第8章　不可逆过程的微观理论 ⁽¹⁾

不可逆性以及经典力学和量子力学表述的扩展

在第7章，我们已经看到，把不可逆性引入经典力学所必需的“最低限度的假定”是经典可观察量概念的扩大，我们已经引入了一个算符M来代替坐标和动量的函数。这意味着经典力学不再靠研究轨道来构成，而是转而研究分布函数的时间演化。

在量子力学中，情况也有点类似。在薛定谔方程3.17所描述的波函数的可逆演化的框架中，无法引入像M那样的算符（参见附录C）。

因而，正如在经典力学中那样，我们需要转向系综理论（见第3章）和使用刘维定理的量子表述（式3.36）。此外，在量子力学中，我们必须区分出作用在波函数上的算符与作用在算符（或矩阵）上的“超算符”，例如，刘维算符作用在密度矩阵ρ上（见式3.35，式3.36），因而是一个超算符。

在量子力学中熵算符M也是一个超算符，因为它作用在密度矩阵ρ上。然而，它与刘维算符L根本不同，这起因于我们在第3章引入的纯态与混合态之间的差别（见方程3.30和3.32）。正如在附录C中详细叙述的，L是一个“可因式分解”的超算符，其意义是：当做用在与一个纯态相对应（即与一个完全确定的波函数相对应）的ρ上时，它使系统处于一个纯态（即对应于一个十分确定的波函数）。这是与薛定谔方程3.17相一致的，按照薛定谔方程，一个波函数随着时间的推移演变为另一波函数。在另外一方面，M是不能因式分解的，它不保持纯态与混合态之间的差别。换句话说，在一个李雅普诺夫函数所描述的不可逆过程出现的系统中，纯态与混合态之间的差别消失了，当然这并不意味着薛定谔方程成为错误的了——或者经典力学中的哈密顿方程成为错误的了——可是纯态与混合态之间的区别（或波函数与密度矩阵之间的区别）不再是可观察的，只要可以引入M，我们就能如在经典力学中那样做下去。照例，遍及相空间的积分为迹算符所替代（见式3.32），于是式7.18成为

同时

我们又一次看到，并非总能找到一个算符M使得这两个不等式得到满足。另一方面，如果哈密顿量有一分立谱，波函数（或ρ）的运动是周期性的，因此连续谱的存在乃是一个必要条件。

详细讨论不可逆过程的微观理论将超出本书的范围，这里我们只希望帮助读者掌握所涉及的概念的物理意义。首先，我们将在一种如式8.1表示的李雅普诺夫函数的存在同玻耳兹曼方法之间建立联系，然后从定性方面讨论某些应用，在第3章中我们已经看到，对于传统量子力学造成的一些未解决问题，至今仍在作广泛的讨论。一旦不可逆性和谐地并入动力学的描述中去，就能以一种新的眼光来看待这些问题。

新的变换理论

假设我们能构成一个经典力学或量子力学的算符M，使得式7.18或式8.1表示一个李雅普诺夫函数。即使如此，我们仍然与玻耳兹曼的思想相差甚远。因为这些李雅普诺夫函数包含的算符M，与系统的“动力学”有关，相反，玻耳兹曼的H函数（方程7.7）是普适的。值得注意之点是：我们可以用M去建立新的非哈密顿的动力学描述。让我们通过一个算符T和它的厄米共轭T^† 的乘积表示熵算符M。因为M是正的，这样做总是可能的（T是M的“平方根”）。因此我们可写出

为了与早期的出版物使用同一种符号（如Prigogine et al.，1978），进行如下替换：

把式8.2和式8.3代入式8.1使用厄米性的定义（见式3.11，式3.34″）我们得出

其中新变换的密度矩阵 被定义为

这是一个非常有趣的结果，因为公式8.4和我们期望描述速度反演实验的式7.14具有同一形式。可是，我们看出这个形式的李雅普诺夫函数只存在于一个“新的”表象中，这表象是通过变换8.5从先前的表象得到的。通过这个变换对在式8.1中的算符M的任何明显的要求已经消失。李雅普诺夫函数的定义不是唯一的，当表达式8.4是一个李雅普诺夫函数时，形如

的ρ的一切凸泛函也都是李雅普诺夫函数（参见附录A，在那里证明 满足一个马尔可夫过程）。

我们正在研究一个只与系统的统计描述有关的表达式，这表达式如同玻耳兹曼的H量（式7.7），一旦我们知道了为 所给出的系统的状态，我们便可计算Ω的值。这个导致Ω最小值的特定态 对于其他的状态的作用如同一个吸引中心，因而在算符M的存在和包含算符Λ（见式8.5）的变换理论之间有一种密切的关系。

现在让我们更仔细地考虑从式8.1到式8.4的变换的形式上的性质。首先让我们写出在新表象中的运动方程，考虑到式8.5，我们得出

这新的运动方程与原先的运动方程的联系是通过一个相似变换（见式3.13）。可是我们希望，容许包括“不可逆性”的那个变换应当超出为一幺正变换表示的纯粹的坐标变化。让我们用运动方程3.36的解去弄清楚这一点。替代式8.1中的两个表达式，我们可使用更明显的不等式

然后我们用式8.5去完成到新表象的变换，对于熵产生（式8.9），我们得出

这意味着Φ和它的厄米伴随Φ^† 之间的差不为零：

因此，我们注意到这个重要的结论，出现在变换了的刘维方程（式8.6）中的新的运动算符不能再如同刘维算符L那样是厄米的。这表示我们必须抛弃通常类型幺正变换（式3.11），和必须继续进行量子力学算符对称性的推广。幸运的是，我们现在需要考虑的变换的类型是容易决定的。我们要求

如果我们同时变换算符A和分布函数ρ，结果应保持不变。

此外，我们的兴趣在于显然与刘维算符有关的那些变换上。这正是推动理论的物理动机。我们已经在第7章中看到，玻耳兹曼型的方程具有一个破缺的L-t对称性。我们想要通过我们的变换来实现这个新的对称性。这只能靠与L有关的变换Λ（L）来完成。密度ρ和可观察量具有同样形式的运动方程，但是所用的L被-L所代替（见式3.36和式3.40），因而，对于一个可观察量A，我们要求

因此

这与矩阵迹的原先的形式是一样的。我们得出

这表达式代替通常加在量子力学变换上的幺正性条件（式3.12）。当然，如果Λ与L无关那么它就是一个幺正变换，可是这里的情况与此无关。

我们找到一个非幺正变换规律并不令人感到惊奇，幺正变换非常类似于坐标的变换，不会影响问题的物理内容，不论什么坐标系统，系统的物理内容是不会被改变的。可是在此我们涉及到的是一个十分不同的问题，我们需要从一种描述形式走到另一种描述形式，即从动力学的描述形式走到“热力学”的描述形式。这就是为什么我们需要表象形式的一个更深刻的变化的理由，这个变化是由新的变换规律（式8.15）所表示的。

我们称这个变换为星-幺正变换，并引入新记法 ⁽²⁾ ：

我们称这个算符为与Λ相联结的“星－厄米”算符（“星”通常意味着厄米共轭再加上反演L→-L）。于是，对于星-幺正变换来说，式8.15表明反演的变换等于它的星－厄米共轭。当然，正如我们已经阐明的，幺正变换总是满足式8.12的（如果我们认为Λ与L无关，又会恢复到幺正变换）。值得注意的特点是另外存在一个十分确定的非幺正变换类型，它满足等价性条件和导致一个新的运动方程形式。现在让我们重新考虑8.7。

通过一个来自L的相似变换得出一个新的动力学算符Φ，但是这个相似变换依据一个星-幺正（不是幺正！）算符，运用L是厄米的而且式8.15和式8.16成立的事实，我们得出

或

该运动算符是星－厄米的。这是非常受欢迎的，其实星－厄米算符在L反演下，可以或者是厄米的与偶的（即当L被-L代替时，它不改变符号）或者是反厄米的与奇的（奇意味着当L被-L代替时，它改变符号）。因而一个星－厄米算符一般可写成

这里，上标e和o分别表示新的时间演化算符Φ的偶部和奇部。表明存在一个李雅普诺夫函数Ω的耗散性条件（式8.11）现在变为

即偶部给出“熵产生”。

于是，我们得到微观方程（即如经典力学或量子力学中的刘维方程）的一个新形式，而在这个新形式中显然有一部分可与一个李雅普诺夫函数联系起来。换句话说，方程

包含一个“可逆部分”和一个“不可逆部分”。在可逆和不可逆过程之间的宏观热力学的区别现在已经纳入微观描述之中。

这里值得高兴的是，我们已经得到的方程8.21的对称性恰恰就是玻耳兹曼对称，正如我们在玻耳兹曼型方程中看出的，在L中，碰撞部分是偶的而流部分是奇的。

物理意义也是类似的，这偶项包含对李雅普诺夫函数的增加与导致系统趋向平衡作出贡献的所有过程，这些过程包含散射粒子的产生与衰变，阻尼等等。

通过非幺正变换所迈出的这一步是极为重要的，我们从依据轨道或波包的动力学描述转到依据过程的描述，这个方法的各种因素如何促使达到一幅动力学与热力学统一的画图是令人感到惊奇的。一旦我们假设存在李雅普诺夫函数（式8.1），立刻注意到存在一个具有“L-t对称”破缺特点的动力学表象。

这系列如下：

这个链条把时间不变的动力学定律引导到一种包含时间优惠方向的对自然的描述。的确，把热力学第二定律包括进来要求一种机制，以便打破动力学描述的时间反演不变性。这一基本的方面将在第10章得到详细讨论。

经验表明，在“存在和演化”之间的矛盾会以不同的方法加以克服是难以想象的。19世纪在“唯能论者”与“原子论者”之间争论不休，前者宣称第二定律破坏宇宙的力学概念；后者宣称第二定律能够与动力学相和谐一致，但以诸如概率性的论证那样的“附加假定”为代价。现在我们较清楚地看到这个主张的确切含意。“代价”也是不小的，因为它包含动力学的一个新的表述。

熵算符的构成和变换理论：面包师变换

直到现在，我们所考虑的只是M的形式特征及其与变换理论的关系，现在让我们简洁地探讨一下M和变换算符Λ的构成。实际上这是一个大课题，在这里我们只能做一点一般性的讨论，以指出必须使用的方法（也可参看第10章以及附录A和C）。

在这一节中我们首先考虑经典动力学的情形。然后，如一再重申的那样，我们必须考虑两种不同的情形，它们导致预期存在李雅普诺夫函数的那种“弱稳定性”类型（见第2章）。

对于遍历系统，米斯拉已表明（Misra，1978），混合性是微观算符存在的必要条件，K流是其充分条件。在第2章我们已经看到，这种对动力学系统的分类是基于刘维算符的谱性质，混合性意味着没有非零的分立本征值，另外K流暗示L的一切本征值具有同样的多重性。要注意到，单是遍历性质是不充分的，我们需要刘维算符除了和平衡相对应的零值以外没有别的分立本征值（见第2章），从而不存在周期性运动。米斯拉指出，在K流的情形一个厄米共轭算符T可与L相联系，从而它们的对易量是常数：

这里1是单位算符。接着给出一个似乎合理的论证（证明可见Misra，1978；关于这种构成的一个例子，可见附录A）在K流的情形，我们可以得到一种表象，在这种表象中算符L由一个数（比如λ）表示。于是我们可找出一个算符T，这算符T在同样的表象中将由导数i（∂/∂λ）给出。

正是我们的方法使得动力学和热力学之间的一种新的并协性特别显而易见。因为方程8.22给出的关系在形式上类似于量子理论中动量与坐标之间的关系，正如式3.2给出

从形式上看刘维算符L对应于一个时间导数（见式2.12）。因而在表象

满足对易关系8.22的意义上，共轭算符T对应于一个“时间”。换句话说，我们能够对动力学增加一个时间算符T，依照第7章中的一般性评论，它代表一个时间的涨落。一个简单的例子是由所谓面包师变换给出的。之所以叫这个名字是因为它使人想起揉一团面团的情景。（这变换或映象在附录A中有更详细的讨论。）我们考虑一个单位正方形（见图8.1A）坐标x，y是用模1来确定的，就是说，所有不在单位正方形内的点都被重新引导到单位正方形之内，方法是在它们的坐标上加上一个整数或减去一个整数。例如，（x，y）＝（1.4，2.3）被当做（0.4，0.3）而送回到单位正方形内。

图8.1　面包师变换

首先，单位正方形A被压扁成一个 ×2单位的长方形B；然后，把它重新配置为一个新的正方形C，其中阴影区和非阴影区被分成四个隔开的区域，而不是A中所示的两个隔开的区域。

现在在固定的时间间隔，我们完成变换（这是一个分立的变换）：

这个映射有一简单的几何意义。如果时刻t₀ 相点在（x，y），到了时刻t₀ +τ它是在靠把正方形压扁成一个 ×2的长方形并进而加以切断和重新配置形成的一个新正方形而获得的点上，如图8.1B、C所示。

虽然这不是一个哈密顿量的动力学变换，然而，因为它是保测的，它能被用来说明哈密顿流的许多方面。这个面包师变换精确地导致在第7章的“新的并协性”一节中所描述的情形，每一个有限的区域被面包师变换分裂成一些分开的区域。

算符T在这里有一个简单的物理意义——它的所有本征值都是从-∞到+∞的整数。相应的本征函数对应于从某标准分布在一给定的步数中产生的空间分布。例如，与20对应的本征函数意味着，如果从与零本征值对应的分布去产生这分布函数，必须采用20次面包师变换。一个分布（更精确地说，对于均匀平衡分布的超额量）可以有一个确定的年龄。于是按定义，它是T的一个本征函数。一般来说，一个分布没有完全确定的年龄，但是可以按有确定年龄的函数的系列展开，那么我们可以说到平均年龄，年龄的涨落等，与量子力学的类似是惊人的，在附录A中可找到更详细的材料。

一旦知道T，我们可对M取一个算符，它是T的下降函数，于是我们得到一个李雅普诺夫函数（或一个H量），在微正则平衡时它取最小值，微正则分布的意义是非常简单的：不论人们的观察何等精密（只假定它是有限的），逐次应用面包师变换会引导到一个均匀的分布（其不均匀度在观察的尺度以下）。非常值得注意的是在这样简单的情形下，我们真的已可引入一个李雅普诺夫泛函。这泛函单调地变化直到实现在这种意义上定义的均匀分布为止，不必取系统趋于无穷大时的热力学极限。

此外，从M出发，我们可以引入一个非幺正变换Λ以得到一个普适的李雅普诺夫函数。与式8.5相一致，我们写出

现在我们可以看看Λ（L）与L有关是什么意思，变换Λ与T有关，而T本身又通过对易规则（式8.22）与L有关，L的反演也意味着T的反演，即

我们已看出，Λ是一个满足式8.15的星-幺正算符，因为T与M（T）是厄米的，这个条件归结为

靠L的反演我们得到逆变换。这样的变换在物理学中是熟知的，例如在狭义相对论中的洛伦兹变换就是属于这种类型（当把两个观察者之间的相对速度反演，我们就得到逆变换）。

在第10章和附录A中，我们将证明 具有分布函数（它是正的）的全部性质。

现在让我们转到第二种情况，我们希望在这里发现弱稳定性，亦即出现庞加莱突变的情况。

熵算符和庞加莱突变

在这里，M和Λ的构成是一个更为艰巨的任务。有意思的是，布鲁塞尔学派首先考虑到这种情况（见Prigogine et al，1973）.我和格里科斯新近给出了一个总结性的评述（Prigogine，Grecos，1977）。额外的困难来自下述事实：我们不仅需要哈密顿量H（或刘维算符L），而且要把H分解为“非微扰”H₀ 和“微扰”V（见式2.25），非常精密地完成这个分解是靠引入正交厄米投影算符P、Q，使得有

据此，有

采用这些算符，现在能分解L或它的预解式（L-z）^-1 。依照定义

简单地运算导致等式

Ψ（z）是所谓的碰撞算符，在这方法中它扮演主角。

在z→0时，Ψ（z）的行为是特别有趣的，因为它决定分布函数的渐近行为［即t→∞时，ρ（t）的极限］。更精确些，可以证明传统的动力方程，诸如玻耳兹曼方程（或它的量子形式，泡利方程）能够从N个粒子的速度分布函数ρ₀ 的所谓主方程推导出来，该主方程可写成

式中Ψ（0）是z→0时Ψ（z）的极限，因而动力方程的存在同与z相关的碰撞算符Ψ（z）的非零极限Ψ（0）有密切的关系。

值得注意的特点是Ψ（0）同样也出现在与庞加莱定理相联系的动力学不变量的理论中。假设投影算符P投影在与归结为H₀ 的非微扰运动相对应的不变量的空间上。当我们引入微扰V，我们希望这个不变量“延续”成为一个新的称为φ的不变量，它满足条件2.33（Lφ＝0），而且我们现在预期它同时有P和Q两部分：

然而，使用Ψ（z）的定义，可以证明，仅当条件

满足时，这才是可能的。（如见Prigogine，Grecos，1977）如果Ψ（0）等于零，方程8.35显然总能被满足，H₀ 的不变量能被扩充成H的不变量。另外一方面，当我们具有第2章中所谓的“庞加莱突变”时，H₀ 的不变量不能被扩充成为H的不变量（H自身或H的函数除外），这意味着Ψ（0）不等于零（亦见附录B）。

然而，对于算符M或Λ的构成来说，Ψ（0）不等于零仅是一个必要条件而不是充分条件。我们需要与色散方程

的行为有关的更强的条件，这个方程必须容许有复数根。为处理这个问题，已发展了一种称做“子动力学”的特殊方法（见Prigogine，Grecos，1977）。在下节中我们将给出一个简单例子（亦见附录B）。

最后，应强调指出，非幺正变换Λ的李雅普诺夫算符M的构成并没有预先假设单一的动力学方程水平的机制。各种各样的机制都可能被涉及到，要紧的是它们应导出一种微观水平的复杂性，这种复杂性使得在轨道或波函数中所涉及的基本概念必须被一个统计系综取代。

热力学第二定律的微观解释：集体模式

满足式8.1的李雅普诺夫函数还不能与热力学的熵函数等同起来，它仍旧对应于一个纯粹的动力学概念。甚至对于“小”的动力学系统它也可以应用，而且M和Ω都不是被唯一地确定的。要把Ω与宏观熵等同起来必须引入补充假定。更确切地说，在所有的不可逆过程中，只有某些具有简单宏观意义的过程需要保留。确实值得注意的是，在驱使系统趋向于平衡的那些过程当中，某些过程有明显的普适性并与宏观的时间尺度相对应。这些过程被称为流体动力学模式，它对应于粒子数、动量和能量等守恒量的演化（Forsten，1975）让我们用一个密度是非均匀的系统来说明这一点。超量密度表示在图8.2上。

图8.2　作为距离的函数的超量密度

因为粒子不能消失（不存在化学反应），通过一个缓慢的扩散过程，均匀化将会达到。第1章提到的简单布朗运动模型表明位移平方的平均值与时间成正比：

我们预期，当粒子移动的距离为微扰波长的数量级（式8.37）时，非均匀性将消失。因此，为了消散密度涨落所必需的时间的数量级为

因而，当波长增加时，密度涨落消失所需时间将变大。这种类型的过程与经典流体动力学有的那些过程类似。它们是集体的过程，因为它们包含很大数目的粒子（每当波长是宏观的时候）。这些集体过程同时包含可逆的与不可逆的过程。例如波的传播与阻尼。因而如式8.21那样的方程是颇为适合的，因为它们把这些过程分离成两部分。

如同在前节中指出的那样，为了构成熵算符和变换函数，我们必须引入碰撞算符Ψ（z），可是在色散方程中，我们只需保留长时间模式，近来，这个已经被西奥多索普卢和格里科斯（Theodosopulu，Grecos，1978）所完成。他们已经表明李雅普诺夫函数（式8.1）精确地变成宏观熵，即方程4.30中给出的李雅普诺夫函数（见Theodosopulu，Grecos，Prigogine，1978），此外，运动方程8.21的矩是宏观的流体动力学方程的微观类似。

这是非常令人满意的。我们已得到了在微观物理学与宏观物理学之间的一座桥梁。我们在动力学描述中引入的微观李雅普诺夫函数在这里得到一个直接的宏观的意义。要得到线性化的流体动力学方程，所需的假定只是短程力和对平衡的小偏离。

对于稀薄气体从玻耳兹曼方程出发的类似的结果是大家早已熟知的。有趣之点在于：与预期的第二定律的普遍性相一致，非平衡热力学，至少在线性区域现在能导自一个与任何涉及系统密度的假定无关的统计理论。

粒子和耗散：非哈密顿的微观世界

正如前已说及的，方程8.21有意思的地方在于：它通过不等式8.20直接与第二定律联系起来。这种联系与一个虽已对之竭尽全力却仍未得解答的基本问题有关。一个基本粒子的概念怎样与相互作用的概念联系起来？

以在第3章已经说过的相互作用着的电子和光子为例，一开始我们总要用到一个涉及“裸”粒子（电子和光子）的哈密顿量和一种相互作用。这些“裸”粒子不可能是“实在的”粒子。由于在电子和光子之间的电磁相互作用，一个电子总是被一团光子云包围，裸电子（没有光子）只是一个形式上的概念。于是，我们完成一个“重正化过程”，在这个过程中部分的相互作用用于改变粒子的物理性质，例如粒子的电荷或质量。可是这个过程在那里停止？甚至在重正化之后，我们仍面临“哈密顿困境”：要么是没有完全确定的粒子（因为部分能量是在电子与光子“之间”），要么是不相互作用的粒子（在总哈密顿量是对角的表象中）。

是否存在一条出路？重要之点在于：我们现在有了借助于过程的第三种描述（见图2.5和8.3）。电子和光子参与了散射、光子的发射和吸收等物理过程。这些过程驱动总系统（电子加光子）趋向于平衡。此外这些过程是“实的”；它们是物质宇宙演化的一部分。靠表象的任何变化它们将肯定地不会被变换掉。因而，无论描述会是什么样的，它应通过导致耗散性条件（式8.20）的星-幺正变换而得到。

图8.3　系统的三种描述

A、B二个哈密顿的观点。C借助于过程作的描述。

可是这还不够；这里有全都满足条件8.20的星-幺正变换族。选择哪一个的问题十分类似于在第3章中提及的玻尔-海森伯-约旦量子化规则问题。后者的解决可经下述途径：考虑所有的幺正变换，并从中选择一个会导致对角化形式哈密顿算符的。现在我们也需要一个量子规则，不过是在星-幺正变换中间去作选择的新的规则。下面让我们简洁地指出这样的规则可以如何表述，正如我们所预期的，它将通过超算符来表述。

要记住，刘维算符相应于一个对易量（见式3.35）。

而我们同样可引入一个“反对易量”

L和 这两个量是超算符（记住：普通算符作用在波函数上，而L和 作用在算符上）。现在，能量的平均值可以通过新的量 写作（见式3.38）

现在我们把我们的变换Λ施加到L和 两者身上，除了式8.7以外，我们得出

现在我们寻找一个Λ使得条件8.20被满足，而且使得式8.41可写作

如果是这样的话， 可以被看做与系统相联系的能级。于是，我们对系统有一个非常满意的描述：它的演化与第二定律相符（不等式8.20），而粒子仍有十分确定的能量的特性。

我们的方法可概述如下：在通常的量子力学中，能级（见式3.16）和时间演化（式3.17）两者都被同一个量（哈密顿算符H_op ）所决定，这是一种明显的量子力学“简并”特性。可是，在超算符表述中，于Λ变换以后，我们得到两个不同的算符，即适合于决定时间演化的Φ（见式8.2）和适合于决定能级的 。用这种方法，对于能定义引出李雅普诺夫表示的星-幺正变换Λ的那些系统来说，这种简并性被取消了。

这个方法是非常新的（Prigogine，George，1978；George，Henin，Mayne，Prigogine，1978）。已经很成功地应用于一个十分简单的模型（Fridrich模型），可是它的普遍性仍要加以研究。在这里提到它是因为它避免了第3章中所述技术上的困难，我们得到严格的指数衰变（寿命是 的一个矩阵元）。可是除此之外，它又是成为问题的“基本粒子”的全部概念。

经典的次序是：粒子居先，第二定律其次——存在先于演化！如果我们进入基本粒子的层次，次序便可能不再如此，而且在这里我们必须在未能确定存在的时候，首先引入第二定律。这个意味着演化先于存在？无疑地，这应当意味着对经典思想方式的根本的背离。可是，基本粒子毕竟不是一个“给定的”客体，这正好与它的名称相反；我们必须构造它，而在这个构造中，未必不是演化起着基本的作用，须知粒子是参与物理世界演化的。

————————————————————

(1) 第8章是本书中最具技术性的一章，为方便读者，在第9章中给出了一个非技术性的概述。

(2) 与量子统计学有一个令人感兴趣的类似，在量子统计学中分布函数被+1或-1所区分。这里也一样，等价条件（式8.12）导致两类变换Λ^† （L）＝Λ^-1 （±L），选择“+”则得普通的幺正变换，而选择“-”则出现不可逆过程的表象。