。
看一下公理Ⅰ～Ⅳ，不难肯定，这一些已经包括了只有直接用公理才能解决的全部作图问题。因此，在我们的几何中，可解的其余的作图问题就需要化成所列举的四个基本问题。
再有，假如从列举的基本问题中删去作角和截取任意线段，而换成逐次截取固定的线段，可以证明，在这种情况下以上的结论依然真实（定理63）。因此，在我们的处置里保留了使用“直尺”和放置“迁线器”，而且这就足以完成全部可能的作图了。
我们看到，在基本的问题里完全没有提到圆，虽然通常在几何作图时我们习惯于同时使用“直尺”和“圆规”。这事实不是偶然的：在几何作图中，圆的价值只在于在已知的条件下我们可以作出两个圆的交点以及圆与直线的交点。
然而在非阿基米德几何里，即使在直线上明知有着离圆的中心小于半径的点时，我们也不能断定直线与圆相交。由于缺少连续公理，直线可以从圆的内点区域“溜”到圆的外点区域，而“不碰到”这个圆。所以对于非阿基米德的几何作图而言，圆是不适于使用的，以致我们不得不限于使用比较粗糙的工具。
然后，定理64指出，从已知的一些点通过直尺和迁线器作图而得到的那些点，其坐标可以如何地来决定。证明了的是，从原来的点的坐标经过四种有理运算和从已经作出的数的平方和求平方根，就可以得到所作出的点的坐标（我们回到通常的几何，而且单单提到实数，虽然当坐标是非阿基米德几何里线段计算的元素时，这些论证还是对的）。
本章的其余部分围绕着定理65。
大家知道，用直尺和圆规可解的作图问题是这样地被决定的：所求点的坐标可以由已知点的坐标经过四种有理运算和从任意已经作出的正数开平方来表达。
由此再一次地看到，利用直尺和迁线器可解的问题，乃是利用直尺和圆规可解的问题的一部分。
证明了的是（这是指定理65），这个特殊情形是这样决定的：问题的解有最可能多的个数（只考虑实解，包括与假元素有关的解）。那就是说，如果对于问题的解析的解需要不少于n 次的开平方，则在这个特殊情形里，它的解的个数应该等于2 n ；这是必要的，也充分的。
无矛盾性的问题
当在公理的基础上纯逻辑地展开几何学时，很自然地出现在我们面前的第一个问题是关于我们公理系统的无矛盾性的问题。是否能保证我们的公理系统没有矛盾的现象，是否可能发生这样的事，在我们证明了一个定理的同时，发现它的反面也成立？在那样的情况下，我们的公理系统就没有任何的价值了。在专讲逻辑问题的第二章里，这个问题最先被提出，而且通过我们几何系统的解析的解释而得到了解决（§9）。解析的解释的意义在于给几何的基本概念以算术的说明（如用三个实数的组代表点等），并且在这种说明中，当把全部公理化成实数的算术命题时，它们依然真实（这个问题详细地被叙述在注解［35］，［36］和［37］里）。所以在我们的几何系统里的任何矛盾，就意味着在实数的算术里的矛盾。因此，我们不能完全确切地说，几何学的无矛盾性的问题在§9里被解决了，它只是被化成了更基本的问题，即化成了算术的无矛盾性的问题。而因为整数的算术以及进一步的实数的算术，几乎是一切数学的基础，所以算术的无矛盾性的问题与一般数学的根据问题有不可分割的密切联系。
再有，因为我们从公理出发，依据逻辑法则作出了论断，所以要想确定我们的几何系统的无矛盾性，在研究数学内容的同时，我们还应该研究逻辑学。
能够用来解决这类问题的途径和方法，由希尔伯特和其学派所提出，这里的基本思想如下：数学命题和逻辑法则都可以利用特殊的符号写成公式的形状，而不需要加入任何文字上的表述。逻辑思考的过程就换成了以这种公式依照严格地描述了的规则而进行的操作。那就是说，从已经作出的公式，依照精确地指出的方法。纯粹机械地解决组成新公式的问题，而且这就代替了从一个命题引出另一个命题的自觉的推理。因此，数学和数学方面所研究的逻辑内容，就以公式链子的形式出现在我们面前。这个链子开始于描述数学和逻辑公理的公式，然后就可以用机械地组成新公式的方法无限制地延长下去：这时我们不必过问，写成的一个公式究竟有怎样的数学内容；我们关心的只是公式本身，它完全是一些记号的具体而又可见的有限组合。希尔伯特学派正以这样的态度来处理无矛盾性的问题：要求证明，在公式的链子中不能出现表示矛盾的公式。
然而，尽管在这方面已有了大量的著作，重要的数学部门的根据问题还远没有穷尽。作为本书附录的希尔伯特在这些方面的论文（附录Ⅵ～Ⅹ） （8） ，其目的就是把读者引进他的思想的圈子。自然，这些论文大多数具有草案的性质，而且在某些部分写得有些半明不白，它们从任何方面说都不能被认为是有头有尾地叙述了问题（它们当然更不能反映后一些年代在这方面的结果）。依据这些论文来研究希尔伯特的证明论未必是可能的。但是，希尔伯特在这些论文里，却以极大的热情和常常是真正艺术的手法描述了在数学基础这个领域里他的思想发展的一般过程。而且即使读者忽略了大量的细节，他还是会在整体上获得关于这些创作精神和创作风格的生动而又鲜明的观念的。
我们还注意到，虽然在希尔伯特的论证里的哲学因素有时带有唯心主义的特性，还是不难发现其理论的客观的唯物主义的内容。上面已经指出过，数学理论的无矛盾性应该在把它展开成一系列公式的基础上去发掘。每个这样的公式都是一些记号的有限组合，而且我们完全丢开了这些记号的意义而把它们看做独立的对象。先决条件是：我们能够牢牢地掌握这种运用记号的形式上的处理，例如，善于在一堆记号中找出相同的记号，善于把一个确定的记号甚至整整一个记号组合换成别的，等等；而且这些运算是直截了当地明白的，不需要任何进一步的解释，也不会引起任何原则性的疑惑。
简短地说，我们假定，对于用来组合成我们公式的记号，我们在处理时不会比处理物质世界的对象时更差些。由于我们提到的永远是记号的有限组合，这一点确实是完全合理的；举例说，我们可以用铅笔把每一个公式全部写在纸上，因而，假如有必要的话，就可以把组成这公式的记号作为由石墨作出的物质对象而实现出来。
总之，希尔伯特理论从其最根本的基础上说——按其客观的意义说——依然诉之于物质的经验，因为它提供的只是以数理逻辑的记号作有限次的演算，正如同它们都是物质世界的对象一样，而这一点之所以可能，就在于所有组合的严格的有限性，当挑出每个这种组合来考察时，由于达到终端的可能性，总能遇到其中的任何数理逻辑的记号。所以所谓希尔伯特的“有限处置”在他的理论里占有极为重要的地位。
关于公理的独立性
我们已经说过，很自然地会希望公理系统就其所包含的要求方面说来是极少的，希望这些要求中没有多余的。如果要正确地描述这个观念，则我们就将引出公理的独立性的概念。
我们说一个公理对其余的公理（或者其中的一部分公理）是独立的，如果它不能作为这些公理的逻辑推论而推出的话，因此，对其余的公理来说是独立的公理，在任何情况下都不能无故地从已知几何系统的公理中删去；失去这个公理的损失是无法补偿的，因为它所包含的东西不能从其余的公理推得。
在把公理系统化成极小的意义下，事情的理想状况是这样的，那时公理中的每一个都与其余的公理无关。在这种情况下，实际上是肯定在我们的公理系统里不能再作任何的简缩，并且任何简缩都将会在实质上减弱公理系统，因而也就改变了几何系统。
然而，在我们所关心的希尔伯特公理系统里，事情的这种状况是不能达到终点的。问题在于，例如在表述与“介于”概念有关的第二组公理时，假定已经建立了具有第一组公理中所写的性质的“属于”概念。而在表述合同（第三组）公理时，除此而外，还假定已经用第二组公理建立了“介于”概念。这种前提为了要能表述第三组公理有时是极重要的；例如在公理Ⅲ4 的表述里用到了半平面的概念，它不利用第二组公理是无法建立的。
所以，甚至要提出例如关于帕士公理Ⅱ4 对第三组公理的独立性的问题也是毫无意义的：不必想证明帕士公理不能或者能从这些公理推出，因为在表述它们时，早已必须假定帕士公理的真实性了。
希尔伯特讨论了的（§10～§12）只是一些最使人关心的公理的独立性的问题。首先谈的是平行公理Ⅳ对所有其余的公理的独立性。在这个例子上我们也说明了用来证明一个定理的独立性的一般的方法。我们讨论一个新的公理系统，在其中去掉平行公理以外，所有的公理都与希尔伯特系统中的公理相同，至于平行公理则换成它的否定（即肯定可以找出这样的直线和在它之外的点，通过这个点可以引多于一条的直线，不与已知直线相交而与它处在同一个平面上）。
设想我们已经确立了这新的公理系统的无矛盾性。那么由此就可推出平行公理对其余公理的独立性。事实上，如果平行公理是其余公理的推论，则它也将从新的公理系统（在新的公理系统里包含着除平行公理以外的所有原来的公理）推出。而因为在新的公理系统里还包含着平行公理的否定，所以新的公理系统就违反了已经确立的结论，而包含了矛盾。
总之，为了证明已知公理对其余公理的独立性，只要把已知公理换成它的否定，对于其余的公理保留不变而得到的那个公理系统，来证明其无矛盾性就成了。在我们所说的情形里，问题显然变成证明罗巴契夫斯基的非欧几里得几何的无矛盾性了。
在提出关于欧几里得几何的无矛盾性的问题时，我们通过解析的实现把它化成关于算术的无矛盾性的问题。同样地，罗巴契夫斯基几何的无矛盾性的问题，可以通过例如罗巴契夫斯基几何的凯雷（Cayley）和克莱因的射影解释实现，化成欧几里得几何无矛盾性的问题。希尔伯特引用的就是这个实现。在欧几里得空间里取一个球，而且约定认为：点是指球内的点，直线是指端点在球面上的线段，平面是指球被平面所截而得到的圆的内部。从属性以通常的意义来理解，点在直线上的顺序也以通常的意义来理解，而两个线段或者两个角的合同，则是指在把球的内部变成自己的空间到自身的直射（射影变换）下，这两个线段（或者角）叠合的可能性（详细的叙述可以去看克莱因著的非欧几里得几何学）。
可以验证，在这种解释（实现）下，基本的几何概念显得是适合于平行公理以外的全部希尔伯特公理的，至于平行公理则显然是不适合的。换句话说，我们有了罗巴契夫斯基几何的一个实现，在这实现下，这几何的所有的基本概念以至于所有的命题，都被解释为欧几里得几何的一些概念和命题。因为在这实现下罗巴契夫斯基几何的公理成立。所以，如果它们引向矛盾，我们就将在实现里得到矛盾。可是在实现里，罗巴契夫斯基几何的命题被解释为欧几里得几何的命题；因此，我们就将在欧几里得几何里得到矛盾。所以，如果我们承认欧几里得几何无矛盾，则我们不得不在同样的程度上承认罗巴契夫斯基几何无矛盾。
然后（§11）希尔伯特证明了公理Ⅲ5 ，对所有其余的公理的独立性；问题是在于，这个公理初看起来是过分复杂和笨重的，“就像定理似的”。然而独立性的证明表明，我们不能删去这个公理，因为它不能从其余的公理得出。
最后（§12）证明的是，阿基米德公理与前面的公理Ⅰ～Ⅳ无关。以这个目的建立了狭义的非阿基米德几何，即阿基米德公理显然不对的几何。
关于附录
在1930年的德文第七版本里，正文最后作为附录而印出的，有希尔伯特在不同的时间内写的10篇论文；这些论文完全翻译出来了。关于讲述算术基础的论文Ⅵ～Ⅹ，我们在上面已经谈过了。论文Ⅰ～Ⅴ具有几何的特性；在其中研究的是一些个别的问题，它们各有其重要性，但是是截然不同种类的，而且与正文的内容相比要具有狭窄得多的特性。只有论文Ⅱ（研究删去镜面对称的平面几何）和Ⅲ（连续公理不存在的罗巴契夫斯基几何的作法）按文体接近正文，其余的与正文都只有间接的关系。
附录的文章，不仅由于其非常专门的主题，而且由于其高深的程度和叙述的特点，只能留给专门的读者。因而在翻译附录时，并不曾为了在所有主要的方面补足作者的常常是过分粗略的叙述，作出了详细的注解，而对于正文则是提出了这样的任务的。
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（1） 此段苏步青教授也曾译过，发表在“数学通报”上。——译者注
（2） 第五公设的历中在“Н．И．罗巴契夫斯基全集”第一卷中卡岗（В．Ф．Каган）的论文里有所叙述。
（3） 可参见他的著作《几何学》。
（4） 从较广的历史远景中来看罗巴契夫斯基的生活和创造途径，在卡岗的书《罗巴契夫斯基传》里有所说明。
（5） 在这篇简短的绪论性的文章里，我们不得不像忽略许多其他的因素一样，忽略了在几何基础范围里的与李（Lie）和克莱因（Klein）的名字相联系的解析方面的历史。在В．Ф．卡岗的书《几何基础》第二卷“几何基础学说发展的历史概述”里可以看到这方面问题的极好的叙述。该书第一卷讲述几何学根据的最初的本源，在某种程度上那是把解析的和综合的方面结合起来的。
（6） 在文中有时译成“在……之间”。——译者注
（7） 著者通常是在比较狭窄的意义下使用“非阿基米德几何学”这个名词，那就是指不仅不利用连续公理、而且明白说出它不成立的几何学。
（8） 第七版以前的附录（Ⅵ～Ⅹ）自第八版以后均去掉。——译者注
